Luận văn thạc sĩ ước lượng gradient cho phương trình khuếch tán phi tuyến trên đa tạp riemann

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ NÔI TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ĐŐ TH± HANH ƯéC LƯeNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUECH TÁN PHI TUYEN TRÊN ĐA TAP RIEMANN Chun ngành : TỐN GIAI TÍCH Mã so: 60 46 01 02 LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC Ngưài hưáng dan: TS NGUYEN THAC DŨNG Hà N®i - 2014 Lài cám ơn Tác gia xin bày to lòng biet ơn chân thành sâu sac cna tói TS Nguyen Thac Dũng, ngưịi t¾n tình giúp đõ chi bao tơi suot q trình hồn thành lu¾n văn thac sy Qua xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna thay giáo, cô giáo b® mơn Tốn giai tích, trưịng Đai HQc Khoa HQc tn nhiên - Đai HQ c quoc gia Hà N®i, nhung ngưịi giúp đõ tơi suot q trình HQc t¾p nghiên cúu tai trưịng Tác gia xin gui lịi cám ơn chân thành tói Ban Giám hi¾u, Phịng Đào tao sau đai HQc, Ban Chn nhi¾m khoa Tốn - Cơ - Tin HQc trưịng Đai HQc Khoa HQc tn nhiên - Đai HQc quoc gia H Nđi ó tao ieu kiắn cho tụi quỏ trình HQc t¾p Cuoi tơi xin gui lịi cám ơn đen gia đình, ban bè, nhung ngưịi ln bên tơi, đ®ng viên khuyen khích tơi q trình thnc hi¾n lu¾n văn cna Do mói làm quen vói cơng tác nghiên cúu khoa HQc cịn han che ve thịi gian thnc hi¾n nên lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung thieu sót Tác gia kính mong nh¾n đưoc ý kien đóng góp cna thay ban đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Hà N®i, năm 2014 Mnc lnc Ma đau TOÁN TU LAPLACE TRÊN ĐA TAP RIEMANN 1.1 Đa tap Riemann 1.1.1 Toán tu Laplace đa tap Riemann 1.1.2 Liên thông Levi - Civita đa tap Riemann 14 1.1.3 Tensor đ® cong, đ® cong Ricci 17 ƯéC LƯeNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUECH TÁN PHI TUYEN TRÊN ĐA TAP RIEMANN 21 2.1 Ưóc lưong Gradient cho phương trình Schrodinger vói hàm the v% h(x, t) 21 2.2 M®t vài úng dung 36 Ket lu¾n 40 Tài li¾u tham khao 40 Ma đau Trong hình HQc vi phân, vi¾c nghiên cúu hàm đieu hịa đóng vai trị quan TRQNG boi khơng gian hàm đieu hịa có liên h¾ ch¾t che tói hình HQc, topo cna đa tap Cỏc hm ieu hũa l nghiắm cna mđt phng trình elliptic ∆u = Nhị vi¾c nghiên cúu khơng gian hàm đieu hòa, ngưòi ta thay đưoc vai trị cna giai tích đa tap tốn quan TRQNG liên quan đen topo, hình HQc Chính v¾y, khơng gian hàm đieu hịa đưoc sn quan tâm nghiên cúu cna nhieu nhà Tốn HQc lón Chang han, năm 1975, Cheng Yau thu đưoc ưóc lưong gradient cho hàm đieu hịa (Xem tài li¾u [8]) Nhị ưóc lưong gradient ngưịi ta chúng minh đưoc tính chat Liouville, bat thúc Harnack cho hàm đieu hịa Bên canh vi¾c nghiên cúu phương trình elliptic, ngưòi ta phát trien nghiên cúu phương trình parabolic đa tap Phương pháp parabolic to đ¾c bi¾t huu dung vi¾c chúng minh tính chat ban cna hàm đieu hịa Trong tài li¾u [4], đoi vói phương trình nhi¾t parabolic ut = ∆u, (e chi so t bên dưói chi ký hi¾u cna phép lay vi phân riêng theo t, ∆ toán tu Laplace đa tap M ), Li Yau thu đưoc ưóc lưong gradient sau Đ%nh lý 0.1 (Li - Yau) Cho M m®t đa tap đay n chieu vái đ® cong Ricci b% ch¾n dưái bái −K, K “ Gia su u l mđt nghiắm dng bat k cua phng trỡnh ut = ∆u B(x0, 2R) × [t0 − 2T, t0], vái ∀α > 1, ta có |∇u|2 ut C nα nα2 u2 −α u ™ R2 2T +√ K, 2(α − 1) (1) B(x0, 2R) × [t0 − 2T, t0] ∇ toán tu gradient M hang so dương C chs phn thuđc vo so chieu n Mắt khỏc, ke tự sau nghiên cúu cna Perelman ve gradient Ricci soliton đe chúng minh gia thuyet Poincare, ngưịi ta đ¾c bi¾t quan tâm đen không gian đo metric trơn Không gian đo metric trơn m®t đa tap Riemann (M, g) vói m®t hàm TRQNG trơn φ cho metric eφ dv metric đay e dv dang the tích sinh boi metric g ban đau Các gradient Ricci soliton trưịng hop đ¾c bi¾t cna khơng gian đ® đo metric trơn Tốn tu Laplace đưoc mo r®ng m®t cách tn nhiên lên khơng gian thành tốn tu ∆u + (∇φ, ∇u) đ® cong Ricci đưoc thay the boi đ® cong Bakry-Émery m chieu sau R˜ic := Ric φ− ∇φ ⊗ ∇φ, m ≥ n, − ∇2 m−n m = n neu chi neu φ = Năm 2005, Li Xiangdong [9] nghiên cúu phương trình nhi¾t tőng quát không gian đo metric trơn mo r®ng ket qua cna Li-Yau lên khơng gian Li xét phương trình nhi¾t ut = ∆u + (∇φ, ∇u) Gia thiet rang đ® cong Bakry-Émery m chieu b% ch¾n dưói boi ˜ “ −K, Ric X D Li thu đưoc ưóc lưong gradient sau |∇u|2 ut C m2 α mα2 u2 −α u ™ R2 + 2T +√ K 2(α − 1) (2) Bang cách su dung (2), ngưịi ta nh¾n đưoc bat thúc Harnack dưói Σ( nα ) ex Σ u(x , t ) ™ u(x , t nα t α (x p 1, 1 , +√ (t − ρ4( x K ) 21 − 22 )t1) 2(α − 1) t2) t trac t đ%a giua x1 x2, < t1 < t2 vói ∀x1, x2 ∈ M , ρ(x1, x2) chi khoang cách < +∞ Lưu ý rang tù dang cna bat thúc Harnack, ngưòi ta chi có the so sánh nghi¾m o thịi điem khác Tuy nhiên, tài li¾u [7], Hamilton thu đưoc ưóc lưong gradient dang elliptic đa tap compac Vói ưóc lưong đó, ta có the so sánh nghi¾m cna hai điem khác lúc Ưóc lưong gradient cna Hamilton đưoc phát bieu sau Đ%nh lý 0.2 (Hamilton) Cho M m®t đa tap compact khơng có biờn vỏi ieu kiắn đ cong Ricci b% chắn bỏi - K, K “ Gia su u nghi¾m dương bat kỳ cua phương trình ut = ∆u vái u ™ C ∀(x, t) ∈ M × (0, +∞) |∇u| ™ + C ln u u2 2KΣ t Sau đó, Souplet Zhang tőng qt hóa ưóc lưong gradient đa tap khơng compact (Xem tài li¾u [5]) sau (3) |∇w| = w2 |∇ϕ|2 = ϕ2 w | ∇ϕ| ϕ Tai (x0, t0), theo (2.11) ta có ϕQw + wQϕ + 2Γ(ϕ, w) = ϕQw + wQϕ + 2(∇ϕ, ∇w) = ϕ(∆w + (∇φ, ∇w)) + w(∆φ + (∇φ, ∇ϕ)) + 2(∇ϕ, ∇w) = [ϕ∆w + w∆ϕ + 2(∇ϕ, ∇w)] + ϕ(∇φ, ∇w) + w(∇φ, ∇ϕ) = ∆(ϕw) + (∇φ, ϕ∇w + w∇ϕ) = ∆(ϕw) + (∇φ, ∇(ϕw)) = ∆(ϕw) ™ V¾y, ta đưoc ϕQw + wQϕ + 2Γ(ϕ, w) ™ (2.14) Áp dung (2.8) vào ưóc lưong (2.14) o trên, tai (x0, t0) ta có √ ϕ ,−2Kw − |∇ −h|2 + 2(1 − f )w2 + 2f |∇w|w , + wQϕ + 2Γ(ϕ, w) ™ (2.15) ∇ϕ, − Tù (2.13), ta có Γ(ϕ, w) = (∇ϕ, ∇w) = Σ ∇ϕ ϕw w = − (∇ϕ, ∇ϕ) = − ϕ |∇ϕ| w ϕ Thay Γ(ϕ, w) = − Hay |∇ϕ| |∇ ϕ| w vào ưóc lưong (2.15) ta đưoc w |∇w| ϕ ϕ = Σ √ |∇ ϕ | |∇ϕ|2 2 + 2f w + wQϕ − w ™ ϕ + 2(1 − −h|−2Kw − |∇ f )w ϕ ϕ √ −2Kϕw − |∇ −h| ϕ + 2(1 − f )ϕw + 2f |∇ϕ|w + wQϕ − Ta có the viet lai bat thúc sau (−f )|∇ϕ|w1 Σ √ 2 −2Kϕw − | −h ϕ + 2(1 − f ∇ | )ϕw |∇ϕ|2 − )ϕ (1 − f ϕ w ™ |∇ϕ| w w ™ (1 − f )ϕ + wQϕ − ϕ (2.16) Vì f < 0, nên áp dung bat thúc 2ab ™ a2 + b2, ta đưoc f )|∇ϕ|w ™ w (1 − f )2ϕ2 −h ϕ+2(1−f ) −(1−f ) | ϕw ϕ |∇ϕ|2 Σ f 2|∇ϕ|2 −2Kϕw−| ∇ w + w2 f 2| ∇ϕ|2 (1 − f )ϕ √ Do (− +w Qϕ− (1 − f )2ϕ2 w+w w ™ ϕ V¾y, ta đưoc √ −2Kϕw − |∇ −h| f 2| ∇ϕ|2 ϕ + 2(1 − f − w − (1 )ϕw −f (1)ϕw − f )ϕ 2 |∇ϕ|2 + wQϕ − w ™ ϕ Hay √ −2Kϕw − |∇ 2 −h ϕ +)ϕw (1 − f | ∇ϕ| f |∇ϕ|2 w ™ ϕ | wQϕ − ϕ Nhân hai ve cna (2.17) vói ta đưoc −2Kϕ w ϕ Σ 1− f √ − ∇ | , (chú ý rang ™ ψ 1−f ™ 1, −h | ϕ f Σ 2 + − (ϕw) 1− f w (1 − f )2 ™ 1−f Σ wϕ f 2|∇ϕ| (1 − f )2 + 1− f (2.17) ™ 1) |∇ϕ|2w Q 2ϕ − 1−f (2.18) Ta có m®t so đánh giá sau ™ ϕ ™ T , th¾t v¾y Vì ™ ψ ™ ™ t ™ T nên ™ tψ ™ T mà ϕ = tψ ™ ϕ ™ T ™ ϕ − f ™ T , th¾t v¾y ϕ Vì ™ ϕ ™ T ™ ™ nên ™ ™T 1−f 1−f ϕ ™ ™T 1−f Vì T 0™ϕ™ , th¾t v¾y ϕ2 ™ 1−f ™ nên ™ 1−f ™T Áp dung đánh giá vào ưóc lưong (2.18), ta đưoc √ 2 f 2|∇ϕ|2w wϕ ™ |∇ϕ|2w −2KϕwT −| ∇ Do 2 −h| T + − (ϕw) f 2| Q Σϕ ∇ϕ| (ϕw) − f Mà 2KT + (1 − f )2ϕ (1 − f )ϕ 1−f ™ 1; (ϕw − ) 2|∇ϕ|2 − 1−f ) 1−f 1−f √ (ϕw) − | ∇ + ™ 2 ™ −h| T (2.19) ™ nên ta có 1− f +( (1 − f )2 Qϕ − 2KT + Hay √ −h 2T2 ™ | ϕ 3|∇ϕ| 2KT + 2 −h T ™ | (ϕw) − | ∇ − ϕ √ Σ 2 (ϕw) − | ∇ − Qϕ Σ ϕ + (ϕw − ) 2|∇ϕ|2 |∇ϕ| (2.20) Qϕ Đe tiep tuc đánh giá, ta ý rang áp dung (2.9) (2.10), ta có ket qua sau 3|∇ϕ| 3t2|∇ψ| = ϕ −Qϕ = −tLψ + ψ Do ™ R2 3TC (ϕw) − 2KT + Hay (ϕw Σ− ) T R R2 + R2 + ™ +1™ ∇ R 3TC2 R2 R2 mCKT T R + T + T + (2.21) R2 mC T 3C2 mC mCK + + 2+ R R2 R 2K + ™ mCKT Σ mC T ψ mC Kt + 3tC = ψt mCt 3t|∇ψ| T √ 2 (ϕw) − | −h| T √ (2.22) ™ 2 (2.23) −h T ™ | mCK √ 3C Σ 2T2 , ta Đ¾t X = ϕw; A = 2K mC + + + B = | −h + đưoc T R2 R2 R | ∇ Ve trái (2.23) = f (X) = X − XA − B (ϕw) − | ∇ Xét tam thúc f (X) = X − XA − B, có ∆ = A2 + 4B Đe f (X) ™ A− √ A2 + 4B V¾y tù ưóc lưong (2.23), ta có ™X™ A+ √ mCK + T R 3C2 mC mCK + + 2+ R R2 R ϕw ™ 2K + T Vì ψ = B(p, R) nên ta có 3C2 ϕw ™ T= (tψ)w = tw Σ 2K + Do R2 Σ R2 + ∇ R √ +| T −h|T √ + Σ + −h|2 T2 √ −h| T +| ∇ ∇ R mC mCK + √ + ∇ mCK + 3C2 w(x, T ) ™ 2K + mC B mC R2 + + R2 T vói ∀x ∈ B(p, R) ™ 3C2 ϕw ™ 2K + Hay √ 2 A + A2 + 4B −h|, +| T M¾t khác, w = |∇u| nên u2(1 − f )2 |∇u|2 2K + u2(1 − f )2 |∇u|2 mCK √ mC ™ Do 3C2 R2 + R2 + + R 3C2 mCK + 2+ R2 R mC ™ 2K + 2K + + t V¾y ta thu đưoc ưóc lưong gradient |∇ + |∇ −h| Σ √ u Vì T tùy ý, cho R→+ +∞, thay f = lnu,R ∇ta có T Σ √ |∇u|2 ™ u T −h | +| (1 − lnu) −h | (1 − f ) | √ √ ∇ u| ™ + 2K + |∇ −h| Σ (1 − lnu) u t Ta có đieu phai chúng minh Trong trưòng hop h hàm khơng âm, ta có ưóc lưong gradient sau Đ%nh lý 2.2 Cho M m®t đa tap đay n chieu, khụng compact, thúa ieu kiắn ve đ congl Ric “ −K, K “ Gia su h hàm the v% xác đ%nh M × (0, +∞) (h hàm C theo bien x), u l nghiắm dng bat k cua phng trỡnh Schrăodinger (2.1) vái u ™ C vái MQI (x, t) ∈ M × (0, +∞) Khi đó, neu h “ | ™ ∇u| |1 √ + 2K + 2h + 2ε + ∇h| 1 t Σ 1+ ln Σ C u Chúng minh L¾p lu¾n tương tn chúng minh cna đ%nh lý 2.1 trưóc bő đe 2.1 , ta có the coi u ≤ C = a2 Su dung bat thúc ab ™ εb 4ε + , ta có |∇h|w 21 ™ |∇h | 4ε Σ + εw Áp dung vào ưóc lưong (2.5) bő đe 2.3, ta đưoc Σ 2h |∇ Qw “ 2Kw h2 w − Hay − − | 1−f 2ε 2ε w2 1−f |∇h|2 2h Q w −2K − − w− + “ f )w− f ) 1−f 2(1 − 2ε(1 −f “ (−2K − 2h − 2ε) w + 2(1 − f )w2 + |∇h| 2f |∇w| − ε Thay |∇w| = + 2(1 f ) + 2f |∇w|w + 2εw Σ − + 2f |∇w|w w w |∇ϕ| vào ưóc lưong trên, ta đưoc ϕ Q w “ (−2K − 2h − 2ε) w |∇h| − ε | + 2(1 − f )w2 + 2f w ∇ϕ| (2.24) Các bưóc đánh giá tiep theo ta làm tương tn chúng minh cna đ%nh lý 2.1 M®t so bưóc trình bày rat rõ ràng chúng minh đ%nh lý 2.1 nên ta se không nhac lai o Áp dung (2.24) vào ưóc lưong (2.14), đong thòi thay Γ(ϕ, w) = |∇ ϕ| 2w, ta có ϕ − |∇h|2 + 2(1 − ε f )w ϕ (−2K − 2h − 2ε) w− Hay (−2K − 2h − 2ε) ϕw− |∇h| ϕ +2(1−f ) |∇ϕ|2 + wQϕ − w™ ϕ Σ (−f2 )|∇ϕ|w w (1 − w + wf2.)ϕ ™ +wQϕ−2 ∇ϕ| | w™ (1 − f )2ϕ2 ϕ f |∇ | − w− (1 − f )ϕ )ϕw ϕ +2(1 −f ) −f(1 ϕw ε |∇h| ϕ f 2| ∇ϕ|2 w (1 − f )ϕ (−2K− 2h− 2ε)ϕw− Σ (− f )|∇ϕ|w1 Do 2f ε ϕw2 −(1−f )ϕ Vì f < nên 2+ |∇ϕ| w | +w Q ϕ− ∇ϕ| 2 ϕ ™ Hay (−2K − 2h − 2ε)ϕw − 2 2 f | |∇ h ϕ |∇ ϕ | + (1 − f ) − ∇ϕ| w + wQϕ − ™ | ϕw ε (1 − f )ϕ ϕ ϕ Nhân hai ve cna ưóc lưong vói − f , ta đưoc |∇h|2 ϕ2 ϕ f 2| Qϕ 2|∇ϕ|2 (2K + 2h + 2ε) + − (ϕw − (ϕw) 1−f (1 −Σf )2ϕ ) − ∇ϕ|2 ™ ε + 1−f −ϕ f ϕ(1 − ff) 2 f Vì ™ ™ T, ™ ™ T, ™ ™ nên 1−f 1−f (1 − f )2 1−f (ϕw)2 − (2K + 2h + 2ε)T 3|∇ϕ| + ϕ Σ (ϕw) − 2 − Qϕ Áp dung (2.21) (2.22) vào ưóc lưong trên, ta đưoc 3TC mCT mCKT Σ |∇h| ε T ™ T |∇h|2 (ϕw) − (2K + 2h + 2ε)T + ™ Hay (ϕw − ) T + R2 + + R T (ϕw) − ε Σ (2K + 2h + 2ε) + Σ Đ¾t X = ϕw; A = T đưoc R2 3C2 mC mCK |∇h|2 + T ™ (2.25) (ϕw) + 2+ R ε R R − 3C mC mCK |∇h|2 2K + 2h + 2ε + R2 + R2 + R + B = T Ve trái (2.25) = f (X) = X − XA − B ε T , ta T Xét tam thúc f (X) = X − XA − B, có ∆ = A2 + 4B Đe f (X) ™ A− √ A2 + 4B ™X ™ V¾y tù ưóc lưong (2.25), ta có ϕw ™ T 2K + 2h + 2ε + A2 + 4B ™ 2A + √ B 3C2 mC + + K + R2 R2 mC R Vì ψ = B(p, R) nên ϕw = (tψ)w = tw ™T √ A+ Σ + |∇h|T ε 3C2 mC + Σ + 2+ R + |∇h|T K R R mC ε 2K + 2h + 2ε + 3C2+ mC+ Do mCK | T, vói ∀x ∈ B(p, R) R2 R2 + + ∇h| R T ε w(x, T ) ™ 2K + 2h + 2ε + |∇u|2 M¾t khác, w = u2(1 − f )2 nên |∇u|2 ™ u2(1 f )2 Do − 2K + + 2h + 2ε 3C2 mCK |∇h| mC R2 + R2 + + + R T |∇u|2 ™ 2K + 2h + u 2ε + ε2 3C2 mC + + R2 R2 mC K + Vì T tùy ý, cho R → +∞, thay f = lnu, ta có Σ ™ |∇ |∇u| h 2K + 2h + 2ε + +| t ε2 u2 |∇h| ε Σ (1 − f ) (1 − lnu) V¾y ta thu đưoc ưóc lưong gradient sau 1Σ √ | | 2K + 2h + 2ε + ™ + (1 − ∇u| t ∇h| Ta có đieu phai chúng minh 2.2 lnu) M®t vài Éng dnng Trong muc này, chúng tơi đưa m®t vài úng dung cna ưóc lưong gradient cho phương trình nhi¾t H¾ qua đau tiên cna ưóc lưong m®t ket qua dang Liouville H¾ qua 2.1 Cho (M, g) m®t đa tap Riemann vái˜Ric ≥ φ m®t hàm trơn M Neu u hàm φ - đieu hịa (túc u thóa mãn phương trình ∆u + (∇φ, ∇u) = 0), u b% ch¾n u ≡ const Chúng minh Gia su u hàm φ đieu hịa M , ta có the coi u, φ hàm xác đ%nh M ì R, u, đc lắp vúi t R Ta van dùng ký ˜ hi¾u Ric đe ký hiắu cho Ric trờn M ì R, boi cỏc tớnh tốn trong˜ [3], ta có Ric ≥ M × R Do ˜ v¾y, ta có the đ¾t K = đ%nh lý 2.1 M¾t khác, u l hm -ieu hũa, u đc lắp vúi t, nờn u l nghiắm cna phng trỡnh Schrăodinger (2.1) vúi h = Khi su dung ưóc lưong gradient đưoc chúng minh đ%nh lý 2.1 ta thu đưoc ưóc lưong gradient sau |∇u| u ™ 1 Σ (1 − lnu) t Cho t → ∞ |∇u| = 0, u ≡ const Ta có đieu phai chúng minh Chú ý rang, ta có the a mđt chỳng minh khỏc cna hắ qua bang cách su dung Đ%nh lý 2.2 sau Chúng minh L¾p lu¾n tương tn chúng minh cna h¾ qua 2.1, ta có ưóc lưong gradient |∇u| ™ u + t √ 2εΣ (1 − lnu) (2.26) Cho t → ∞ ta không thu đưoc trnc tiep ket qua u ≡ const tù ưóc lưong (2.26) o trên, nhiên, ta có |∇u| u √ ™ 2ε (1 − lnu) Cho ε → ta van thu đưoc |∇u| = nờn u = const Mđt hắ qua khỏc l úc lưong dang Harnack sau cho phương trình nhi¾t H¾ qua 2.2 Cho M m®t đa tap đay n chieu, khụng compact v thúa ieu kiắn đ cong l R˜ic “ −K; K “ Gia su hàm the v% h m®t hàm âm xác đ%nh √ M × (0, +∞) C theo bien x, |∇ −h| ™ C2 vái MQI hang so dương C2 , u nghi¾m dương bat kỳ cua phương trỡnh Schrăodinger (2.1) vỏi u vỏi MQI (x, t) ∈ M × (0, +∞) Khi đó, vái MQI x1 , x2 ∈ M ta có vái β = exp x1 x2 u(x2, t) ™ u(x1, t)βe1−β, , ) chs khoang cách trac đ%a giua Σ √ ρ x2 ρ Σ ρ = − − 2K + t2 √ C2 ρ(x1 Chúng minh GQI γ(s) đưòng trac đ%a cnc tieu giua x1 x2 , γ : [0, 1] → M, γ(0) = x2, γ(0) = x1 Ta có − f (x1, t) ln ln(1 = f (x − f (x2, t) − 1, t)) − ln(1 − f (x2 , t)) = ln (1 − f (γ(1), t)) − ln (1 − f (γ(0), t)) ∫ = dln(1 − f ∫1 (γ(s), t)) dln(1 f (γ(s), t)) ds = ds ds ∫− dln(1 − = lnu(γ(s), t)) ds Vì ta có dln(1 − lnu(γ(s), t)) |∇u| ™ |γ˙ | u(1 − lnu) ds Nên ∫ |∇u| ln − f (x1, t) |γ˙ | , t) 1−f2 u(1 − ds (x chúng minh o ln u) lý 2.1 Theo ưóc lưong gradient đ%nh √ | √ √ ∇ u| + 2K + |∇ −h| Σ (1 − lnu) ™ u t Vói gia thiet |∇ −h| ™ C2 ta đưoc ưóc lưong √ |∇u| ™ u Do + 2K + t √ C Σ (1 − lnu) √ √ |∇u| + 2K + C ™ u(1 − lnu) t Tù ta đưoc ∫ 1−f (x1, t) |∇u| √ ρ √ Σ V¾y ta suy ln ™ − f (x2, t) |γ˙ | ™ 1+ u(1 − lnu) t 38 2K + C2 ρ − f (x1, t) Đ¾t β = exp ta đưoc − f 2, ρ t) (x exp ™ √ √ + 2K + C Σ ρΣ t 2 ρ √ √ Σ − − 2K + C2 ρΣ thay f (x1, t) t2 = lnu(x1 − lnu(x1, t) ™β − lnu(x2, t) 39 , t); f , t) = (x2 lnu(x2 , t) Tù qua tính tốn trnc tiep, ta de dàng thu đưoc u(x2, t) ™ u(x1, t)βe1−β Ta có đieu phai chúng minh Ket luắn Nđi dung chớnh cna luắn trình bày lai ket qua cna báo [6] cna Ruan Qihua Các ket qua đưoc trình bày lai bao gom Đ%nh lý 2.1 ve ưóc long gradient cho phng trỡnh Schrăodinger (2.1) cựng cỏc hắ qua cna nó, H¾ qua 2.1 H¾ qua 2.2 Bên canh đó, bang cách su dung l¾p lu¾n cna tác gia, chúng tơi chúng minh m®t ket qua mói, đ%nh lý 2.2 Chúng tơi chi rang su dung đ%nh lý 2.2, van thu đưoc tính chat Liouville cna hàm φđieu hịa dưói Tài li¾u tham khao [1] D Bakry, M Emery, "Diffusion hypercontractives", Séminaíre de Probabiliés XIX, Lecture Notes in Math 1123(1985), pp.177-206 [2] E Calabi, "An extension of E.Hopf’s maximum principle with an application to Riemannian geometry", Duke Math.J 25(157)(1958), pp.45-46 [3] P Li, "Harmonic functions and applications to complete manifolds", Preprint (available on the author’s homepage) [4] P Li and S T Yau, "On the parabolic kernel of the Schrăodinger operator", Acta Math 156(1986), pp.153-201 [5] P Souplet and Qi S Zhang, "Sharp gradient estimate and Yau’s Liouville the- orem for the heat equation on noncompact manifolds", Bull London Math Soc 38(2006), pp.1045-1053 [6] Q H Ruan, "Elliptic-type gradient estimate for Schrăodinger equations on non- compact manifolds", Bull London Math Soc 39(6)(2007), pp.982-988 [7] R S Hamilton, "A matrix Harnack estimate for the heat equation", Comm Anual Geom 1(1993), No.1, pp.113-116 [8] S Y Cheng and S T Yau, "Differential equations on Riemannian manifolds and their geometric applications", Comm Pure Appl Math 28(1975), pp.335354 [9] X D Li, "Liouville theorems for symmetric diffusion operators on complete Riemannian manifolds", J Math Pures Appl 84(2005), pp.1295-1361 [10] Z M Qian, "A comparison theorem for an elliptic operator", Potential Analysis 8(1998), pp.137-142 ... cong Ric boi φ hàm hang, hai đ® cong Chương ƯéC LƯeNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUECH TÁN PHI TUYEN TRÊN ĐA TAP RIEMANN ˜Ric “ Cho M m®t đa tap ay n chieu, khụng compact vúi ieu kiắn đ cong −K,... đ® cong Ricci 17 ƯéC LƯeNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUECH TÁN PHI TUYEN TRÊN ĐA TAP RIEMANN 21 2.1 Ưóc lưong Gradient cho phương trình Schrodinger vói hàm the v% h(x, t) 21 2.2 M®t vài... LAPLACE TRÊN ĐA TAP RIEMANN 1.1 1.1.1 Đa tap Riemann Toán tE Laplace đa tap Riemann A ĐA TAP TRƠN Đ%nh nghĩa 1.1 Gia su M m®t khơng gian tơpơ Hausdorff có sá đem đưac M đưac GQI m®t đa tap tơpơ