Đạo hàm dọc đường cong trên đa tạp Riemann 2 chiều

LỜI NÓI ĐẦU Phép tính đạo hàm công cụ hữu hiệu việc trình bày tính chất hình học đa tạp khả vi Phép tính đạo hàm dọc theo đường cong trình bày nhiều tài liệu viết hình học vi phân Trong luận văn trình bày hệ thống khái niệm chứng minh chi tiết số tính chất đạo hàm trường véctơ dọc đường cong đa tạp Riemann sử dụng để trình bày chuyển dịch song song đa tạp Riemann Luận văn chia thành chương Chương I: Đa tạp Riemann – chiều I Đa tạp Riemann – chiều II Dạng liên thông đa tạp Riemann Trong chương I, trình bày khái niệm đa tạp Riemann, kiến thức làm sở cho chương Cũng chương này, nêu định lý tổng quát xác định dạng liên thông đa tạp Riemann – chiều, định lý công thức đổi mục tiêu dạng liên thông Các kiến thức trình bày theo tinh thần cô đọng Chương II: Đạo hàm trường véc tơ dọc đường cong đa tạp Riemann I Đạo hàm trường véc tơ dọc cung tham số II Chuyển dịch song song đa tạp Riemann Trong chương II, mục I, nêu có chứng minh chi tiết số tính chất đạo hàm trường véc tơ dọc cung tham số, đồng thời trình bày kết đạo hàm trường véc tơ song song Mục II, tiếp tục nêu chứng minh chi tiết số tính chất phép dịch chuyển song song đa tạp Riemann 2–chiều số ví dụ phép dịch chuyển song song số mặt cụ thể Luận văn hoàn thành vào tháng 10 năm 2013 trường Đại học Vinh Tác giả chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang - Người đặt toán hướng dẫn tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Tác giả cảm ơn thầy giáo môn hình học giảng dạy, bảo vấn đề có liên quan đến đề tài nghiên cứu xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa toán, khoa sau đại học – Trường Đại học Vinh, ban Giám Hiệu đồng nghiệp tổ toán trường trung học phổ thông Quỳ Hợp 3, gia đình, bạn bè tạo điều kiện thuận lợi cho suôt trình hoàn thành luận văn Vinh, tháng 10 năm 2013 Tác giả CHƯƠNG I ĐA TẠP RIEMANN 2-CHIỀU Trong luận văn này, giả thiết M đa tạp thực khả vi với sở đếm với hệ đồ U , I Ta kí hiệu:  B ( M )   X / X trường véc tơ tiếp xúc khả vi M   F ( M )   f / f : M  R, f khả vi U – mở M   Tp M   véc tơ tiếp xúc với M p  M  I ĐA TẠP RIEMANN – CHIỀU 1.1 - Định nghĩa (Xem  2 ) Một cấu trúc Riemann M ánh xạ g đặt tương ứng với điểm p  M với g p thoả mãn : 1/ g p Là tích vô hướng T p M ; p  M 2/ g phụ thuộc khả vi vào p ( nghĩa g ( X , Y )( P)  g p ( X p , Yp ) g hàm số khả vi theo p M ; X , Y  B ( M ) ) Đa tạp M với cấu trúc g xác định gọi đa tạp Riemann thực - chiều, kí hiệu M hay (M,g) 1.2 - Ví dụ : Ta kí hiệu H = {( x, y)  Oxy | y>0} Ta đưa vào H cấu trúc Riemann g sau g : p  g p Trong g p  X p , Yp  = y2 X p ,Yp  với p(x,y)  H Thật vậy, ta kiểm tra g cấu trúc Riemann Trước hết, ta chứng minh g p tích vô hướng H ; p  H ; p  x, y   g p  X p , Yp  = y2 X p ,Yp = y2 Y p ,Xp   =  gp X p , X p  g p  Yp , X p ; p(x,y)  H X p X p  g p  X p , X p y2 = =0  X p2 = y2  X p =   X p   X p Yp y2  g p   X p   X p , Yp  = =  y2 X p ,Yp + y2  X  ,Y  p p =  g p  X p , Yp  +  g p  X p , Yp  Tương tự, ta có : g p  X p ,  Yp   Yp    g p  X p , Yp  +  g p  X p , Yp  Tiếp tục, kiểm tra tính khả vi g Giả sử X ( X , X ) ; Y( Y1 ,Y2 ) hai trường vectơ khả vi với toạ độ tự nhiên H Khi đó, ta có X , X , Y1 ,Y2 hàm số khả vi H.Ta xét : g ( X,Y) = = X.Y y2 ( X Y1  X Y2 ) y2 Vì tích tổng hàm số khả vi hàm số khả vi nên g (X,Y) khả vi 1.3 - Liên thông Lêvi – Civita 1.3.1 - Định nghĩa : Giả sử M đa tạp Riemann Ánh xạ  : B ( M )  B( M )  B( M ) ( X ,Y )   X Y gọi liên thông Lêvi-Civita đa tạp M  thỏa mãn điều kiện sau: (T1 ). X (Y  Z )   X Y   X Z ; X ,Y , Z  B( M ) T . T . X Y X Z   X Z  Y Z ; X , Y , Z  B( M ) Y   X Y ; X , Y  B( M ),  F ( M ) T . Y   X  Y   X X Y ; X , Y  B( M );  F ( M ) T . Y   X   X , Y   0; X , Y  B( M ) T  Z  X Y    X Y   Y X ; X ,Y , Z  B( M ) X Y Z Z Ta ý : Hai điều kiện T5  ,  T6  gọi tính chất Lêvi-Civita Điều kiện T5  độ xoắn M điều kiện T6  điều kiện liên thông M Hay nói cách khác liên thông Lêvi-Civita  M liên thông tuyến tính M mà  làm cho độ xoắn liên thông Riemann triệt tiêu 1.3.2 - Ví dụ Giả sử M đa tạp khả song n - chiều với trường mục tiêu E1 , E2 , , En  n n i 1 i 1   Với X , Y  B( M ) : X   X i Ei ;Y   Yi Ei X i , Yi  F  M  ; i  1, n n Ta đặt  X Y   X Yi  Ei Khi đó,  liên thông Lêvi-Civita M i 1 Thật vậy, với X , X ',Y ,Y '  B( M );   F  M  ta có n T1)  X Y  Y '   X Yi  Y 'i Ei i 1 n n i 1 i 1   X Yi Ei   X Y 'i Ei   XY   XY ' n T2)  X  X 'Y   ( X  X ') Yi  Ei i 1 n n i 1 i 1   X Yi Ei   X 'Yi Ei   X Y   X 'Y n T3)  X Y   ( X ) Yi  Ei i 1 n    X Yi Ei i 1   X Y n T4)  X Y    X Yi  Ei i 1 n   ( X Yi   Yi X  )Ei i 1 n n i 1 i 1    X Yi Ei  X    Yi Ei   X Y  X  Y T5)  X , Y    X Y    Y  X    X Y1E1   Yn En     Y  X 1E1   X n En    n n    X Yi Ei       Y  X i Ei     i 1   i 1     X Y      Y X      X , Y    X Y  Y X n n T6) Do X   X i Ei ;Y   Yi Ei i 1 i 1 n n i , j 1 i 1  X Y   X iY j  Ei E j    X iYi Ta có n Z  X Y   Z   X iYi   i 1  n    Z  X i Yi  Z Yi  X i  i 1 n n i 1 i 1   Z  X i Yi   Z Yi  X i  Z  X Y1  Z  X Y2   Z  X n Yn  Z Y1  X  Z Y2  X   Z Yn  X n n n n n i 1 i 1 i 1 i 1    Z  X i  Ei . Yi Ei    Z Yi  Ei . X i Ei n n i 1 i 1    Z  X i  Ei .Y    Z Yi  Ei  X  Y  Z X  X  Z Y  Z  X Y    Z X Y   Z Y X Ta kí hiệu :  X Y    X Y  P ; với X p  Tp M với Y cố định thuộc M ánh xạ P X p   X Y ánh xạ tuyến tính Tp M  Tp M p 1.3.3 - Định lý.(Xem  2 ) Véctơ   X Y  P phụ thuộc vào giá trị X p, nghĩa X , X  B( M ) , cho X p  X p   X Y ( P )    X Y ( P ) Chứng minh : Như ta biết với p  M , ánh xạ :  p : X p  ( X Y ) p ánh xạ tuyến tính từ Tp M đến Tp M , từ    X    X   X   X   p (0)    p X p  X p   p  p p p p p    X Y P    X Y  P Như ta biết liên thông tuyến tính đa tạp Riemann M không (xem 3 , nhận xét 2.7 trang 14), vấn đề đặt liên thông Lêvi-Civita đa tạp Riemann M có tồn hay không? để trả lời câu hỏi ta xét định lý sau : 1.3.4 - Định lý Liên thông Lêvi-Civita đa tạp Riemann M tồn Chứng minh  Sự tồn  : Giả sử X , Y  B( M ) , ta xác định  phương trình sau:  X Y Z  1 X Y Z   Y  Z X   Z  X Y     Z  X , Y   Y  Z , X   X Y , Z  (1)  2 Với Z trường véc tơ tuỳ ý B (M ) Có thể kiểm tra trực tiếp thấy ánh xạ  X ,Y    X Y thoả mãn điều kiện (T1 ) , T2  ,  T3  , T4  định nghĩa 1.3.1 * Ta đặt T  X , Y    X Y  Y X   X , Y  , công thức (1) ta có: Với z  B ( M ) : T  X , Y  Z  ( X Y  Y X   X , Y ).Z   X Y Z  Y X Z   X , Y .Z 1 X Y Z   Y  Z X   Z  X Y     Z  X ,Y   X Y , Z   Y  Z , X   2 1   Y  X Z   X  Z Y   Z  X Y    Z Y , X   X  Z , Y   Y  X , Z  2   X , Y .Z   Do T ( X , Y )  0; X , Y  B( M ); (điều kiện T5  định nghĩa 1.3.1 thoả mãn) *  Z X Y   Z Y X   Z  X Y   X Y Z   Y  Z X  1 Y  Z , X   X Y , Z   Z  X , Y     Z  X Y   Y  Z X   X Y Z    2   X  Z , Y   Y  X , Z   Z Y , X    Z  X Y   (Điều kiện T6  định nghia 1.3.1 thoả mãn) Như vậy,  liên thông Lêvi-Civita  Bây để chứng minh tính  ta chứng minh  liên thông Lêvi-Civita M  X Y thoả mãn (1) Thật vậy, X ,Y  B( M ) , từ điều kiện (T5) định nghĩa 1.3.1 ta suy  X Y  Y X   X , Y    Z X   X Z   Z , X  Tương tự, ta có : Y Z   Z Y  Y , Z  Z X   X Z   Z , X  Từ ta thu  X Y Z   Y X   X ,Y   Z  Y X Z   X ,Y .Z Mặt khác, từ điều kiện (T6) định nghĩa 1.3.1 ta suy :  Z Y X  Z  X Y    Z X Y Tương tự, ta có :  X Z Y  X  Z Y    X Y Z Y X Z  Y  X Z   Y Z X Từ  X Y Z  Y X Z   X , Y .Z  Y  X Z   Y Z X   X , Y .Z  Y  X Z   ( Z Y  Y , Z ) X   X ,Y .Z  Y  X Z    Z Y X  Y , Z  X   X ,Y .Z  Y  X Z   Z  X Y    Z X Y  Y , Z  X  X , Y .Z   Y , Z  X  Z  X Y   Y  X Z    X ,Y .Z  ( X Z   Z , X ).Y   Y , Z  X  Z  X Y   Y  X Z    X ,Y .Z   X Z Y   Z , X .Y   Y , Z  X  Z  X Y   Y  X Z    X ,Y .Z   X Z Y  X  Z Y    X Y Z Từ đó, suy  X Y Z  1 X Y Z   Y  Z X   Z  X Y     Z  X , Y   Y  Z , X   X Y , Z   2 Như ta biết : Ánh xạ f : M  N , (M,N đa tạp Riemann) gọi phép biến đổi đẳng cự M g ( X,Y) = g  f X , fY  ;  X,Y  B( M ) (Như phép đẳng cự bảo tồn tích vô hướng) Bây ta xét định lý sau : 1.3.5 - Định lý : Giả sử M, N hai đa tạp Rimann với liên thông Lêvi-Civita tương ứng ,  f : M  N vi phôi đẳng cự Khi đó, f * ( X Y )   f* X f*Y Như vậy, vi phôi đẳng cự bảo tồn liên thông Lêvi-Civita Chứng minh Để chứng minh định lý ta sử dụng đề sau : Bổ đề : Nếu ánh xạ  : N  R khả vi f* p ( p )     p   f  ;  p  Tp M Chứng minh : Giả sử  (t ) đường cong M với  p tiếp tuyến p   (t0 ) với  : J  U t   (t ) Khi f* p ( p )    f  '(t0 )  f* p ( p )( )    f  '(t0 )( )   d   f    dt t t (a) d (  f   ) dt t t Mà  p   f   '(t0   f   d   f    dt t  t0 (b) d (  f   )  dt t  t0 Từ (a) (b), ta suy đề chứng minh Bây ta chứng minh định lý   ( ) Từ đề ta có :  f* X  ( f ( p ))    f * X p     f  ;p  M  X p   f* X ( )   f  X   f    f* X ( )   X   f   f 1 Mặt  X Y Z  khác ta 1 X Y Z   Y  Z X   Z  X Y     Z  X , Y   Y  Z , X   X Y , Z   2 Vì f vi phôi đẳng cự nên ta có :  X Y Z   f*   X Y     f*Z   f   f* X    f*Y    f* Z   X Y Z   f 1   f* X , f*Y    f* Z    X ,Y   Z  f 1; X ,Y , Z  B( M ) 10 có    | p (2)  x i 1 i   i Từ (1) (2),ta suy : X  Z Z   p  =   X Z  Z | p +   X Z  Z | p ; p  M Vậy : X  Z Z  =   X Z  Z + Z  X Z 2.7 - Hệ : Với X p tiếp tuyến với đường cong  t  t  p   t   Khi +    X  p   x i    :  X U i   i j  X U j j 1 Thật : với U 1,0;U 0,1 Ta có :      X U1 | p   21  X p .0 U1  p    12  X p .1 U  p  = 12  X p  U  p  ; p  M Vậy  X U  12  X U Tương tự, ta có :  X U  21  X U1 Hay ta viết : U i   i jU j j 1 Bây giờ, ta xét M mặt R có hướng, hướng M xác định trường véctơ pháp tuyến đơn vị n M Và ánh xạ Weingarten : h p : Tp M  Tp M   hp ( )   D n Ta xét  đường cong R , ta có ta có DX  đường cong M, dt X Trong   D Khi ta có mệnh đề sau: M dt 2.8 - Mệnh đề Giả sử X trường véctơ tiếp xúc với đa tạp M dọc đường cong  , đó, DX X    h(  ') X  n dt dt Chứng minh : Do X trường véctơ tiếp xúc với đa tạp M nên 27 X n   D  X n     D ' X  n   D 'n  X    D ' X  n    D 'n  X  h   ' X T DX  DX   DX  Mặt khác, ta có     dt  dt   dt  N (1) Theo cách đặt định lý 1.3.6 chương I, ta có T  DX  X    dt  dt  (2) N  DX  Bây ta đặt     n  dt  Từ cách đặt ta suy   Từ (1), (2) (3) ta có DX n   D ' X  n  h   ' X dt (3) DX X    h(  ') X  n dt dt Do định nghĩa 2.3 không phụ thuộc trường mục tiêu U i  chọn Nội dung mục xem sau phần ứng dụng đạo hàm dọc đường cong đa tạp Riemann - chiều II CHUYỂN DỊCH SONG SONG TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Bây ta giả sử  : J  M , t    t  ánh xạ khả vi từ J= [a,b] lên đa tạp Riemann hai chiều M Ta kí hiệu     J  Ta xét đa tạp Riemann - chiều M với trường mục tiêu trực chuẩn U1 ,U  dạng đối ngẫu 1 ,  ; dạng liên kết ij Giả sử X trường véc tơ song song dọc  X X  C ;(C  0; C  R) Ta có biểu diễn : X  C.(cos (t).U1 (t )  sin  (t).U (t )) Để tìm X ta cần tìm  (t ) Ta đặt  (t )  C.cos (t), (t )  C.sin  (t) Từ ta có 28  ' 21 (  ').  X 0 dt  ' 1 (  ').  C sin  (t )   '(t )  21 (  )    C cos (t )   '(t )  1 (  )     '(t )  21 ( ')    '(t )  21 ( ')   (t )   21 (  (u ))du   (a) Khi M  Oxy,U1  E1 ,U  E2 ;( E1 , E2  trường mục tiêu tự nhiên Oxy 21  Vậy  (t )  const Do đó, X trường véc tơ song song 2.9 - Định nghĩa: Trường vectơ X  B(M) gọi trường vectơ song song X = 0, t  J dt t dọc  2.10 – Ví dụ : Xét nửa phẳng Poincaré (H,g) với trường mục tiêu trực chuẩn U ,U  đó, U  yE1;U  yE2 với  E1 , E2  trường mục tiêu song song tắc R Ta xét chuyển dịch song song dọc cung đoạn tham số   d ( X ) dX   (t )   '(t ) f : T ( a ) R n  T ( b ) R n ;  a;   a dt t dt t  : t   (t ),  (t )   x0 ; y0  t  H Theo ví dụ chương I ta có : 21   21 (  '(t ))  Giả X= (t ).U     (t ).U    d  d 1  dt  2 (  ')   dt    C1 X song song dọc      d  d    C2   12 (  ')   0   dt  dt Trong C1; C2  const Do đó, X=C1 U1    C2 U   với X(a)= =C1.U1   (a )  C2 U   (a ) Ta có phép dịch chuyển song song dọc  29 f : T  a  M  T b  M   Trong đó,  =C1.U1   (b)  C U   (b) 2.11 - Hệ quả: Nếu X,Y hai trường vectơ song song dọc   X   Y trường vectơ song song dọc  ;  ,   R Chứng minh: Ta đặt: Z = X  Y Khi X dt = t0    X  Y  ; t   J dt t =  = X dt +  t0 Y dt t0 Vậy  X   Y trường vectơ song song dọc  2.12 - Hệ : Cho vectơ  p  a1 , a2   T M  ảnh ánh xạ khả vi  : J  M Khi tồn trường vectơ X song song dọc  cho X p p Chứng minh : Giả sử X có toạ độ  X , X  đồ U ,  Ta có: X song song dọc   X =0 dt t  X   t   X  t       t          X  t   X  t  1     t      X  t   a1 Với    X  t   a2 Áp dụng lý thuyết phương trình vi phân, hệ  có nghiệm  X , X  Từ hệ ta nhận thấy Nếu  đường cong nối p q M với vectơ X p  Tp M có vectơ X q  Tq M 30 2.13 - Định nghĩa : Giả sử  đường cong M cho ánh xạ khả vi  :  a, b  M với   a   p;   b   q X | p  X p ; X |q  X q Trong X trường vectơ song song dọc  Xét ánh xạ : f : Tp M  Tq M X p  Xq Khi ánh xạ f gọi phép chuyển dời song song dọc  2.14 - Ví dụ : M = R ;  cho  : t   t , t  , t   1,1 Ánh xạ f : Tp M  Tq M X p  Xq X trường vectơ song song dọc  Khi f phép tịnh tiến Chứng minh : Gọi X  X i  ; X i  t  hàm số t Ta có X song song dọc   X dt =  X 1  t    X 2  t       X  t   a1   X  t   a2  X p  a1 , a2  ; p    X p  X q ; p, q  Vậy f phép tịnh tiến 2.15 - Định lí : Giả sử f : Tp M  Tq M f ánh xạ tuyến tính trực giao X p  Xq Chứng minh : Trước hết ta chứng minh f ánh xạ tuyến tính Ta đặt : Z = X  Y Vì X, Y trường vectơ song song dọc  nên theo hệ 4.1 Z = X  Y trường vectơ song song dọc  31 Ta có :  X   Y  | p   X |p  Y |p =  X p   Yp  X   Y  |   X | q q   Y |q =  X q   Yq =  f  X p    f  Yp  Vậy f ánh xạ tuyến tính Tiếp theo ta chứng minh f ánh xạ trực giao Thật : Giả sử X, Y trường vectơ song song dọc  Ta có d X Y X t  ,Y t    Y  X =  dt dt dt Suy : X.Y = const Do X p Yp  f  X q  f Yq  Vậy f ánh xạ tuyến tính trực giao 2.16 - Định lí: Cho X trường vectơ song song dọc  thoả mãn X |   :   R Khi .X trường vectơ song song dọc   = const Chứng minh :  Trước hết ta chứng minh .X trường vectơ song song dọc   = const Ta có  X trường vectơ song song dọc    X 0 dt   X    X  dt    X  Theo giả thiết, ta có : X |   d X  X X   X = dt dt  X.X = const 32 = const  X  X p X p = a ; p   Giả sử có điểm p cho X p =  X.X =  X | = Điều mâu thuẫn với giả thiết Do   =   = const  Ngược lại,  = const .X song song dọc  Thật vậy, theo giả thiết ta có : X song song dọc   X 0 dt  = const    = Từ ta có :  X    X  dt   X 0 dt Vậy  X song song dọc  2.17 - Định lý  Giả sử p   a  Tp M Khi tồn trường véc tơ X  song song dọc  cho X p  a Chứng minh : Giả sử X  ( X i ); i  1,2 trường véc tơ song song dọc  cần tìm Khi ta có : U *    X '     '  X     j  ' X (t )  X '(t )  0; j  1,2 i  i   i   i 1 (*)   X (t )  a    Ở a   a1 , a2  , nghĩa a  aU ( p )  a2U ( p ) 1 Theo lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ (*) tồn nghiệm  X i  33 Cho cung  với tham số hóa  : J  M ; t   (t ) đa tạp Riemann 2chiều M X trường véc tơ dọc  ta mô tả X  T ( t ) M nhờ dt t 0 phép chuyển dịch song song dọc  sau : 2.18 - Định lí: Cho trường vectơ X song song dọc  Sử dụng phép chuyển dời X  T t  M sau : Với t  J, kí hiệu dt t song song dọc  ta mô tả  X t  trưòng vectơ song song dọc  mà X t   t   X  t  X dt t0 X  t   t   X  t   lim t t t  t  X to  X t1   to    t  n Chứng minh : Giả sử đa tạp M có U i i 1 trường mục tiêu khả song song dọc  Theo giả thiết ta có : X 1 1  X 1 X  2    X   X t   t   X  t  n Khi : X  t    X i  t .U i i 1  X t   t   X  t    X  t  , X  t  , , X  t   n n    X i  t  U i  n X   X i  t  U i   i 1   dt dt i 1 dt 34 Ta có : n n i 1 i 1   X i  t .U i   X i  t  U i dt n   X i  t .U i i 1 Từ đó, suy ra: n X   X i t  U i | t  dt t i 1  n  X  t   X i  t      lim i .U i | t  t  t i 1  t t   n  X  t  U i | t   X i  t .U i | t    lim  i  t t i 1 t  t    X  t   t   X  t   lim t t t  t  X Vậy : dt t0 X  t   t   X  t   lim t t t  t  2.19 - Định nghĩa Giả sử A   (a ), B   (b ) hai điểm  với ánh xạ  : TA M  TB M      ( )   Với X trường véc tơ song song dọc  có X A   ; X B    Khi ta nói    phép chuyển dịch song song dọc  từ A đến B U  yE1 2.20 - Ví dụ : Xét nửa phẳng Poincaré (H,g) với  trường mục tiêu U  yE2 trực chuẩn H ,  E1 ; E2  trường mục tiêu trực chuẩn R  đường 35 cong xác định tham số hoá  :  0;     x0  R cos t ; R sin t  , R  cho trước Ta có 12  1  '(t )    R sin t; R cos t   '(t )   R sin t E1   (t )  R cos t   (t )   R sin t 1 U1   (t )  Rcost U   (t ) R sin t R sin t  U1   (t )  cot U   (t ) Suy 12   '(t )   1   '(t )   1  U1   (t )  cot.U   (t )  Với   T ( a ) H tồn trường véc tơ song song dọc  b X (t )  c  cos (t).U1 (t )  sin  (t ).U  (t )  , đó,  (t )   ( a )   12   '(u )  du a với X (a )   b Do  (t )   (a )   du   (a )  t  a a Đặt B   (a )  a ta có  (t )   B Vậy X (t )  c  cos(t+B).U1   (t )  sin(t  B).U   (t )  , với X (a)  c  cos (a).U1   (a)  sin  (a).U   (a)  Phép chuyển dịch song song từ Tp M đến Tq M dọc theo trường khả vi  nối p q nói chung phụ thuộc vào đường nối Tuy nhiên, ta có mệnh đề sau : 2.21 - Mệnh đề : Khi R  phép chuyển dịch song song không phụ thuộc vào đường nối điểm p q (trong R Ten xơ cong M, xác định R ( X ,Y , Z )   X Y Z  Y  X Z   X ,Y  Z ) Chứng minh : Giả sử J khoảng đóng không suy biến,  :  ;    J  M ánh xạ khả vi cho   ; s   p;   s;    q với s  J Như  cho học đường nối p q 36 Giả sử v  Tp M ;Y  B(  ) trường véctơ cho t  Y (t ; s ) song song dọc theo t   (t ; s) s cố định thuộc J Y ( ; s )  v s  J Vậy với s  J ta có Và Y dt Y dt  (1) (t ;s ) 0 (2) ( ; s ) Từ (1) suy Ta có R(  ds dt 0 (3) (t ;s )       , ,Y)= YY-    Y s t  s t t s   s , t           YY (vì  ,   ) s t t s  s t  Mặt khác, theo giả thiết, R=0 nên Do từ (3) suy     Y= Y s t t s   Y 0 t s (t ,s ) Điều có nghĩa t   Y s song song dọc theo t    t; s  t ,s  Y  , trường véc tơ trở thành không t   (theo (2)), đặc biệt, s t ,s   Y  Y ( s,  ) không phụ thuộc vào s Từ ta suy phép chuyển s  s ,  dịch song song từ Tp M đến Tq M dọc theo đường khả vi  nối p q không phụ thuộc vào đường nối p q 2.22 Ví dụ : Phép chuyển dịch song song dọc đường cong   R ,. phép tịnh tiến Thật vậy, giả sử  :  a, b  R ; t   (t ) tham số hoá đường cong  37 R n Xét phép chuyển dịch song song dọc  sau : Với   T ( a ) R tồn trường véc tơ X song song dọc  mà X (a )   Vì DX X  nên X song dt dt  DX X song kéo theo   Do đó, X trường véc tơ hằng, hay X (t )  a; t dt dt  R ,. , (Ở ‘’.’’ Là tích vô hướng thông thường) Vì phép chuyển dịch song song dọc đường cong  :   2 f : T ( a ) R  T ( b ) R ;   mà   a;   a phép tịnh tiến R Rõ ràng phép chuyển dịch song song  R ,. không phụ thuộc vào cung đoạn  nối  (a ) với  (b) Bây ta xét phép chuyển dịch song song f : T ( a ) M  T ( b ) M phép chuyển dịch song song dọc cung tham số  :  a; b  M ; t   (t ) đa tạp Riemann – chiều M với  (a )   (b) (tức ảnh  đường khép kín  (a ) ), phép chuyển dịch song song dọc  phép biến đổi trực giao T ( a ) M 2.23 - Mệnh đề : Phép chuyển dịch song song dọc cung tham số đa tạp Riemann - chiều không thay đổi đổi tham số hóa cung Chứng minh : Thật vậy, giả sử  :  a; b  M ; t   (t ),  :  c; d    a; b ; s   ( s) vi phôi r     :  c; d   M Theo 5 ta có, giả sử X trường véc tơ dọc  X   trường véctơ dọc    Vì  d   X  ( X  )    ds ds  dt  (*) X   kết hợp với (*) suy ( X   )  Giả sử X song song dọc  dt ds X   trường véctơ dọc    Vì T ( a ) M  T    1 (a)  M ;T (b ) M  T   1 (b) nên phép chuyển dịch song song dọc  phép chuyển dịch song song dọc 38  M    trùng f : T ( a ) M  T ( b ) M ;     X (a );   X (b) 2.24 – Định lý : Phép chuyển dời song song bất biến qua vi phôi đẳng cự đa tạp Riemann - chiều Chứng minh : Giả sử  :  a; b  M , t   (t ) cung tham số đa tạp Riemann - chiều M, f : M  M vi phôi đẳng cự từ đa tạp Riemann 2-chiều M lên đa tạp Riemann - chiều M X trường véctơ song song dọc  , tức X 0 dt Ta kí hiệu X trường véc tơ dọc cung f   M X (t )   f* X  (t ) theo định lý 1.3.5, chương I ta có  f X  (t )    f U  f * *     (t )    f*U  f    (t )    f    (t )   U   f    (t )  1 U  2 X  X   Nên f* ( t )  (t )   dt  dt  Với  liên thông Lêvi-Civita M Do (vì f vi phôi đẳng cự) Từ suy X trường véctơ song song dọc f   M Giả sử X(t) = 1U1.  (t )  2U   (t ) Khi đó, X (t )   f* X  (t )  1  f*U1  f       f *U  f      t   1  f*U1  f     (t )    f*U  f     (t )    f    t    U   f     t   1 U1  2 Với phép dịch chuyển song song dọc     a     X  b  Trong đó,   T ( a ) M ;   T ( b ) M , qua vi phôi đẳng cự ta có phép dịch chuyển song song     dọc f   mà   X (a )    X (b) ,   T f   ( a ) M ;   T f   ( b ) M f : T ( a ) M  T ( b ) M ;    X  b   X     1  b   39 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số nội dung sau: Nêu chi tiết định nghĩa, ví dụ chứng minh tính chất đa tạp Riemann, dạng liên thông đa tạp Riemann, đạo hàm dọc cung tham số chuyển dịch song song dọc  Chứng minh công thức đổi mục tiêu   c  d c  c 1 c , (định lý 1.10) Chứng minh công thức DX X    h(  ') X  n , (mệnh đề 2.8) dt dt Phép vi phôi đẳng cự đa tạp Riemann – chiều bảo tồn đạo hàm dọc đường cong  , (định lý 2.24) Trong thời gian tới, tiếp tục khảo sát đạo hàm dọc đường cong siêu mặt đa tạp Riemann n – chiều 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1 Khu Quốc Anh – Nguyễn Doãn Tuấn  2011 , Lí thuyết liên thông hình học Riemann, NXB Đại học sư phạm  2 Trần Việt Dũng 1995 , Bài giảng đa tạp khả vi, ĐHSP Vinh 3 Trần Thị Lan Hương  2007 , Về liên thông Lêvi – Civita đa tạp Riemann, Luận văn thạc sỹ, Đại học vinh  4 Đinh Thị Thuý Nhung  2010 , Về liên thông pháp đa tạp Riemann, Luận văn thạc sỹ, Đại học vinh 5 Nguyễn Hữu Quang  2005 , Đa tạp khả vi, ĐHSP Vinh  6 Nguyễn Hữu Quang  2005 , Mở đầu hình học Riemann, ĐHSP Vinh   Đoàn Quỳnh  2001 , Hình học vi phân, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Tiếng Anh 8 Barrett, O’Neill 1983 , Semi Riemannian geometry Academic Press – New york London 9 S Gallot, D Hulin, J Lafontaine 1990 , Riemannian Geometry Springer – Ver-lag 10 D Groomoll, W.Klingenberg, W Meyyer, Hình học Riemann toàn cục, dịch tiếng việt, Thư viện đại học vinh 41 [...]... chuẩn U 1 ,U 2 .Ta có : 22 X Y X Y Y + X = Y + X dt dt dt dt  =   X   X  1      U   X   X  2     U Y U  Y U  2 2 1 1 1 1 2 2  2  1  1  2 +  Y1  Y2 21     U1  Y2  Y1  12      U 2  X 1.U1  X 2 U 2   =  X 1  X 2 21      Y1 + Y1  Y2 21      X 1     +  X 2  X 1. 12      Y2 + Y2  Y1. 12      X 2     = X... 1 và  12 U 2    2 Để tìm  12 , ta cần tìm các hàm số 1 ,  2 Giả sử  d1    1   2  d 2   1   2  d1 U 1 , U 2     d 2 U 1 , U 2    Ta lấy 1   ;  2   Khi đó:  12 =   1   2 Bây giờ ta kiểm tra hai điều kiện của  12 Ta xét :   21   2  1   2    2 = 1   2 = d1 15  12  1   1   2    1 =  2   1 = 1   2 = d 2 n 1.8... Y2 + Y2  Y1. 12      X 2     = X 1.Y1 + Y1 X 1 + X 2 .Y2 + Y2 X 2 + X 2 Y1. 21     + Y2 X 1. 21     + X 2 Y1. 12    + Y2 X 1. 12    = d   X 1 , X 2  Y1 ,Y2   dt  X Y + 1 2  X 2 Y1   12     +  X 1.Y2  X 2 Y1  21    = d  X Y  +  X 1.Y2  X 2 Y1   12       X 1.Y2  X 2 Y1   12     dt = d  X Y  dt d  X Y  dt Vậy X Y + dt = Y X dt... U1,U 2  21 Từ định nghĩa ta có :    X  Y  =  X 1  Y1    X 2  Y2  21     U1 dt    +  X 2  Y2    X 1  Y1   12     U 2     X 1  X 2 . 21 (  ')  U 1   X 2  X 1. 12     U 2      Y1  Y2 21      U 1 + Y2  Y1. 12      U 2      Vậy X Y  dt dt  X  Y  dt = X dt Y dt + 2 Với X X i  đối với cơ sở trực chuẩn U 1 ,U 2 ... LIÊN THÔNG TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Như ta đã biết ( xem [ 2 ] ) một đa tạp khả vi n - chiều M được gọi là đa tạp khả song nếu tồn tại trên M một hệ trường mục tiêu  X 1 , , X n  ; X i  B( M ) , (nghĩa là  X 1  p , , X n  p   là một cơ sở của T p M ; p  M ) Trong suốt luận văn này, ta luôn giả thiết rằng M là một đa tạp khả song 2 chiều Giả sử M là đa tạp khả song 2 – chiều với U1 ,U 2  là trường... trực chuẩn U 1 ,U 2  và  là hàm số khả vi trên J Ta có :   X  = dt +   X     X 1 2    X 2           U 1 2  1  X 1   12     U 2  =   X 1   X 1   X 2 21      U 1   +   X 2   X 2   X 1. 12     U 2   =  . X 1.U1  X 2 U 2  +   X 1  X 2 21      U 1   +   X 2  X 1. 12      U 2   = (   X ) +  Vậy :  X... phân  12 được gọi là một dạng liên kết của đa tạp Rieman 2 - chiều đối với trường mục tiêu trực chuẩn U 1 ,U 2  1.7 - Mệnh đề: Giả sử 1 , 2  là trường đối mục tiêu của U 1 ,U 2  Khi đó tồn tại duy nhất 1 - dạng  12  1 U   , thoả mãn : d1   12   2 ; d 2   21  1 Chứng minh Giả sử 1 - dạng vi phân cần tìm  12 = 1 1   2 2 Khi đó  12 U 1   11 U 1    2 2 U 1 ...  , x t  1 2 dt   t0    1  t   12     t    U 2  p          =   1 x1  t   1 x2  t     2  t  21     t      x1 x2  t   0       2 2 2   x  t   x 2  t     1  t  1     t      x1 1 x2  t   0  2 =   i 1    2    1  i   2 21  p   U1  p  +   2  i   1. 12  p   U 2  p    i 1...  X Z 2. 7 - Hệ quả : Với X p là tiếp tuyến với đường cong  t  tại t  và p   t   Khi 2 +   2  X  p   x i  2   2 đó : 2  X U i   i j  X U j j 1 Thật vậy : với U 1 1,0;U 2 0,1 Ta có :      X U1 | p  0  21  X p .0 U1  p   0   12  X p .1 U 2  p  =  12  X p  U 2  p  ; p  M Vậy  X U 1   12  X U 2 Tương tự, ta có :  X U 2  21  X U1 2 Hay ta... chương I ta có : 21   1 và 21 (  '(t ))  0 Giả sự X= 1 (t ).U 1     2 (t ).U 2    d 1  d 1 1 2  dt  2 (  ')  0  dt  0  1  C1 X song song dọc    2  2  2 d  d    C2    12 (  ') 1  0  0   dt  dt Trong đó C1; C2  const Do đó, X=C1 U1    C2 U 2   với X(a)= =C1.U1   (a )  C2 U 2   (a ) Ta có phép dịch chuyển song song dọc  là 29 f : T  a  ... (mệnh đề 2. 8) dt dt Phép vi phôi đẳng cự đa tạp Riemann – chiều bảo tồn đạo hàm dọc đường cong  , (định lý 2. 24) Trong thời gian tới, tiếp tục khảo sát đạo hàm dọc đường cong siêu mặt đa tạp Riemann. .. ứng dụng đạo hàm dọc đường cong đa tạp Riemann - chiều II CHUYỂN DỊCH SONG SONG TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Bây ta giả sử  : J  M , t    t  ánh xạ khả vi từ J= [a,b] lên đa tạp Riemann hai chiều M... l 1  l 1 k k 19 CHƯƠNG II ĐẠO HÀM CỦA TRƯỜNG VECTƠ DỌC ĐƯỜNG CONG TRÊN ĐA TẠP RIEMANN - CHIỀU Trong suốt chương này, ta kí hiệu  đường cong đa tạp Riemann – chiều M với đồ U  ,   liên