Ước lượng gradient địa phương cho các hàm p điều hòa trên đa tạp riemann

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN VĂN SƠN ƯỚC LƯỢNG GRADIENT ĐỊA PHƯƠNG CHO CÁC HÀM p-ĐIỀU HÒA TRÊN ĐA TẠP RIEMANN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN VĂN SƠN ƯỚC LƯỢNG GRADIENT ĐỊA PHƯƠNG CHO CÁC HÀM p-ĐIỀU HÒA TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Thạc Dũng Hà Nội – Năm 2014 Möc löc Mð ƒu TO N TÛ LAPLACE TR N A T P RIEMANN 1.1 ToĂn tò Laplace trản a Riem 1.2 Li¶n thỉng Affine v li¶n thỉng 1.3 Tensor º cong, º cong Ricci ײC L×ĐNG GRADIENT CHO C C H M p- I U H`A b ìợc lữổng chu'n L cho gradie Phữỡng phĂp lp Moser v ữợc lữổ 2.1 2.2 hặa CĂc ứng döng K‚t lu“n T i li»u tham kh£o Líi c¡m ìn Tổi xin b y tọ lặng bit ỡn chƠn th nh v sƠu sc ca mnh tợi TS Nguyn Thc Dụng, ngữới  tn tnh giúp ù v ch bÊo tæi suŁt qu¡ tr… nh ho n th nh lun vôn tt nghiằp Qua Ơy tổi cụng xin chƠn th nh c¡m ìn sü gióp ï cıa c¡c thƒy gi¡o, cỉ gi¡o tŒ To¡n gi£i t‰ch tr÷íng ⁄i håc Khoa håc Tü nhi¶n - ⁄i håc QuŁc gia H Nºi, c¡c thƒy cỉ cıa Vi»n To¡n, nhœng ng÷íi ¢ gióp ï tỉi suŁt qu¡ tr…nh håc t“p v nghiản cứu ti trữớng Do mợi l m quen vợi cổng tĂc nghiản cứu khoa hồc v cặn hn ch vã thới gian thỹc hiằn nản lun vôn khổng th” tr¡nh khäi nhœng thi‚u sât K‰nh mong nh“n ÷ỉc þ ki‚n âng gâp cıa c¡c thƒy cæ v c¡c bn lun vôn ữổc ho n thiằn hỡn H Ni, nôm 2014 Danh mửc kỵ hiằu C T“p hỉp t§t c£ c¡c h m kh£ vi vỉ h⁄n k T“p hỉp t§t c£ c¡c h m kh£ vi c§p k câ gi¡ compact C0 W k;p k;p W0 Khæng gian Sobolev chøa c¡c h m v c¡c ⁄o h m y‚u cıa nâ tỵi b“c k câ p chu'n L hu hn, vợi p cho trữợc k Khæng gian ành chu'n l bao âng cıa C W k;p Mð ƒu Vi»c nghi¶n cứu cĂc h m iãu hặa trản a Riemann l mºt nhœng Łi t÷ỉng ch‰nh h…nh håc vi phƠn Viằc nghiản cứu n y l cn thit v lỵ thuyt cĂc h m iãu hặa cõ liản h» ch°t ch‡ ‚n h…nh håc v tæpæ cıa a Mt cĂc b i toĂn ữổc quan tƠm lỵ thuyt n y l tm cĂc ữợc lữổng gradient cho c¡c h m n y Trong b i b¡o nŒi ti‚ng cıa m…nh, Cheng-Yau [12] ¢ chøng minh ữợc lữổng gradient cho h m iãu hặa dữỡng trản a Riemann nhữ sau nh lỵ 0.1 (Cheng-Yau) Cho M l Ric (n 1) , vỵi l mºt h‹ng tr¶n h…nh cƒu tr›c àa B(o; R) Khi â mt a Riemann y n-chiãu vợi s GiÊ sò u l mt h m iãu hặa dữỡng sup B(o;R=2) â Cn l mºt h‹ng sŁ ch¿ phö thuc v o n iãu quan trồng ữợc lữổng ca Cheng-Yau l v phÊi ca nh lỵ 0:1 ch phö thuºc v o n; v R Câ hai phƒn chnh chứng minh ca nh lỵ trản Phn quan trồng u tiản l cổng thức Bochner ữổc sò dửng ữợc lữổng cn dữợi ca toĂn tò Laplace tĂc ng lản jruj ca mt h m iãu hặa u bði c¡c sŁ h⁄ng ch¿ phö thuºc v o cn dữợi ca cong Ricci Phn quan trồng thứ hai l mt k thut thổng minh vã nguyản lỵ cỹc i K thut n y l nhƠn jruj vợi mt h m cut-off ữổc xƠy dỹng bng cĂch sß dưng h m kho£ng c¡ch K‚t qu£ l , bĐt flng thức vi phƠn mợi liản quan n Laplace ca h m khoÊng cĂch Nhữ  bit, h m khoÊng cĂch trản a Riemann l Lipschitz ãu v toĂn tò Laplace tĂc ng lản h m khoÊng cĂch câ mºt c“n tr¶n ch¿ phư thuºc v o c“n dữợi ca tensor Ricci CĂch tip cn ca Cheng-Yau l r§t hœu ‰ch v mºt sŁ k‚t qu£ quan trång ca nhiãu b i toĂn khĂc ữổc Ênh hững sƠu sc bi nh lỵ trản LĐy v dử, nôm 1979, P.Li [4] thu ữổc mt ữợc lữổng cn dữợi cht cho giĂ tr riảng thứ nhĐt ca toĂn tò Laplace trản mt a tp, kt quÊ n y sau â ÷ỉc tŒng qu¡t bði Li-Yau [5] C¡c k‚t qu£ t÷ìng tü cho ph÷ìng tr…nh nhi»t cơng thu ÷ỉc bði Li-Yau Ngo i ra, S.Y.Cheng [10], H.I.Choi [3] ¢ chứng minh cĂc ữợc lữổng gradient cho Ănh x iãu hặa, Mt khĂc, cĂc h m p- iãu hặa (p > 1) ữổc xem l m rng tỹ nhiản ca cĂc h m iãu hặa t quan im bin phƠn Nõ  ữổc nghiản cứu rng rÂi v cõ nhiãu c trững v ứng dửng thú v So vợi lỵ thuyt h m iãu hặa, cĂc nghiản cứu vã cĂc h m p- iãu hặa nõi chung l khõ khôn hỡn v phữỡng trnh n y mc dũ l elliptic, l suy bin v cĂc kt quÊ vã t‰nh ch‰nh quy l y‚u hìn Gƒn ¥y, c¡c h m p- iãu hặa ữổc quan tƠm nghiản cứu bi nhiãu nh toĂn hồc c biằt, nôm 2007, R.Moser [11] ¢ thi‚t l“p mºt li¶n h» giœa c¡c h m p- iãu hặa v b i toĂn ngữổc cho dặng º cong trung b…nh Trong mºt b i b¡o gƒn Ơy v o nôm 2009, Kotschwar v Ni [2]  chứng minh ữổc nhiãu kt quÊ cho h m p- iãu hặa, mt s õ l mt ữợc lữổng gradient a phữỡng cho cĂc h m piãu hặa vợi gi£ thi‚t r‹ng º cong nh¡t c›t bà ch°n h⁄n dữợi Ăng ỵ l hng s tnh toĂn cıa hå khỉng bà t«ng våt p ! 1, dÔn n kt quÊ thú v vã b i toĂn ngữổc cho dặng cong trung bnh Phữỡng phĂp chứng minh ca hồ l tữỡng tỹ vợi phữỡng phĂp ữổc ph¡t tri”n bði Cheng v Yau n«m 1975 cho c¡c h m iãu hặa (tức l p = 2) Kotschwar v Ni  dỹ oĂn rng ữợc lữổng ca hồ cõ th gi nguyản nu ch giÊ thit vã cn dữợi ca tensor Ricci Nôm 2011, X D Wang v L Zhang [13] ¢ chøng minh phäng o¡n cıa Kotschwar v Ni bng cĂch thit lp nh lỵ sau n nh lỵ 0.2 Cho (M ; g) l mt a Riemann y vợi Ric (n 1)k GiÊ sò v l mt h m p- iãu hặa dữỡng hnh cu B(o; R) M Khi õ, tỗn ti mt h‹ng sŁ Cp;n (ch¿ phö thuºc v o p v trản B(o; R=2) Chú ỵ rng p = 2, cĂc h m p- iãu hặa chnh l hm iãu hặa Do õ ữợc lữổng gradient n y cõ th xem l tng quĂt hõa ca ữợc lữổng gradient ca Cheng-Yau nhữ  ã cp n phn u cıa líi giỵi thi»u To n bº nºi dung cıa lun vôn n y l l m rê cĂch chứng minh ca nh lỵ k trản ca Wang-Zhang Lun vôn ữổc vit li dỹa trản b i bĂo [13] v bao gỗm hai chữỡng Trong phn chữỡng mt, tổi nh›c l⁄i c¡c ki‚n thøc cì b£n v• h…nh håc vi phƠn v toĂn tò Laplace trản a Riemann Trong chữỡng hai, tổi phƠn t ch k v trnh b y mt cĂch chi tit cĂc bữợc chứng minh ca nh lỵ WangZhang Trong õ, sò dửng mºt phi¶n b£n cıa cỉng thøc Bochner cho h m p- iãu hặa, cổng thức n y ữổc sò dửng cho to¡n tß tuy‚n t‰nh hâa cıa to¡n tß phi tuyn p v ữổc giợi thiằu b i bĂo cıa Kotschwar-Ni Nhí cỉng thøc n y, chóng ta thu ÷ỉc mºt ÷ỵc l÷ỉng chu'n khỉng gian L b ca grandient ca h m p- iãu hặa vợi b1 phị hỉp Phƒn ti‚p theo l chøng minh b mt ữợc lữổng cn trản ca chu'n sup theo chu'n L n y b‹ng c¡ch sß dưng ph†p l°p Moser, kt quÊ l chứng minh ữổc nh lỵ 0.2 Tỉi cơng ÷a chøng minh cıa hai k‚t qu£ liản quan n ữợc lữổng gradient n y Kt quÊ u tiản l nh lỵ kiu Harnack v kt quÊ thứ hai l nh lỵ Liouville cho h m p- iãu hặa Chữỡng TO N T LAPLACE TR N A T P RIEMANN Trong ch÷ìng n y, chóng ta s‡ tr…nh b y l⁄i mºt v i kh¡i niằm cỡ bÊn ca hnh hồc vi phƠn u tiản, chóng ta nh›c l⁄i c¡c kh¡i ni»m a t⁄p, a t⁄p trìn, ành ngh¾a a t⁄p Riemann Ti‚p sau â, chóng ta x¥y düng mºt v i ph†p to¡n cì bÊn ữa nh nghắa ca toĂn tò Laplace CuŁi cịng, chóng ta giỵi thi»u kh¡i ni»m º cong Ricci v mt v i tnh chĐt tiảu biu ca c¡c º cong n y 1.1 A To¡n tß Laplace trản a Riemann a trỡn nh nghắa 1.1 Cho M l mºt khæng gian tæpæ Hausdorff v câ cì sð ‚m ÷ỉc Nâ ÷ỉc gåi l mºt a tổpổ n chiãu nu vợi mồi p M, tỗn ti mt b ba f; n U; V g â U l mºt l¥n c“n cıa p M, V l mºt t“p mð cıa R , : U ! V l mt ỗng phổi Mt b ba nhữ vy gồi l mt bÊn ỗ ti p Hai bÊn ỗ f1; U1; V1g v f2; U2; V2g ’12 = ’2’1 ÷ỉc gåi l t÷ìng th‰ch n‚u h m chuy”n : ’1(U1 \ U2) ! ’2(U1 \ U2) l mt ỗng phổi Chú ỵ rng cĂc t“p £nh ’1(U1 \ U2); ’2(U1 \ U2) l c¡c t“p mð thuºc n R ành ngh¾a 1.2 Mºt t“p A = f’ ; U ; V g tr¶n M ữổc gồi l mt bÊn ỗ nu cĂc bÊn ỗ ca A ãu tữỡng thch vợi v M trản M ữổc gồi l tữỡng ữỡng nu hổp ca nh nghắa 1.3 Mt a trỡn n-chiãu M l mt a tổpổ n-chiãu ữổc trang b mt lợp tữỡng ữỡng cĂc bÊn ỗ cho c¡c h m chuy”n l c¡c h m trìn Mºt lợp tữỡng ữỡng ca mt bÊn ỗ trỡn ữổc gồi l mt cĐu trúc trỡn trản M V dử 1.4 Mt v i a trỡn vợi cĐu tróc trìn n R l mºt a t⁄p trìn Mºt t“p mð cıa a t⁄p trìn cơng l mºt a t⁄p trìn n n+1 V‰ dư 1.5 H…nh cƒu S = f(x1; ; xn+1) R n t⁄p trìn Cho U1 = S f (0; ; 0; 1)g v U2 = S n jx1 + + xn n ph†p chi‚u nŒi ’i : Ui ! R ành ngh¾a bði ’ (x) = 1 xn+1 n (x ; ; x ) ’ (x) = n + xn+1 n (x ; ; x ): n n Khi â f’1; U1; R g; f’2; U2; R g to th nh bÊn ỗ trản S Câ th” t‰nh to¡n trüc ti‚p r‹ng ¡nh x⁄ chuy”n ’12 l ¡nh x⁄ trìn Do â, h…nh cƒu l mºt a t⁄p trìn ành ngh¾a 1.6 Mºt ¡nh x⁄ f : M ! N giœa hai a trỡn ữổc gồi l trỡn nu vợi mỉi bÊn ç f’ ; U ; V g b§t k… cıa M v f ; X ; Y g b§t k… cıa N, â ¡nh x⁄ f 1 ’ : ’ (U \ f (X )) ! (f(U ) \ X ) l trìn Ta nâi r‹ng f : M ! N l mºt vi phæi n‚u nâ l song ¡nh v f; f trìn •u l c¡c ¡nh x⁄ Khi N = R, ta s‡ gåi f l mºt h m trìn gi¡ trà thüc T“p hỉp t§t c£ c¡c h m trìn gi¡ trà thüc trản M ữổc k hiằu l C (M) BĐt ký ¡nh x⁄ trìn f : M ! N •u c£m sinh mºt ¡nh x⁄ k†o-lòi 1 f : C (N) ! C (M); g 7!g f: B Vectì ti‚p xóc Cho M l mºt a t⁄p trìn n-chi•u ành ngh¾a 1.7 Mºt vectì ti‚p xóc t⁄i mºt i”m p M l mºt ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh Xp : C (U) ! R thäa m¢n quy t›c Leibnitz Xp(fg) = f(p)Xp(g) + Xp(f)g(p): 2 m2 2 2(m 1) R jr j = R jr j = R m p 2(m R2(b0 + + 1)2 jr 1j 1) C2(n) 21R2 a13b0 b +p=2+1 2b +p : (2.15) (2.16) 34 p dưng b§t flng thøc (2:16) cho R2 cıa (2:15) ta câ R2 = a10R p dưng b§t flng thøc Holder k f g k k f kp k g kq cho v phÊi ca bĐt flng thức trản vỵi b + p=2 + p= ; b0 + p=2 q = b0 + p=2 + 1: Ta suy Z a 10a 13b 02 Sau â, ta ¡p dưng b§t flng thøc Young x y x=( y= ta suy b0+p=2 Z a10R Z p=2+b jr j f a14b0 + ( a2 ) b0+p=2R2b0+p b0 + p=2 + a8b0 V“y tł (2:15), thay ữợc lữổng R2 v o ta cõ n2 B 3R=4 f n2 (b Z 35 +p=2)n L§y mơ b0+p=2 B R=4 f n Z Thay b1 = (b0 Tøc l f k kLb1 (B3R=4) a V b1 17 R : b B ã 2:7 ữổc chứng minh 2.2 Phữỡng phĂp lp Moser v ữợc lữổng gradient ca cĂc h m p- iãu hặa CĂc ứng dửng nh lỵ 2.8 Cho (M; g) l mºt a t⁄p Riemann ƒy ı vỵi Ric (n 1) , vợi hng s GiÊ sò v l mt h m p- iãu hặa dữỡng hnh cu B(o; R) M Khi õ, tỗn ti mt h‹ng sŁ Cp;n tr¶n B(o; R=2) Chøng minh Do phƒn tß thø hai cıa v‚ tr¡i cıa bi”u thøc (2:13) l khổng Ơm, viằc bợt i phn tò n y khổng l m i chiãu bĐt flng thức, v vy ta câ n Z f a9b02bec2b0 V 2=n a17b02bec2b0 V Z 2=n Z = a17 p döng kÿ thu“t l°p Moser, ta °t b l+1 =b ln n ; 36 v chån l C0 ( ) cho l l 1v l+1; l n l; Tł (2:18) b‹ng c¡ch °t b + p=2 = bl; = l rỗi lĐy mụ Z fbl+1 l+1 a 17 a ð V 2=n 17 V 2=n Ơy ta  sò dửng cĂc tnh ch§t l 1; b l < b + p=2 = bl Do jr lj Rl n¶n ta suy kfk L Vỵi l = 1; 2; :::; ta câ =a 17 b l+1 ( l+1) (a V 2=n L°p li quĂ trnh trản l ln v 17 nhƠn lũi vỉ h⁄n cỉng bºi tł â ta nh“n ÷ỉc k fk L1(BR=2) 37 M°t kh¡c ta l⁄i câ bi‚n Œi sau, vợi ỵ l l=1 Y V vy ta thu ữổc f a k kL1(BR=2) 19 b Sò dưng BŒ • (2:7) ¡p dưng cho chu'n L ca f (2:20) ta suy ữổc bĐt flng thøc sau e v b0 = Cp;n(1 + â f = jruj jrvj v p Cp;n(1 + R âl i•u ph£i chøng minh Mºt h» qu£ trüc ti‚p cıa n nh lỵ (2:8) l bĐt flng thức Harnack sau nh lỵ 2.9 Cho (M ; g) l mt a t⁄p Rieman ƒy ı vỵi Ric (n 1) , vỵi GiÊ sò v l mt h m p- iãu hặa dữỡng hnh cu B(o; R) M, õ, tỗn ti mt hng s Cp;n x; y B(o; R=2) v(x)=v(y) e C (1+ p;n H» qu£ l n‚u Ric th tỗn ti hng s Cp;n khổng i cho 38 Chøng minh Vỵi måi x; y B(o; R=2), gåi ÷íng tr›c (s) l àa giœa x v y, : [0; 1] ! M; (0) = y; (1) = x Ta cõ Sò dửng ữợc lữổng gradient nh lỵ 2.8 v bĐt flng thức trản ta suy v(x) ln v(y) H» qu£ l p v(x)=v(y) eCp;n(1+ kR): Khi Ric 0, ta câ th” °t k = 0, nhƠn hai v ca bĐt flng thức trản vợi v(y), rỗi lĐy inf theo y, sau õ lĐy sup theo x vỵi y; x B(o; R=2) ta thu ữổc bĐt flng thức Harnack sup v B(o;R=2) Cp;n inf v: B(o;R=2) Ta câ i•u ph£i chøng minh Chó ỵ l nh lỵ n y  ữổc chứng minh bði Rigoli, Salvatori, v Vignati [9] Trong thüc t‚, hồ  chứng minh ữổc mt kt quÊ tt hỡn, kt quÊ n y nõi rng nh lỵ 2:9 ữổc gi nguyản ch ặi họi mt giÊ thit vã cổng thức so sĂnh th tch tông gĐp æi v mºt b§t flng thøc Poincar† y‚u Mºt øng dửng khĂc ca nh lỵ 2:8 l nh lỵ Liouville sau nh lỵ 2.10 Cho u l mt h m p- iãu hặa b chn trản hoc dữợi trản mt a Riemann y vợi tensor Ricci khổng Ơm, â u l h m h‹ng 39 Chøng minh Ta câ th” gi£ thi‚t u l h m b chn dữợi Trữớng hổp u l h m b chn trản th ta ữa vã trữớng hổp h m b chn dữợi bng cĂch xt h m u GiÊ sò u C vợi C l hng s n o õ Thay v xt h m p- iãu hặa u ta cõ th xt h m p- iãu hặa u (C 1) Khi â ta câ th” gi£ sß u Vỵi mØi x M cŁ ành, x†t h…nh cu tƠm o bĂn knh R, vợi R lợn cho x B(o; R), t nh lỵ 2.8, ta câ u(x) u(x) : R Cho R ! +1, ta nh“n ÷ỉc jru(x)j = Do v“y ru(x) = 0, v x l tũy ỵ, ta cõ ru(x) = jr C j tr¶n M Do â u l h m h‹ng 40 p;n K‚t lu“n Trong lu“n v«n n y, t¡c gi£ ¢ tr…nh b y l⁄i mºt cĂch chi tit, rê r ng cĂc bữợc chứng minh v c¡c k‚t qu£ ch‰nh b i b¡o cıa Xiaodong Wang v Leizhang (T i li»u tham kh£o sŁ [13]) C¡c k‚t qu£ ch‰nh l Chøng minh mºt ữợc lữổng gradient cho h m p- iãu hặa dữỡng trản mt a Riemann vợi cong Ricci b chn dữợi Chứng minh hai hằ quÊ ca ữợc lữổng gradient õ l cĂc nh lỵ Harack v nh lỵ Liouville cho h m p- iãu hặa 41 T i li»u tham kh£o [1] Ø Ngåc Di»p(2010), H…nh håc vi ph¥n, NXB HQG, H Nºi [2] B Kotschwar, L.Ni, "Local gradient estimates of p-harmonic functions, 1/H-flow, and an entropy formula", Ann, Sci, c, Norm, Sup†r (4) 42 (2009), no 1, 1-36 [3] H.I.Choi, On the Liouville theorem for harmonic maps Proc Amer Math Soc 85 (1982), no 1, 91 - 94 [4] P.Li, A lower bound for the first eigenvalues of the Laplacian on a compact manifold Indiana Univ Math J 28 (1979), no 6, 1013-1019 [5] P.Li, S.T.Yau, Estimate of the first eigenvalues of a compact Riemannian manifold Geometry of the Laplace operator (Proc Sympos Pure Math., Univ Hawaii, Honolulu, Hawaii, 1979), pp 205-239, Proc Sympos Pure Math., XXXVI, Amer Math Soc., Providence, R.I., 1980 [6] P Tolksdorf, "Regularity for a more general class of quasilinear elliptic equations", J.Differential Equation 51 (1984), no 1,126-150 [7] I Holopainen, Volume growth, Green’s function, and parobolicity of ends Duke Math Journal 97 (1999), 319-346 [8] L Saloff-Coste, "Uniformly elliptic operators on Riemann manifolds", J.Differential Geom 36 (1992), no 2,417-450 [9] M Rigoli, M Salvatori, and M Vignati, A note on p-subharmonic function on complete manifolds Manuscripta Math 92 (1997), 339-359 [10] S.Y.Cheng, Liouville theorem for harmonic maps Geometry of the Laplace operator (Proc Sympos Pure Math., Univ, Hawaii, Honolulu, Hawaii, 1979), pp 147-151, Proc Sympos Pure Math., XXXVI, Amer Math Soc., Providence, R.I., 1980 42 [11] R Moser, The inverse mean curvature flow and p-harmonic functions J.Eur Math Soc (2007), 77-83 [12] R Schoen, S.T Yau, Lectures on Differential Geometry International Press, Boston, 1994 [13] Xiaodong Wang, Lei Zhang(2011), "Local gradient estimate for p-harmonic functions on Riemann manifolds", Comm Anal Geom 19 (2011), no 4, 759-771 [14] Zuoqin Wang(2012), "Notes on Differential Geometry", Lecture notes, http://www-personal.umich.edu/ wangzuoq/ [15] Zuoqin Wang(2013), "Notes on Smooth Manifolds", Lecture notes, http://www-personal.umich.edu/ wangzuoq/ 43 ... NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN VĂN SƠN ƯỚC LƯỢNG GRADIENT ĐỊA PHƯƠNG CHO CÁC HÀM p- ĐIỀU HÒA TRÊN ĐA T? ?P RIEMANN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA... Ricci) nh x⁄ Ricp(Xp; Yp) := T r(Zp 7!R(Xp; Zp)Yp); x¡c ành mºt tensor ki”u (0; 2), ÷ỉc gåi l tensor Ricci Chån mºt cì sð trüc chu'n feig cıa TpM Khi X Ricp(Xp; Yp) = â R(Xp; er; Yp; er): r °c bi»t,... div jrvj iãu n y tữỡng p rv = 0; ữỡng vợi, r jrvj p rv + jrvj p v = 0: Do â div jruj p ru = (p 1 )p jrvjp = p jrujp : v Trong tr÷íng h? ?p v khỉng kh£ vi ‚n c? ?p hai, v l h m p- iãu hặa theo nghắa