Vận dụng một số nguyên lý logic cơ bản trong toán học phổ thông

Mong muốn ấy đã đưatác giả đến với đề tài: “Vận dụng một số nguyên lý logic cơ bản trongtoán học phổ thông”.Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồmhai chương: Chư

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Đình Nam

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Lê ĐìnhNam Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tớithầy, người đã định hướng, tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tác giả trongsuốt quá trình nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy côtrong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung và các thầy

cô trong bộ môn Đại số nói riêng đã giúp đỡ, góp ý kiến chỉ bảo để tácgiả hoàn thành luận văn cũng như trong suốt khóa học vừa qua Và cuốicùng, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn ủng hộ,động viên tác giả trong suốt thời gian học tập vừa qua

Mặc dù có nhiều cố gắng xong do trình độ và thời gian còn hạn chếnên luận văn khó tránh khỏi còn mắc những thiếu sót Rất mong nhậnđược những ý kiến đóng góp, nhận xét của quý thầy cô và bạn đọc đểluận văn hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC

1.1 Khái quát về logic học 1

1.1.1 Logic học là gì? 1

1.1.2 Sự hình thành và phát triển của logic học 2

1.1.3 Ý nghĩa của việc nghiên cứu logic học 4

1.2 Mệnh đề 5

1.2.1 Mệnh đề 5

1.2.2 Các phép toán mệnh đề 6

1.2.3 Các quy luật của logic mệnh đề 11

1.3 Đại số vị từ 13

1.3.1 Hàm mệnh đề 13

1.3.2 Các phép toán logic trên hàm mệnh đề một biến 15 1.3.3 Lượng từ với mọi và tồn tại 16

1.4 Suy luận trong toán học 18

1.4.1 Suy luận là gì? 18

1.4.2 Suy luận hợp logic và suy luận không hợp logic 18 1.4.3 Suy luận quy nạp và suy luận diễn dịch 20

1.4.4 Một số qui tắc suy diễn 23

1.4.5 Chứng minh 24

2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ SUY LUẬN LOGIC 27 2.1 Phương pháp lập bảng 27

2.1.1 Phương pháp lập bảng 27

2.1.2 Ví dụ 28

2.1.3 Bài tập luyện tập 36

2.2 Phương pháp lựa chọn tình huống 37

2.2.1 Ví dụ 38

2.2.2 Bài tập luyện tập 41

2.3 Phương pháp biểu đồ Ven 43

2.3.1 Ví dụ 43

2.3.2 Bài tập luyện tập 49

2.4 Phương pháp suy luận trực tiếp 50

2.4.1 Ví dụ 51

2.4.2 Bài tập luyện tập 58

2.5 Phương pháp quy nạp toán học 60

2.5.1 Phương pháp quy nạp toán học 60

2.5.2 Ví dụ 61

2.5.3 Bài tập luyện tập 65

2.6 Nguyên lý Dirichlet 66

2.6.1 Nguyên lý Dirichlet 66

2.6.2 Ví dụ 67

2.6.3 Bài tập luyện tập 71

Lời nói đầu

Trong chương trình giáo dục phổ thông, môn Toán giữ vai trò quantrọng Toán học là công cụ cung cấp tri thức để người học học tập cácmôn học khác Thông qua học toán, người học được rèn luyện khả năngsuy luận hợp lí và logic, phát triển tư duy linh hoạt và sáng tạo Thực tế,

có nhiều người ít dùng kiến thức toán học vào cuộc sống, nhưng không

ai phủ nhận rằng những người học toán tốt thường có tư duy tốt Cácnhà nghiên cứu giáo dục cho rằng, cái còn lại sau những năm tháng vất

vả học toán không phải chỉ là những công thức, qui tắc, định lí màcòn là cách suy nghĩ, cách giải quyết vẫn đề, khả năng toán học hóacác tình huống của cuộc sống Do vậy, một trong nhứng nhiệm vụ quantrọng nhất của môn Toán là thông qua dạy tri thức toán học để dạycách phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy cách suy nghĩ, rèn luyện nhâncách, phát triển tư duy cho học sinh

Các bài toán suy luận logic thường không đòi hỏi nhiều về kĩ năng tínhtoán, điều cần thiết hơn cả là phải suy luận đúng đắn, chặt chẽ, hợp lí

và sáng tạo Các bài toán này có tác dụng giúp người thực hiện nângcao khả năng tư duy và phát huy năng lực sáng tạo nhưng nó không cómột khuôn mẫu giải mà tùy thuộc vào nội dung bài toán để lập luậntìm ra cách giải thích hợp

Trong một số đề thi học sinh giỏi hoặc tuyển sinh lớp 10 có nhữngbài toán về suy luận logic Nếu học sinh không được làm quen và luyệntập nhiều các bài toán dạng này thì rất lúng túng và khó biết cách giải

Là một giáo viên phổ thông, tác giả mong muốn được tìm hiểu thêm về

một số phương pháp giải toán suy luận logic, qua đó có thêm tài liệutham khảo cho giáo viên, học sinh trong học tập Mong muốn ấy đã đưatác giả đến với đề tài: “Vận dụng một số nguyên lý logic cơ bản trongtoán học phổ thông”.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồmhai chương:

Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ sở về logic như khái quát vềlogic học, mệnh đề, đại số vị từ, suy luận và chứng minh

Chương 2: Trình bày về một số nguyên lý logic cơ bản trong toán họcphổ thông như phương pháp lập bảng, phương pháp lựa chọn tình huống,phương pháp biểu đồ Ven, phương pháp suy luận trực tiếp, phương phápquy nạp, nguyên lý Dirichlet

Đây không phải là một đề tài mới nhưng trong luận văn này, tác giảtrình bày các phương pháp giải bài toán suy luận thông qua mối liên hệvới đại số Hi vọng đây là một tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên

và học sinh phổ thông

Chương 1

ĐẠI CƯƠNG VỀ LOGIC

1.1 Khái quát về logic học

Khoa học nói chung và toán học nói riêng đều xuất phát từ quá trìnhnhận thức thế giới khách quan, từ cảm giác → tri giác→ biểu tượng →nhận thức lí tính (tư duy) Trong đó, tư duy biểu thị dưới dạng kháiniệm (phản ánh những đặc điểm chung, bản chất của sự vật), phán đoán(phản ánh những qui luật tất yếu giữa các sự vật) và suy luận Đồngthời tư duy gắn liền với ngôn ngữ như một phương tiện biểu đạt và giaotiếp

Trong quá trình nhận thức thế giới khách quan, người ta cần phải cócách nghĩ, cách suy luận đúng đắn và trong giao tiếp người ta phải cócách biểu đạt (biểu thị, diễn đạt) đúng đắn Liên quan đến những điều

đó là Logic học

Logic học là khoa học về tư duy, nghiên cứu các quy luật và hìnhthức của tư duy, các cách suy luận và biểu đạt đúng đắn

1.1.2 Sự hình thành và phát triển của logic học

1.1.2.1 Sự xuất hiện và các giai đoạn phát triển của logic họchình thức truyền thống

Logic học có lịch sử lâu dài và phong phú gắn liền với lịch sử pháttriển xã hội nói chung Sự xuất hiện của logic học như là lý thuyết về

tư duy đã có sau thực tiễn con người suy nghĩ hàng nghìn năm Cùngvới sự phát triển của lao động sản xuất con người đã hoàn thiện và pháttriển dần các khả năng suy nghĩ, rồi biến tư duy cùng các hình thức vàquy luật của nó thành khách thể nghiên cứu

Những vấn đề logic đã lẻ tẻ xuất hiện trong suy tư người cổ đại từhơn 2,5 nghìn năm trước đây đầu tiên ở Ấn Độ và Trung Quốc Sau đóchúng được vạch thảo đầy đủ hơn ở Hy Lạp và La Mã

Có hai nguyên nhân cơ bản làm xuất hiện logic học Thứ nhất, sự rađời và phát triển ban đầu của các nhà khoa học, trước hết là của toánhọc Sinh ra trong đấu tranh với thần thoại và tôn giáo, khoa học dựatrên cơ sở tư duy duy lý đòi hỏi phải có suy luận và chứng minh Dovậy, logic học đã nảy sinh như là ý đồ vạch ra và luận chứng những đòihỏi mà tư duy khoa học phải tuân thủ để thu được kết quả tương thíchvới hiện thực Hai là sự phát triển của thuật hùng biện trong điều kiệndân chủ Hy Lạp cổ đại

Người sáng lập logic học - "Cha đẻ của logic học" là triết gia lớncủa Hy Lạp cổ đại, nhà bách khoa Aristote (384 - 322 TCN) Ông viếtnhiều công trình về logic học, có tên gọi chung là "Bộ công cụ", trong

đó chủ yếu trình bày về suy luận và chứng minh diễn dịch Aristote cònphân loại các phạm trù − những khái niệm chung nhất và khá gần vớiphân loại từ trước của Democritos về phán đoán Ông đã phát biểu baquy luật cơ bản của tư duy, trừ luật lí do đầy đủ Học thuyết logic củaAristote đặc sắc ở chỗ, dưới dạng phôi thai nó đã bao hàm tất cả nhứng

phần mục, trào lưu, các kiểu của logic học hiện đại như xác suất, biểutượng, biện chứng.

Giai đoạn phát triển mới của logic học hình thức gắn bó hữu cơ vớiviệc xây dựng logic quy nạp diễn ra từ thế kỉ XVII đi liền với tên tuổicủa nhà triết học và tự nhiên học kiệt xuất người Anh F.Bacon (1561

− 1626) Ông cho rằng tam đoạn luận của Aristote hoàn toàn vô ích vì

nó không cho phép tìm ra các thông tin mới từ các tiền đề đã có Vậynên khoa học sử dụng nó không thể phát triển các qui luật mới thôngqua việc nghiên cứu các sự kiện thực nghiệm đã biết Ông xây dựng nênlogic quy nạp mà về sau được một nhà triết học và logic học Anh khác

là S.Mill (1806 − 1873) phát triển, thúc đẩy khoa học vươn tới tầm caomới

Những nhu cầu của khoa học không chỉ về phương pháp quy nạp màcòn về phương pháp diễn dịch vào thế kỉ XVII đã được nhà triết họcngười Pháp R.Descates (1596 − 1650) nhận diện đầy đủ hơn cả Dựatrên những dữ liệu toán học, ông đã nhấn mạnh ý nghĩa của diễn dịchnhư là phương pháp nhận thức khoa học cơ bản nhất

1.1.2.2 Sự xuất hiện và phát triển của logic toán

Cuộc cách mạng thực sự trong các nghiên cứu logic học diễn ra nhờ

sự xuất hiện của logic toán, chính nó đã mở ra một thời kì mới, hiện đạitrong sự phát triển của logic học

Những phôi thai của logic toán đã có ngày từ ở Aristote, cũng như

ở các nhà triết học kế tục ông, dưới dạng các yếu tố của logic vị từ, líthuyết các suy luận tình thái và logic mệnh đề

Những thành tựu ngày càng nhiều của toán học và sự thâm nhập củacác phương pháp toán vào các khoa học khác ngay ở sau thế kỉ XIX đãđặt ra hai vấn đề cơ bản Thứ nhất là ứng dụng logic học để xây dựng

cơ sở lí thuyết cho toán học, thứ hai là toán học hóa logic học Nhà toán

học và logic học người Đức Leibniz (1646 − 1716) đã có ý đồ sâu sắc vàthành công nhất trong việc giải quyết những vấn đề nêu trên Do vậy,thực chất ông là người khởi xướng logic toán Ông đã phát minh ra ngônngữ biểu tượng vạn năng với kì vọng nhờ đó có thể duy lí hóa mọi khoahọc thực nghiệm.

Những tư tưởng của Leibniz được phát triển tiếp ở thế kỉ XVIII vànửa đầu thế kỉ XIX Tuy nhiên, chỉ từ nửa sau thế kỉ XIX mới có nhữngđiều kiện chín muồi cho sự phát triển của logic toán Nhà toán học vàlogic học người Anh J.Bool (1815 − 1864) trong các công trình của mìnhđều ứng dụng toán học vào logic học Ông đã phân tích toán học đốivới lí thuyết suy luận vạch thảo phép tính logic (Đại số Bool) Nhà toánhọc và logic học người Đức G.Frege (1848 − 1925) ứng dụng logic học

để nghiên cứu toán học và các cơ sở của nó, xây dựng số học hình thứchóa Nhà triết học, toán học, logic học người AnhB.Russel (1872 − 1970)cùng với A.Uaitkhed (1861 − 1947) trong tác phẩm cơ bản "Các nguyêntắc cơ bản của toán học" đã xây dựng hệ tiên đề diễn dịch cho logic học

Có tư duy, ắt có sai lầm, như Brochad đã từng phát biểu: "Đối vớicon người, sai lầm là qui luật mà chân lí là ngoại lệ"

Có loại sai lầm do tư duy không phù hợp với thực tế khách quan (ngộnhận về thế giới tự nhiên, về người khác và cả về bản thân), loại nàydẫn đến những phán đoán giả dối Có loại sai lầm do tư duy không phùhợp với các qui luật của tư duy, loại này dẫn đến nhứng suy luận philogic

Vì vậy logic học luôn luôn có ích và cần thiết cho mọi người

Không phải không logic học thì người ta đều tư duy thiếu chính xác,

vì tư duy đúng đắn có thể được hình thành bằng kinh nghiệm, qua quátrình học tập, giao tiếp, ứng xử Nhưng đó chưa phải là thứ tư duy

logic mang tính tự giác Và như vậy, ta cũng rất dễ tư duy sai lầm dongộ biện.

Logic học sẽ giúp ta nâng cao trình độ tư duy để có được tư duy khoahọc một cách tự giác Nhờ đó, ta có thể chủ động tránh được những sailầm trong tư duy của bản thân

Logic học cũng là công cụ hữu hiệu để khi cần thiết, ta có thể tranhluận, phản bác một cách thuyết phục trước những lập luận mâu thuẫn,ngụy biện, thiếu căn cứ của người khác

Logic học còn trang bị cho ta phương pháp tư duy khoa học, nhờ đó

ta có thể tham gia nghiên cứu khoa học, lĩnh hội và trình bày tri thức,tham gia các hoạt động thực tiễn khác một cách hiệu quả

Logic học cũng giúp ta có được một thế giới khách quan, nhân sinhquan toàn diện, biện chứng,

Đặc biệt, logic học là cái cơ sở không thể thiếu được trong một sốlĩnh vực như toán học, điều khiển học, pháp lí, quản lí, ngoại giao, điềutra, dạy học,

1.2 Mệnh đề

Trong suy luận và biểu đạt, người ta thường dùng các mệnh đề.Mệnh đề, hay mệnh đề logic là một khái niệm nguyên thủy, không địnhnghĩa

Mệnh đề là một câu khẳng định có tính chất đúng hoặc sai Mộtmệnh đề đều hoặc đúng hoặc sai Không có mệnh đề nào có thể vừađúng vừa sai

Mệnh đề đúng có giá trị chân lí là 1, mệnh đề sai có giá trị chân lí là0

Ta thường kí hiệu mệnh đề bằng các chữ cái in hoa A, B, X, Y,

Ví dụ 1.1

Các phát biểu sau đây là các mệnh đề:

A = "Nước Việt Nam nằm ở châu Á"

Tuy nhiên, không phải bất cứ câu nào cũng là mệnh đề

Ví dụ 1.2

Các phát biểu sau đây không là mệnh đề:

(i) Hôm nay là thứ mấy?

(ii) Ôi! Bạn hát hay quá!

(iii) Số nguyên x chia hết cho 3

Câu (i), (ii) không phải là mệnh đề vì không phải là câu khẳng định,câu (iii) không phải mệnh đề vì không biết được tính đúng, sai của nó

Mệnh đề phủ định của phủ định của mệnh đề A chính là mệnh đề A.A
= A

Ví dụ 1.4

Nếu A = "Nước Việt Nam nằm ở châu Á" thì mệnh đề phủ định A =

"Nước Việt Nam không nằm ở châu Á"

Ở đây G(A) = 1 còn G(A) = 0

Hội của hai mệnh đề A, B là một mệnh đề, đọc là A và B, kí hiệu

A ∧ B, đúng khi cả hai mệnh đề A, B cùng đúng và sai trong các trườnghợp còn lại

Bảng giá trị chân lí của phép hội:

Chú ý: Để thiết lập mệnh đề hội của hai mệnh đề A, B ta ghép hai mệnh

đề đó bởi liên từ "và" hay một liên từ khác cùng loại Những liên từ đólà: mà, nhưng, song, đồng thời, cùng,

Ví dụ 1.6

Hội của hai mệnh đề A = "Tam giác ABC là tam giác vuông" và B =

"Tam giác ABC là tam giác cân" là một mệnh đề: "Tam giác ABC làtam giác vuông cân"

Ví dụ 1.7

Giải hệ hai phương trình thực chất là ta đi tìm tập hợp M các nghiệmthỏa mãn cả hai phương trình đã cho: M = M1 ∩ M2 Theo ngôn ngữmệnh đề, đó là hội của hai mệnh đề "f1(x0) = g1(x0)" và "f2(x0) =

B = "Tứ giác ABCD có một góc vuông"

A = "Tứ giác ABCD có hai cạnh kề bằng nhau"

Khi đó: A ∧ B = "Tứ giác ABCD là hình chữ nhật"

A ∧ C = "Tứ giác ABCD là hình thoi"

A ∧ B ∧ C = "Tứ giác ABCD là hình vuông"

1.2.2.3 Phép tuyển

Tuyển của hai mệnh đề A, B là một mệnh đề, đọc là A hoặc B, kíhiệu A ∨ B, sai khi cả hai mệnh đề A, B cùng sai và đúng trong cáctrường hợp còn lại

Bảng giá trị chân lí của phép tuyển:

Ví dụ 1.10

Cho hai mệnh đề A = "Số có chữ số tận cùng là 0 thì chia hết cho5" và B = "Số có chữ số tận cùng là 5 thì chia hết cho 5"

Tuyển của hai mệnh đề A và B là A ∨ B = "Số có chữ số tận cùng là

0 hoặc 5 thì chia hết cho 5"

1.2.2.4 Phép kéo theo

Cho hai mệnh đề A và B Mệnh đề "Nếu A thì B", kí hiệu là A → B,

là một mệnh đề, sai khi A đúng mà B sai và đúng trong các trường hợpcòn lại Trong mệnh đề A → B, A được gọi là giả thiết hay tiền đề, Bđược gọi là kết luận

Bảng giá trị chân lí của phép tuyển:

(ii) A kéo theo B

(iii) A là một điều kiện đủ của B

(iv) B là một điều kiện cần của A

Ví dụ 1.11

− "Nếu tháng 2 có 29 ngày thì năm đó là năm nhuận" là mệnh đề đúng

− "4 chia hết cho 3 nên tam giác ABC vuông tại A" là mệnh đề sai.Chú ý 1.12 1 Trong logic, khi xét giá trị chân lý của mệnh đề A → Bngười ta không quan tâm đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề

A, B Khi A đã sai thì mệnh đề A → B luôn luôn đúng bất luận B đúng

Bảng giá trị chân lí của phép tương đương:

− A là mệnh đề: "Tam giác ABC có ba góc bằng nhau" và B là mệnh

đề "Tam giác ABC là tam giác đều" thì A ↔ B là mệnh đề: "Tam giácABC có ba góc bằng nhau khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều"

và là mệnh đề đúng vì A đúng, B đúng

− A là mệnh đề: "3 - 2 = 4" và B là mệnh đề "Hình vuông có bốn cạnhbằng nhau" thì A ↔ B là mệnh đề: "3 - 2 = 4 nên hình vuông có bốncạnh bằng nhau" và là mệnh đề sai vì A sai, B đúng

1.2.3 Các quy luật của logic mệnh đề

1.2.3.1 Luật đồng nhất

Tư tưởng có tính chất xác định nếu nội dung của nó (các thuộc tính

và các mối quan hệ của các sự vật phản ánh trong đó) đã được qui địnhmột cách chính xác Trong tư duy, người ta chỉ có thể đồng nhất (và do

đó phân biệt) các tư tưởng với nhau nếu chúng có tính chất xác định.Trong quá trình lập luận, mọi tư tưởng phải đồng nhất với chính nó

A ≡ A, nếu không tuân thủ qui luật đồng nhất sẽ sinh lủng củng, sailầm trong tư duy

Điều này bắt buộc không được biến đổi một cách tùy tiện, vô căn

cứ nội dung của tư tưởng (không được thay thế tư tưởng này bằng tưtưởng khác) Bình thường, tư duy của mọi người biết suy nghĩ có tínhchất xác định Song cũng có khi tính xác định này bị vi phạm do người

ta thiếu hiểu biết về đối tượng, do sai lầm trong ngôn ngữ (những nộidung khác nhau lại được diễn đạt bằng cùng một từ hay cụm từ)

Ví dụ 1.14

+ Có thể đưa ra những câu hỏi ngây thơ kiểu như: "Một kg sắt và một

kg bông, cái nào nặng hơn?"

+ Một học sinh viết: "Anh bộ đội bị thương hai lần, một lần ở tay vàmột lần ở Quảng Trị." Trong trường hợp này, học sinh đã đồng nhất haicách chỉ vị trí của từ ở: 1 Nơi bị thương trên thân thể; 2 Địa danh màanh bộ đội bị thương

Trong trường hợp này, người hầu bàn đã nhầm hiện tượng với bảnchất, tức là vi phạm quy luật đồng nhất khi đồng nhất sự kiện "khôngđọc được" với sự kiện "không biết chữ".

Chú ý 1.16 Trong định nghĩa khái niệm không được dùng chính kháiniệm A để định nghĩa nó (định nghĩa vòng quanh)

1.2.3.2 Luật bài trung

- Trong hai phán đoán phủ định lẫn nhau: A và A, một phán đoánnhất thiết phải chân thực (đúng) Không thể cả hai cùng giả dối (sai)

- Luật bài trung là cơ sở cho chứng minh phản chứng Từ A là saisuy ra bắt buộc A phải đúng

Ví dụ 1.18

Dựa trên cở sở luật bài trung, ta có thể dùng phép nhị phân để phânchia ngoại diên khái niệm thành hai tập hợp có quan hệ đối lập Chẳnghạn, chia số thực thành số hữu tỉ và số vô tỉ Do vậy có thể chứng minh

√

5 là số vô tỉ bằng cách chứng minh nó không phải là số hữu tỉ

1.2.3.2 Luật không mâu thuẫn

Hai phán đoán, trong đó một phán đoán khẳng định ("A là B"), cònphán đoán kia phủ định cùng cái đó về cùng đối tượng ("A không là B")thì không thể đồng thời cùng chân thực (đúng)

Chú ý 1.19 Có những phán đoán tuân theo luật không mâu thuẫn màkhông tuân tuân theo luật bài trung Ngược lại, mọi phán đoán tuân theo

luật bài trung đều tuân theo luật không mâu thuẫn.

Ví dụ 1.20

Tất cả những phán đoán có dạng "Không một A nào là B" và "Tất

cả A đều là B" tuân theo luật không mâu thuẫn, nhưng không tuân theoluật bài trung Chẳng hạn:

A = "Không có một số nguyên tố nào chẵn" và B = "Tất cả các sốnguyên tố đều chẵn" không thể đồng thời cùng đúng, tức là tuân theoluật không mâu thuẫn Tuy nhiên, cũng không nhất thiết một trong haiphán đoán A và B phải đúng Rõ ràng "Có duy nhất một số nguyên tố

2 là số chẵn" nên cả A và B đều sai Do đó A và B không tuân theo luậtbài trung

Ý nghĩa:

a) Luật bài trung và luật không mâu thuẫn là cơ sở của phép phủ định.b) Luật không mâu thuẫn có giá trị lớn đối với tư duy đúng đắn, nêulên căn cứ của sự tồn tại tính tất yếu logic của việc suy ra kết luận từcác tiền đề trong các suy luận diễn dịch, phản ánh sự kiện là: một sựvật (hoặc một thuộc tính) nào đó không thể đồng thời vừa tồn tại vừakhông tồn tại, vừa có lại vừa không

Do vậy, trong quá trình lập luận về đối tượng nào đó, không đượcvừa khẳng định vừa phủ định một cái gì đó ở cùng một quan hệ Chẳnghạn, không thể có một mệnh đề vừa đúng lại vừa sai

1.3 Đại số vị từ

− Hàm mệnh đề (hay còn gọi là vị từ) là một câu nói phụ thuộc vàomột hay nhiều đại lượng chưa xác định rõ ràng và trở thành mệnh đề

khi các đại lượng đó đã xác định Các đại lượng chưa xác định rõ ràng

− Thay n = 19 ta được mệnh đề đúng: "19 là số nguyên tố"

− Thay n = 10 ta được mệnh đề sai: "10 là số nguyên tố"

Như vậy "n là số nguyên tố" là một hàm mệnh đề xác định trên tập hợp

số nguyên dương

2 "Số x lớn hơn số y"

− Thay x = 4, y = 2 thì ta được mệnh đề đúng: "Số 4 lớn hơn số 2"’

− Thay x = 4, y = 5 thì ta được mệnh đề sai: "Số 4 lớn hơn số 5" Vậy "Số x lớn hơn số y" là một hàm mệnh đề hai biến

3 Câu nói "Số 22n+ 1 là số nguyên tố, n ∈ N" (Bài toán "Số nguyênFermat") là một hàm mệnh đề (đúng với n = 1, 2, 3, 4, sai với n = 5, 6 )

4 Câu nói "Giá trị của (a + b)2 và a2 + 2ab + b2 là bằng nhau" luônđúng với mọi giá trị của a và b nên là một hằng mệnh đề

5 "x2+ 3x − 4 = 0 là hàm mệnh đề chứa biến x, nhưng câu "Phươngtrình x2+ 3x − 4 = 0 có hai nghiệm x1 = 1, x2 = −4" không phải là hàmmệnh đề vì nó luôn đúng (không cần phụ thuộc vào biến nào)

− Một hàm mệnh đề n biến là một hàm f đi từ tập tích X1 x X2 x x Xn đến tập {0; 1}

− Hàm mệnh đề một biến biểu thị một tính chất, hàm mệnh đề nbiến biểu thị một quan hệ n ngôi

biến

Cho A(x), B(x) là các hàm mệnh đề một biến cùng xác định trên M

Mở rộng các phép toán logic mệnh đề đối với các hàm mệnh đề, ta

có các phép toán logic trên các hàm mệnh đề (ở đây ta chỉ xét với mộtbiến) được định nghĩa như sau:

- (A ∧ B) (a) = 1 nếu A (a) = B (a) = 1

- (A ∧ B) (a) = 0 nếu có ít nhất một trong hai mệnh đề A(a) hoặc B(a)nhận giá trị 0

1.3.2.3 Phép tuyển

Hàm mệnh đề "A(x) tuyển B(x)" kí hiệu là (A ∨ B) (x) là hàm mệnh

đề mà với mỗi a ∈ M thì giá trị chân lí của mệnh đề (A ∨ B) (a) đượcxác định theo giá trị chân lí của hai mệnh đề A(a) và B(a)như sau:

- (A ∨ B) (a) = 1 nếu có ít nhất một trong hai mệnh đề A(a) hoặc B(a)nhận giá trị 1

- (A ∨ B) (a) = 0 nếu A (a) = B (a) = 0

1.3.2.4 Phép kéo theo

Hàm mệnh đề "A(x) kéo theo B(x)" kí hiệu là (A → B) (x) là hàmmệnh đề mà với mỗi a ∈ M thì giá trị chân lí của mệnh đề (A → B) (a)được xác định theo giá trị chân lí của hai mệnh đề A(a) và B(a)như sau:

- (A → B) (a) = 0 nếu A (a) = 1 và B (a) = 0

- (A → B) (a) = 1 trong tất cả các trường hợp còn lại

1.3.2.5 Phép tương đương

Hàm mệnh đề "A(x) tương đương B(x)" kí hiệu là (A ↔ B) (x) là hàmmệnh đề mà với mỗi a ∈ M thì giá trị chân lí của mệnh đề (A ↔ B) (a)được xác định theo giá trị chân lí của hai mệnh đề A(a) và B(a)như sau:

- (A ↔ B) (a) = 0 nếu A(a) và B(a) không nhận cùng một giá trị

- (A ↔ B) (a) = 1 nếu A(a) và B(a) nhận cùng một giá trị

Định nghĩa 1.22 Cho A là một vị từ với biến x xác định trên M Lượng

từ với mọi của A là mệnh đề: "A(x) đúng với mọi giá trị của x trongM"

Lượng từ "với mọi" của A được viết là: ∀ x ∈ M, A(x)

Mệnh đề này được diễn đạt: "Với mọi x của M ta luôn có A (x)"

Ví dụ 1.23

1 "∀ n ∈ N, n chia hết cho 3" là mệnh đề sai

2 "∀ x, x + 7 > 3" là mệnh đề sai

3 "∀ x ∈ R, x2 + 1 > 0" là mệnh đề đúng

Định nghĩa 1.24 Cho A là một vị từ với biến x xác định trên M Lượng

từ tồn tại của A là mệnh đề: "Tồn tại một giá trị x trong M sao choA(x) đúng"

Lượng từ "tồn tại" của A được viết là: ∃ x ∈ M, A(x)

Ví dụ 1.25

1 "Tồn tại số tự nhiên n sao cho n chia hết cho 3" là mệnh đề đúng

2 "Tồn tại số thực x sao cho x + 7 > 3" là mệnh đề đúng

3 "Tồn tại số thực x sao cho x2 + 1 = 0" là mệnh đề sai

Định lí 1.26 Ta có các tương đương logic sau:

(i) ∀x ∈ M, A(x) ⇔ ∃x ∈ M, A(x)

(ii) ∃x ∈ M, A(x) ⇔ ∀x ∈ M, A(x)

Như vậy hai mệnh đề ∀ x ∈ M, A(x) và ∃ x ∈ M, A(x) là phủ định củanhau

Ví dụ 1.27

Phủ định của mệnh đề "Tồn tại một số tự nhiên n chia hết cho 3" làmệnh đề "Mọi số tự nhiên n đều không chia hết cho 3"

Ví dụ 1.28

Phủ định của mệnh đề "Mọi hình vuông đều là hình chữ nhật" là mệnh

đề "Tồn tại một hình vuông không phải là hình chữ nhật"

1.4 Suy luận trong toán học

Suy luận là hình thức của tư duy, để rút ra một phán đoán mới từmột hay nhiều phán đoán đã có Các phán đoán đã có gọi là tiền đề,phán đoán mới được rút ra gọi là kết luận của suy luận, cách thức rút

ra kết luận từ tiền đề gọi là lập luận

Mỗi suy luận được biểu diễn dưới dạng một mệnh đề kéo theo mà tiền

đề là một mệnh đề hoặc hội của nhiều mệnh đề: A1, A2, , An ⇒ B.Các Ai là tiền đề, B là kết luận

Ví dụ 1.29

+ Từ "Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hếtcho 5" ta rút ra "Nếu một số tự nhiên chia hết cho 5 thì có chữ số tậncùng bằng 0 hoặc 5"

+ Từ "Hàm số liên tục thì khả vi" ta suy ra "Hàm số khả vi thì liêntục"

+ Từ hai tiền đề A1 : "Nếu một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì

số đó chia hết cho 3" và A2 : "Số 1254 có tổng các chữ số là 12 chia hếtcho 3" ta rút ra kết luận B: "Số 1254 chia hết cho 3"

logic

Nếu suy luận X1, X2, , Xn ⇒ Y là hàm mệnh đề hằng đúng (bất

kể các Xi lấy giá trị nào) thì ta có suy luận hợp logic Y được gọi là kếtluận logic hay hệ quả logic

Ngược lại, nếu suy luận X1, X2, , Xn ⇒ Y là hàm mệnh đề khônghằng đúng (tồn tại ít nhất một bộ giá trị của Xi làm cho X1, X2, , Xn ⇒

Y có giá trị chân lí bằng 0) thì ta có suy luận không hợp logic Suy luậnkhông hợp logic được gọi là suy luận sai

Hàm mệnh đề hằng đúng biểu thị một quy luật logic.

Một suy luận hợp logic chính là một quy luật logic

Ví dụ 1.30

a) Suy luận hợp logic:

X1 = "Nếu một hàm số đơn điệu tăng thì có giới hạn hữu hạn"

X2 = "Hàm số y = x2 đơn điệu tăng"

Y = "Hàm số y = x2 có giới hạn hữu hạn"

Trong trường hợp này ta có X1 = (A ⇒ B) , X2 = A, Y = B và suyluận dựa trên cơ sở một hàm mệnh đề hằng đúng, nên nó biểu thị mộtquy luật logic: ((A ⇒ B) ∧ A) ⇒ B

b) Suy luận không hợp logic:

X1 = "Nếu một dãy số đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì có giới hạnhữu hạn"

X2 = "Dãy số y = 1

x có giới hạn hữu hạn"

Y = "Dãy số y = 1

x đơn điệu giảm và bị chặn dưới".

Trong trường hợp này, suy luận có dạng X1 = (A ⇒ B) , X2 = B, Y =

A Do ta có hàm mệnh đề (X1, X2) ⇒ Y không hằng đúng nên nó khôngphải là suy luận hợp logic Tức là ta không có "quy tắc" suy luận:((A ⇒ B) ∧ B) ⇒ A

ta rút ra kết luận: b không vuông góc với c

Suy luận này có dạng (P ∧ Q ⇒ R) ∧ P ∧ R
⇒ Q

Trong đó P = ”a⊥c”; Q = ”b⊥c”; R = ”a//b”

Bằng cách lập bảng giá trị chân lí của (P ∧ Q ⇒ R) ∧ P ∧ R
⇒ Q, tathấy nó không phải là suy luận logic

1.4.3 Suy luận quy nạp và suy luận diễn dịch

1.4.3.1 Suy luận quy nạp

Suy luận quy nạp là suy luận không theo một quy tắc nào và kết luậnthường được rút ra dựa trên cơ sở xem xét những trường hợp riêng, đây

là loại suy luận đi từ những kết luận riêng biệt đến kết luận khái quát.Suy luận quy nạp không hoàn toàn (còn gọi là suy luận nghe có lí) làmột loại suy luận quy nạp Trong đó, kết luận rút ra dựa trên việc xétkhông đầy đủ các trường hợp riêng, do vậy kết luận chỉ có tính chất dựđoán, giả thuyết

Sơ đồ: Từ 3 tiền đề:

A1, A2, , An có tính chất B

A1, A2, , An là một số phần tử của tập hợp A; A\ {A1, A2, , An} 6= ∅.Kết luận: Mọi phần tử của A có tính chất B

Ví dụ 1.33

Wilehm Leibnitz - nhà triết học, nhà toán học lừng danh người Đức,

là người đầu tiên chứng minh được rằng:

Kết luận trên đã sai ngay với số lẻ liền sau 7, nhưng không ai nghĩ đếnviệc kiểm tra mà chỉ tìm cách chứng minh bằng được, có lẽ bởi không

ai nghĩ nhà toán học vĩ đại Leibnitz lại có thể mắc sai lầm

Quy nạp hoàn toàn là phép suy luận nhằm rút ra kết luận chung vềtất cả trường hợp cụ thể đã được xét đến

Kết luận thu được từ quy nạp hoàn toàn luôn luôn đúng Do đó thựcchất quy nạp hoàn toàn là một phép chứng minh

Sơ đồ: A1, A2, , An có tính chất B

A1, A2, , An là các tập hợp con của tập hợp A; A1 ∪ A2∪ ∪ An = A.Kết luận: Mọi phần tử của A có tính chất B

Ví dụ 1.34

Khi chứng minh định lí về số đo góc nội tiếp trong đường tròn, sửdụng con đường quy nạp hoàn toàn, ta xét ba trường hợp:

- Tâm đường tròn ở trên một cạnh của góc nội tiếp

- Tâm đường tròn ở trong góc nội tiếp

- Tâm đường tròn ở ngoài góc nội tiếp

Trong cả ba trường hợp trên, ta đều chứng minh được số đo góc nộitiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung Ngoài ba trườnghợp trên, không còn trường hợp nào khác

Do đó, dùng phép quy nạp hoàn toàn, ta chứng minh được: Trongđường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn mộtcung

1.4.3.2 Suy luận diễn dịch

Suy luận diễn dịch là suy luận theo một quy tắc thỏa mãn điều kiện:Nếu tiền đề A đúng thì kết luận B đúng Kí hiệu A

B.

Từ các công thức tương đương, ta có các công thức suy diễn tươngứng, chẳng hạn như: P ⇒ Q

a) Suy diễn từ hai tiền đề (suy luận gián tiếp) là phép suy luận gián tiếptrong đó kết luận được rút ra từ hai tiền đề

b) Tam đoạn luận khẳng định: (P → Q) P

c) Tam đoạn luận phủ định: (P → Q) Q

1.4.4.4 Qui tắc qui nạp toán học

Để kết luận P(n) đúng với mọi số tự nhiên n > n0 người ta dùngphép quy nạp như sau:

(P (n0) = 1) , nếu P (k) = 1, với k > n0, thì P (k + 1) = 1

P (n) đúng với mọi số tự nhiên n > n0

Chú ý 1.37 + Cấu trúc logic của phép chứng minh quy nạp:

P (1) ∧ ∀k (P (k) ⇒ P (k + 1)) → ∀nP (n) , n ∈ N∗

+ Không được bỏ đi một tiền đề nào của phép quy nạp

1.4.5.1 Khái niệm chứng minh

Phép chứng minh một mệnh đề B là một dãy hữu hạn các mệnh đề

A1, A2, , An, B trong đó mỗi Ai hoặc là tiên đề, giả thiết, định lí, địnhnghĩa, hoặc là kết luận logic của một số mệnh đề trong dãy đứngtrước nó, B đứng cuối dãy và là kết luận logic của một số mệnh đề trongdãy đứng trước nó

Như vậy chứng minh B là tìm ra một dãy hữu hạn A1, A2, , An thỏa

1.4.5.2 Các yêu cầu của một chứng minh

a) Luận cứ phải đúng: Sử dụng đúng giả thiết, định lí đã biết, tức

là chỉ dựa vào các tiền đề đã được chứng minh tính đúng đắn

Phép chứng minh sẽ sai nếu luận cứ không đúng, tức là khi chứngminh ta dựa vào các tiền đề sai hoặc chưa được chứng minh, vận dụngkhông đúng định nghĩa, định lí, dựa vào điều không cho trong giả thiết.b) Suy luận phải hợp logic: Nếu sử dụng những suy luận không hợplogic như P → Q, Q

Như vậy khi thực hiện một chứng minh, ta phải trả lười ba câu hỏi:

1 Chứng minh cái gì? (Luận đề không bị đánh tráo)

2 Dựa vào đâu để chứng minh? (Luận cứ phải chân thực)

3 Sử dụng phép suy luận nào để chứng minh? (Suy luận phải hợp logic)

c) Chứng minh bằng quy nạp toán học: Xuất phát từ tiên đề về thứ

tự trong tập hợp số tự nhiên N, người ta đưa ra phương pháp chứngminh một mệnh đề (mà điều khẳng định liên quan đến số tự nhiên n)dựa trên nguyên lí quy nạp gồm ba bước:

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên nhỏ nhất n0 (đốivới mệnh đề đó)

Bước 2: Giả sử đã chứng minh được mệnh đề đúng với số tự nhiên

k > n0

Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên liền sau k

Đề điền được các giá trị chân lí vào bảng, ta cần lưu ý:

Giả sử A là một mệnh đề Khi đó câu "Không phải là A" là mộtmệnh đề khác, được gọi là phủ định của A và kí hiệu là A

Nếu A đúng thì A sai và nếu A đúng thì A sai Tổng giá trị chân lí

của A và A là 1.

Ví dụ:

+ A là mệnh đề: "Hôm nay trời nắng" thì A là mệnh đề "Hôm naytrời không nắng" Nếu trời nắng thì G (A) = 1 ⇒ G A
= 0 Ngược lạinếu hôm nay trời không nắng thì G (A) = 0 ⇒ G A
= 1

+ B là mệnh đề: "Bài kiểm tra học kì môn Toán của Mai được điểm10" thì B là mệnh đề "Bài kiểm tra học kì môn Toán của Mai khôngđược điểm 10" Nếu Mai được điểm 10 thì G (B) = 1 ⇒ G B
= 0.Ngược lại nếu Mai không được điểm 10 thì G (B) = 0 ⇒ G B
= 1.Giả sử điểm bài kiểm tra là số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 10 Ta gọi

Bi là mệnh đề "Bài kiểm tra học kì môn Toán của Mai được điểm i" với

Hỏi mỗi bạn đạt giải gì?

Lời giải

Bài toán này có hai nhóm đối tượng Nhóm thứ nhất gồm tên của cácbạn Nhóm thứ hai gồm các giải thưởng Dựa vào đề bài, ta thiết lậpbảng sau:

Nhất Nhì Ba

- Theo đề bài, không có ai đạt giải trùng với tên của mình nên ta ghi

số 0 vào các ô nằm trên đường chéo chính

- Do bạn đạt giải ba nói với bạn Nhất nên bạn đạt giải ba không thểtên là Nhất Ta ghi số 0 vào ô ở hàng 4, cột 2.

- Nhìn vào cột 2, ta thấy bạn Nhất không đạt giải nhất, không đạtgiải ba nên bạn Nhất đạt giải nhì Ta ghi số 1 vào ô ở hàng 3, cột 2

- Nhìn vào hàng 4, ta thấy bạn đạt giải ba không tên là Nhất, khôngtên là Ba Vậy bạn đạt giải ba tên là Nhì

- Nhìn vào hàng 3, ta thấy bạn đạt giải nhì tên là Nhất nên bạn đạtgiải nhì không thể tên là Ba Ta ghi 0 vào ô ở hàng 3, cột 4

- Nhìn vào cột 4, ta thấy bạn Ba không đạt giải ba, không đạt giảinhì nên bạn Ba đạt giải nhất Ta ghi 1 vào ô ở hàng 2, cột 4

Kết luận: Bạn Nhất đạt giải nhì, bạn Nhì đạt giải ba, bạn Ba đạt giảinhất

Ví dụ 2.2

Trong một quán cà phê có ba vị khách mặc áo màu xanh, đỏ, vàngđang ngồi nói chuyện với nhau Người mặc áo màu đỏ nhận xét: "Bachúng ta mặc áo trùng với tên của chúng ta nhưng không ai mặc áotrùng với tên mình" Bác Vàng hưởng ứng: "Bác nói đúng"

Hỏi mỗi người mặc áo màu gì?

Lời giải

Bài toán này có hai nhóm đối tượng Nhóm thứ nhất gồm tên ba vịkhách Nhóm thứ hai gồm các màu áo Dựa vào đề bài, ta thiết lập bảngsau:

Xanh Đỏ Vàng

- Theo đề bài, không có ai mặc áo trùng với tên của mình nên ta ghi

số 0 vào các ô nằm trên đường chéo chính

- Do bác Vàng hưởng ứng lời của bác mặc áo đỏ nên bác Vàng khôngmặc áo đỏ Ta ghi số 0 vào ô ở hàng 4, cột 3

- Nhìn vào cột 3, ta thấy bác Đỏ không mặc áo đỏ, không mặc áovàng nên bác Đỏ mặc áo xanh Ta ghi số 1 vào ô ở hàng 2, cột 3.

- Nhìn vào hàng 4, ta thấy bác mặc áo vàng không tên là Vàng, khôngtên là Đỏ nên người mặc áo Vàng tên là Xanh Ta ghi số 1 vào ô ở hàng

4, cột 2

- Nhìn vào hàng 2, ta thấy bác mặc áo xanh tên là Đỏ nên không thểtên là Vàng Ta ghi 0 vào ô ở hàng 2, cột 4

- Nhìn vào cột 4, ta thấy bác Vàng không mặc áo vàng, không mặc

áo xanh nên bác Vàng mặc áo đỏ Ta ghi 1 vào ô ở hàng 3, cột 4

Kết luận: Bác Xanh mặc áo vàng, bác Đỏ mặc áo xanh, bác Vàng mặc

áo đỏ

Ví dụ 2.3

Trong dịp tổng kết học kì 1, cô giáo có bốn phần thưởng là vở, bút,thước kẻ, nhãn vở được gói trong bốn hộp quà màu xanh, đỏ, vàng, hồng

Ba bạn Hoa, Nhi, Kiên giúp cô mang phần thưởng vào lớp Trên đường

đi, các bạn lần lượt đoán trong mỗi hộp chứa phần quà gì

Hoa nói: " Hộp màu xanh chứa vở, hộp màu đỏ chứa nhãn vở, hộpmàu vàng chứa bút, hộp màu hồng chứa thước kẻ"

Nhi đoán: " Hộp màu xanh chứa bút, hộp màu đỏ chứa thước kẻ, hộpmàu vàng chứa nhãn vở, hộp màu hồng chứa vở"

Kiên đoán tiếp: " Hộp màu xanh chứa nhãn vở, hộp màu đỏ chứa vở,hộp màu vàng chứa thước kẻ, hộp màu hồng chứa bút"

Nghe xong cô giáo lắc đầu bảo cả ba bạn đều không đoán đúng hộpnào

Bạn hãy cho biết trong mỗi hộp chứa quà gì?

Lời giải

Dựa vào đề bài, ta thiết lập bảng và ghi vào bảng theo lập luận sau:

- Vì Hoa không đoán đúng hộp nào nên hộp màu không xanh chứa

vở, hộp màu đỏ không chứa nhãn vở, hộp màu vàng không chứa bút,hộp màu hồng không chứa thước kẻ Ta ghi số 0 vào các ô tương ứng

- Vì Nhi không đoán đúng hộp nào nên hộp màu xanh không chứabút, hộp màu đỏ không chứa thước kẻ, hộp màu vàng không chứa nhãn

vở, hộp màu hồng không chứa vở Ta ghi số 0 vào các ô tương ứng

Vì Kiên không đoán đúng hộp nào nên hộp màu xanh không chứanhãn vở, hộp màu đỏ chứa không vở, hộp màu vàng không chứa thước

kẻ, hộp màu hồng không chứa bút Ta ghi số 0 vào các ô tương ứng

Anh trả lời: " Mình và Chi không đạt điểm 6, Dũng không đạt điểm

5, Bình và Giang không đạt điểm 8"

Bình nói: " Anh không đạt điểm 9, mình không đạt điểm 7, Chi khôngđạt điểm 5, Dũng và Giang không đạt điểm 6"

Chi cười bảo: " Mình, Anh và Giang không đạt điểm 7,Dũng và Bìnhkhông đạt điểm 9"

Dũng nói tiếp: " Anh và Giang không đạt điểm 5, mình và Chi khôngđạt điểm 8, Bình không đạt điểm 5 và 6"

Cuối cùng, Giang nói: "Mình và Chi không đạt điểm 9, Dũng khôngđạt điểm 7, Anh không đạt điểm 8 Còn điểm của Bình thì mình khôngbiết".

Sau một hồi suy nghĩ, bạn lớp trưởng vẫn không biết được mỗi bạnđược bao nhiêu điểm

Em hãy giúp bạn lớp trưởng tìm ra số điểm của Anh, Bình, Chi,Dũng, Giang

Lời giải

Dựa vào đề bài, ta thiết lập bảng và ghi vào bảng theo lập luận sau:

- Theo lời của Anh thì Anh và Chi không đạt điểm 6, Dũng khôngđạt điểm 5, Bình và Giang không đạt điểm 8 nên ta ghi số 0 vào các ôtương ứng

- Làm tương tự với câu trả lời của Bình, Chi, Dũng, Giang

Anh Bình Chi Dũng Giang

- Nhìn vào bảng, ta thấy cả năm bạn đều đạt điểm 10

Kết luận: Anh, Bình, Chi, Dũng, Giang đạt điểm 10

Ví dụ 2.5

Tại một buổi tập huấn, năm thầy giáo tên là Toán, Lí, Hóa, Sinh,Anh ngồi cạnh nhau Năm thầy dạy năm môn khác nhau trùng với têncủa năm người đó nhưng không ai có tên trùng với môn mình dạy Thầydạy Toán lấy em gái thầy Toán tên của thầy dạy Toán trùng với mônanh vợ mình dạy và vợ thầy chỉ có hai anh em Thầy Sinh không dạymôn Anh mà lại là em rể của thầy dạy Hóa Thầy dạy Anh và thầy Toán