Về đường trắc địa và phép chuyển dời song song dọc cung trên đa tạp riêmann hai chiều

Lời nói đầu Đờng trắc địa và phép chuyển dời song song dọc cung trên đa tạp Riemann đã đợc trình bày trong nhiều tài liệu chuyên khảo về hình vi phân, chẳng hạn [1], [2], [3]. Nó có nhiều ứng dụng trong việc xây dựng các độ đo các hình hình học trên đa tạp Riemann và trong việc khảo sát các tính chất hình học nội tại trên đa tạp. Trong khoá luận này ,chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản và chứng minh chi tiết các tính chất của đờng trắc địa và phép chuyển dời song song dọc cung trên đa tạp Riemann 2 chiều Luận văn đợc chia làm 2 chơng Chơng I: Đờng trắc địa trên mặt trong E 3 Trong chơng này ,chúng tôi đã trình bày khái niệm đờng trắc địa trên mặt trong E 3 chứng minh một số tính chất cơ bản của nó. Bằng việc sử dụng khái niệm độ cong trắc địa và độ cong pháp dạng chúng tôi trình bày cách xây dựng đợc trờng mục tiêu Đarbounx dọc . Đặc biệt trong chơng này chúng tôi đã trình bày chi tiết việc tìm các đờng trắc địa trên các mặt quen thuộc trong E 3 Chơng II: Phép chuyển dời song song và đờng trắc địa trên đa tạp Riemann 2 chiều. Trong chơng này, chúng tôi trình bày khái niệm đạo hàm của vectơ dọc cung tham số và chứng minh các tính chất cơ bản. Và trình bày khái niệm phép chuyển dời song song dọc cung và đờng trắc địa trên đa tạp Riemann. Chúng tôi đã chứng minh tính chất trực giao của phép chuyển dời song song. Đặc biệt chúng tôi đã thiết lập đ- ợc phơng trình của phép dời song song dọc cung kín, cách tính đợc góc hôlônômi dọc các vĩ tuyến của mặt tròn xoay. Đồng thời, chúng tôi cũng đã chứng minh phép chuyển dời song song và đờng trắc địa bất biến qua vi phôi đẳng cự. Khoá luận đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo TS Nguyễn Hữu Quang. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tôi xin chân thành cảm ơn BCN Khoa Toán, các thầy cô giáo trong tổ bộ môn hình học cùng các thầy cô, bạn bè và gia đình đã giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khoá luận . Vinh tháng 4 năm 2003 Tác giả: Đào Nguyên Sử 3 Mục Lục Trang Lời nói đầu 2 Chơng I: Đờng trắc địa trên mặt trong E 3 1 -Trờng mục tiêu Đarboux dọc 3 2 - Đờng trắc địa trên mặt trong E 3 7 3 - Đờng trắc địa trên một số mặt quen thuộc 12 Chơng II: Đờng trắc địa và phép chuyển dời song song dọc cung trên đa tạp Riêmann hai chiều 1 - Đạo hàm của trờng vectơ dọc một cung tham số 18 2 - Phép chuyển dời song song dọc cung tham số 23 3 - Đờng trắc địa trên đa tạp Riêmann hai chiều 35 Kết luận và tài liệu tham khảo. 40 4 Chơng I: Đờng trắc địa trên mặt trong E 3 Trong khoá luận này, chúng tôi xét mặt S trong E 3 , trong đó S là một đa tạp hai chiều đợc định hớng bởi trờng vectơ pháp tuyến đơn vị n. 1. Trờng mục tiêu DaRboux dọc cung chính quy I. Độ cong trắc địa 1.1. Định nghĩa: Giả sử là cung chính quy định hớng trên mặt S trong E 3 , đợc cho bởi tham số : J S : t (t) là một tham số hoá của . Khi đó hàm số k g : J R t k g (t)= 3 )( ' )()).()( ' ( t tntt đợc gọi là độ cong trắc địa của. Để định nghĩa trên là hợp lý ta cần chứng minh k g không phụ thuộc tham số đẫ chọn. Thật vậy, ta xét tham số hoá tơng đơng r: s r(s) với r= (trong đó >0). Khi đó: ).(.)()().()(r ; .)()( ssssr + = = Suy ra: g k ~ (s) = 3 )(.)( )3( ).().()(.)( 3 )( )().)()(( s nsSs sr srnsrsr = = g k s sns = 3 )( 3 )( )(.)).()()(( 3 1.2. Ví dụ: Giả sử mặt đinh ốc đứng S trong E 3 đợc cho bởi tham số r: IR 2 E 3 (u,v) (v cosu,v sinu,bu) Từ: r u =(-vsinu, v cosu,b) và r v = (cosu,sinu,0) ta có: 5 22 ),cos,sin( ),( vb vvbvb v r u r v r u r vurn + = = Bây giờ ta xét cung đinh ốc tròn trên S : ),sin,cos(),()( 000 bvuvuvvurv == Ta có: ),cos,sin()( buvuvu = ; )0,sin,cos()( uvuvu = Từ đó suy ra: độ cong trắc địa của )(v 22 3 )( )()).()(( )( vb v u unuu u g k + = = . 1.3.Mệnh đề : i) Khi đổi hớng thì độ cung trắc địa đổi dấu. ii) Tại những điểm không song chính quy của , độ cong trắc địa triệt tiêu. iii) Khi là cung phẳng thì k g trùng với độ cong đại số của cung phẳng . Chứng minh: i) Ta xét tham số hoá tơng đơng r(s) s :r ; 0 < = vớir . Khi đó: g k n s n g k = = = 3 ).( 3 ))(.( 3 . 3 ).( ~ ii) Giả sử t 0 là điểm không song chính quy của { } )(),( tt phụ thuộc tuyến tính. Ta suy ra ( ) 0 )( )(.)()( )( = = t tntt t g k iii) Do là cung phẳng nên ta xét tham số hoá Stytxtt = )0),(),(()(: Ta có: )0),(),(()( ; )0),(),(()( tytxttytxt = = 6 Vì vậy : ( ) )( ))()(( )().().().(.)())(( )( 322 3 tk tytx txtytytx t tnt tk g = + = = (Vì )1,0,0()( = tn ). II. Trờng mục tiêu Đarbounx dọc . 1.4. Định nghĩa: Giả sử là cung chính quy định hớng trên mặt S. với tham số hoá tự nhiên : J S ; của . )( tt Ta kí hiệu T = ; Y= Tn , Zn = . Khi đó (T,Y,Z) đợc gọi là trờng mục tiêu Đarboux dọc 1.5. Mệnh đề: Ta gọi k là độ cong của thì k g = k.N.Y Chứng minh: Giả sử : J S ; )(tt là tham số hoá tự nhiên của , theo định nghĩa ta có: ))().()(()()).()(( )( )()).()(( )( 3 tNtktTtntt t tntt tk g = = = = k.N.Y kVậy = g tNtYtk )().().( 1.6. Hệ quả: Gọi )(t là góc tạo bởi Y(t) và vectơ pháp tuyến N(t) của cung . Khi đó k g (t) = )(cos).( ttk Chứng minh: Theo mệnh đề 1.5. Ta có k g (t) = k(t).N(t).Y(t) = )(cos).())(,)(cos(.)(.)().( ttktYtNtYtNtk = . 7 III. Độ cong pháp dạng: 1.7. Định nghĩa: Giả sử là một vectơ khác 0 của T p S, nếu đặt )( )( )( ~ I II k = thì )( ~ K không thay đổi khi thay bởi )( * IRmm . Đại lợng )( ~ k đợc gọi là độ cong pháp dạng theo phơng của S. Để định nghĩa trên là hợp lí ta cần chứng minh )( ~ k = )( ~ mk với * IRm . Thật vậy: Ta xét cung tham số 0) (J SJ: chứa mở )(tt Sao cho: = )0( Khi đó : (1) ).0()(.)()( === nnDhII p Ta xét vi phôi m.s(s) t s ; J I : == Bây giờ ta xét cung tham số: (ms)(s)s ; S I : == r Ta có: mr = = = )0().0()0()).0(()0( Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )2( 0).(0).(. 2 mnmrnmnDmII m = == Từ (1) và (2) ta đợc: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mk mm mnn k ~ ).( 0 . .0 )( ~ 2 = = = 1.8. Ví dụ: Cho là cung song chính quy trên S, SJ: là tham số hoá tự nhiên của . Vì ( ) 0 ds DT 0).( =+= ds nD TnnT nnê ( ) ( ) ).()( . TIIThT ds nD Tn ds DT === Suy ra: ( ) k.N.Z.(T)k ~ )( )( == nNk TI TII 1.9. Định nghĩa: Đại lợng YTh g ).( = đợc gọi là độ xoắn trắc địa của cung . IV. Công thức Đarboux dọc : Giả sử (T,Y,Z) là đờng mục tiêu Đarboux dọc . Ta có: 8 = += += )3( )2( )1(. YTkDZ ZTkDY ZkYkDT gn gg ng Trong đó: )( ~ Tkk n = Chứng minh: Do T.T = 1 nên DT.T = 0 ta suy ra: DT = .Y+.Z Vậy ta có: Y.DT = + .Y.Z = (vì Y.Z=0) Và = DT.Y = k.N.Y = Kg. Mặt khác : Z.DT = .Z.Y + = DT.Z = k.N.Z = n KTk = )( ~ Vậy DT = k g Y + k n Z Chứng minh tơng tự ta đợc: DY= ZTk gg + ; YTkDZ gn . = 2. Đờng trắc địa trên mặt trong E 3 . 2.1. Định nghĩa: Giả sử mặt 3 ES đợc định hớng bởi trờng vectơ pháp tuyến đơn vị n. . Cung chính quy trên S đợc gọi là đờng trắc địa của S nếu độ cong trắc địa triệt tiêu. . Cung tham số : J S ; Stt )( đợc gọi là cung trắc địa của S nếu )(t và )(tn cùng phơng với .t 2.2. Ví dụ: Giả sử S là mặt cong ốc đứng trong ví dụ(1-2) Ta xét vĩ tuyến ),sin,cos(),()( ~ 0000 buvvuvvurv == Ta có: )(;:0)()0,0,0()();0,sin,(cos)( ~ 00 vvvKvvvv g == = cùng phơng vvn :)( Vậy: .Đờng vĩ tuyến là đờng trắc địa trên S. . Cung tham số ),( 0 vvrv là cung trắc địa trên S. 2.3. Mệnh đề. 9 i) Giả sử là cung song chính quy trên S Khi đó : là đờng trắc địa trên S khi và chỉ khi trờng vectơ pháp tuyến N thẳng góc với S dọc ii) Giả sử hai mặt S và S ~ tiếp xúc nhau dọc thì là đờng trắc địa trên S khi và chỉ khi là đờng trắc địa trên S ~ . iii) Nếu )(: tt là cung trắc địa trên S thì )(t là hàm hằng iv) ảnh của cung trắc địa trên S là đờng trắc địa trên S v) Giả sử là đờng trắc địa thì mọi tham số hoá vận tốc hằng của đều là cung trắc địa. Chứng minh: i) Ta có là đờng trắc địa 0)(cos)(0 == ttktk g <theo 1.6> 2 )( = t hoặc Ntt = : 2 )( song song với Nn thẳng góc với S dọc . ii) Ta có: ( ) ( ) 3 )( )()).(( t tntt tk g = ; 3 )( )( ~ )()(( )( ~ t tntt tk g = Trong đó )(: tt là một tham số hoá của trên S và trên S ~ vì S và S ~ tiếp xúc nhau dọc nên )( ~ )( rasuy : ~ )()( tntntSTST tt == Do đó 0)( ~ 0)( == tktk gg iii),iv) Hiển nhiên. v) Cho là đờng trắc địa trên S: Giả sử : J S ; )(tt là một tham số hoá vận tốc hằng của . Theo giả thiết là đờng trắc địa nên: ttnttttk g = = 0)()).()(()(0)( 0)()).()(( = tttn (1) Ta có: )()( tnt (2) Mặt khác: 0)().(.2))(()( 2 = == ttconsttconstt )()( tt (3) 10 Từ (1),(2) ,(3) suy ra: )(0)()( ttttn = và )(tn công tuyến t là cung trắc địa. Nhận xét: Cung chính quy là đờng trắc địa trên S có một tham số hoá < đặc biệt là tham số hoá tự nhiên > là một cung trắc địa trên S 2.4. Mệnh đề: Giả sử là một cung song chính quy trong E 3 . Khi đó, là đ- ờng trắc địa của mặt kẻ tạo bởi các trùng pháp tuyến của nó. Chứng minh: Ta xét tham số hoá tự nhiên : I E 3 ; u (u) của Thì ta đợc: r: U E 3 ( Umở E 2 ; U I ); (u,v) (u) + v. )(uB là một tham số hoá của mặt kẻ tạo bởi các trùng pháp tuyến của . Ta có: ).(r ; )(.)( v uBuBvur u = + = Suy ra vu vu rr rr vurn = ),( Trong đó: ).())().(.)(( vBvNvvvTrr vv = Suy ra: )(v, rr // ),()( vv = vrnvn Vậy N(v) // )(vn từ đó cung tham số: : J E 3 là cung trắc địa trên mặt kẻ. Vậy là đờng trắc địa. 2.5. Mệnh đề: Giả sử : I S là một cung trắc địa trên S; r = : J S là cung tham số tơng đơng với trên S. Khi đó r là cung trắc địa khi và chỉ khi vi phôi đổi tham số có dạng: : J I , .)( basss += Chứng minh: Ta có = .)(r ; + = .)().()(r Suy ra: r là cung trắc địa rn // r n // r )(//)().()(// 2 nnr + (*) Do là cung trắc địa nên: )(//)( n (*) )(//).( n (**) Vì )( là hằng số và )()( n Do đó: (**) bass +== )(0 2.6. Phơng trình cung trắc địa: 11 Giả sử 3 ES có tham số hoá địa phơng SUr : )( t; :).,(),( tSJvurvu là một cung tham số trên S. Khi đó tồn tại 2 hàm số v(t), v(t) sao cho ))(),(()( tvturt = Ta đặt vvvuuu rrGrrFrrE = = = .;.;. Ta có: )(.)(.)( tvrturt vu + = ( ) ( ) )(.)(.)()(.)(.)(.)()(.)( turtvrtvtvrtvrturtuturt vuvvvuvuuu + + + + + = Hay là: vurrvrvruru uvvvvuuu + + + + = .2 22 Ta có: là cung trắc địa t )(n // )( tt = = 0. 0. v u r r = + + + = + + + 0 2 1 0 2 1 2 2 22 vuGrruGvGv vuErrvEuEu uvuuv vuvvu Ta giả sử vvuvvvvvvvvuvvvu GrrrrrrrrFrrF = = + = == = 2 1 00. . Hệ trên trở thành = + + = + + 0 2 1 2 1 . 0 . 2 1 2 1 22 22 vuGuEGvGv vuEvGEuEu uvv vuu (2-6) 2.6.1. Định nghĩa: Tham số hoá ),(),( vurvu của mặt S gọi là tham số hoá clerô nếu vuuvu rrrErrF = == = . ; 0. v rGvà chỉ phụ thuộc vào u. 2.6.2. Phơng trình cung trắc địa trong tham số hoá clerô. Do E, G chỉ phụ u nên 0 = = vv GE Khi đó hệ (2-6) trở thành 12