Một số đa tạp trong đại số tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TUYẾT THANH MỘT SỐ ĐA TẠP TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TUYẾT THANH MỘT SỐ ĐA TẠP TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THANH SƠN Thái Nguyên - 2017 Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu 1 Nhắc lại số kiến thức hình học vi phân 1.1 Khái niệm đa tạp 1.1.1 Đa tạp tô pô 1.1.2 Đa tạp khả vi 1.1.3 Đa tạp 1.1.4 Hàm, ánh xạ đa tạp 1.1.5 Nhóm Lie Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc 10 1.2.1 Không gian tiếp xúc Rm 10 1.2.2 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc đa tạp 12 1.2.3 Đạo hàm ánh xạ 13 1.2.4 Một số ánh xạ khả vi đặc biệt 14 Phân thớ tiếp xúc 15 1.3.1 Phân thớ tiếp xúc đa tạp tô pô 16 1.3.2 Phân thớ tiếp xúc đa tạp khả vi 18 1.3.3 Móc Lie 21 1.3.4 Đại số Lie 22 1.3.5 Trường véc tơ bất biến nhóm Lie 24 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Đa tạp Riemann 24 1.4.1 Khái niệm 24 1.4.2 Khoảng cách 26 1.4.3 Nhóm đẳng cự 27 1.4.4 Không gian Riemann 27 1.4.5 Phân thớ chuẩn tắc 29 Liên thông Levi- Civita 30 1.5.1 Liên thông Rm 30 1.5.2 Liên thông Levi- Civita 30 1.5.3 Trường chuẩn tắc 32 1.5.4 Dạng thứ hai liên thông Levi- Civita đa tạp 33 Đường trắc địa 34 1.6.1 Trường véc tơ tiếp xúc 34 1.6.2 Cung trắc địa 35 1.6.3 Ánh xạ mũ 37 Một số đa tạp đại số tuyến tính 39 2.1 Đa tạp Grassmann 39 2.1.1 Cấu trúc tô pô G(k, n) 40 2.1.2 Cấu trúc vi phân G(k, n) 41 2.1.3 Cấu trúc Riemann đa tạp Grassmann 44 2.1.4 Đường trắc địa, ánh xạ mũ ánh xạ logarith 45 Đa tạp ma trận đối xứng nửa xác định dương 48 2.2.1 Định nghĩa đặc trưng 48 2.2.2 Không gian tiếp xúc 49 2.2.3 Mêtríc Riemann 50 2.2.4 Không gian pháp phép chiếu 51 2.2.5 Liên thông Riemann 52 2.2 i 2.2.6 Đường trắc địa 53 Kết luận Đề nghị 56 Tài liệu tham khảo 57 ii Bảng ký hiệu dimM Số chiều đa tạp M C ∞ (M ) tập tất hàm trơn M C ∞ (E) tập lát cắt trơn (E, M, π) C ∞ (T M ) tập trường vectơ trơn X : M → T M Sm mặt cầu đơn vị Rm Tp Rm tập tốn tử vi phân tuyến tính p Tp M không gian tiếp xúc M p G đại số Lie G ⊗ tích tenxơ khơng gian vectơ Ap hạn chế đa tuyến tính A tích tenxơ Tp M ⊗ ⊗ Tp M G(k, n) tập tất không gian k chiều R O(k, n) tập ma trận có cột trực chuẩn Rn ST (k, n) tập ma trận hạng đủ n hàng, k cột colsp(Y ) không gian Rn sinh cột Y Ink tập tất đa số J với J = (j1 , , jk ) ∈ Nk với ≤ j1 < < jk ≤ n AJ ma trận cỡ k × k chứa hàng j1 , , jk A với A ∈ Rk×n AC J ma trận bù AJ A iii ||x|| chuẩn Euclid E J := [ej1 ejk ] ma trận chứa vectơ đơn vị tương ứng Rn với J ∈ Ink J phần bù số J Ink S+ (k, n) tập ma trận thực cỡ n × n đối xứng nửa xác định dương có hạng cố định k , k ≤ n Rn×n sym tập ma trận đối xứng cỡ n × n trace(A) vết ma trận A rank(A) hạng ma trận Mở đầu Đa tạp đối tượng hình học giải tích Nó cấu trúc phong phú khơng tính chất mà ta xây dựng nhiều khái niệm khác Thơng thường, làm quen với đa tạp Rn hay đa tạp trừu tượng không gian tôpô bậc đại học Trên thực tế, nhiều vấn đề tính tốn, tối ưu có ràng buộc quy toán tập đối tượng đại số tuyến tính có tính chất đặc biệt, chẳng hạn tập không gian k chiều Rn , hay tập ma trận đối xứng nửa xác định dương có hạng cố định Ta khơng thể tính tốn tập đó, chẳng hạn nội suy, chiếu từ không gian lớn lên khơng có hiểu biết đầy đủ chúng Hóa ra, tập có cấu trúc phong phú lập lên đa tạp khả vi Luận văn trình bày số đa tạp mà phần tử lại đối tượng đại số tuyến tính Chúng tơi trình bày cấu trúc hình học chúng, khía cạnh tính tốn đối tượng liên quan đến đa tạp Những kiến thức vô quan trọng tảng khơng thể thiếu cho việc tính tốn đại số tuyến tính số ứng dụng thuật toán tối ưu đa tạp Nội dung luận văn dự kiến sau Chương I trình bày, có phần chi tiết, lý thuyết hình học vi phân, lý thuyết đa tạp nghiên cứu bậc đại học Tài liệu vấn đề tiếng Việt, chí tiếng Anh tương đối phong phú Tuy nhiên, tìm sách có đầy đủ ngun liệu cần cho chương sau, chẳng hạn ánh xạ mũ, liên thơng Riemann, đường trắc địa phương trình xác định nó, Do vậy, chúng tơi dựa vào tập giảng [7]và chọn cách trình bày lại chi tiết khái niệm cách hệ thống Nội dung luận văn nằm chương II Cụ thể, chúng tơi trình bày cấu trúc hình học phong phú đa tạp Grassmann - tập không gian có số chiều cố định Rn đa tạp ma trận đối xứng nửa xác định dương Còn nhiều chủ đề hay khơng trình bày giới hạn thời gian khuôn khổ luận văn thạc sĩ Mặc dù nghiêm túc cố gắng thực luận văn này, luận văn không tránh khỏi khiếm khuyết định Kính mong góp ý thầy cô để luận văn hoàn chỉnh ý nghĩa Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thanh Sơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình đầy trách nhiệm để tác giả hồn thành luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chun ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, Cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn K9Y; Nhà trường phòng chức Trường, Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, ủng hộ tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian nghiên cứu học tập Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Tuyết Thanh Chương Nhắc lại số kiến thức hình học vi phân Trong chương này, chúng tơi trình bày cách chi tiết khái niệm, tính chất quan trọng hình học vi phân Trong phần lớn kiến thức tìm thấy tài liệu tiếng Việt [2–4] nhiều tài liệu tiếng Anh kinh điển khác, số công cụ cho chương II lại không trình bày tài liệu nêu Vì thế, viết chương này, chủ yếu dựa vào tài liệu [7] Người đọc tham khảo tài liệu [1] 1.1 1.1.1 Khái niệm đa tạp Đa tạp tô pô Định nghĩa 1.1.1 Cho (M, τ ) không gian tô pô Hausdorff với sở đếm Khi M gọi đa tạp tơ pơ có số ngun khơng âm m cho với điểm p ∈ M , tồn lân cận U p tập mở V ⊂ Rm phép đồng phôi x : U → V Cặp (U, x) gọi đồ hay tọa độ địa phương M Số nguyên m gọi chiều M Ta viết M m để thể đa tạp M có m chiều Như vậy, không gian tô pô Hausdorff với sở đếm đa tạp tô pô m chiều mặt địa phương, đồng phơi với Rm 44 Chứng minh Từ Bổ đề 2.1.7 ta suy phần tử SE J xác định phân biệt với dựa (n − k)k phần tử ma trận chọn cách tự nhiên Theo đó, ta đồng SE J với R(n−k)×k Ngồi ra, kết Mệnh đề 2.1.6 nên σE J σE−1J tồn Hơn chúng ánh xạ liên tục Cuối ta giả sử E J1 , E J2 mà IN E J1 ∩ IN E J2 = ∅ Khi ánh xạ −1 (n−k)×k σE J1 ◦ σE J2 : σE J2 (SE J1 ∩ SE J2 ) → σE J1 (SE J1 ∩ SE J2 ) ⊂ R khả vi tích hai ánh xạ AJ AJ −1 AJ = X AJ = Ik Số chiều cấu trúc khả vi số chiều SE J (n − k)k Định nghĩa 2.1.10 Tập G(k, n) với cấu trúc vi phân nêu Định lý 2.1.9 gọi đa tạp Grassmann không gian k chiều Rn 2.1.3 Cấu trúc Riemann đa tạp Grassmann Cho điểm W ∈ G(k, n) Bây ta xác định không gian tiếp xúc TW G(k, n) W Cho W ∈ ST (k, n) sinh W , không gian dọc VW không gian ngang HW định nghĩa tập ma trận VW := W Rk×k , HW := W⊥ R(n−k)×k ⊂ Rn×k , W⊥ ma trận bù trực giao W Tức phần tử tập ST (n − k, n) cho W⊥ T W = Tên gọi chúng xuất phát từ việc phần tử VW không làm thay đổi ảnh W phần tử HW dịch chuyển ảnh W , tức điểm W Do đó, chúng biểu thị phần tử khơng gian tiếp xúc W G(k, n) Ngược lại, người ta với vectơ tiếp xúc ξ W , tồn vectơ ngang ξ♦W ∈ HW biểu thị ξ Vectơ ξ♦W gọi 45 nâng ngang ξ ∈ TW G(k, n) Khi ta thay đổi ma trận W biểu thị W thành W M M ∈ GL(k, n) nâng ngang thay đổi ξ♦W M = ξ♦W M Bây giờ, ta xây dựng mêtríc Riemann khơng gian tiếp xúc Cho ξ, ζ ∈ TW G(k, n), tích vơ hướng hai vectơ định nghĩa ξ, ζ W := trace((W T W )−1 ξ♦TW ζ♦W ) Ta có trace(((W M )T W M )−1 ξ♦TM W ζ♦M W = trace(M −1 (W T W )−1 M −T M T ξ♦TW ζ♦W M = trace(M −1 (W T W )−1 ξ♦TW ζ♦W M = trace(W T W )−1 ξ♦TW ζ♦W Điều chứng tỏ tích vơ hướng định nghĩa không phụ thuộc vào biểu diễn W W Khi đó, đa tạp G(k, n) với tích vô hướng lập thành đa tạp Riemann 2.1.4 Đường trắc địa, ánh xạ mũ ánh xạ logarith Đường trắc địa đa tạp Riemann Grassmann xây dựng phát biểu sau Mệnh đề 2.1.11 Cho Y(t) đường trắc địa G(k, n) xuất phát từ Y0 với hướng ban đầu Y˙ ∈ TY0 G(k, n) Giả sử Y0 ∈ ST (k, n) sinh Y0 , Y˙ 0♦Y0 nâng ngang Y˙ Đặt U ΣV T = Y˙ 0♦Y0 (Y0T Yo ) Y(t) = π(Y0 (Y0T Y0 ) −1 −1 phân tích giá trị kỳ dị Khi V cos(Σt) + U sin(Σt)) Từ kết biểu diễn đường trắc địa, ta định nghĩa ExpW : TW G(k, n) → G(k, n) ξ → Y(1), 46 ˙ Y(t) đường trắc địa xác định điều kiện ban đầu Y(0) = W Y(0) = ξ Từ Mệnh đề 2.1.11, ta tính ánh xạ mũ sau Giả sử W ∈ G(k, n) sinh W ∈ ST (k, n) ξ ∈ TW G(k, n) Giả sử thêm phân tích giá trị kỳ dị ma trận ξ♦W (W T W ) −1 = U ΣV T Khi ExpW (ξ) phân tử G(k, n) sinh ma trận (W(WT W) −1 (2.1) V cos(Σ) + U sin(Σ)) Ánh xạ logarith LogW ánh xạ cho tương ứng điểm lân cận W với vectơ không gian tiếp xúc W theo quy tắc, ánh xạ ngược ánh xạ ExpW Theo đó, ánh xạ LogW xác định sau Giả sử W, Z ∈ G(k, n) sinh W, Z ∈ O(k, n) cho det(W T Z) = Ký hiệu phân tích giá trị kỳ dị tích ma trận (I − W W T )Z(W T Z)−1 = U ΣV T Khi đó, nâng ngang ξ = LogW (z) (2.2) ξ♦W = U arctan(Σ)V T Ví dụ 2.1.12 Xét G(1, 2) Ta sử dụng O(1, 2) để biểu diễn phần tử G(1, 2) Về mặt hình học, ta xem O(1, 2) S ⊂ R2 ≡ C Xét phần tử z ∈ G(1, 2) biểu diễn Z = [1, 0]T Khi đó, khơng gian ngang Z có dạng HZ = {[0 a]T |a ∈ R} Không gian biểu thị đường thẳng song song với tiếp tuyến S (1, 0) Bây ta lấy vectơ θ ∈ Tz G(1, 2) có nâng ngang [0 θ]T cho Ký hiệu phân tích giá trị kỳ dị  θ♦Z Z T Z 1/2 =   [1 0]  θ  =     [θ] [1] 1/2 −π Đạo hàm hai vế theo t Y˙ (t) = Y0 (I + 2tH0 ) −1 H0 = Y0 (I + 2tH0 ) (I + 2tH0 )−1 H0 = Y (t) (I + 2tH0 )−1 H0 Do giả thiết PY⊥(0) Z(0) = 0, kết hợp (2.9), ta có H (t) = (I + 2tH0 )−1 cuối ˙ H(t) = − (I + 2tH0 )−2 2H02 = −2H (t) Z(t) = 56 Kết luận Đề nghị Luận văn tổng hợp, trình bày lại chi tiết khái niệm lý thuyết đa tạp, hình học Riemann Sau phần luận văn phần nghiên cứu trình bày cấu trúc hình học tập không gian không gian thực nhiều chiều tập ma trận đối xứng nửa xác định dương 57 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Dỗn Tuấn (2005), Lí thuyết liên thơng hình học Riemann, NXB Đại học Sư Phạm [2] Đỗ Ngọc Diệp, Nơng Quốc Chinh (2006), Hình học vi phân, NXB Thái Nguyên [3] Nguyễn Hữu Quang, Nguyễn Đình Quốc, Nguyễn Văn Bồng (2008), Hình học vi phân, NXB Đại học Quốc Gia [4] Đoàn Quỳnh (2006), Hình học vi phân, NXB Đại học Sư Phạm Tiếng Anh [5] P.-A Absil, R Mahony, R Sepulchre (2008), Optimization Algorithms on Matrix Manifolds, Princeton University Press [6] J Ferrer, M.I Garcia, F Puerta (1994), “Differentiable famalies of subspaces”, Linear Algebra and Its Applications, 199, pp 299 - 252 [7] S Gudmundsson (2017), An Introduction to Riemannian Geometry, Lecture Notes at Lund University, Lund, Scania [8] N.T Son (2012), Interpolation Based Parametric Model Order Reduction, PhD dissertation, University of Bremen 58 [9] B Vandereycken, P.-A Absil, S Vandewalle (2009), “Embeded geometry of the set of symmetric positive semidefinite matrices of fixed rank”, IEEE \ SP 15th Workshop on Statistical Signal Processing, 31/08 - 03/09, Cardiff, UK ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TUYẾT THANH MỘT SỐ ĐA TẠP TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC... tượng đại số tuyến tính Chúng tơi trình bày cấu trúc hình học chúng, khía cạnh tính tốn đối tượng liên quan đến đa tạp Những kiến thức vô quan trọng tảng khơng thể thiếu cho việc tính tốn đại số tuyến. .. 35 1.6.3 Ánh xạ mũ 37 Một số đa tạp đại số tuyến tính 39 2.1 Đa tạp Grassmann 39 2.1.1 Cấu trúc tô pô G(k, n)