Phương pháp hiệu chỉnh browder tikhonov cho phương trình phi tuyến không chỉnh loại j đơn điệu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ XUÂN QUỲNH PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BROWDER TIKHONOV CHO PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN KHƠNG CHỈNH LOẠI J - ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ XUÂN QUỲNH PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BROWDER TIKHONOV CHO PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN KHÔNG CHỈNH LOẠI J - ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS Nguyễn Bường Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới GS TS Nguyễn Bường-Viện Công nghệ thông tin-Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt nam, người tận tình hướng dẫn, bảo tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy, cô giáo công tác trường Đại học Khoa học Tự nhiên-Đại học Quốc gia Hà nội truyền đạt kiến thức cho tơi suốt q trình học tập trường Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới lãnh đạo Viện Công nghệ thông tin, bạn đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 10 năm 2015 Học viên Vũ Xuân Quỳnh Mục lục Mở đầu Khái niệm 1.1 Không gian Banach 1.2 Bài tốn đặt khơng chỉnh 1.2.1 Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh 1.2.2 Khái niệm thuật toán hiệu chỉnh 10 1.3 Phương trình với tốn tử loại J-đơn điệu 12 1.3.1 Một số khái niệm 12 1.3.2 Phương trình với tốn tử loại J-đơn điệu 16 Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov 19 2.1 Phương pháp Browder-Tikhonov với toán tử loại J-đơn điệu 19 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Newton-Kantorovich 37 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Mở đầu Trong lớp toán nảy sinh từ khoa học, kỹ thuật nghành kinh tế quốc dân tồn lớp tốn mà nghiệm khơng ổn định với kiện ban đầu Khi kiện ban đầu thay đổi chút phương trình khơng có nghiệm có nghiệm tương ứng lại cách xa nghiệm xác nhiều Người ta nói tốn đặt khơng chỉnh đặt yêu cầu tìm phương pháp giải ổn định tốn Ta xét tốn đặt khơng chỉnh dạng phương trình tốn tử A(x) = f, f ∈ X, (1) A tốn tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y Khi tốn hiệu chỉnh phương pháp cực tiểu phiếm hàm làm trơn Tikhonov h Fδ,α (x) = ||Ah (x) − fδ ||2 + αΩ(x), x ∈ D(Ah ) = D(A), với việc chọn tham số α = α(h, δ) thích hợp, (Ah , fδ ) xấp xỉ (A, f ), α > tham số hiệu chỉnh, Ω(x) phiếm hàm ổn định Tuy nhiên toán phi tuyến việc tìm phần tử cực tiểu phiếm hàm Tikhonov trở nên khó khăn Do để giải toán trường hợp phi tuyến, A : X → X ∗ toán tử đơn điệu, [7] Browder đề xuất dạng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cách sử dụng tốn tử có tính chất h-liên tục đơn điệu mạnh Tiếp tục tư tưởng này, Alber [3] sử dụng ánh xạ đối ngẫu tổng quát để hiệu chỉnh tốn Để tìm nghiệm cho tốn (1), chúng tơi xem xét phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov có dạng A(x) + α(x − x+ ) = fδ , (2) A : X → X tốn tử loại J-đơn điệu khơng gian Banach X có tính chất xấp xỉ Khi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J liên tục yếu theo dãy liên tục mạnh (2) có nghiệm xδα hội tụ tới x0 nghiệm (1) Ta hội tụ J tính liên tục yếu theo dãy bổ sung thêm hai điều kiện ||A(x) − A(x0 ) − J ∗ A (x0 )∗ J(x − x0 )|| ≤ τ ||A(x) − A(x0 )||, (3) x ∈ X , τ > 0, J ∗ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X ∗ , x0 nghiệm (1) tồn z ∈ X cho A (x0 )z = x+ − x0 (4) Cuối cùng, J không liên tục yếu theo dãy khơng thỏa mãn hai điều kiện (3), (4) nghiệm hiệu chỉnh phương pháp hội tụ tới nghiệm toán Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu tốn đặt khơng chỉnh, phương trình với tốn tử loại J-đơn điệu số khái niệm dùng tồn luận văn Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình phi tuyến khơng chỉnh với tốn tử loại J-đơn điệu phương pháp lặp Newton-Kantorovich kết hợp với phương pháp hiệu chỉnh Luận văn chắn tránh khỏi sai sót Em mong nhận góp ý bảo thầy Em xin chân thành cảm ơn! Kết luận Sau thời gian làm việc hướng dẫn GS TS Nguyễn Bường luận văn hoàn thành Luận văn giới thiệu tốn đặt khơng chỉnh phương trình với tốn tử loại J-đơn điệu Trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình phi tuyến khơng chỉnh loại J-đơn điệu J có tính liên tục yếu theo dãy khơng có tính chất Cuối cùng, chúng tơi giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich Trong luận văn định lý chứng minh chi tiết Các vấn đề đưa luận văn dựa kết nghiên cứu gần GS.TS Nguyễn Bường đồng nghiệp 44 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài tốn đặt khơng chỉnh, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Alber Y (1975), On solution by the method of regularization for operator equation of the first kind involving accretive mappings in Banach spaces , Differential Equations SSSR, XI, 2242-2248 [3] Alber Y (1975), On solving nonlinear equations involving monotone operator in Banach space, Sibirian Mathematics Journal, 26, 3-11 [4] Alber Y., Ryazantseva I (2006), Nonlinear ill-posed problems of monotone type, Springer [5] Bakushinskii A (1976), Regularization Algorithm based on the NewtonKantorovich method for solving variational inequalities, Zh Vychisl Mat Fiz SSSR, 16(6) 1397-1404 [6] Bakushinskii, A B., Smirnova, A (2007), Iterative regularization and genaralized discrepancy principle for monotone operator equations, Numer Funct Anal and Optim 28(1-2) 13-25 [7] Browder F E (1966), Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities, Proc Nat Acad Sci USA 56(4) 1080-1086 [8] Nguyen Buong (2004), Convergence rates in regularization for nonlinear ill-posed equations under accretive perturbations, Zh Vychist Mat Mat Fiz, 44(3) 397-402 [9] Buong Ng., Phuong Ng.Th.H (2012) , Convergence rates in regularization for nonlinear ill-posed equations involving m-accretive mappings in Banach spaces, Applied Math Sciences, 6(63) 3109-3117 [10] Buong Ng., Phuong Ng.Th.H (2013), Regularization methods for nonlinear ill-posed equations involving m-accretive mappings in Banach spaces, Russian Math., 57(2) 58-64 [11] Nguyen Buong, Nguyen Duong Nguyen, and Nguyen Thi Thu Thuy (2015), Newton-Kantorovich iterative regularization and genaralized discrepancy principle for nonlinear ill-posed equations involving accretive 45 mappings, Russian Math., 59(5) 32-37 [12] Konyagin C.V (1980), On approximative properties of closed sets in Banach spaces and the characteristics of strongly convex spaces, Dokl Akad Nauk SSSR, 251(2) 276-280 [13] Ryazantseva I P (2002), Regularization proximal point algorithm for nonlinear equations of monotone type in Banach space, Zhurn Vychisl Matem i Matem Fiz., 42(9) 1295-1303 [14] Wang J., Li J., Liu Z (2008), Regularization methods for nonlinear ill-posed problems with accretive operators, Acta Math Scientia., 28b(1) 141-150 46 ... văn giới thiệu tốn đặt khơng chỉnh phương trình với tốn tử loại J- đơn điệu Trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder- Tikhonov cho phương trình phi tuyến khơng chỉnh loại J- đơn điệu J có tính liên... trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder- Tikhonov cho phương trình phi tuyến khơng chỉnh với toán tử loại J- đơn điệu phương pháp lặp Newton-Kantorovich kết hợp với phương pháp hiệu chỉnh Luận... Phương trình với tốn tử loại J- đơn điệu 12 1.3.1 Một số khái niệm 12 1.3.2 Phương trình với tốn tử loại J- đơn điệu 16 Phương pháp hiệu chỉnh Browder- Tikhonov