Phân loại các hệ phương trình trong toán học phổ thông

TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN Đ I H C QU C GIA HÀ N I LU N VĂN TH C SĨ "PHÂN LO I CÁC H PHƯƠNG TRÌNH TRONG TOÁN H C PH THÔNG" H C VIÊN: LÊ VĂN LƯU CHUYÊN NGÀNH: Phương pháp toán sơ c p MÃ S : 60460113 CÁN B HƯ NG D N: PGS TS Nguy n Minh Tu n HÀ N I - 2015 L i c m ơn Lu n văn đư c hoàn thành dư i s ch b o hư ng d n c a PGS TS Nguy n Minh Tu n Th y dành nhi u th i gian hư ng d n gi i đáp th c m c c a su t trình làm lu n văn T t n đáy lòng em xin c m bày t s bi t ơn sâu s c đ n th y Tôi xin g i l i c m ơn chân thành t i: th y cô khoa Toán-Cơ-Tin h c; Phòng sau đ i h c Trư ng Đ i H c Khoa H c T Nhiên, Đ i H c Qu c Gia Hà N i; Các th y cô giáo tham gia gi ng d y khóa cao h c chuyên ngành phương pháp toán c p khóa 2013-2015; Ban giám hi u đ ng nghi p trư ng THPT Nguy n Siêu Hưng Yên t o u ki n thu n l i cho hoàn thành lu n văn c a M c dù c g ng r t nhi u r t nghiêm túc trình tìm tòi, nghiên c u th i gian trình đ h n ch nên nh ng n i d ng đư c trình bày lu n văn r t khiêm t n không tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y tác gi r t mong nh n đư c s đóng góp c a quý th y cô b n đ ng nghi p đ lu n văn đư c hoàn thi n Hà N i, tháng năm 2015 Tác gi Lê Văn Lưu i M cl c M đu Phương trình đ i s b c ba b n 1.1 Phương trình đ i s b c ba 41.2 Phương 81.2.2 81.2.3 91.2.4 10 11 trình đ i s b c b n 1.2.1 Phương trình d ng (x − a)4 + (x − b)4 = c Phương trình d ng Phương trình v i h s ph n h i Phương trình d ng t4 = αt2 + βt + λ 1.2.5 Phương trình d ng ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = , a = H phương trình thư ng g p 2.1 H phương trình b c nh t hai n 2.2 H phương trình đ i x ng 2.2.1 H phương trình đ i x ng lo i m t 2.2.2 H phương trình đ i x ng lo i hai 2.3 H phương trình đ ng c p 2.3.1 H phương trình ch a m t phương trình đ ng c p 2.3.2 H phương trình đ ng c p 2.4 H phương trình b c hai t ng quát 2.5 H phương trình b c cao nhi u n s 2.5.1 H phương trình hoán v vòng quanh 2.5.2 H phương trình b c cao nhi u n s 2.6 H phương trình ch a căn, h phương trình mũ logarit 2.6.1 H phương trình ch a 2.6.2 H phương trình mũ logarit H phương trình không m u m c 3.1 Phương pháp bi n đ i tương đương 3.1.1 Phương pháp c ng 3.1.2 Phương pháp th 3.1.3 Phương pháp phân tích thành nhân t 12 12 15 15 31 41 41 43 51 58 58 67 73 73 79 83 88 89 94 97 ii M CL C M CL C 3.2 Phương pháp đ t n ph 102 3.3 Phương pháp hàm s 107 3.4 Phương pháp đánh giá 112 K t lu n 117 Tài li u tham kh o 118 iii M đu H phương trình m t nh ng n i dung tr ng tâm, ph bi n có v trí đ c bi t quan tr ng chương trình toán h c ph thông Nó xu t hi n nhi u kỳ thi h c sinh gi i kỳ thi n sinh vào đ i h c cao đ ng H c sinh ph i đ i m t v i r t nhi u nh ng d ng toán v h phương trình mà vi c phân lo i chúng chưa đư c li t kê đ y đ sách giáo khoa Đó h phương trình b c nh t, h phương trình đ i x ng lo i m t, h phương trình đ i x ng lo i hai, h phương trình đ ng c p, h phương trình b c hai t ng quát, Vi c phân lo i h phương trình vi c tìm l i gi i h vi c xây d ng h ni m đam mê c a không ngư i, đ c bi t nh ng ngư i tr c ti p gi ng d y Chính v y đ đáp ng nhu c u gi ng d y h c t p, tác gi ch n đ tài "Phân lo i h phương trình toán h c ph thông" làm đ tài nghiên c u c a lu n văn Đ tài nh m m t ph n đáp ng mong mu n c a b n thân v m t đ tài phù h p mà sau có th ph c v thi t th c cho vi c gi ng d y c a nhà trư ng ph thông Lu n văn đ c p đ n vi c phân lo i h phương trình chương trình toán ph thông, t giúp h c sinh có cách nhìn nh n sâu s c v toán liên quan đ n h phương trình Lu n văn đư c chia thành ba chương Chương đ c p đ n hương trình b c ba phương trình b c b n Chương phân lo i có h th ng m t s h phương trình thư ng g p Chương nêu m t s phương pháp gi i n hình cho h phương trình không m u m c Hy v ng s m t tài li u h u ích gi ng d y h c t p c a th y, cô em h c sinh Chương Phương trình đ i s b c ba b n Chương ta s nêu cách gi i cho phương trình b c ba phương trình b c b n t ng quát 1.1 Phương trình đ i s b c ba Trong ph n ta s nêu phương pháp gi i phương trình b c ba v i h s th c tùy ý: ax3 + bx2 + cx + d = 0, a = Bài toán 1.1 Gi i phương trình (1.1) bi t m t nghi m: x = x0 L i gi i Theo gi thi t ax3 + bx2 + cx0 + d = 0 Phương trình (1.1) tương đương v i phương trình sau ax3 + bx2 + cx + d = ax3 + bx2 + cx0 + d; 0 a x3 − x3 + b x2 − x2 + c (x − x0) = 0; 0 (x − x0)(ax2 + (ax0 + b)x + ax2 + bx0 + c) = 0 Xét ∆ = (ax0 + b)2 − 4a ax2 + bx0 + c 1) N u ∆ < phương trình (1) có nghi m nh t x = x0 (1.1) Phương trình đ i s b c ba b n 2) N u ∆ ≥ phương trình có nghi m √ √ ∆, x = −(ax0 + b) − 2a x1 = x0, x2 = −(ax0 + a) + b ∆ Nh n xét 1.1 1) N u x0 nghi m c a (1.1) u ki n c n đ đ (1.1) có ba nghi m phân bi t là: ax2 + (ax0 + b)x0 + ax2 + bx0 + c = 0 ∆ > 2) N u x0 nghi m c a (1.1) có th phân tích ax3 + bx2 + cx + d = f (x) (x − x0) , f (x) tam th c b c hai 3) N u x1, x2, x3 nghi m c a (1.1) ax3 + bx2 + cx + d = a (x − x1) (x − x2) (x − x3) , công th c Viét x1 + x2 + x3 = − b , x1x2 + x2x3 + x3x1 = c , x1x2x3 = − d a a a Bài toán 1.2 Gi i phương trình 4x3 − 3x = m v i |m| ≤ L i gi i Đ t m = cosα = cos (α ± 2π) Khi = 4cos3 α − cos α cosα = cos 3.α 3 α Do v y phương trình có ba nghi m: x1 = cos , x2 = cos Bài toán 1.3 a) Đ t x = a+ a α π +2 , x3 = cos α π −32 , a = Ch ng minh đ ng th c 4x3 − 3x = a3 + a13 b) Gi i phương trình 4x3 − 3x = m v i |m| > L i gi i a) Ta có x = (a + ) hay a2 − 2ax + = v i a = x ± x2 − a Phương trình đ i s b c ba b n √ Đ t a = x + x2 − x = 1(a + ) x3 = 1(a3 + 3a + + a13 ) Suy a a 4x3 − 3x = 1(a3 + 3a + + a13 ) − (a + ) = (a3 + a13 ) a a b) Ta ch ng minh phương trình có nghi m nh t Th t v y, phương trình nghi m x0 ∈ [−1; 1] n u x0 ∈ [−1; 1] đ t x0 = cosϕ suy 4x3 − 3x = 4cos3ϕ − cos ϕ = |cos3ϕ| ≤ < |m| Gi s phương trình có nghi m x1, |x1| > 1, 4x3 − 3x1 = m Khi 4x3 − 3x = 4x3 − 3x1; (x − x1) 4x2 + 4xx1 + 4x2 − = Ta có ∆ = 4x2 − 4x2 − = 12 − 12x2 < 1 V y x = x1 nghi m nh t Đ t m = a3 + a3 , a3 = m ± √ m2 − Khi phương trình có nghi m nh t x= m − 1+ m+ m− m2 − Bài toán 1.4 Gi i phương trình: 4x3 + 3x = m L i gi i Nh n xét r ng x = x0 nghi m c a phương trình nghi m nh t Th t v y, xét x > x0, 4x3 + 3x > 4x3 + 3x1 = m Tương t , v i x < x0 4x3 + 3x < 4x3 + 3x1 = m 1 a− Đ tx= , a = Khi d dàng ki m tra đ ng th c a 4x3 + 3x = a3 − a13 Suy cách gi i phương trình, đ t m2 + m = a − a13 , a = m ± Khi phương trình có nghi m nh t x= m+ m 2 + 1+ H phương trình không m u m c C ng theo v hai phương trình c a h phương trình (1) ta đư c (x − y)3 + 2(x − y) = (y + 1)3 + 2(y + 1) Xét hàm s f (y) = t3 + 2t, f (t) = 3t2 + > v i m i t ∈ R (3.9) nên hàm s f(t) đ ng bi n R phư ơng trình (3.9) tươn g đươ ng v i f(x − y) = f (y + 1) hay x= 2y + Th vào phư ơng trình mt ca h phư ơng trình (1) X é t ta đư c 6y3 + 12y2 + 3y = Gi i phương trình tìm đư c y = 0; y= −2− √ ; y= √ −2+ √ √ √ h m s −2−√2 V y h phương trình có nghi m (x; y) = (1; 0), (−1 − 2; ), (−1 + 2; − 2+ ) Bài toán 3.22 Gi i h phương trình √ √ √ x + + x + = (y3 + 1) y − 1+8 (x − 1)3 + 3y3 + √y + = x f ( x ) = x + 8y − Phân tích Phương trình hai c a h có th tách r i hai bi n nên ta nghĩ đ n phương pháp hàm s T phương trình m t c a h ta suy u ki n c a hai n x y x + L i gi i Đi u ki n: x ≥ −2, y ≥ Bi n đ i phương trình m t c a h phương trình cho tr x thành v √ i x √ ( x + − 2) + 2( x + − 3) = (y3 + 1) ≥ y − 1; (x − 2)(√ ≥ 0; x ≥ 2 ) = (y3 + 1) +√ y− x+2+2 T a Bi n đ i phương trình hai c a h phương trình c ó x+7+3 cho thành 3 x − 3x + 2x + 3y − 8y + √y + = f ( x ) = 3x2 − 6x + > v i m i x ≥ 10 H phương trình không m u m c Hàm s f(x) đ ng bi n kho ng [2; ∞) min) f(x) = f(2) = [2;∞ Xét g(y) = 3y3 − 8y + √y + v i y ≥ Ta có g (y) = 9y − + 2√y > v i m i y ≥ Hàm s g(y) đ ng bi n kho ng [1; ∞) nên min) g(y) = g(1) = [1;∞ Tóm l i f(x) + g(y) ≥ min(f(x)) + min(g(y)) = D u b ng x y x = 2; y = Th l i ta th y (x; y) = (2; 1) th a mãn h V y h phương trình có nghi m (x; y) = (2; 1) Bài toán 3.23 (ĐH kh i A.2010)Gi i h phương trình √ (4x2 + 1)x +√y − 3) − 2y = ( 4x2 + y2 + − 4x = L i gi i Đi u ki n x ≤ 3, y ≤ Bi n đ i phương trình m t c a h phương trình cho tr thành (4x2 + 1)x + −(5 −2 y) − − 2y = 0; − 2y (4x2 + 1)2x = ((5 − 2y) + 1) Xét hàm s f(t) = t(t2 + 1) R, đ o hàm f (t) = 3t2 + > v i m i t ∈ R Suy f(t) đ ng bi n R nên phương trình (1) tương đương v i f (2x) = f ( − 2y) Hay 2x = T ta có − 2y x≥0 y = 5−24x 5−4x2 Th y = vào phương trình hai c a h phương trình cho ta đư c − 4x2 )2 + 2√3 − 4x = f ( x) = +( x 111 (1) H phương trình không m u m c √ Xét hàm s f(x) = 4x2 + (5−24x2 ) + − 4x kho ng [0; 3] Ta có f (x) = −4x(3 + 4x2) − √ < v i m i x ∈ [0; ] − 4x 1 nên hàm s f(x) đ ng bi n kho ng [0; ] M t khác f( ) = nên x = nghi m nh t c a phương trình f(x) = V y h phương trình có nghi m (x; y) = (1; 2) 3.4 Phương pháp đánh giá Phương trình, h phương trình b t đ ng th c có m i liên h ch t ch v i Ch ng h n ch ng minh m t b t đ ng th c ta c n d đoán d u b ng x y nào, u d n t i vi c tìm m t nghi m c a phương trình, h phương trình Nhi u toán v h phương trình, phương trình l i s che d u m t b t đ ng th c D u hi u nh n d ng toán s phương trình s n, phương trình r t ph c t p, không m u m c, mang bóng dáng b t đ ng th c M t u c n lưu y đ i v i phương pháp đoán đư c nghi m s góp ph n r t l n vào thành công c a l i gi i Các b t đ ng th c đư c áp d ng có th AMGM, Cauchy-Schwarz, b t đ ng th c hình h c, Bài toán 3.24 (Olympic Balan 1997-1998) Gi i h phương trình 3(x2 + y2 + z2) = x2y2 + y2z2 + z2x2 = xyz(x + y + z)3 Phân tích H phương trình có s n nhi u s phương trình nên ta nghĩ đ n phương pháp đánh giá L i gi i Ta có x; y; z ho c (x + y + z) không th b ng T phương trình hai c a h phương trình cho suy xyz(x + y + z) = x y + y z + z x ≥ 22 112 22 (x + y + z)2 22 H phương trình không m u m c V i ba s th c a; b; c theo b t đ ng th c Cauchy-Schwarz ta có 3(a2 + b2 + c2) ≥ (ab + bc + ac)2 T hai phương trình c a h phương trình cho áp d ng b t đ ng th c AM-GM ta có = 3(x2 + y2 + z2) ≥ (x + y + z)2 = x y z+xy+zy + zz)x ≥ xyxyz(x + z + xyz = 22 22 + 22 z + x2 y y + z) xy ( D u b ng x y ch x = y = z T ta tìm đư c x = y = z = x = y = z = −1 V y h phương trình có nghi m (x; y; z) = (1; 1; 1), (−1; −1; −1) 333 3 Bài toán 3.25 (Olympic 30/04/2014) (Xem [7]) Gi i h phương trình √ 5x2 + 2xy + 2y32 + 2x2 + 2xy + 5y2 = 3(x + y) √ 2x + y + + 7x + 12y + = 2xy + y + L i gi i T phương trình m t c a h phương trình cho suy x + y ≥ 5x2 + 2xy + 2y2 + 2x2 + 2xy + 5y2 = (2x + y)2 + (x − y)2 + ≥ (2x + y)2 + (x + 2y)2 + (x − y)2 (x + 2y)2 = |2x + y| + |x + 2y| ≥ 3(x + y) D u b ng x y ch x = y ≥ Th y = x vào phương trình hai c a h phương trình cho ta đư c √ 3x + + 19x + = 2x2 + x + 5; √ √ ( 3x + − x − 1) + 2[ 19x + − x − 2] = 2x2 − 2x; + −2(x3 + 6x2 − 7x) √ −x + x √ 3x + + x + x2 − x √ 3x + + x + + 3x + + x + + 2(x2 − x) = 0; 2(x + 7) (x2 − x)(√ = 2x2 − 2x; √ (19 + 8x)2 + (x + 2) 19 + 8x + (x + 2)2 2(x2 − x)(x + 7) √ (19 + 8x)2 + (x + 2) 19 + 8x + (x + 2)2 + (19 + 8x) + (x + 2)√19 + 8x + (x + 2)2 + 2) = H phương trình không m u m c Vì x ≥ nên ta tìm đư c x = x = V y h phương trình có nghi m (x; y) = (0; 0), (1; 1) Bài toán 3.26 (VMO 2009) Gi i h phương trình √2 1+2xy + √1+2y2 = √1 1+2x y(1 − 2y) = x(1 − 2x) + Phân tích T phương trình m t c a h phương trình ta liên h v i b t đ ng th c sau √ 2+ + 2x ≤√ + 2y + 2xy L i gi i Đi u ki n: ≤ x; y ≤ V i u ki n ta có b t đ ng th c ≤√ √ 2+ + 2x + 2y (*) + 2xy D u b ng x y ch x = y Ch ng minh Theo b t đ ng th c Cauchy-Schwarz, ta có √ 2+ + 2x + 2y 1 + 2x + + 2y ≤2 D u b ng x y ch √ 2= + 2x 1 + 2y Hay x = y Ta l i có 1 2(x − y)2(2xy − 1) + 2x + + 2y2 − + 2xy = (1 + 2x2)(1 + 2y2)(1 + 2xy) ≤ ( ≤ xy ≤ ) D u b ng x y ch x = y V y b t đ ng th c (*) đư c ch ng minh Phương trình m t c a h phương trình cho tương đương d u b ng x y (*) hay x = y Thay vào phương trình hai c a h phương trình cho ta đư c x(1 − 2x) = ; 162x − 81x + = 114 H phương trình không m u m c √ 81± 5913 2.162 Gi i phương trình đư c x = √ = V y h phương trình có nghi m (x; y) = 73 √ √ √ 36 √ (9+3673; 9+3673), (9−3673; 9−3673) 9± Bài toán 3.27 (VMO 2013) Gi i h phương trình 20y x+y  sin  2x + sin 12x + cos2y + cos12y =  sin2y + sin2y cos2x + + cos2x 20x x+ y = Phân tích Hình th c h cho th cách ti p c n t t nh t dùng đánh giá c th ta dùng b t đ ng th c đ s lý h L i gi i Đi u ki n: sinx.cosx.siny.cosy = Nhân theo v hai phương trình c a h phương trình cho, ta thu đư c ( sin2 x + cos y + cos y )( 1+ sin2 x sin2 y + = 20 xy (x + y)2 1+ sin2 y cos2 x + cos12 x ) (3.10) Theo b t đ ng th c Cauchy-Schwarz AM-GM, ta có sin2x sin2x + 2 cos x + cos x ≥ |sin x cos x| + |sin x1cos x| |sin 2x| + |sin 2x| + |sin 2x| = ≥ 1+ 2 = 25 Tương t ta có cos y + cos y sin2y + 2 sin y ≥ 25 Do theo b t đ ng th c AM-GM V T (3.10) ≥ 4 sin2x + ≥44 cos x + cos x 2 sin x 25 = 10 ≥ 20 115 xy (x + y)2 sin2y + sin y = V P (3.10) cos y + cos y 2 H phương trình không m u m c Đ ng th c x y ch sin2x = 1; x = y hay x = y = Th l i ta th y r ng x = y = π π π + k , ta có sin2x = cos2 x = sin2y = cos2 y = 1, x x y = x + y = y + Khi c hai v c a m i phương trình h cho đ u b ng V yx=y= π π + k , k ∈ Z 2 √ 10 π + k , k ∈ Z t t c nghi m c a h phương trình cho Bài toán 3.28 (HSG Bình Đ nh 2010-1011) Gi i h phương trình x6 + y8 + z10 ≤ x2007 + y2009 + z2011 ≥ Phân tích T h phương trình ta liên h đ n b t đ ng th c x6(1 − x2001) + y8(1 − y2001) + z10(1 − z2001) ≤ mà d dàng nh n −1 ≤ x; y; z ≤ t phương trình m t c a h ta s d ng phương pháp đánh giá đ gi i h L i gi i T phương trình m t c a h phương trình cho ta có −1 ≤ x; y; z ≤ K t h p hai phương trình c a h phương trình cho suy x2007 + y2009 + z2011 ≥ x6 + y8 + z10; x6(1 − x2001) + y8(1 − y2001) + z10(1 − z2001) ≤ T u ki n −1 ≤ x; y; z ≤ 1, ta d dàng th y r ng x6(1 − x2001) ≥ 0; y8(1 − y2001) ≥ 0; z10(1 − z2001) ≥ Do ph i có đ ng th c x y (1), t c x6(1 − x2001) = y8(1 − y2001) = z10(1 − z2001) = Gi i h phương trình k t h p v i u ki n x6 + y8 + z10 ≤ 1, ta có nghi m c a h phương trình cho (x; y; z) = (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1) 116 (1) K t lu n Ki n th c v phương trình h phương trinh đ i s đư c r t nhi u ngư i nghiên c a sáng t o Các toán liên quan đ n phương trình h phương trình r t đa d ng vô phong phú Lu n văn "Phân lo i h phương trình toán h c ph thông" gi i quy t đư c nh ng v n đ sau: Trình bày đư c phương pháp gi i cho phương trình đ i s b c ba phương trình đ i s b c b n t ng quát H th ng m t s h phương trình thư ng g p phương pháp gi i cho t ng h Đó h phương trình: h phương trình bâc nh t hai n, h phương trình đ i x ng lo i m t, h phương trình đ i x ng lo i hai, h phương trình đ ng c p, h phương trình b c hai t ng quát, h phương trình hoán v vòng quanh-h phương trình b c cao nhi u n s , h phương trình ch a h phương trình mũ logarit Trình bày m t s phương pháp thông d ng nh t đ gi i h phương trình không m u m c Đó phương pháp bi n đ i tương đương, phương pháp đ t n ph , phương pháp hàm s , phương pháp đánh giá 117 Tài li u tham kh o [1] N T Chung (2014), Sáng t o gi i phương trình, h phương trình, b t phương trình , NXB TP.H Chí Minh [2] N V Lương, P V Hùng, N N Th ng (2008), H phương trình phương trình ch a th c, NXB ĐHQGHN [3] Nguy n Văn M u (1996), Phương pháp gi i phương trình b t phương trình, NXB Giáo D c [4] Đ ng Thành Nam (2014), K thu t gi i nhanh h phương trình, NXB ĐHQGHN [5] Đ ng Hùng Th ng (1998), Phương trình, b t phương trình h phương trình NXB Giáo D c [6] T p chí toán h c tu i tr [7] Tuy n t p đ thi Olympic 30/04/2014, NXB ĐHQGHN 118 ... Chương Phương trình đ i s b c ba b n Chương ta s nêu cách gi i cho phương trình b c ba phương trình b c b n t ng quát 1.1 Phương trình đ i s b c ba Trong ph n ta s nêu phương pháp gi i phương trình. .. toán v h phương trình mà vi c phân lo i chúng chưa đư c li t kê đ y đ sách giáo khoa Đó h phương trình b c nh t, h phương trình đ i x ng lo i m t, h phương trình đ i x ng lo i hai, h phương trình. .. c a nhà trư ng ph thông Lu n văn đ c p đ n vi c phân lo i h phương trình chương trình toán ph thông, t giúp h c sinh có cách nhìn nh n sâu s c v toán liên quan đ n h phương trình Lu n văn đư