Phép đẳng cự trên một số đa tạp Riemann

MỞ ĐẦU Trong trình phát triển lý thuyết hình học vi phân, đa tạp Riemann nội dung quan trọng nhà toán học giới khảo sát Một phần quan trọng đa tạp Riemann khảo sát ánh xạ đẳng cự Đa tạp Riemann, biết đa tạp khả vi cho với phần tử đa tạp, không gian tiếp xúc điểm trang bị metric Riemann, tức tích vô hướng tương thích với cấu trúc khả vi đa tạp Với mong muốn tìm hiểu nghiên cứu sâu bất biến ánh xạ đẳng cự đa tạp Riemann đặc biệt phép biến đổi đẳng cự mô hình nửa phẳng Poincaré hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Nguyễn Duy Bình, chọn đề tài “Phép đẳng cự số đa tạp Riemann” để nghiên cứu Nội dung nghiên cứu luận văn khảo sát ánh xạ đẳng cự mối quan hệ với khái niệm đa tạp Riemannn đặc biệt tính bất biến đẳng cự, ứng dụng để khảo sát phép biến đổi đẳng cự nửa phẳng Poincaré, đĩa mở Poincaré, đặc biệt mở rộng nửa phẳng Poincaré – nửa không gian Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn chia làm hai chương Chương 1: Đa tạp Riemann Trong chương này, trình bày kiến thức đa tạp khả vi đa tạp Riemann có liên quan đến việc nghiên cứu ánh xạ đẳng cự đa tạp Riemann, kiểm tra bất biến đẳng cự Chương 2: Phép đẳng cự số đa tạp Riemann Trong chương này, tập trung khảo sát phép biến đổi đẳng cự nửa phẳng Poincaré, đĩa mở Poincaré, thể qua việc xác định metric Riemann, khảo sát phép biến đổi đẳng cự mở rộng số kết cho trường hợp nửa không gian trên, xét đa tạp Riemann – chiều Chương ĐA TẠP RIEMANN Trong chương trình bày lại số kiến thức đa tạp khả vi đa tạp Rienmann đa tạp tôpô, đa tạp khả vi, đa tạp Riemann, ánh xạ đẳng cự, số tính chất ánh xạ đẳng cự, số bất biến ánh xạ đẳng cự Các kiến thức trình bày trích dẫn tài liệu [1], [3], [4], [5] 1.1 Đa tạp tôpô đa tạp khả vi 1.1.1 Đa tạp tôpô (xem [1]) Cho M không gian tôpô Haudorff Một đồ M cặp (V,  ) V tập mở M  : V → V’ đồng phôi từ V lên tập mở V’ n Giả sử (V,  ) đồ M Khi với x V,  (x)V’được hiển thị dạng  (x) = (x1, x2, , xn) x1, x2, , xn  Ta gọi số xi toạ độ địa phương x Một họ đồ {(Vi ,i )}iI M cho {Vi )}iI phủ mở M gọi atlas M Không gian tôpô M có atlas gọi đa tạp tôpô 1.1.2 Đa tạp khả vi (xem [1]) Cho M không gian tôpô Hausdorff Atlas {(Vi ,i )}iI M gọi atlas khả vi M với hai đồ tùy ý (V1, 1 ),(V2, 2 ) atlas cho V1∩V2   1 : V1→ V1' , 2 : V2→ V2' , ta có ánh xạ: 2 11 1 V1V2  : 1  V1  V2   V2' ánh xạ khả vi Trên tập atlas khả vi không gian tôpô M ta xét quan hệ hai sau: Cho A = {(Ui ,i )}iI , B = {(Vj ,j )}jJ hai atlas M Khi A gọi tương đương với B, kí hiệu A B, {(U i ,i ),(Vj ,j )}iI,jJ atlas khả vi M Quan hệ hai quan hệ tương đương lớp tương đương gọi cấu trúc khả vi M Do lớp tương đương hoàn toàn xác định đại diện nên atlas khả vi hoàn toàn xác định cấu trúc khả vi Không gian tô pô Hausdorff M với cấu trúc khả vi xác định atlas {(Vi ,i )}iI với i :Vi→ Vi'  n gọi đa tạp khả vi n chiều, ký hiệu dimM = n 1.1.3 Ví dụ n n đa tạp khả vi n – chiều với atlas {( ,id )} Cho M đa tạp khả vi với atlas {(Vi ,i )}iI N tập mở M Khi N đa tạp khả vi với atlas Xét siêu cầu n chiều  Sn  x   x1, x , , x n 1   n 1 Gọi N = (0, 0, , 0, 1)   N  V ,  n 1 i i NVi  iI :  , x12  x 22   x n2  n 1 S = (0,0, ,0,−1)  n 1 điểm cực bắc cực nam Sn Xét UN = Sn \ {N}, US = Sn \ {S} tập mở Sn Ta có {UN, US} tạo thành phủ mở Sn Xét phép chiếu PN lên siêu phẳng xn + = cho với x  UN, ảnh PN(x) giao đường thẳng nối điểm điểm cực bắc đến siêu phẳng xn + = Phép chiếu từ cực nam PS xác định tương tự Khi Sn đa tạp khả vi với atlas {(UN,PN),(US,PS)} 1.1.4 Ánh xạ khả vi (xem [1]) Cho M N đa tạp khả vi có số chiều m, n Ánh xạ f: M → N gọi ánh xạ khả vi f ánh xạ liên tục với đồ (U,  ) M, đồ (V,  ) N cho U ∩ f-1(V )   ta có ánh xạ  ◦ f ◦ 1 từ tập mở  (U ∩ f-1(V )) m vào n ánh xạ khả vi Ánh xạ khả vi f : M → N có ánh xạ ngược f -1 : N → M khả vi gọi vi phôi 1.1.5 Trường mục tiêu đa tạp khả vi 1.1.5.1 Định nghĩa (xem [3]) Giả sử M đa tạp khả vi, C  M  tập hàm khả vi M ánh xạ X: C  M  → gọi véctơ tiếp xúc p  M X thoả mãn: i X(f + g)(p) = X(f)(p) + X(g)(p), ii X(fg)(g) = X(f)g(p) + f(p)X(g) Chúng ta có kết vectơ tiếp xúc thể qua định lí sau: 1.1.5.2 Định lí (xem [3]) Tập hợp Tp(M) tất véctơ tiếp xúc p không gian véctơ hữu hạn chiều với số chiều dimM 1.1.5.3 Định nghĩa (xem [3]) a Cho M đa tạp khả vi Khi T(M) = T pM p  M gọi phân thớ tiếp xúc M không gian véc-tơ Tp(M) gọi thớ qua p Mỗi ánh xạ X : M → TM cho với p  M, X(p)  Tp(M) gọi trường véctơ M b Trường mục tiêu đa tạp n – chiều M họ n trường véctơ {X1, X2, , Xn} M cho p  M, hệ véctơ {X1(p), X2(p), , Xn(p)} sở không gian véc-tơ TpM 1.2 Đa tạp Riemann 1.2.1 Đa tạp Riemann (xem [1]) Cho M đa tạp khả vi Một cấu trúc metric Riemann M việc đặt tương ứng với p  M tích vô hướng TpM cho với hai trường véctơ (tiếp xúc) khả vi X, Y M, hàm số p → X  p  ,Y  p  hàm khả vi Đa tạp M với metric Riemann xác định M gọi đa tạp Riemann Kí hiệu (M, , M ) 1.2.2 Độ dài cung (xem [4]) Cho α : I → M đường cong lớp C1 đa tạp Riemann (M, , M ) Độ dài α xác định sau: L       '  t  dt   I  ' t ,  ' t  I M dt 1.2.3 Ví dụ n với tích vô hướng tắc đa tạp Riemann Chứng minh n Theo ví dụ ta có xúc điểm n p  đa tạp khả vi Tại điểm p  n Xét M = n n , không gian tiếp nên tích vô hướng không gian tiếp xúc điểm p cảm sinh từ tích vô hướng tắc Vậy với n n tích vô hướng tắc đa tạp Riemann p  M ta xác định tích vô hướng : , với tích vô hướng tắc n Khi đó,  n , , M M  1  p  2 Xp , Xp ,  đa tạp Riemann n - chiều Chứng minh Ta có n đa tạp khả vi Mặt khác ta có tích vô hướng điểm p  cảm sinh từ tích vô hướng tắc  Cho γ:  n Vậy n , , n p không gian tiếp xúc Do tích vô hướng xác định  đa tạp Riemann n – chiều Bây ta xét độ dài đường cong đa tạp Rienmann  metric Riemann  n n M n , , M  đường cong xác định γ(t) = (t, 0, , 0), với t n  Khi độ dài L(γ) γ xác định sau: L     '  t  dt  2   ' t  ,  ' t  1  dt  2  Bn hình cầu mở n – chiều, tức Bn  x  Riemann sau: , Bn   Khi Bn , , 1  p  2 Bn  n  dt  2acr tan t   Gọi 1 t2  x  Trên Bn ta trang bị metric Xp ,X p  đa tạp Riemann gọi không gian Hypebolic n – chiều Kí hiệu Hn Bây ta xét độ dài cung tham số Bn Cho γ : (0,1) → Hn đường cong xác định γ(t) = (t, 0, , 0), với t  (0,1) Khi độ dài L(γ) γ xác đinh sau: L       '  t  dt  2 1  ' t  ,  ' t  1  dt 1 t  2ln   1 t 1 t dt  2 1.3 Ánh xạ đẳng cự đa tap Riemann 1.3.1 Ánh xạ đẳng cự (xem [1]) Cho M, N đa tạp Riemann n – chiều Khi ánh xạ f : M  N gọi ánh xạ đẳng cự với điểm p  M, ta có Tpf : Tp M  Tf(p) N ánh xạ tuyến tính bảo toàn tích vô hướng Trường hợp ánh xạ đẳng cự f đồng thời vi phôi gọi vi phôi đẳng cự Một ánh xạ đẳng cự f: M → M gọi phép biến đổi đẳng cự đa tạp Riemann M Từ định nghĩa ta có nhận xét sau: 1.3.2 Nhận xét Ánh xạ đồng id phép biến đổi đẳng cự Nghịch đảo phép biến đổi đẳng cự phép biến đổi đẳng cự Tích phép biến đổi đẳng cự phép biến đổi đẳng cự Nói cách khác, tập hợp phép biến đổi đẳng cự M lập thành nhóm gọi nhóm đẳng cự 1.3.3 Các tính chất 1.3.3.1 Mệnh đề (xem [5]) Ánh xạ khả vi f : M  N đa tạp Riemann n-chiều ánh xạ đẳng cự ánh xạ tiếp xúc Tpf bảo tồn môđun véctơ Chứng minh  f ánh xạ đẳng cự ánh xạ tiếp xúc Tpf bảo tồn môđun véctơ Suy Tpf: TpM  Tf (p) N bảo tồn tích vô hướng Nghĩa là: p  TpM, p  TpM Tpf(P )  Tf (p) N ; Tpf(P )  Tf (p) N Ta có: Tpf(p ).Tpf(P )  p p (1) Lấy P  p Suy (1)  Tpf(p ).Tpf(P )  p p  Tpf(p )  p  Tpf(p )  p Tức Tpf bảo tồn môđun véctơ   Ánh xạ tiếp xúc Tpf bảo tồn môđun véctơ nên ta có: Tp f(p  p )  p  p (2) Mà theo định nghĩa Tpf ánh xạ tuyến tính nên ta có: Tpf(p  p )  Tpf(p )  Tpf(p ) Suy điều kiện (2) tương đương với (Tpf(p )  Tpf (p ))2  (p  p )2  Tpf (p )  2Tpf (p ).Tpf (p )  Tpf (p )  p2  2pp  p2  Tpf (p ).Tpf (p )  p p (do Tp f bảo tồn môđun véctơ)  f ánh xạ đẳng cự (đpcm) 1.3.3.2 Mệnh đề (xem [5]) Ánh xạ (khả vi) f : M  N đa tạp Riemann n-chiều ánh xạ đẳng cự ánh xạ (khả vi) f bảo tồn độ dài cung Chứng minh  Ánh xạ đẳng cự  ánh xạ khả vi bảo tồn độ dài cung Vì f ánh xạ đẳng cự  Tp f bảo tồn tích vô hướng Mà độ dài cung tính theo công thức: b L()   ( '(t) dt a b L(f )   f )'(t) dt a Theo mệnh đề 1.3.3.1 ta có (fo)'(t)   '(t) Vậy L()  L(f ) tức f bảo tồn độ dài cung   f bảo tồn độ dài cung  f ánh xạ đẳng cự Để chứng minh f ánh xạ đẳng cự, ta chứng minh ánh xạ: Tpf:Tp M  Tf(p) N bảo tồn tích vô hướng tức là:          Tp f p  p , với p  TpM (3) Giả sử: p   '(t) với  ' cung đa tạp M, suy để chứng minh f đẳng cự ta cần chứng minh f thoả mãn (3) Thật vậy: Do f ánh xạ (khả vi) bảo tồn độ dài cung tức là: a a b b F(t)   ( '(t) dt   f  '(t) dt Từ ta có:  '(t)  F'(t) f  '(t)  F'(t)    '(t)  (f  '(t)   p  Tp f  p Do ta có mệnh đề 1.3.3.1 f ánh xạ đẳng cự 1.3.3.3 Mệnh đề (xem [5]) Ánh xạ (khả vi) f : M  N đa tạp Riemann n-chiều ánh xạ đẳng cự ánh xạ (khả vi) f bảo tồn dạng thứ Chứng minh Chứng minh mệnh đề tương tự chứng minh mệnh đề 1.3.3.1 1.3.3.4 Mệnh đề (xem [5]) Ánh xạ vi phôi f : M  N đa tạp Riemann n-chiều ánh xạ đẳng cự ánh xạ f bảo toàn khoảng cách hai điểm (Với đa tạp Riemann liên thông (tức liên thông cung) (M,g), định nghĩa hàm khoảng cách d : M M  R  p,q  infL(p)  cung nhẵn khúc M nối p với q) Chứng minh  f:M  N ánh xạ đẳng cự  f bảo toàn khoảng cách hai điểm Hiển nhiên điều suy từ mệnh đề 1.3.3.2   f:M  N bảo tồn khoảng cách hai điểm  f đẳng cự Thật vậy, lấy véc tơ  p f  Qua p tồn đường trắc địa cực tiểu f*   (t ) (độ dài nhỏ nhất)  cho: p   0  p,  '  0   t(p) N f*:TpM  T(f)pN Theo chứng minh f  đường trắc địa  f   '  f* Suy tồn lân cận U f(p) cho U:f  cung trắc địa cực tiểu suy tồn t0 đủ nhỏ cho t d(p,  (t))    '(t) dt t  t t0 t d(f(p), f (t))   (f )'(t) dt vì: d(p, (t))  d(f(p), f (t))  t t  t t0 t t  '(t)   (f )'(t) t0 Theo mệnh đề 1.3.3.2 ta suy f ánh xạ đẳng cự 1.3.3.5 Mệnh đề (xem [5]) f vi phôi đẳng cự: M  N đa tạp Riemann n – chiều f vi phôi bảo giác đẳng diện Chứng minh  f vi phôi đẳng cự  f vi phôi bảo giác đẳng diện Trước hết ta chứng minh f vi phôi đẳng cự  f đẳng diện tức phải chứng minh f bảo tồn diện tích miền compact với bờ đa tạp f  f (M ')  N Thật M’ compact M  Ta chứng minh Vol(M’) – Vol(f(M’)) r  r(U ) Giả sử: M '   r(U ) : U   r(U )   phân hoạch đơn tương ứng phủ f r Ta có f(M')=  f r (U ) với đồng phôi địa phương U   f r(U )    Và  f 1 phân hoạch đơn vị tương ứng với phủ {f r(U )} V l(M ')   Ta có  (  U V l(f(M ')    f  U r ) det(g ij )dU 1 (f r ) det(g 'ij )dU Thật vậy, ta thấy từ công thức tính diện tích miền compact với bờ ta thấy diện tích phụ thuộc vào định thức Gr = (gij) Trong M diện tích miền compact với bờ tính theo công thức với định thức  r 'u1 ,r 'u1   r 'u1 ,r 'u1    Gr  gij   r 'u ,r 'u   r 'u ,r 'u   r 'ui ,r 'u j   r 'u n ,r 'u n   r 'u n ,r 'u n  Trong N diện tích miền compact với bờ tính công thức với định thức bằng: [...]... điều kiện đẳng cự 25 2  2  2 Từ đó ta có f là một vi phôi đẳng cự từ D đến H2 2.2.3 Các phép biến đổi đẳng cự của đĩa mở Poincaré (xem [3]) Cho f: D → H2 là vi phôi đẳng cự trong Định lý trên và h: H2 → H2 là phép biến đổi đẳng cự của H2 Khi đó f-1◦h◦f là một phép biến đổi đẳng cự của D Từ các phép biến đổi đẳng cự của H2 và nhận xét trên ta có thể xác định được các phép biến đổi đẳng cự của D Mệnh... qua vi phôi đẳng cự)  R(f*,f*,f*),f*  f*R(, , ),f*  R(, , ),   Vậy độ cong tiết diện của đa tạp Riemann bất biến qua vi phôi đẳng cự 14 Chương 2 PHÉP ĐẲNG CỰ TRÊN MỘT SỐ ĐA TẠP RIEMANN Trong chương này chúng tôi tập trung khảo sát cấu trúc đa tạp Rienmann 2 – chiều của nửa phẳng Poincaré và đĩa mở Poincaré thể hiện qua việc xác định metric Rienmann, các phép biến đổi đẳng cự, Từ đó... 2 xác định một cấu trúc t2 Riemann trên H3 Vậy H3 cùng với metric xác định như trên là một đa tạp Riemann 3 – chiều 2.3.2 Nhận xét Cấu trúc metric Riemann của nửa không gian trên H3 trong không gian 3 – chiều 3 có thể xét như là mở rộng từ metric Riemann của nửa mặt phẳng Poincare H2 trong không gian 2 – chiều 2 2.3.3 Biến đổi đẳng cự của H3 Để khảo sát các biến đổi đẳng cự của đa tạp Riemann H3,...   là một phép biến đổi đẳng cự của D trong 2 c Xét phép biến đổi đẳng cự của H2 h3: z  z, k    Khi đó (g ◦ h3 ◦ f)(z) là một phép biến đổi đẳng cự của D zi 2 i   2z  i  iz 2  i iz  1 zi  zi  iz  1  (g ◦ h3 ◦ f)(z) = (g ◦ h3)     g 2 2  iz  1   iz  1  i z  i  1 2iz  1  z  iz  1 iz  1 Vậy z 2z  i  iz 2  i iz  1 2 2iz  1  z  iz  1 2 2 là một phép biến... đổi đẳng cự của D trong 2 d Xét phép biến đổi đẳng cự của H2 1 h4: z z Khi đó (g ◦ h4 ◦ f)(z) là một phép biến đổi đẳng cự của D 1  zi    1   i 2  z  i   iz  1  2iz  1  z 2  iz  1  zi    (g ◦ h4 ◦ f)(z) = (g ◦ h4)      g   2 2 1  iz  1  iz  1  i  2z  iz  i iz  1    zi   i  1  iz  1  Vậy z 2iz  1  z 2  iz  1 2 là một phép biến đổi đẳng cự. .. là một đa tạp Riemann 2-chiều với cấu trúc Riemann , D = ψ.can, trong đó   x, y   1   x 4 2 y 2  2 và can là cấu trúc Riemann chính tắc trên D cảm sinh từ tích vô hướng thông thường trong 2 Ta gọi D với cấu trúc Riemann nói trên là đĩa Poincaré, kí hiệu (D, , D ) 2.2.2 Vi phôi đẳng cự giữa nửa phẳng Poincaré và đĩa Poincaré (xem [1]) Kết quả dưới đây cho ta mối liên hệ vi phôi đẳng cự. .. ZX,Y    X, ZY   Zg  0 Vậy  là liên thông Lêvi – Civita trên M cho nên    Do đó XY  f*1f*Xf*Y  f*XY  f*Xf*Y 1.3.4.3 Hệ quả (xem [5]) Qua vi phôi đẳng cự cung trắc địa biến thành cung trắc địa Chứng minh Cho cung trắc địa  trên đa tạp Riemann M, qua vi phôi đẳng cự f : M  N , khi đó f (  ) là cung trắc địa trên đa tạp N Thật vậy, theo định nghĩa  là cung trắc địa suy ra  '... biến qua vi phôi đẳng cự f) hay f  'f  '  0  fo cũng là cung trắc địa 1.3.4.4 Định nghĩa (xem [1]) p là một điểm của đa tạp Riemann (M,g) p là một 2-phẳng trong TpM (không gian véc tơ con 2 chiều của Tp(M) lấy một cơ sở  ,  của p thì độ cong tiết diện K(p ) là số: K(p )   R(, , ),    ,   ,     ,  2 13 1.3.4.5 Mệnh đề (xem [5]) Độ cong tiết diện của đa tạp Riemann bất biến... f)(z) = g   a   iz  1   iz  1  i  z  i  a   1 2  az  ia    iz  1  Vậy z 2z  a  iaz ,a  2  az  ia  là một phép biến đổi đẳng cự của D trong b Xét phép biến đổi đẳng cự của H2 h2: z kz,(k   ) Khi đó (g ◦ h2 ◦ f)(z) là một phép biến đổi đẳng cự của D 26 2 zi k i z  i z  i     iz  1 (g ◦ h2 ◦ f)(z) = (g ◦ h2)   g k      iz  1   iz  1  ik z  i  1 iz... 2 2 y  2 2  0 Vậy phép biến đổi (4) là phép biến đổi đẳng cự 5 Phép biến đổi (5) được viết dưới dạng h 5  z   az  b cz  d Xét các trường hợp sau: a) Trường hợp c = 0, khi đó az  b a b  z cz  d d d do ad − bc = ad > 0 và b  d Khi đó ta có  a  az  b h1◦ h 2  z   h1  z    h5  z  d d  Vậy (5) là tích 2 phép biến đổi đẳng cự Hay (5) là phép biến đổi đẳng cự 19 b) Trường hợp ...Chương ĐA TẠP RIEMANN Trong chương trình bày lại số kiến thức đa tạp khả vi đa tạp Rienmann đa tạp tôpô, đa tạp khả vi, đa tạp Riemann, ánh xạ đẳng cự, số tính chất ánh xạ đẳng cự, số bất biến... đổi đẳng cự Nghịch đảo phép biến đổi đẳng cự phép biến đổi đẳng cự Tích phép biến đổi đẳng cự phép biến đổi đẳng cự Nói cách khác, tập hợp phép biến đổi đẳng cự M lập thành nhóm gọi nhóm đẳng cự. .. vi phôi đẳng cự)  R(f*,f*,f*),f*  f*R(, , ),f*  R(, , ),   Vậy độ cong tiết diện đa tạp Riemann bất biến qua vi phôi đẳng cự 14 Chương PHÉP ĐẲNG CỰ TRÊN MỘT SỐ ĐA TẠP RIEMANN