Luận văn thạc sĩ ước lượng gradient cho phương trình p laplacian

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Lê Văn Đai ƯéC LƯeNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH p-LAPLACIAN LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - Năm 2019 Lê Văn Đai ƯéC LƯeNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH p-LAPLACIAN Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 8460101.02 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS TS Nguyen Thac Dũng Mnc lnc Lài cam ơn i Danh mnc ký hi¾u Lài nói đau Kien thÉc chuan b% 1.1 H¾ frame đ%a phương, tồn cuc .5 1.2 Đa tap Riemann toán tu 1.2.1 Trưòng tenxơ .5 1.2.2 Đa tap Riemann 1.2.3 Đa tap Riemann đn 1.2.4 Các toán tu đa tap Riemann 1.2.5 Đ® cong m-Bakry-Émery Ricci 1.3 Tích phân đa tap Riemann 10 Ưác 2.1 2.2 2.3 2.4 lưang gradient cho phương trình p-Laplacian 12 Ưóc lưong tích phân gradient .14 Ưóc lưong chuan Lp 25 Ưóc lưong gradient cho nghi¾m phương trình p-Laplacian .28 Các h¾ qua úng dung 30 Ket lu¾n 31 Tài li¾u tham khao 32 ii LèI CAM ƠN Trưóc tiên, tơi xin bày to lịng biet ơn đen Thay, PGS TS Nguyen Thac Dũng ve sn hưóng dan t¾n tình sn truyen cam húng khoa HQc nh nhung moi quan tõm ắc biắt cuđc song Tiep theo, tơi xin gui lịi cam ơn đen cỏn bđ Khoa Toỏn-CTin HQc, ắc biắt l cỏc thay thu®c mơn Giai tích, ve nhung giang sâu sac, lôi cuon sn giúp đõ chân thành Tôi cam ơn thành viên lóp Cao HQc khóa 2017-2019 ve nhung sn giúp đõ, trao đői, se chia suot q trình HQc t¾p tai trưịng ĐHKHTN- ĐHQGHN Cuoi cùng, tơi cam ơn gia đình ban bè ó luụn đng viờn tụi hQc v cuđc song i Danh mnc ký hi¾u Rn Khơng gian Euclid thnc n chieu A := B A đ%nh nghĩa boi B Tp M Không gian tiep xúc cna đa tap M tai điem p TM Phân thó tiep xúc T ∗M Phân thó đoi tiep xúc Tp∗M Khơng gian đoi ngau cna TpM tai điem p (M, g) Đa tap Riemann vói metric g (X, Y ) gp(X, Y ) |X| Chuan cna vectơ X: ∇ Toán tu gradient ui TQA đ® thú i cna véc tơ ∇u ∆ Tốn tu Laplace div Toán tu divergence Hess Toán tu Hessian ⊗ Tích tensơ Ricf B0(R) Tensor Barky-Émery Ricci đa tap M Qua cau trac đ%a tâm 0, bán kính R ǁ ǁL p Phép lay chuan không gian Lp Ck Hàm trơn cap k C0∞ √ g(X, Y ) Hàm trơn, có giá compact ∇XY Liên thơng Riemann cna trưịng vectơ X, Y [X, Y ] Tốn tu móc Lie du Tốn tu vi phân cna hàm thnc u MUC LUC V The tích qua cau B0(R) ∂/∂i Trưịng vectơ TQA đ® ∂i Trưịng vectơ TQA đ® Q Ket thúc chúng minh Lài nói au Nđi dung luắn chn yeu e cắp en ket qua đoi vói nghi¾m dương cna phương trình dang p-Laplacian Lichnerowicz không gian đo metric trơn Nhac lai rang khơng gian đo metric trơn m®t b® ba (M, g, dà), ú (M, g) l mđt đa tap Riemann n chieu, đn dµ := e−f dv vói f m®t hàm trơn giá tr% thnc co đ%nh M , dv dang the tích Riemann Trên M , ta xét tốn tu vi phân ∆f , GQI f -Laplacian, đưoc đ%nh nghĩa boi ∆f := ∆ − (∇f, ∇.) Trên khơng gian đo metric trơn có m®t sn tương tn rat tn nhiên cna đ® cong Ricci, GQI đ® cong m-Bakry-Émery Ricci, đưoc xác đ%nh sau Ricm := Ric + Hessf − ∇f f⊗ ∇f (n < m ≤ ∞) m−n Đ¾c bi¾t, m = ∞, Ric∞f := Ricf := Ric + Hessf GQI đ® cong Bakry-ẫmery đ cong ny oc giúi thiắu o [2] boi Bakry-Émery nghiên cúu ve sn khuech tán lí thuyet ve dịng Ricci Trưịng hop su dung m = n chi đưoc xác đ%nh f hàm hang Tốn tu p-Laplace có TRQNG đa tap M tác đ®ng hàm u ∈ W 1,p (M ) đưoc đ%nh nghĩa theo nghĩa phân lo phoi sau c ∆p,f u = ef div(e−f |∇u|p−2 ∇u), nghĩa Ω Ω ∫ ∆p,f uϕe−f dv = − ∫ Σ ∇|u|p−2 ∇u, ∇ϕ e−f dv vói MQI Ω ⊂ M mo ϕ ∈ W 1,p (Ω) bat kì Ưóc lưong gradient m®t cơng cu quan TRQng giai tích hình HQ c đưoc su dung r®ng rãi o nhieu lĩnh vnc khác nhau, tù đ%nh lí Liouville, bat thúc Harnack ve nghi¾m dương tói dang phương trình phi tuyen đa tap Riemann Kotschwar Ni [1] thiet lắp mđt úc long gradient %a phng cho cỏc hm p-harmonic vúi gia thiet đ cong b% chắn dúi Gan Lèi NÓI đA u đây, Wang Zhang [12] nghiên cúu ve hàm p-hamonic dan đen ưóc lưong gradient đ%a phương bat thúc Harnack vói hang so mà chúng chi phu thu®c vào cắn dúi cna đ cong Ricci, chieu a tap, bỏn kính hình cau Đoi vói phương trình p-Laplacian khơng gian đo trơn, m®t vài ket qua ve ưóc lưong gradient tính Liouville đưoc trình bày o [7]và [8] Đ¾c bi¾t, hai tác gia L Zhao D Yang [6] đưa ưóc gradient cho m®t dang riêng cna phương trình Lichnerowicz von xuat phát tù phương trình Halminton ràng bu®c, phương trình p -Laplacian Lichnerowicz ∆p,f u + cuσ = không gian đo metric trơn,vói c > 0, p > 1, σ ≤ p − u > Bên canh đó, tác gia L Zhao chúng minh ưóc lưong gradient cho mđt so dang khỏc, xem o [5] Luắn văn se thiet l¾p ưóc lưong gradient đ%a phương cho nghi¾m dương cna phương trình p-Laplacian phi tuyen tőng qt ∆p,f u + F (u) = 0, p > (∗) vói hàm F kha vi liên tuc, thoa mãn vói u > F (u) ≥ Khi F j (u) u F (u) p−1 đó, de thay rang toán mà hai tác gia L Zhao D Yang nói đen o [6] m®t trưịng hop riêng cna tốn (*) Do đó, lu¾n văn mo r®ng ket qua cna báo [6] Ngồi ra, chỳng tụi cng se a mđt so hắ qua F hàm quan TRQNG thưịng g¾p V¾t lý Tốn, chang han phương trình Allen-Cahn, phương trình Fisher Ngồi ra, vi¾c trình bày ưóc lưong gradient cho phương trình ∆p,f u + F (u) = đưa chúng minh xác hơn, đính đưoc loi ky thu¾t tương đoi nghiêm TRQNG báo [6] Hà N®i, ngày 26 tháng 11 năm 2019 Lê Văn Đai Chương Kien thÉc chuan b% Chng ny trỡnh by mđt so khỏi niắm liên quan đen h¾ frame đ%a phương, đa tap Riemann, tốn tu đ%nh nghĩa tích phân đa tap Riemann, tù làm tien đe xây dnng chương 1.1 H¾ frame đ%a phương, tồn cnc Cho M đa tap trơn, có biên ho¾c khơng có biên Đ%nh nghĩa 1.1.1 (xem [9] tr.178) Cho M đa tap trơn T M phân thá tiep xúc cua M®t trưàng vectơ M m®t ánh xa liên tnc X : M → T M , thóa mãn vái mői p ∈ M X(p) = Xp , Xp ∈ Tp M Neu X m®t ánh xa tran trưàng véc tơ tiep xúc X đưac GQI m®t trưàng véc tơ trơn Lưu ý, xun suot lu¾n văn này, neu khơng nói thêm ta ln gia thiet rang trưịng véc tơ đa tap trơn M trơn Đ%nh nghĩa 1.1.2 (xem [9] tr.178) Mđt hắ frame %a phng xỏc %nh trờn mỏ U M l bđ n thnh phan trưàng vectơ (E1 , , En ) cho (E1 |p , , En |p ) l¾p nên sá cua Tp M vái mői p ∈ U , U ≡ M đưac GQI h¾ frame tồn cic Đ¾c bi¾t, neu mői Ei hàm trơn GQI h¾ frame trơn 1.2 1.2.1 Đa tap Riemann toán tE Trưàng tenxơ Đ%nh nghĩa 1.2.1 (xem [9] tr.255) Cho π : E → M m®t phân thá véctơ M®t nhát cat đ%a phương cua E m®t ánh xa liên tnc σ : M → E xác đ %nh t¾p má U ⊆ M thóa mãn πσ = IdU Khi U ≡ M σ GQI nhát cat tồn cnc Đieu tương đương vói p+b − ∫B0 (R) | + η)|2 b2d1 ∇(w wp+bη2 ∫B0 (R) ≤ bd2 ∫B0(R) wp+b−1|∇η|2 + B0(R) p(m − 1)wp+b−1η2 Kb2d3 ∫ Q Như v¾y, Bő đe 2.0.1 đưoc chúng minh 2.2 Ưác lưang chuan Lp Đe chúng minh Bő đe 2.0.2, ta can bő đe ve bat thúc Sobolev đ%a phương sau: Bo đe 2.2.1 Cho (M, g, dµ) m®t khơng gian đo metric trơn, đu, n chieu Gia su Ricm ≥ −(m − 1)K vái K hang so không âm, m > n ≥ f Khi đó, ton tai m®t hang so C , chs phn thu®c m, cho vái MQI hình cau B0 (R) ⊂ M , MQI hàm φ ∈ C0∞ (B0 (R)) ∫ m Σ m− 2 B0(R) √ C(1 KR) ≤+ ∫ V−m 2( 2 + | φ ∇φ| R e m ) dµ |φ| B0(R) m−2 V the tích hình cau trac đ%a B0(R) Phan chúng minh cna bő đe có the xem o [3] Bây giò ta se chúng minh Bő đe 2.0.2 ǁwǁ (b +p−1) m L m−2 (B0( ChÉng minh Tù Bő đe 2.2.1 Bő đe 2.0.1, ta có ∫ ( w p+b− η) m−2 b2 ≤ d4 V m Σ m− R)) R2 m− m(b0+p−1) ≤ eC(1+ √ KR) V − m − b d1R ∫ B0(R) B0(R) R2 ∫ 2 m ∫ ≤ ec2b0 V (bd − B0(R) wp+bη2 ∫ + R2 |∇(w p+b−1 η)|2 +∫ wp+b−1|∇η|2 + Kb2d3 B0(R) wp+b−1η2) Σ B0(R) w R2 ∫ b+p−1 B0(R) η p(m − 1)wp+b−1η2 √ o b0 = c1(m, p)(1 + KR) vói c1 đn lón đe làm cho b0 thoa mãn (2.14) Tiep tuc đieu chinh đ® lón cna c1 đe có ưóc lưong Kb2d3R2p(m − 1) + ≤ a50b2b2 Theo ∫ ( B0(R) w p+b− η) Σ m−2 m + d1 b R m−2 −m c eb2 V B0(R) wp+ b η (2.15) m ≤ R 2e c b0 V − bd2 B0(R) ∫ p+b−1 w | ∇η|2 + R 2e c b0 V Kb2d3 ∫ ∫ − p(m − 1)wp+b−1η2 + ec2b0mV B0(R) − 2∫ B0(R) wp+b−1η2 m bd R2ec2b0 V ≤ − 22 ∫ m m wp+b−1|∇η| + B0(R) a b2 b2 e c 2b V −2 wp+b−1η2 ∫ B0(R) Bưóc tiep theo ta se giãn ưóc so hang thú hai cna ve trái (2.15) bang cách làm tr®i lan lưot hai so hang o ve phai theo Đau tiên, ta se đánh giá so hang thú nhat o ve phai CHQN η1 ∈ C0∞ (Ω) thoa mãn ≤ η1 ≤ 1, η1 ≡ B0 ( R), |∇η1| ≤ C1 R p+b đ¾t η = η1 Khi ∇η = (p + b)ηp+b−1∇η1, 2(p+b−1) |∇η|2 =(p + b) η | ∇η1| C1 2(p+b−1) ≤ (p + b)2η1 R 2(p+b−1) C1 = (p + b)b2 η p+b R wp+b−1η ∫ nên The nên d2R ∫ p+b−1 B0(R) w |∇η| ≤ a6 2(p+b−1) p+b B0(R) Ta su dung bat ang thỳc Hăolder cho ve phai ∫ Σ∫ B0(R) 2(p+b−1 ) p+b p+b− p+b p+b p+b B0(R) B0(R) wp+b−1 η ≤ p+b dµ Σ Σ p+b−1 ∫ d µ wp+b−1 η 2( p+b−1) p+b Σ , B0(R) tù ta nh¾n đưoc ∫ ∫ d2 R p+b− 2 w | ∇η| ≤ a6b w Σ p+b−1 p +b− η V p+b Nhac lai rang bat thúc Young khang đ%nh AB ≤ Ap Bq + ≤ A p+ B q, vói A, B ≥ 0, p, q > 0, + = 1p Ápqdung đieu ta có p a6 b q p+b wp+b− η2 ∫ Σ − ( 22 R Σ p+b−1 bd = V p ) ∫ p+b−1 Σ Σ p+b w +b p+b η p+b− Σ bd ( Σ 2 p+b−1 ≤ ∫ R B0(R) bd1 − wp+b−1η2 + ((p+b−1) R ) (a ) − V p+b bd1 R a6b b2)p+bV ∫≤ bd1 R2 bd1 ≤ R2 Do bd2R wp+b−1η2 + a7b.bp+b+1V p+b−1 2(p+b−1) B0(R) w η R ∫ a8 + bp+b+1V B0(R) Σ p+b−1 R2 e c2b0 V −2 ∫ B0(R) p+b w b2d |∇η| −1 ≤ + −2 R2ec2b0 ∫ V a8 ΣR p+b−1 B0(R) wp+bη2 m bp+b+ ec2b0 V − Tiep theo đánh giá so hang thú hai o ve phai (2.15) Chú rang a5b b2wp+b−1 < b d1R2wp+b w > a9b2R−2 Do đó, đe đánh giá so hang này, ta chia hình cau 2 B0(R) thành mien B1 B2 vói w |B 1> a9b02R−2; w |B ≤ a9b02R−2 Vì hàm dưói dau tích phân khơng âm ket hop vói đieu ki¾n ≤ η ≤ nên ta có bat thúc sau: a b2 b2 e c 2b V −2 ∫ wp+b−1η2 m B0(R) = a b2 b2 e c 2b V −2 m B1 +∫ b 2d ≤ ≤ R 2e c b0 V − m p+b w +a η ∫ B1 B2 w p+b−1 η b2 b2 e c 2b V −2 m Σp+b−1 B2 ∫ −2 m ∫ wp+b−1 ∫ R2ec2b0 V 1 ≤ wp+b−1η2 ∫ Σ ∫ B1 wp+bη2 +a ab b b2 e c 2b V −2 m R2 m R2ec2b0 V B0(R) B2 B0(R) −2 ∫ wp+bη2 +a b b2 e c 2b V −2 m a9b2 Σp+b−1 CHQN b = b0 , vói c1 đn lón ton tai a10 , a11 , a12 cho p+b0+2 c p+b+2 c b a a b 8 Σp+b−1 Σp+b0−1 a10 b e 20 = R2 R2 2 c b0 ab b e −2 b0 ≤ V a ∫ m Σ b4ec2 p+b−1≤a b0 b0 R B0(R) e 20 R2 Σp+b0 −1 b0 b2 1− a Σp+b0−1 V R2 b 02 R Σp+b0 −1 b ≤ b00 a 11 a12 Σ b2 0p+b0 −1 ≤ Tù nh¾n đưoc ec2b0 bd2R V − m ∫ wp+b B0(R) −1 |∇η| ≤ V R2 − m ∫ B0(R) + đong thòi wp+b η (2.16) a10 Σp+b0 − 1− V R2 b0 m , wp+b−1η2 ∫ m ≤1 2 −2 1− m c2b0 b 2d R e V a b 2b 2e c b0 V 1−m V B0(R) (2.17) ∫ wp+bη2 + R2ec2b0 V 1− a b2 1− V 12 0Σ p+b0 −1 R Bây giò ta the (2.16), (2.17) vào (2.15), ta thu đưoc ( B0(R) w ∫ p+b− η) a1 m ≤ R2 m−2 Σ m− p+b0− b0 V 1− m Σ Cuoi cùng, lay b¾c p + b0 − ca ve vói ý η = B0( R), ta có ǁwǁ b2 (b +p−1) m m−2 L R)) (B0(3 ≤ d4 V R Theo Bő đe 2.0.2 đưoc chúng minh hoàn toàn 2.3 m− m(b0+p−1) Q Ưác lưang gradient cho nghi¾m phương trình p-Laplacian Bây giị ta se chúng minh Đ%nh lí 2.0.1 ChÉng minh Nhac lai rang, chúng minh Bő đe 2.0.2, ta chúng minh đưoc (2.15) Do so hang thú hai o ve trái không âm nên ta có the bo so hang đe có bat thúc mói sau ∫ ( B0(R) w p+b− η) Σ m−2 m ∫ a14ecb ≤ V m−2 −m 2 2 p+b− (b 2| η) + b b B0(R) R w ∇η| Tiep theo, ta su dung phép l¾p Moser Đ¾t bl+1 = bl m−2 m , R R bl = b + p − 1, Ωl = B0( + ), 4l l = 1, cHQN ηl ∈ C0∞ (B0 (R)) cho ηl ≡ Ωl+1, ηl ≡ B0(R) \ Ωl, |∇ηl| ≤ Vói cách cHQN trên, ta có ∫Ωl+1 wbl+ Σ bl+1 ≤ a −2 14 R , ≤ ηl ≤ Σb1l Σb1 ∫ ec2 b0 V C4l (b02 b2 + bR2 |∇η|2 )wbl l Tù ưóc lưong |∇ηl| suy ǁ w ǁ a 14 e Chú ý rang −m2 bl+1 L l b2 ) ≤ V c2b Σb1 + b16l Σb1 ǁ w ǁ l Ll b (Ωl) = l nên ta có đánh giá = m2 m Σ∞ Σ∞ 2b l=1 bl l=1 Σ1 Do ǁ w ǁL∞ (B 2( R ≤ )) l l (1 (b0b) )(bΣ0b) l b ≤ (1 + 16 ) l + 22 = (b 0b) ≤ (17 ) bl (b0b) bl bl l c b0 − a14e Σ b1 16l bl b b + b16 4b1 V m Σ 2bm 4b m2 bm 17 (b0b) ǁ w ǁLb1 (B0 (43R )) M¾t khác tù Bő đe 2.0.2 bang cách đ¾t b = (b + p 1) m −1 0Σ d4 ǁ w ǁ Lb1 (B0(3R ≤ )) b R m−2 V b1 dan đen Bây giò the ket qua vào cHQN b0 đn lón, ta thu đưoc Σ2 b ǁ w ǁL∞ (B0 ( R )) ≤ a15 R √ The b0 = c1(1 + KR), ta có ǁ w ǁL∞(B0 ( R )) ≤ a16 1+ √ KR Σ.2 |∇u| Cuoi (p − cùng, 1)Σ thay w ta có đieu can chúng minh Q = u 2.4 Các h¾ qua Éng dnng Ta chúng minh Đ%nh lí 2.0.1 vói F m®t hàm tőng quát Khi F (u) = cuσ , vói c > 0, σ ≤ p − 1, ta thu đưoc phương trình [6] Do v¾y, Đ%nh lý 2.0.1 m®t sn tőng qt hóa ket qua cna tác gia L Zhao D Y Yang Ta có the có đưoc ket qua tương tn bang cách cHQN F hàm quen thu®c F (u) = u(1−u2 ) (hàm Allen-Cahn) ho¾c F (u) = cu(1−u) (hàm Fisher) hay tőng quát F (u) = ua − ub (đai lưong liên quan đen phương trình Lichnerowicz tőng quát lý thuyet tương đoi) Sau ta se chúng minh h¾ qua nói o đau chương ChÉng minh H¾ qua 2.0.1 Vói F (u) = u(1 − u2 ) F J (u) = − 3u2 Theo đó, dưói đieu ki¾n ≤ p ≤ 4, ta có − F = (1 p 3u )u p−1 ≤ − u(1 u ) = F (u) Như v¾y, gia thiet đ%nh lí 2.0.1 đưoc thoa mãn nên ta có (2.2) Khi K = 0, the vào (2.2), ta có |∇u| ≤ Cp,m u Bây giị cho R → +∞, u > nên ta có ∇u = 0, suy u hàm hang M Đieu dan đen ∆p,f u = 0, the vào phương trình, ta đưoc u(1 − u2) = Su dung đieu ki¾n < u ≤ 1, suy u = M Q ChÉng minh H¾ qua 2.0.2 L¾p lu¾n tương tn phan chúng minh H¾ qua 2.0.1 Q ChÉng minh H¾ qua 2.0.3 Vì p nam giua + a + b nên ca hai trưòng hop a≤ < b, < u ≤ a > b, u > 1, ta đeu có F (u) j u F (u) Như v¾y gia thiet Đ%nh lí 2.0.1 đưoc thoa mãn p−1 nên ta có (2.2) Cuoi thay K = lay giói han R → +∞ suy u hang so Do ∆p,f u = 0, kéo theo ua − ub = Vì u > a ƒ= b nên u = M Q R KET LU¾N Lu¾n văn nghiên cúu thiet l¾p ưóc lưong gradient cho phương trình pLaplacian phi tuyen tőng qt thơng qua vi¾c trình bày chi tiet tùng bưóc chúng minh Đ%nh lí 2.0.1 ve ưóc lưong gradient cna phương trình ∆p,f u + F (u) = không gian đo metric trơn thông qua Bő đe 2.0.1, 2.0.2 Cuoi cùng, dna ket qua Đ%nh lí 2.0.1, lu¾n văn ó a mđt so hắ qua v ỳng dung cho phương trình quan TRQNG V¾t lý Tốn, bao gom phương trình Allen-Cahn, phương trình Fisher, phương trình kieu Lichnerowicz tőng quát 57 Tài li¾u tham khao [1] B Kotschwar and L Ni (2009), Local gradient estimates of p-harmonic functions, 1/H-flow, and an entropy formula, Ann Sci Ec Norm Supér (4) 42, no 1, 1–36 [2] D Bakry and M Emery (1985), Diffusions hypercontractives (French), Séminaire de probabilités, XIX, 1983/84, Lecture Notes in Math., vol 1123, Springer, Berlin, pp 177–206 [3] J Y Wu, Li–Yau (2010), Type estimates for a nonlinear parabolic equation on complete manifolds, J Math Anal Appl 369 (1) 400–407 [4] K Wolfgang (2006), Differential geometry (2nd Edition), American Mathematical Society [5] L Zhao (2014), Gradient estimates for a simple parabolic Lichnerowicz equa- tion , Osaka J Math 51, no 1, 245–256 [6] L Zhao D Yang (2018), Gradient estimates for the p-Laplacian Lichnerowicz equation on smooth metric measure spaces, American Mathematical Society 146, 5451-5461 [7] L F Wang and Y Zhu (2012), A sharp gradient estimate for the weighted p-Laplacian, Appl Math J Chinese Univ Ser B 27, no 4, 462–474 [8] L F Wang, Z Y Zhang, L Zhao, and Y J Zhou (2017), A Liouville theorem for weighted p-Laplace operator on smooth metric measure spaces, Math Methods Appl Sci 40, no 4, 992–1002 [9] M L John (2013), Introduction to Smooth Manifolds (2nd Edition), Springer, NewYork [10] M L John (1997), Riemannian manifolds: An introduction to curvature, Springer, NewYork 58 TÀI LI›U THAM KHAO [11] X.-D Li (2005), Liouville theorems for symmetric diffusion operators on complete Riemannian manifolds, J Math Pures Appl 84, 1295–1361 [12] X Wang and L Zhang (2011), Local gradient estimate for pharmonic func- tions on Riemannian manifolds, Comm Anal Geom 19, no 4, 759–771 [13] Y Canzani (2013), Analysis on manifolds via the Laplacian, xem website cna tác gia: http://canzani.web.unc.edu/documents/ [14] Y Z Wang and H Q Li (2016), Lower bound estimates for the first eigen- value of the weighted p-Laplacian on smooth metric measure spaces, Differ- ential Geom Appl 45, 23–42 59 ... p − pw 2p? ??2 ∇v, ∇w ? ?p p−3 p w |∇w| + wp(1 + hw ? ?p )2 p( p − 1) p? ??2 +≥ w (1 + hw? ?p ) (∇v, ∇w) − p( m − 1)Kwp−1 m−1 (1 + hw Σ m−1 p p−2 (∇v, ∇w) −w ? ?p p−3 p p = w |∇w|2 + w (1 + 2hw? ?p )2 m− p (p. .. ∇w) p? ??2 m w + pw Ric (∇v, ∇v) − pwp−2 ∇v, u ≤ Σ p? ??2 ∇wp Σ f −1 p? ??1 v p? ?? p? ??1 22 e−v −F (e )+ − p( p − 1 )p? ??1 w p |∇v| p? ?? ? ?p J ? ?p + p −F (e(1 v+ )e hw ) m − α |∇w| p? ??2 + (∇v, ∇w) ? ?p w w m 2 + pwp−2Ric... lưang gradient cho phương trình p- Laplacian Xét phương trình p- Laplacian ? ?p, f u + F (u) = (2.1) khơng gian đo metric trơn, vói u ∈ lo W 1 ,p (M ), hàm F kha vi liên tuc c u > Trong đó, ? ?p, f u tốn thoa