Ước lượng gradient cho phương trình p laplacian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lê Văn Đại ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH p-LAPLACIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lê Văn Đại ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH p-LAPLACIAN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Nguyễn Thạc Dũng Hà Nội - Năm 2019 Mục lục Lời cảm ơn i Danh mục ký hiệu Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ frame địa phương, toàn cục 1.2 Đa tạp Riemann toán tử 1.2.1 Trường tenxơ 1.2.2 Đa tạp Riemann 1.2.3 Đa tạp Riemann đủ 1.2.4 Các toán tử đa tạp Riemann 1.2.5 Độ cong m-Bakry-Émery Ricci 1.3 Tích phân đa tạp Riemann Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplacian 2.1 Ước lượng tích phân gradient 2.2 Ước lượng chuẩn Lp 2.3 Ước lượng gradient cho nghiệm phương trình p-Laplacian 2.4 Các hệ ứng dụng 5 5 10 12 14 25 28 30 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 i LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến Thầy, PGS TS Nguyễn Thạc Dũng hướng dẫn tận tình truyền cảm hứng khoa học mối quan tâm đặc biệt sống Tiếp theo, xin gửi lời cảm ơn đến cán Khoa Toán-Cơ-Tin học, đặc biệt thầy thuộc mơn Giải tích, giảng sâu sắc, lôi giúp đỡ chân thành Tôi cảm ơn thành viên lớp Cao học khóa 2017-2019 giúp đỡ, trao đổi, sẻ chia suốt trình học tập trường ĐHKHTNĐHQGHN Cuối cùng, tơi cảm ơn gia đình bạn bè động viên học tập sống ii Danh mục ký hiệu Rn Không gian Euclid thực n chiều A := B A định nghĩa B Tp M Không gian tiếp xúc đa tạp M điểm p TM Phân thớ tiếp xúc T ∗M Phân thớ đối tiếp xúc Tp∗ M Không gian đối ngẫu Tp M điểm p (M, g) Đa tạp Riemann với metric g X, Y gp (X, Y ) |X| Chuẩn vectơ X: ∇ Toán tử gradient ui Tọa độ thứ i véc tơ ∇u ∆ Toán tử Laplace div Toán tử divergence Hess Tốn tử Hessian ⊗ Tích tensơ Ricf Tensor Barky-Émery Ricci đa tạp M B0 (R) Quả cầu trắc địa tâm 0, bán kính R Lp g(X, Y ) Phép lấy chuẩn không gian Lp Ck Hàm trơn cấp k C0∞ Hàm trơn, có giá compact ∇X Y Liên thông Riemann trường vectơ X, Y [X, Y ] Tốn tử móc Lie du Tốn tử vi phân hàm thực u MỤC LỤC V Thể tích cầu B0 (R) ∂/∂i Trường vectơ tọa độ ∂i Trường vectơ tọa độ ✷ Kết thúc chứng minh Lời nói đầu Nội dung luận văn chủ yếu đề cập đến kết nghiệm dương phương trình dạng p-Laplacian Lichnerowicz khơng gian đo metric trơn Nhắc lại không gian đo metric trơn ba (M, g, dµ), (M, g) đa tạp Riemann n chiều, đủ dµ := e−f dv với f hàm trơn giá trị thực cố định M , dv dạng thể tích Riemann Trên M , ta xét toán tử vi phân ∆f , gọi f -Laplacian, định nghĩa ∆f := ∆ − ∇f, ∇ Trên không gian đo metric trơn có tương tự tự nhiên độ cong Ricci, gọi độ cong m-Bakry-Émery Ricci, xác định sau Ricm f := Ric + Hessf − ∇f ⊗ ∇f m−n (n < m ≤ ∞) Đặc biệt, m = ∞, Ric∞ f := Ricf := Ric + Hessf gọi độ cong Bakry-Émery Độ cong giới thiệu [2] Bakry-Émery nghiên cứu khuếch tán lí thuyết dòng Ricci Trường hợp sử dụng m = n xác định f hàm Toán tử p-Laplace có trọng đa tạp M tác động 1,p hàm u ∈ Wloc (M ) định nghĩa theo nghĩa phân phối sau ∆p,f u = ef div(e−f |∇u|p−2 ∇u), nghĩa ∆p,f uϕe−f dv = − Ω ∇|u|p−2 ∇u, ∇ϕ e−f dv Ω với Ω ⊂ M mở ϕ ∈ W01,p (Ω) Ước lượng gradient cơng cụ quan trọng giải tích hình học sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác nhau, từ định lí Liouville, bất đẳng thức Harnack nghiệm dương tới dạng phương trình phi tuyến đa tạp Riemann Kotschwar Ni [1] thiết lập ước lượng gradient địa phương cho hàm p-harmonic với giả thiết độ cong bị chặn Gần Lời nói đầu đây, Wang Zhang [12] nghiên cứu hàm p-hamonic dẫn đến ước lượng gradient địa phương bất đẳng thức Harnack với số mà chúng phụ thuộc vào cận độ cong Ricci, chiều đa tạp, bán kính hình cầu Đối với phương trình p-Laplacian khơng gian đo trơn, vài kết ước lượng gradient tính Liouville trình bày [7]và [8] Đặc biệt, hai tác giả L Zhao D Yang [6] đưa ước gradient cho dạng riêng phương trình Lichnerowicz vốn xuất phát từ phương trình Halminton ràng buộc, phương trình p -Laplacian Lichnerowicz ∆p,f u + cuσ = không gian đo metric trơn,với c > 0, p > 1, σ ≤ p − u > Bên cạnh đó, tác giả L Zhao chứng minh ước lượng gradient cho số dạng khác, xem [5] Luận văn thiết lập ước lượng gradient địa phương cho nghiệm dương phương trình p-Laplacian phi tuyến tổng quát ∆p,f u + F (u) = 0, p>1 (∗) (u) với hàm F khả vi liên tục, thỏa mãn với u > F (u) ≥ Fp−1 u ≤ F (u) Khi đó, dễ thấy tốn mà hai tác giả L Zhao D Yang nói đến [6] trường hợp riêng toán (*) Do đó, luận văn mở rộng kết báo [6] Ngồi ra, chúng tơi đưa số hệ F hàm quan trọng thường gặp Vật lý Toán, chẳng hạn phương trình Allen-Cahn, phương trình Fisher Ngồi ra, việc trình bày ước lượng gradient cho phương trình ∆p,f u + F (u) = đưa chứng minh xác hơn, đính lỗi kỹ thuật tương đối nghiêm trọng báo [6] Hà Nội, ngày 26 tháng 11 năm 2019 Lê Văn Đại Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm liên quan đến hệ frame địa phương, đa tạp Riemann, tốn tử định nghĩa tích phân đa tạp Riemann, từ làm tiền đề xây dựng chương 1.1 Hệ frame địa phương, toàn cục Cho M đa tạp trơn, có biên khơng có biên Định nghĩa 1.1.1 (xem [9] tr.178) Cho M đa tạp trơn T M phân thớ tiếp xúc Một trường vectơ M ánh xạ liên tục X : M → T M , thỏa mãn với p ∈ M X(p) = Xp , Xp ∈ Tp M Nếu X ánh xạ trợn trường véc tơ tiếp xúc X gọi trường véc tơ trơn Lưu ý, xuyên suốt luận văn này, khơng nói thêm ta ln giả thiết trường véc tơ đa tạp trơn M trơn Định nghĩa 1.1.2 (xem [9] tr.178) Một hệ frame địa phương xác định tập mở U ⊆ M n thành phần trường vectơ (E1 , , En ) cho (E1 |p , , En |p ) lập nên sở Tp M với p ∈ U , U ≡ M gọi hệ frame toàn cục Đặc biệt, Ei hàm trơn gọi hệ frame trơn 1.2 1.2.1 Đa tạp Riemann toán tử Trường tenxơ Định nghĩa 1.2.1 (xem [9] tr.255) Cho π : E → M phân thớ véctơ Một nhát cắt địa phương E ánh xạ liên tục σ : M → E xác định tập mở U ⊆ M thỏa mãn πσ = IdU Khi U ≡ M σ gọi nhát cắt toàn cục Sau đây, ta định nghĩa phân thớ tenxơ M Chương Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.2.2 (xem [9] tr.316) Cho M đa tạp trơn, có biên khơng có biên Phân thớ k-tenxơ hiệp biến đa tạp M định nghĩa T k T ∗ M := T k (Tp∗ M ), p∈M với T k (Tp∗ M ) = Tp∗ M ⊗ Tp∗ M ⊗ ⊗ Tp∗ M, (k lần), Tp∗ M khơng gian đối ngẫu không gian tiếp xúc Tp M Tương tự, ta định nghĩa phân thớ k-tenxơ phản biến T k T M := T k (Tp M ), p∈M phân thớ tenxơ hỗn hợp dạng (k, ) T (k, ) T M := T (k, ) (Tp M ) p∈M Chú ý rằng, phân thớ véctơ T k (T ∗ M ), T k (T M ) T (k, ) (T M ) có cấu trúc tự nhiên phân thớ véctơ trơn M Từ ta có định nghĩa trường tenxơ Định nghĩa 1.2.3 (xem [9] tr.317) Một nhát cắt phân thớ tenxơ gọi trường tenxơ (hiệp biến, phản biến, hỗn hợp) đa tạp M Không gian nhát cắt trơn phân thớ k -tenxơ hiệp biến, k -tenxơ phản biến, (k, )-tenxơ hỗn hợp kí hiệu Γ(T k (T ∗ M )), Γ(T k (T M )) Γ(T (k, ) (T M )), chúng không gian véctơ vô hạn chiều R Nói riêng, khơng gian tất trường k -tenxơ hiệp biến trơn kí hiệu ngắn gọn T k (M ) Trong hệ tọa độ trơn (xi ), trường k -tenxơ hiệp biến biểu diễn A = Ai1 ik dxi1 ⊗ ⊗ dxik , hàm Ai1 ik gọi hàm thành phần A hệ tọa độ chọn 1.2.2 Đa tạp Riemann Định nghĩa 1.2.4 (xem [10] tr.24) Một metric Riemann M trường 2-tenxơ hiệp biến đối xứng, xác định dương điểm M Nói cách khác, metric Riemann g M ánh xạ p → gp ∈ cho tính chất sau thỏa mãn L2 (Tp M ; R) Chương Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplacian a2 1+δ Sử dụng bất đẳng thức (a − b)2 ≥ δ = m−n n−1 > 0, ta có p − bδ với a = hw1− + w + (p − 1)v11 , b = f1 v11 p (−hw1− − (p − 1)v11 + f1 v1 − w)2 n−1 p p (f1 v1 )2 (hw1− + w)2 + 2(p − 1)v11 (hw1− + w) (p − 1)2 + v11 − ≥ m−1 m−1 m−n Để tiếp tục làm trội, kí hiệu α = 2(p − 1), m(p−1) m−1 n |Hessv|2A v1k + ≥α k=1 + , ta có p (hw1− + w)2 m−1 p 2(p − 1)v11 (f1 v1 )2 (hw1− + w) − m−1 m−n Chú ý n = v1j 2wv11 = ∇v, ∇w , j=1 |∇w|2 w Thế hai đẳng thức vào bất đẳng thức phía trên, ta thu |Hessv|2A −p w2 α |∇w|2 + (1 + hw )2 ≥ w m−1 −p p−1 (f1 v1 )2 + (1 + hw ) ∇v, ∇w − m−1 m−n Bổ đề 2.1.3 Với giả thiết Bổ đề 2.1.2 Lf (Q) ≥ −p αp p−3 p w |∇w|2 + wp (1 + hw )2 m−1 −p p(p − 1) p2 + (1 + hw ) − wp−2 ∇v, ∇w − p(m − 1)Kwp−1 m−1 Chứng minh Trước hết, lấy gradient hai vế (2.6), ta có v v ∇∆p,f v = −(p − 1)p−1 ∇e−v F (e p−1 ) + e−v ∇F (e p−1 ) − p|∇v|p−1 ∇|∇v| = −(p − 1)p−1 v −∇ve−v F (e p−1 ) + e−v v = −(p − 1)p−1 e−v ∇v −F (e p−1 ) + 19 v v ∇v p−1 e F (e p−1 ) p−1 v v F (e p−1 )e p−1 p−1 − p|∇v|p−1 ∇|∇v| − p|∇v|p−1 ∇|∇v| Chương Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplacian Thế dịng cuối biểu thức ∇∆p,f v vào (2.5), ta thu Lf (Q) =pwp−2 |Hessv|2A + Ricf (∇v, ∇v) − pw p − p(p − 1)p−1 w −1 |∇v|2 e−v Chú ý Ricm f = Ricf − p−2 v −F (e p−1 ) + ∇v, ∇Q v v F (e p−1 )e p−1 p−1 ∇f ⊗ ∇f Tính hệ frame địa phương chọn m−n ∇f ⊗ ∇f (f1 v1 )2 (∇v, ∇v) = m−n m−n Áp dụng Bổ đề 2.1.2 kết với nhận xét hàm F thỏa mãn F (u) u≤ p−1 F (u) nên lần ta có ước lượng Lf (Q) sau: p Lf (Q) =Lf (w ) ≥pwp−2 −p −p α |∇w|2 p−1 + w2 (1 + hw )2 + (1 + hw ) ∇v, ∇w w m−1 m−1 + pwp−2 Ricm f (∇v, ∇v) − pw p − p(p − 1)p−1 w −1 |∇v|2 e−v ≥pw p−2 p−2 p ∇v, ∇w v −F (e p−1 ) + v v F (e p−1 )e p−1 p−1 −p −p p−1 α |∇w|2 + w2 (1 + hw )2 + (1 + hw ) ∇v, ∇w w m−1 m−1 + pwp−2 Ricm f (∇v, ∇v) − pw p−2 p ∇v, ∇w Hơn nữa, với điều kiện Ricm f ≥ −(m − 1)K nên ta tiếp tục có đánh giá −p p αp p−3 w |∇w|2 + wp (1 + hw )2 m−1 −p p(p − 1) p−2 + w (1 + hw ) ∇v, ∇w − p(m − 1)Kwp−1 m−1 p−2 p − pw ∇v, ∇w −p αp p ≥ wp−3 |∇w|2 + wp (1 + hw )2 m−1 −p p(p − 1) p−2 w (1 + hw ) ∇v, ∇w − p(m − 1)Kwp−1 + m−1 p2 p−2 − w ∇v, ∇w −p αp p = wp−3 |∇w|2 + wp (1 + hw )2 m−1 −p p(p − 1) p2 + (1 + hw ) − wp−2 ∇v, ∇w − p(m − 1)Kwp−1 m−1 Lf (Q) ≥ Bất phương trình xảy w dương thực Bây giờ, đặt 20 Chương Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplacian K = {x ∈ Ω : w(x) = 0}; với Ω ⊂ M tập mở Đến ta có bổ đề ước lượng tích phân Ω Lf (Q) sau: Bổ đề 2.1.4 Cho ψ hàm Lipschitz khơng âm có giá compact Ω \ K, với giả thiết Bổ đề 2.1.2, p−2 w ∇w + (p − 2)wp−3 ∇v, ∇w ∇v, ∇ψ Ω −p αp p ≥ ( wp−3 |∇w|2 + wp (1 + hw )2 m−1 Ω − + −p p(p − 1) p2 (1 + hw ) − m−1 wp−2 ∇v, ∇w − p(m − 1)Kwp−1 )ψ Chứng minh Để thuận tiện, kí hiệu X := e−f |∇v|p−2 A(∇Q) ta có ef div e−f |∇v|p−2 A(∇Q) ψe−f dv Lf (Q)ψdµ = Ω Ω = divX.ψdv Ω div(ψX)dv − = Ω ∇ψ, X dv Ω = ψX, N g d˜ v− ∂Ω ∇ψ, X dv Ω |∇v|p−2 A(∇Q), ∇ψ dµ =− Ω Để tiếp tục làm rõ tích phân trên, ta tính A(∇Q) Do A = Id + (p − 2) nên ∇v ⊗ ∇v , |∇v|2 p p−2 ∇Q = w ∇w ∇v ⊗ ∇v (∇Q) |∇v|2 p−2 ∇v, ∇w p p−2 = w ∇w + p(p − 2)w ∇v 2 |∇v|2 p−4 p p−2 = w ∇w + p(p − 2)w ∇v, ∇w ∇v 2 A(∇Q) =∇Q + (p − 2) Mặt khác |∇v|p−2 = w 21 p−2 Chương Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplacian Sử dụng phân tích này, kết hợp với Bổ đề 2.1.3, ta có ước lượng p−2 w ∇w + (p − 2)wp−3 ∇v, ∇w ∇v, ∇ψ Ω −p p αp wp (1 + hw )2 ≥ ( wp−3 |∇w|2 + m−1 Ω Lf (Q)ψ = − Ω −p p(p − 1) p2 (1 + hw ) − m−1 + wp−2 ∇v, ∇w − p(m − 1)Kwp−1 )ψ Từ ta sử dụng a1 , a2 , d1 , d2 , để biểu thị hệ số phụ thuộc vào p m Hằng số b > xác định (2.14) Ta kết thúc mục việc đưa chứng minh Bổ đề 2.0.1 Chứng minh Lấy ψ = wb η , với > 0, η ∈ C0∞ (B0 (R)) w = (w − )+ Bằng tính tốn trực tiếp, ta có ∇ψ = bwb−1 η ∇w + 2wb ∇η Dễ thấy ψ hàm Lipschitz không âm, có giá compact Ω \ K, áp dụng Bổ đề 2.1.4 với Ω = B0 (R), ta thu p−2 w ∇w + (p − 2)wp−3 ∇v, ∇w ∇v, ∇ψ, bwb−1 η ∇w + 2wb η η∇η 2 − B0 (R) ≥ ( B0 (R) + −p αp p−3 p w |∇w|2 + wp (1 + hw )2 m−1 −p p2 p(p − 1) (1 + hw ) − m−1 wp−2 ∇v, ∇w − p(m − 1)Kwp−1 )wb η (2.9) Bây ta ước lượng hai số hạng vế trái Chú ý wp−2 wb−1 |∇w|2 + (p − 2)wp−3 wb−1 ∇v, ∇w ≥ a1 wp−2 wb−1 |∇w|2 , (2.10) với a1 = Đặt β := + hw −p p−1 với p > với < p ≤ , từ hai bất đẳng thức (2.9) (2.10) với ý p > 1, β > 1, 22 Chương Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplacian cho → ,ta có đánh giá − B0 (R) a1 b p+b−3 w η |∇w|2 − wp+b−2 η ∇w, ∇η B0 (R) (p − 2)wp+b−3 η ∇w, ∇η ∇w, ∇v − B0 (R) ≥ B0 (R) α p+b−3 w |∇w|2 η + + ( B0 (R) B0 (R) β2 wp+b η m−1 p2 p(p − 1) β − )wp+b−2 η ∇w, ∇v − m−1 p(m − 1)Kwp+b−1 η B0 (R) Mặt khác ta lại có wp+b−2 η ∇w, ∇η − − B0 (R) (p − 2)wp+b−3 η ∇v, ∇w ∇v, ∇η B0 (R) wp+b−2 |∇w||∇η|η ≤ (1 + |p − 2|) B0 (R) Kết hợp hai bất đẳng thức trên, ta thu wp+b−2 |∇w||∇η||η| + (1 + |p − 2|) B0 (R) B0 (R) α a1 b p+b−3 ≥ [ + ]w |∇w|2 η + B0 (R) + B0 (R) B0 (R) p2 p+b−2 w η ∇w, ∇v β2 wp+b η m−1 p(p − 1) p+b−2 βw η ∇w, ∇v − m−1 p(m − 1)Kwp+b−1 η B0 (R) Sử dụng BĐT Cauchy- Schwartz ta có wp+b−2 |∇w||∇η|η ≤ (1 + |p − 2|) B0 (R) B0 (R) a2 + b a1 b p+b−3 w η |∇w|2 w p+b−1 (2.11) |∇η| B0 (R) Tiếp tuc áp dụng BĐT Cauchy- Schwartz, ta có w− ∇w, ∇v ≤ |∇w| B0 (R) p2 p+b−2 p2 w η ∇w, ∇v ≤ 2 wp+b− η |∇w| B0 (R) ≤ B0 (R) a1 b p+b−3 a3 w η |∇w|2 + b wp+b |η B0 (R) (2.12) 23 Chương Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplacian Tương tự, ta có −|∇w| ≤ w− ∇w, ∇v , B0 (R) p(p − 1) p+b−2 βw η ∇w, ∇v ≥ m−1 B0 (R) ≥− p(p − 1) p+b−2 βw η |∇w| m−1 a1 b wp+b−3 η |∇w|2 − B0 (R) a4 b wp+b |η B0 (R) (2.13) Kết hợp bất đẳng (2.11), (2.12) (2.13), ta thu − B0 (R) +( a2 α p+b−3 w |∇w|η + b a4 − ) b m−1 wp+b−1 |∇η|2 + B0 (R) β wp+b η ≥ − ( wp+b η B0 (R) p(m − 1)Kwp+b−1 η B0 (R) Chọn b đủ lớn cho a3 b B0 (R) a3 + a4 − ) ≤ b m−1 (2.14) Chú ý a3 , a4 không âm β ≥ nên ta có ( a4 − ) b m−1 β wp+b η ≤ ( B0 (R) a4 − ) b m−1 wp+b η B0 (R) Vậy nên B0 (R) +( α p+b−3 a2 w |∇w|η − b a3 a4 − − ) m−1 b b p+b−1 B0 (R) wp+b η ≤ p(m − 1)Kwp+b−1 η B0 (R) Tiếp theo, sử dụng bất đẳng thức |∇(w wp+b−1 |∇η|2 B0 (R) a+b 2≤ 2( a + b ), ta có p+b−3 p+b−1 p+b−1 )∇w.w η + w ∇η|2 (p + b − 1)2 p+b−3 ≤ w η |∇w|2 + 2wp+b−1 |∇η|2 η)|2 = |( Thế BĐT vào BĐT liền kề phía trên, ta có |∇(w p+b−1 η)|2 B0 (R) a2 ≤ (p + b − 1)2 ( α b wp+b−1 |∇η|2 + ( B0 (R) a3 + a4 − ) b m−1 p(m − 1)Kwp+b−1 η ) − + B0 (R) wp+b−1 |∇η|2 B0 (R) 24 wp+b η B0 (R) Chương Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplacian Điều tương đương với |∇(w p+b−1 η)|2 + b2 d1 B0 (R) wp+b η B0 (R) wp+b−1 |∇η|2 + Kb2 d3 ≤ bd2 B0 (R) p(m − 1)wp+b−1 η B0 (R) Như vậy, Bổ đề 2.0.1 chứng minh 2.2 Ước lượng chuẩn Lp Để chứng minh Bổ để 2.0.2, ta cần bổ đề bất đẳng thức Sobolev địa phương sau: Bổ đề 2.2.1 Cho (M, g, dµ) khơng gian đo metric trơn, đủ, n chiều Giả sử Ricm f ≥ −(m − 1)K với K số không âm, m > n ≥ Khi đó, tồn số C , phụ thuộc m, cho với hình cầu B0 (R) ⊂ M , hàm φ ∈ C0∞ (B0 (R)) |φ| m−2 m 2m m−2 √ KR) ≤ eC(1+ V −m (R2 |∇φ|2 + φ2 )dµ, B0 (R) B0 (R) V thể tích hình cầu trắc địa B0 (R) Phần chứng minh bổ đề xem [3] Bây ta chứng minh Bổ đề 2.0.2 w m (b0 +p−1) m−2 L (B0 ( 34 R)) ≤ d4 b20 V R2 m−2 m(b0 +p−1) Chứng minh Từ Bổ đề 2.2.1 Bổ đề 2.0.1, ta có (w p+b−1 B0 (R) √ C(1+ KR) ≤e η) 2m m−2 m−2 m V −m R2 |∇(w p+b−1 η)|2 + B0 (R) ≤ ec2 b0 V −m B0 (R) wp+b−1 |∇η|2 + Kb2 d3 R2 (bd2 R2 B0 (R) − b d1 R p(m − 1)wp+b−1 η B0 (R) wp+b η + B0 (R) wb+p−1 η wp+b−1 η ) B0 (R) 25 Chương Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplacian √ b0 = c1 (m, p)(1 + KR) với c1 đủ lớn để làm cho b0 thỏa mãn (2.14) Tiếp tục điều chỉnh độ lớn c1 để có ước lượng Kb2 d3 R2 p(m − 1) + ≤ a5 b20 b2 Theo (w p+b−1 η) m−2 m 2m m−2 + b2 d1 R2 ec2 b0 V − m wp+b η B0 (R) B0 (R) ≤ bd2 R2 ec2 b0 V − m wp+b−1 |∇η|2 B0 (R) + Kb2 d3 R2 ec2 b0 V (2.15) −m p(m − 1)wp+b−1 η + ec2 b0 V −m wp+b−1 η B0 (R) B0 (R) ≤ bd2 R2 ec2 b0 V − m wp+b−1 |∇η|2 + a5 b20 b2 ec2 b0 V − m B0 (R) wp+b−1 η B0 (R) Bước ta giãn ước số hạng thứ hai vế trái (2.15) cách làm trội hai số hạng vế phải theo Đầu tiên, ta đánh giá số hạng thứ vế phải Chọn η1 ∈ C0∞ (Ω) thỏa mãn ≤ η1 ≤ 1, η1 ≡ B0 ( 34 R), |∇η1 | ≤ C1 đặt η = η1p+b Khi R ∇η = (p + b)η1p+b−1 ∇η1 , nên 2(p+b−1) |∇η|2 =(p + b)2 η1 |∇η1 |2 C1 2(p+b−1) ≤ (p + b)2 η1 R 2(p+b−1) C1 = (p + b)2 η p+b R Thế nên d2 R2 wp+b−1 |∇η|2 ≤ a6 b2 B0 (R) wp+b−1 η 2(p+b−1) p+b B0 (R) Ta s dng bt ng thc Hăolder cho vế phải wp+b−1 η 2(p+b−1) p+b wp+b−1 η dµ ≤ B0 (R) 2(p+b−1) p+b p+b−1 p+b p+b p+b−1 p+b dµ B0 (R) B0 (R) từ ta nhận p+b−1 p+b d2 R w p+b−1 |∇η| ≤ a6 b B0 (R) w B0 (R) 26 p+b−1 η V p+b , Chương Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplacian Nhắc lại bất đẳng thức Young khẳng định AB ≤ với A, B ≥ 0, p, q > 0, p + q Ap B q + ≤ Ap + B q , p q = Áp dụng điều ta có p+b−1 p+b a6 b wp+b−1 η V p+b B0 (R) p+b−1 p+b bd1 p+b−1 = ( R ) p+b ≤ bd1 R bd1 ≤ R ≤ bd1 R wp+b−1 η ( B0 (R) wp+b−1 η + ( B0 (R) wp+b−1 η + B0 (R) bd1 − p+b−1 R ) p+b a6 b2 V p+b bd1 −(p+b−1) R ) (a6 b2 )p+b V R2(p+b−1) p+b−1 a8 R2 wp+b−1 η + B0 (R) ab7 bp+b+1 V bp+b+1 V Do bd2 R2 ec2 b0 V −2 m wp+b−1 |∇η|2 ≤ B0 (R) b2 d1 c2 b0 R e V + a8 R2 −2 m wp+b η B0 (R) p+b−1 bp+b+2 ec2 b0 V 1− m Tiếp theo đánh giá số hạng thứ hai vế phải (2.15) Chú a5 b20 b2 wp+b−1 < 2 p+b w > a b2 R−2 Do đó, để đánh giá số hạng này, ta chia hình cầu b d1 R w B0 (R) thành miền B1 B2 với w |B1 > a9 b20 R−2 ; w |B2 ≤ a9 b20 R−2 Vì hàm dấu tích phân không âm kết hợp với điều kiện ≤ η ≤ nên ta có bất đẳng thức sau: a5 b20 b2 ec2 b0 V − m wp+b−1 η B0 (R) = a5 b20 b2 ec2 b0 V − m wp+b−1 η + B1 ≤ b2 d1 R2 ec2 b0 V − m 2 ≤ b2 d1 R2 ec2 b0 V − m 2 ≤ b2 d1 R2 ec2 b0 V − m wp+b−1 η B2 wp+b η + a5 b20 b2 ec2 b0 V − m B1 wp+b−1 B2 wp+b η + a5 b20 b2 ec2 b0 V − m B1 B2 w p+b η a9 b20 R2 + a5 b20 b2 ec2 b0 V − m B0 (R) B0 (R) 27 p+b−1 a9 b20 R2 p+b−1 Chương Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplacian Chọn b = b0 , với c1 đủ lớn tồn a10 , a11 , a12 cho a8 R2 p+b−1 bp+b+2 ec2 b0 = a8 R2 B0 (R) b20 R2 ≤b40 ab110 ≤ p+b0 −1 a9 b20 R2 ≤a5 b40 ec2 b0 p+b0 −1 a10 b R2 b0p+b0 +2 ec2 b0 ≤ p+b−1 a9 b20 R2 a5 b20 b2 ec2 b0 V − m p+b0 −1 V 1− m p+b0 −1 V 1− m p+b0 −1 a12 b20 R2 V 1− m Từ nhận bd2 R2 ec2 b0 V − m wp+b−1 |∇η|2 ≤ B0 (R) b2 d1 c2 b0 − R e V m a10 + b R2 wp+b η B0 (R) p+b0 −1 V 1− m (2.16) , đồng thời a5 b20 b2 ec2 b0 V − m wp+b−1 η B0 (R) ≤ b2 d1 R2 ec2 b0 V − m w p+b η + B0 (R) (2.17) p+b0 −1 a12 b20 R2 V 1− m Bây ta (2.16), (2.17) vào (2.15), ta thu (w p+b−1 η) 2m m−2 m−2 m ≤ B0 (R) a13 b R2 p+b0 −1 V 1− m Cuối cùng, lấy bậc p + b0 − vế với ý η = B0 ( 43 R), ta có w m (b +p−1) m−2 (B0 ( 34 R)) L ≤ d4 b20 V R2 m−2 m(b0 +p−1) Theo Bổ đề 2.0.2 chứng minh hoàn toàn 2.3 Ước lượng gradient cho nghiệm phương trình p-Laplacian Bây ta chứng minh Định lí 2.0.1 Chứng minh Nhắc lại rằng, chứng minh Bổ đề 2.0.2, ta chứng minh (2.15) Do 28 Chương Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplacian số hạng thứ hai vế trái khơng âm nên ta bỏ số hạng để có bất đẳng thức sau (w p+b−1 η) m−2 m 2m m−2 ≤ a14 ec2 b0 V − m (bR2 |∇η|2 + b20 b2 η )wp+b−1 B0 (R) B0 (R) Tiếp theo, ta sử dụng phép lặp Moser Đặt bl+1 = bl m , m−2 bl = b + p − 1, Ωl = B0 ( R R + ), 4l l = 1, chọn ηl ∈ C0∞ (B0 (R)) cho ηl ≡ Ωl+1 , ηl ≡ B0 (R) \ Ωl , C4l , R |∇ηl | ≤ ≤ ηl ≤ Với cách chọn trên, ta có wbl+1 bl+1 bl −m ≤ a14 ec2 b0 V bl (b20 b2 + bR2 |∇η|2 )wbl Ωl+1 Ωl Từ ước lượng |∇ηl | suy w bl+1 L ∞ l=1 bl Chú ý (Ωl+1 ) ≤ a14 e = m 2b1 c2 b0 V ∞ l l=1 bl b20 b2 + b16l bl bl −m m2 4b1 = bl b20 b2 + b16l Lbl (Ωl ) nên ta có đánh giá 16l )(b0 b)2 (1 + (b0 b)2 = w ≤ (1 + 16l )(b0 b)2 1 bl bl ≤ (17l ) bl (b0 b) bl Do w )) L∞ (B0 ( R ≤ a14 e c2 b0 V m 2b1 −m m2 m 17 4b1 (b0 b) b1 w )) Lb1 (B0 ( 3R m Mặt khác từ Bổ đề 2.0.2 cách đặt b1 = (b0 + p − 1) m−2 dẫn đến w Lb1 (B0 ( 3R )) ≤ d4 b0 R V b1 Bây kết vào chọn b0 đủ lớn, ta thu w L∞ (B0 ( R )) ≤ a15 29 b0 R Chương Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplacian √ Thế b0 = c1 (1 + KR), ta có w Cuối cùng, thay w = 2.4 L∞ (B0 ( R )) ≤ |∇u| (p − 1) u a16 1+ √ KR R ta có điều cần chứng minh Các hệ ứng dụng Ta chứng minh Định lí 2.0.1 với F hàm tổng quát Khi F (u) = cuσ , với c > 0, σ ≤ p − 1, ta thu phương trình [6] Do vậy, Định lý 2.0.1 tổng quát hóa kết tác giả L Zhao D Y Yang Ta có kết tương tự cách chọn F hàm quen thuộc F (u) = u(1−u2 ) (hàm Allen-Cahn) F (u) = cu(1−u) (hàm Fisher) hay tổng quát F (u) = ua − ub (đại lượng liên quan đến phương trình Lichnerowicz tổng quát lý thuyết tương đối) Sau ta chứng minh hệ nói đầu chương Chứng minh Hệ 2.0.1 Với F (u) = u(1 − u2 ) F (u) = − 3u2 Theo đó, điều kiện ≤ p ≤ 4, ta có F (u)u (1 − 3u )u = ≤ u(1 − u2 ) = F (u) p−1 p−1 Như vậy, giả thiết định lí 2.0.1 thỏa mãn nên ta có (2.2) Khi K = 0, vào (2.2), ta có Cp,m |∇u| ≤ u R Bây cho R → +∞, u > nên ta có ∇u = 0, suy u hàm M Điều dẫn đến ∆p,f u = 0, vào phương trình, ta u(1 − u2 ) = Sử dụng điều kiện < u ≤ 1, suy u = M Chứng minh Hệ 2.0.2 Lập luận tương tự phần chứng minh Hệ 2.0.1 Chứng minh Hệ 2.0.3 Vì p nằm + a + b nên hai trường hợp a < b, < u ≤ a > b, F (u) u > 1, ta có p−1 u ≤ F (u) Như giả thiết Định lí 2.0.1 thỏa mãn nên ta có (2.2) Cuối thay K = lấy giới hạn R → +∞ suy u số Do ∆p,f u = 0, kéo theo ua − ub = Vì u > a = b nên u = M 30 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu thiết lập ước lượng gradient cho phương trình pLaplacian phi tuyến tổng qt thơng qua việc trình bày chi tiết bước chứng minh Định lí 2.0.1 ước lượng gradient phương trình ∆p,f u + F (u) = không gian đo metric trơn thông qua Bổ đề 2.0.1, 2.0.2 Cuối cùng, dựa kết Định lí 2.0.1, luận văn đưa số hệ ứng dụng cho phương trình quan trọng Vật lý Tốn, bao gồm phương trình Allen-Cahn, phương trình Fisher, phương trình kiểu Lichnerowicz tổng quát 31 Tài liệu tham khảo [1] B Kotschwar and L Ni (2009), Local gradient estimates of p-harmonic functions, 1/H-flow, and an entropy formula, Ann Sci Ec Norm Supér (4) 42, no 1, 1–36 [2] D Bakry and M Emery (1985), Diffusions hypercontractives (French), Séminaire de probabilités, XIX, 1983/84, Lecture Notes in Math., vol 1123, Springer, Berlin, pp 177–206 [3] J Y Wu, Li–Yau (2010), Type estimates for a nonlinear parabolic equation on complete manifolds, J Math Anal Appl 369 (1) 400–407 [4] K Wolfgang (2006), Differential geometry (2nd Edition), American Mathematical Society [5] L Zhao (2014), Gradient estimates for a simple parabolic Lichnerowicz equation , Osaka J Math 51, no 1, 245–256 [6] L Zhao D Yang (2018), Gradient estimates for the p-Laplacian Lichnerowicz equation on smooth metric measure spaces, American Mathematical Society 146, 5451-5461 [7] L F Wang and Y Zhu (2012), A sharp gradient estimate for the weighted p-Laplacian, Appl Math J Chinese Univ Ser B 27, no 4, 462–474 [8] L F Wang, Z Y Zhang, L Zhao, and Y J Zhou (2017), A Liouville theorem for weighted p-Laplace operator on smooth metric measure spaces, Math Methods Appl Sci 40, no 4, 992–1002 [9] M L John (2013), Introduction to Smooth Manifolds (2nd Edition), Springer, NewYork [10] M L John (1997), Riemannian manifolds: An introduction to curvature, Springer, NewYork 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [11] X.-D Li (2005), Liouville theorems for symmetric diffusion operators on complete Riemannian manifolds, J Math Pures Appl 84, 1295–1361 [12] X Wang and L Zhang (2011), Local gradient estimate for p-harmonic functions on Riemannian manifolds, Comm Anal Geom 19, no 4, 759–771 [13] Y Canzani (2013), Analysis on manifolds via the Laplacian, xem website tác giả: http://canzani.web.unc.edu/documents/ [14] Y Z Wang and H Q Li (2016), Lower bound estimates for the first eigenvalue of the weighted p-Laplacian on smooth metric measure spaces, Differential Geom Appl 45, 23–42 33 ... p? ??2 p − pw ∇v, ∇w ? ?p ? ?p p ≥ wp−3 |∇w|2 + wp (1 + hw )2 m−1 ? ?p p (p − 1) p? ??2 w (1 + hw ) ∇v, ∇w − p( m − 1)Kwp−1 + m−1 p2 p? ??2 − w ∇v, ∇w ? ?p ? ?p p = wp−3 |∇w|2 + wp (1 + hw )2 m−1 ? ?p p (p − 1) p2 + (1... ? ?p, f u + F (u) = ef div(e−f |∇e p? ??1 |p? ??2 ∇e p? ??1 ) + F (e p? ??1 ) v = (p − 1)1? ?p ev (|∇v |p + ? ?p, f v) + F (e p? ??1 ) = 17 Chương Ước lượng gradient cho phương trình p- Laplacian Từ suy v ? ?p, f v = − (p. .. p? ??1 ) + 19 v v ∇v p? ??1 e F (e p? ??1 ) p? ??1 v v F (e p? ??1 )e p? ??1 p? ??1 − p| ∇v |p? ??1 ∇|∇v| − p| ∇v |p? ??1 ∇|∇v| Chương Ước lượng gradient cho phương trình p- Laplacian Thế dịng cuối biểu thức ∇? ?p, f v vào (2.5),