Luận văn thạc sĩ ước lượng gradient địa phương cho các hàm p điều hòa trên đa tạp riemann

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN VĂN SƠN ƯỚC LƯỢNG GRADIENT ĐỊA PHƯƠNG CHO CÁC HÀM p-ĐIỀU HÒA TRÊN ĐA TẠP RIEMANN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN VĂN SƠN ƯỚC LƯỢNG GRADIENT ĐỊA PHƯƠNG CHO CÁC HÀM p-ĐIỀU HÒA TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Thạc Dũng Mnc lnc Ma đau TỐN TU LAPLACE TRÊN ĐA TAP RIEMANN 1.1 Tốn tu Laplace đa tap Riemann 1.2 Liên thông Affine liên thông Levi-Civita .14 1.3 Tensor đ® cong, đ® cong Ricci 17 ƯéC LƯeNG GRADIENT CHO CÁC HÀM p-ĐIEU HỊA 2.1 2.2 21 Ưóc lưong chuan Lb1 cho gradient cna hàm p-đieu hịa 21 Phương pháp l¾p Moser ưóc lưong gradient cna hàm p-đieu hịa Các úng dung 36 Ket lu¾n 41 Tài li¾u tham khao 42 Lài cám ơn Tơi xin bày to lịng biet ơn chân thành sâu sac cna tói TS Nguyen Thac Dũng, ngưịi t¾n tình giúp đõ chi bao tơi suot q trình hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Qua tơi xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna thay giáo, giáo tő Tốn giai tích trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà Nđi, cỏc thay cụ cna Viắn Toỏn, nhung ngũi ó giúp đõ tơi suot q trình HQ c t¾p nghiên cúu tai trưịng Do mói làm quen vói cơng tác nghiên cúu khoa HQc cịn han che ve thịi gian thnc hi¾n nên lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung thieu sót Kính mong nh¾n đưoc ý kien đóng góp cna thay ban e luắn oc hon thiắn hn H Nđi, nm 2014 Danh mnc ký hi¾u C∞ k C0 W k,p k, Wp k,p Wloc T¾p hop tat ca hàm kha vi vơ han T¾p hop tat ca hàm kha vi cap k có giá compact Khơng gian Sobolev chúa hàm đao hàm yeu cna tói b¾c k có chuan Lp huu han, vói p ≥ cho trưóc Khơng gian đ%nh chuan bao đóng cna Ck Wk,p Khơng gian hàm kha tích đ%a phương Wk,p Ma đau Vi¾c nghiên cúu hàm đieu hịa đa tap Riemann m®t nhung đoi tưong hình HQc vi phân Vi¾c nghiên cúu can thiet lý thuyet hàm đieu hịa có liên h¾ ch¾t che đen hình hQc tơpơ cna đa tap M®t tốn đưoc quan tâm lý thuyet tìm ưóc lưong gradient cho hàm Trong báo női tieng cna mình, Cheng-Yau [12] chúng minh ưóc lưong gradient cho hàm đieu hòa dương đa tap Riemann sau Đ%nh lý 0.1 (Cheng-Yau) Cho M m®t đa tap Riemann đay đu n-chieu vái Ric ≥ −(n − 1)κ, vái κ ≥ m®t hang so Gia su u m®t hàm đieu hịa dương hình cau trac đ%a B(o, R) Khi 1+ (1) |∇u| sup B(o,R/2 ) u C ≤ n √ R κ R Cn m®t hang so chs phn thu®c vào n Đieu quan TRQng ưóc lưong cna Cheng-Yau ve phai cna Đ%nh lý 0.1 chi phu thu®c vào n, κ R Có hai phan chúng minh cna đ%nh lý Phan quan TRQNG đau tiên cơng thúc Bochner đưoc su dung đe ưóc lưong c¾n dưói cna tốn tu Laplace tác đ®ng lên |∇u|2 cna m®t hàm đieu hịa u boi so hang chi phu thuđc vo cắn dúi cna đ cong Ricci Phan quan TRQNG thỳ hai l mđt ky thuắt thụng minh ve nguyên lý cnc đai Ky thu¾t nhân |∇u|2 vói m®t hàm cutoff đưoc xây dnng bang cách su dung hàm khoang cách Ket qua là, bat thúc vi phân mói liên quan đen Laplace cna hàm khoang cách Như biet, hàm khoang cách đa tap Riemann Lipschitz đeu toán tu Laplace tác đng lờn hm khoang cỏch cú mđt cắn trờn chi phu thuđc vo cắn dúi cna tensor Ricci Cỏch tiep cắn cna Cheng-Yau l rat huu ớch v mđt so ket qua quan TRQNG cna nhieu toán khác đưoc anh hưong sâu sac boi đ%nh lý Lay ví du, năm 1979, P.Li [4] thu đưoc m®t ưóc lưong c¾n dưói ch¾t cho giá tr% riêng thú nhat cna tốn tu Laplace m®t đa tap, ket qua sau đưoc tőng quát boi Li-Yau [5] Các ket qua tương tn cho phương trình nhi¾t thu đưoc boi Li-Yau Ngoài ra, S.Y.Cheng [10], H.I.Choi [3] chúng minh ưóc lưong gradient cho ánh xa đieu hịa, M¾t khác, hàm p-đieu hịa (p > 1) đưoc xem mo r®ng tn nhiên cna hàm đieu hịa tù quan điem bien phân Nó ó oc nghiờn cỳu rđng rói vỡ cú nhieu ắc trưng úng dung thú v% So vói lý thuyet hàm đieu hòa, nghiên cúu ve hàm p-đieu hịa nói chung khó khăn phương trình m¾c dù elliptic, suy bien ket qua ve tính quy yeu Gan đây, hàm p-đieu hòa đưoc quan tâm nghiên cúu boi nhieu nhà tốn HQc Đ¾c bi¾t, năm 2007, R.Moser [11] ó thiet lắp mđt liờn hắ giua cỏc hàm p-đieu hịa tốn ngưoc cho dịng đ® cong trung bình Trong m®t báo gan vào năm 2009, Kotschwar Ni [2] chúng minh đưoc nhieu ket qua cho hàm p-đieu hịa, m®t so m®t ưóc lưong gradient đ%a phương cho hàm p-đieu hịa vói gia thiet rang đ® cong nhát cat b% ch¾n han dưói Đáng ý hang so tính tốn cna HQ khơng b% tăng vQT p → 1, dan đen ket qua thú v% ve tốn ngưoc cho dịng đ® cong trung bình Phương pháp chúng minh cna HQ tương tn vói phương pháp đưoc phát trien boi Cheng Yau năm 1975 cho hàm đieu hòa (túc p = 2) Kotschwar Ni dn đốn rang ưóc lưong cna HQ có the giu nguyên neu chi gia thiet ve c¾n dưói cna tensor Ricci Năm 2011, X D Wang L Zhang [13] chúng minh phong đoán cna Kotschwar Ni bang cách thiet l¾p đ%nh lý sau Đ%nh lý 0.2 Cho (Mn, g) m®t đa tap Riemann đay đu vái Ric ≥ −(n − 1)k Gia su v m®t hàm p-đieu hịa dương hình cau B(o, R) ⊂ M Khi đó, ton tai m®t hang so Cp,n (chs phn thu®c vào p n) cho √ |∇v| Cp,n(1 + kR) ≤ v R B(o, R/2) Chú ý rang p = 2, hàm p-đieu hịa hàm đieu hịa Do ưóc lưong gradient có the xem tőng quát hóa cna ưóc lưong gradient cna Cheng-Yau đe c¾p đen phan đau cna lịi giói thiắu Ton bđ nđi dung cna luắn ny l đe làm rõ cách chúng minh cna đ%nh lý ke cna Wang-Zhang Lu¾n văn đưoc viet lai dna báo [13] bao gom hai chương Trong phan chương m®t, tơi nhac lai kien thúc ban ve hình HQ c vi phân tốn tu Laplace đa tap Riemann Trong chương hai, tơi phân tích ky trình bày m®t cách chi tiet bưóc chúng minh cna đ%nh lý Wang-Zhang Trong đó, su dung m®t phiên ban cna cơng thúc Bochner cho hàm p-đieu hịa, cơng thúc đưoc su dung cho tốn tu tuyen tính hóa cna tốn tu phi tuyen ∆p đưoc giói thi¾u báo cna Kotschwar-Ni Nhị cơng thúc này, thu đưoc m®t ưóc lưong chuan không gian Lb1 cna grandient cna hàm p-đieu hịa vói b1 phù hop Phan tiep theo chỳng minh mđt úc long cắn trờn cna chuan sup theo chuan Lb1 bang cách su dung phép l¾p Moser, ket qua chúng minh đưoc Đ %nh lý 0.2 Tôi đưa chúng minh cna hai ket qua liên quan đen ưóc lưong gradient Ket qua đau tiên đ%nh lý kieu Harnack ket qua thú hai đ%nh lý Liouville cho hàm p-đieu hòa Chương TOÁN TU LAPLACE TRÊN ĐA TAP RIEMANN Trong chương này, se trình bày lai m®t vài khái ni¾m ban cna hình HQc vi phân Đau tiên, nhac lai khái ni¾m đa tap, đa tap trơn, đ%nh nghĩa đa tap Riemann Tiep sau đó, xây dnng m®t vài phép tốn ban đe đưa đ%nh nghĩa cna toán tu Laplace Cuoi cựng, chỳng ta giúi thiắu khỏi niắm đ cong Ricci m®t vài tính chat tiêu bieu cna đ® cong 1.1 Tốn tE Laplace đa tap Riemann A Đa tap trơn Đ%nh nghĩa 1.1 Cho M m®t khơng gian tơpơ Hausdorff có sá đem đưac Nó đưac GQI m®t đa tap tôpô n chieu neu vái MQI p ∈ M , ton tai m®t b® ba {ϕ, U, V } ú U l mđt lõn cắn cua p M , V l mđt mỏ cua Rn , ϕ : U → V m®t đong phơi M®t bđ ba nh vắy GQI l mđt ban o tai p Hai ban đo {ϕ1 , U1 , V1 } {ϕ2 , U2 , V2 } đưoc gQI tương thích neu hàm chuyen ϕ12 = ϕ2 ◦ ϕ−1 : ϕ1 (U1 ∩ U2 ) → ϕ2 (U1 ∩ U2 ) m®t đong phơi Chú ý rang t¾p anh ϕ1(U1 ∩ U2), ϕ2(U1 ∩ U2) cỏc mo thuđc Rn %nh ngha 1.2 Mđt A = {ϕα , Uα , Vα } M ac GQI l mđt ban S o neu cỏc ban đo cua A đeu tương thích vái α Uα = M Hai t¾p ban Ta chia Ω thành hai phan, W = {f ≤ a110b2 R−2 } Ω \ W Khi ta có R1 = a9b3ec2b0 V −2/n ∫ f p/2+b0 η ∫Ω f p/2+b0 η + a9 b3 ec2 b0 V = a9b03ec2b0 V −2/n −2/n ∫ W Ω\ W f p/2+b0 η Dna vào đánh giá ta có bat thúc sau a 9b 3e c 2b V −2/n 0 a 9b 3e c 2b V −2/n f p/2+b0−2/n η2 ∫ ∫ a9b3ec2b0 V Hơn nua Ω\ W ≤ p/2+b0 −2/n f W −2/n ∫ 2 η ≤ V = a9a 11 W f3p/2+b0 η V Thay lai vào R1 ta đưoc W W (a11b2R−2)p/2+b0 η2 c 2b0 b e Σp+2b ∫ a 9b e −2/n L2 f p/2+1+b0 = , Σp+2b0 ∫ b 0 12 c2b0 p/2+b0 ≤ a b0b3 b Suy Ω a9 b3 ec2 b0 V (a11b2R−2)p/2+b0 η2 −2/n ∫ b0R2 ∫ c2 b0 a e V b ≤a b R ec2b0 V R 12 b0 R η Σp+2b0 c2b0 e V −2/n V −2/n Ω V 0b Σp+2b0 R1 ≤ a1 b3 b0 L c2b0 e + V 2R 1−2/n Tù (2.13), vói b = b0, áp dung đánh giá vói R1 ta suy ∫ Σ n− ∫ n f Ω n(p/2+b0) ≤a b b0 n−2 n−2 12 a cb R fp/2+1+ b0e −2/ η c2b0+ 821−2/n c2b b n V + a10e V p+2b e Ω −2/n ∫ V f b0 +p/2 |∇η|2 Ση R R (2.15) Ω Bây giò, ta cHQN η đe làm tr®i R2 Cho η1 ∈ C0∞ (BR ) thoa mãn ≤ η1 ≤ 1, η1 ≡ B3R/4 , |∇η1 | ≤ C(n)/R Đ¾t η = ηm m = b0 + p + Ta có 2 R |∇η| = R2|∇ηm|2 = R2m2η2(m−1)|∇η1|2 p ≤ R (b0 + 2 ≤ a13b0η 2(m−1) + 1) η1 2b0+p b0+p/2+1 C2(n) R2 (2.16) Áp dung bat thúc (2.16) cho R2 cna (2.15) ta có p/2+ ∫ R2 = a10R2 b |∇η| Ωf 2b0+p ≤ a10a130b f b0 +p/ η b0+p/2+1 ∫ Áp dung bat thúc Holder ǁ f · g ǁ≤ǁ f ǁp · ǁ g ǁq cho ve phai cna bat thúc vói b0 + p/2 + b0 + p/2 , q = b0 + p/2 + p= Ta suy ∫ b0+p/ ≤ ∫ Σ b0+p/ 2b0+ a10a13b0 f b0+p/2 · Ω η b0+p/2+1 a14b0 f ∫ Σ b0+p/2+1 2b0+p Ω η = a f14b Σ b0b+p/2+1 0+p/2 Ω dV b0+p/2+1 Σ b0+p/2+ b0+p/2 b0+p/2+1 η Ω Sau đó, ta áp dung bat thúc Young x · y ≤ xp + y p b +p/2 ( ta suy V b0+p/2 b0+p/2+1 b0+p/2+1 a10 | Ω ∇η| ηΣ ≤ a14b0 f p/2+ fb ∫ +p/2+ fb10 Ω f n− 03 ≤ba b 12 b p e c2b0 V b0+p/2 η + a V¾y tù (2.15), thay ưóc lưong R2 vào ta có ∫ Σ n−2 Σ2b0+ n B3R/ b0+p/2+1 b0+p/2+ Ω b0+p/2 V · b0+p/2+1 b0 + p/2 ∫ f b0 +p/2+1 η b0 + p/2 + ≤ Ω b +p/2+1 b0+p/2+2 a140 b0 + a V ( 82)b0+p/2R2b0+p b0 + p/2 + a8b0R2 a8b0 R ≤ (nb0+p/2) , ∫ ∫ R ) a8b0R 2 Σ b b+p/2+1 0+p/2 Ω a14b2 y= q f b0 +p/2+1 η2 b0+p/2+1 · V b0+p/2+1 ve phai, cho q a8b0 ∫ R x =( ) b0+p/2+1 1−2/n b0+p/2+2 b +p/2 0 +a R b +p/2 ≤ a1 ec2b0 V 1−2/n 6b b0+p/2+2 b0 0 R b c2b0 e V 1−2/n Σ2b0 +p (2.17) 15 R2b0+ Lay mũ ca hai ve bat thúc ta đưoc b0+p/ ∫ f B3R/ (b0+p/2)n n− Thay b1 = (b + p/2) n n Σn(bn− +p/2) b0 b0+p/2 ≤ a16 c2 b0 b0+p/2 b0+p/2 b0 b 2b0+p ( ) b0+p/2 V R n(b0+p/2) n− , bat thúc tương đương − 2 f b Σ1/b ≤ a17V 1b1b Túc 1 R ∫B3R/4 ǁ f ǁLb1 (B 3R/4 Bő đe 2.7 đưoc chúng minh 2.2 b ≤ V b02 a R2 Phương pháp l¾p Moser ưác lưang gradient cua hàm p-đieu hòa Các Éng dnng Đ%nh lý 2.8 Cho (M, g) m®t đa tap Riemann đay đu vái Ric ≥ −(n− 1)κ, vái hang so κ ≥ Gia su v m®t hàm p-đieu hịa dương hình cau B(o, R) ⊂ M Khi đó, ton tai m®t hang so Cp,n cho √ |∇v| Cp,n(1 + kR) , v ≤ R B(o, R/2) Chúng minh Do phan tu thú hai cna ve trái cna bieu thúc (2.13) khơng âm, vi¾c bót phan tu khơng làm đői chieu bat thúc, v¾y ta có ∫ Σ n− n f n(p/2+b) n−2 η ∫ n−2 Ω ≤ a9b2bec2b0 V −2/n f p/2+b η + a10 ec2 b0 V −2/n R ∫ ≤ a17b2bec2b0 V −2/n ∫0 ec2b0 = a17 Ω ∫ V 2/n Ω Ω f p/2+b η + a17 ec2 b0 V −2/n R p/2+b |∇η| Ωf ∫ p/2+b |∇η| Ωf p/2+ (b2b + |∇η| ) b 2 R f η0 (2.18) Áp dung ky thu¾t l¾p Moser, ta đ¾t b =b , Ω = B 0, + Σ, l = 1, 2, · · · , l+ n n− l l R2 R l cHQN ηl ∈ C0∞ (Ω) cho ≤ ηl ≤ ηl ≡ Ωl+1, ηl ≡ Ω \ Ωl, |∇ηl| ≤ Tù (2.18) bang cách đ¾t b + p/2 = bl, η = ηl roi lay mũ f bl+ ∫Ωl+1 l+1 Σ b1 c2b l ∫ e l2 2( Σ b1 b0bηl + a1 ≤ R hai ve ta đưoc b+p/ Σb 4l l | ∇ηl| ) f b l V 2/n Ω Σ b1 c2b ∫ e l ( l Σ b bl + R a1 V ≤ | ∇ηl| , ) b f Ω o ta su dung tính chat ηl ≤ 1, bη2 < b + p/2 = bl l Do |∇η | ≤ 4l nên ta suy l R l ec2b0 ≤ (a17 ǁ f ǁLbl+1 ) (Ωl+1 Vói l = 1, 2, , ta có c2b ae ǁ f ǁLb2 (Ω2) ≤ Σ b11 V 2/n V 2/n V V 2/n c2b e = a17 2/n l ) (b0bl + 16 ) bl (b0b1 + 16) Σ c2b Σ b21 a e b1 +b22 (b0 b22+ 0ec2b ǁ f ǁLb3 (Ω3) ≤ ≤ (Ω ) 2) bl b1 (2.19) ǁ f ǁLbl (Ω ) ǁ f ǁLb1 b2 ǁ1 f ǁLb2 (b0b2 + )ab21(b20b1 2+216) b1 ǁ f ǁLb11 16 16 (Ω )(Ω ) Σ b11 +b21 Y2 k +Σ k 16 ǁ f ǁLb1 (Ω1) V b n k b0( ) n− ∞, ý rang L¾p lai q trình l lan cho l → k= Σ∞ l=1 l b b tőng cap so l nhân lùi vơ han cơng b®i n− n l nên ta có bl ∞ Σ = 1l=1 n , 2b1 tù ta nh¾n đưoc ǁf ǁL∞ (BR/2 ) ec2b0 ≤ (a ) 18 V 2/n n 2b ∞ Y b )( l= n n− l + 16 l Σ b1l ǁ f ǁLb1 (B3R/4 ) M¾t khác ta lai có bien đői sau, vói ý b0 > 1, ∞ Y Σ b 3( 0n − l=1 ) + 16l ∞ b l Σ1 l Y≤ l=1 b b ( n ∞ Y Σ1 2.16 bl l 3n 2b1 < b 3n l= Σ∞ =b 2b1 Σ∞ l=1 bl nc2b0 2b1 ǁ f ǁL∞ (BR/2 ) ≤ a19 V l l=1 bl 16 ∞ Vì v¾y ta thu đưoc e b l )l + n − 216l < 3n b 1/b1 ǁ f ǁLb1 (B3R/4 ) (2.20) Su dung Bő đe (2.7) áp dung cho chuan Lb1 cna f (2.20) ta suy đưoc bat thúc sau nc2b0(n−2) 2b0n e ǁ f ǁL∞ (B R/2)a≤ V 1/b1 19 ≤ a20 f = |∇ ∇v| u|= (p− 1) b0 b02 R2 3n(n−2 ) 2b n b0 c3 b0 R2 1/b V (2.21) √ = (1 + κR) Cuoi ta nh¾n đưoc Cp,n √ Cp,n(1 + kR) |∇v| ≤ v R | v2 Đó đieu phai chỳng minh Mđt hắ qua trnc tiep cna %nh lý (2.8) bat thúc Harnack sau Đ%nh lý 2.9 Cho (M n , g) m®t đa tap Rieman đay đu vái Ric ≥ −(n − 1)κ, vái κ ≥ Gia su v m®t hàm p-đieu hịa dương hình cau B(o, R) ⊂ M , đó, ton tai m®t hang so Cp,n (chs phn thu®c vào p n) cho vái MQI x, y ∈ B(o, R/2) v(x)/v(y) ≤ eCp,n(1+√kR) H¾ qua neu Ric ≥ ton tai hang so Cp,n không đői cho sup v ≤ Cp,n B(o,R/2 ) inf B(o,R/2) v Chúng minh Vói MQI x, y ∈ B(o, R/2), GQI γ(s) đưòng trac đ%a giua x y , γ : [0, 1] → M, γ(0) = y, γ(1) = x Ta có ln v(x) v(y) = ln(v(x)) − ln(v(y)) = ln (v(γ(1))) − ln (v(γ(0))) ∫ = d0ln(v(γ(s))) ds ds M¾t khác, ta lai có dlnv (γ (s)) ∇v (γ (s)) · γ˙ (s) |∇v (γ (s))| · |γ˙ | Cp,n (1 + = ≤ ≤ d v(γ(s) v(γ(s) R s ) ) √ κ R) |γ˙ | Su dung ưóc lưong gradient Đ%nh lý 2.8 bat thúc ta suy v(x) ln v(y) ™ ∫ |γ˙ | Cp,n(1 + √ κ R) ds √ R Cp,n(1 + κ R) dist(x, y) = R √ ≤ Cp,n(1 + κ R) H¾ qua v(x)/v(y) ≤ eCp,n(1+√kR) Khi Ric ≥ 0, ta có the đ¾t k = 0, nhân hai ve cna bat thúc vói v(y), roi lay inf theo y, sau lay sup theo x vói y, x ∈ B(o, R/2) ta thu đưoc bat thúc Harnack sup v ≤ Cp,n B(o,R/2 ) inf B(o,R/2) v Ta có đieu phai chúng minh Chú ý đ%nh lý đưoc chúng minh boi Rigoli, Salvatori, Vignati [9] Trong thnc te, HQ chúng minh đưoc m®t ket qua tot hơn, ket qua nói rang Đ%nh lý 2.9 đưoc giu nguyên chi địi hoi m®t gia thiet ve cơng thúc so sánh the tích tăng gap đơi m®t bat thúc Poincaré yeu M®t úng dung khác cna Đ%nh lý 2.8 đ%nh lý Liouville sau Đ%nh lý 2.10 Cho u m®t hàm p-đieu hịa b% chắn trờn hoắc dỏi trờn mđt a tap Riemann ay đu vái tensor Ricci khơng âm, u hàm hang Chúng minh Ta có the gia thiet u hàm b% ch¾n dưói Trưịng hop u hàm b% ch¾n ta đưa ve trưịng hop hàm b% ch¾n dưói bang cách xét hàm −u Gia su u ≥ C vói C hang so Thay xét hàm p-đieu hịa u ta có the xét hàm p-đieu hòa u − (C − 1) Khi ta có the gia su u ≥ Vói moi x ∈ M co đ%nh, xét hình cau tâm o bán kính R, vói R đn lón cho x ∈ B(o, R), tù Đ%nh lý 2.8, ta có |∇u(x)| ≤ Cp,n u(x) R Cho R → +∞, ta nh¾n đưoc |∇u(x)| = Do v¾y ∇u(x) = 0, x tùy ý, ta có ∇u(x) = M Do u hàm hang Ket lu¾n Trong lu¾n văn này, tác gia trình bày lai m®t cách chi tiet, rõ ràng bưóc chúng minh ket qua báo cna Xiaodong Wang Leizhang (Tài li¾u tham khao so [13]) Các ket qua Chúng minh m®t ưóc lưong gradient cho hàm p-đieu hịa dương m®t đa tap Riemann vói đ® cong Ricci b% ch¾n dưói Chúng minh hai h¾ qua cna ưóc lưong gradient Đó đ%nh lý Harack đ%nh lý Liouville cho hàm p-đieu hịa Tài li¾u tham khao [1] Đo NGQc Di¾p(2010), Hình HQc vi phân, NXB ĐHQG, Hà N®i [2] B Kotschwar, L.Ni, "Local gradient estimates of p-harmonic functions, 1/H- flow, and an entropy formula", Ann, Sci, Éc, Norm, Supér (4) 42 (2009), no 1, 1-36 [3] H.I.Choi, On the Liouville theorem for harmonic maps Proc Amer Math Soc 85 (1982), no 1, 91 - 94 [4] P.Li, A lower bound for the first eigenvalues of the Laplacian on a compact manifold Indiana Univ Math J 28 (1979), no 6, 1013-1019 [5] P.Li, S.T.Yau, Estimate of the first eigenvalues of a compact Riemannian manifold Geometry of the Laplace operator (Proc Sympos Pure Math., Univ Hawaii, Honolulu, Hawaii, 1979), pp 205-239, Proc Sympos Pure Math., XXXVI, Amer Math Soc., Providence, R.I., 1980 [6] P Tolksdorf, "Regularity for a more general class of quasilinear elliptic equations", J.Differential Equation 51 (1984), no 1,126-150 [7] I Holopainen, Volume growth, Green’s function, and parobolicity of ends Duke Math Journal 97 (1999), 319-346 [8] L Saloff-Coste, "Uniformly elliptic operators on Riemann manifolds", J.Differential Geom 36 (1992), no 2,417-450 [9] M Rigoli, M Salvatori, and M Vignati, A note on p-subharmonic function on complete manifolds Manuscripta Math 92 (1997), 339-359 [10] S.Y.Cheng, Liouville theorem for harmonic maps Geometry of the Laplace operator (Proc Sympos Pure Math., Univ, Hawaii, Honolulu, Hawaii, 1979), pp 147-151, Proc Sympos Pure Math., XXXVI, Amer Math Soc., Providence, R.I., 1980 [11] R Moser, The inverse mean curvature flow and p-harmonic functions J.Eur Math Soc (2007), 77-83 [12] R Schoen, S.T Yau, Lectures on Differential Geometry International Press, Boston, 1994 [13] Xiaodong Wang, Lei Zhang(2011), "Local gradient estimate for p-harmonic functions on Riemann manifolds", Comm Anal Geom 19 (2011), no 4, 759-771 [14] Zuoqin Wang(2012), "Notes on Differential Geometry", Lecture notes, http://www-personal.umich.edu/∼wangzuoq/ [15] Zuoqin Wang(2013), "Notes on Smooth Manifolds", Lecture notes, http://www-personal.umich.edu/∼wangzuoq/ ... NGUYỄN VĂN SƠN ƯỚC LƯỢNG GRADIENT ĐỊA PHƯƠNG CHO CÁC HÀM p- ĐIỀU HÒA TRÊN ĐA T? ?P RIEMANN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Thạc. .. 17 ƯéC LƯeNG GRADIENT CHO CÁC HÀM p- ĐIEU HÒA 2.1 2.2 21 Ưóc lưong chuan Lb1 cho gradient cna hàm p- đieu hịa 21 Phương ph? ?p l? ?p Moser ưóc lưong gradient cna hàm p- đieu hịa Các úng dung ... hop v hàm trơn đen cap hai, ta chúng minh trnc tiep sau ? ?p? ??2 ∇|∇u |p? ??2 = |∇ v | Σ ∇ (p − 1 )p? ??2 · v Σ Σ = (p − 1 )p? ??2 · = p? ??2 vp−2 · ∇ |∇v| (p − 1 )p? ??2 p? ??2 Σ v· | ∇ ∇v| vp−1 · p? ??2 − |∇v| · (p