Bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ năng lượng cao và phương trình chuẩn thế

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ VĂN TIẾN BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG LƢỢNG CAO VÀ PHƢƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội -2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ VĂN TIẾN BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG LƢỢNG CAO VÀ PHƢƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã ngành: 60440103 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Toán-lý Nguyễn Xuân Hãn Hà Nội -2013 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƢƠNG BIỂU DIỄN EIKONAL CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ .8 1.1 Thành lập cơng thức tốn tán xạ 1.2 Biểu diễn Eikonal biên độ tán xạ học lượng tử 12 CHƢƠNG BỔ CHÍNH CHO GẦN ĐÚNG EIKONAL 20 2.1 Phương trình chuẩn 20 2.2 Phương trình chuẩn biểu diễn tọa độ 28 CHƢƠNG PHƢƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ VÀ PHÉP GẦN ĐÚNG BORN 34 3.1 Phép gần Born 34 3.2 Vùng lượng cao 35 3.3 Thế Yukawa 38 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 PHỤ LỤC 47 Phụ lục A :Giải phương trình chuẩn 47 Phụ lục B: Tính đóng góp phép lặp ( N+1) cho biên độ tán xạ với góc tán xạ nhỏ 49 Phụ lục C : Tính đóng góp phép lặp ( N+1) cho biên độ tán xạ với góc tán xạ 52 Phụ lục D: Một số tích phân sử dụng chương 54 DANH MỤC HÌNH VẼ Trang Hình 1: Minh hoạ rõ ràng biến đổi phức tạp sử dụng tính tốn 11 Hình Biểu diễn tương tác hai “nucleons” trường hợp trao đổi meson vô hướng 38 Hình Biểu diễn tương tác hai “nucleons” trường hợp trao đổi hạt vectơ 41 Hình Biểu diễn tương tác hai “nucleons” trường hợp trao đổi hạt tenxơ 42 MỞ ĐẦU Phép gần eikonal sử dụng để tìm biên độ tán xạ hạt học lượng tử phi tương đối tính sử dụng từ lâu biểu diễn eikonal thu cho biên độ tán xạ dùng rộng rãi để phân tích số liệu thực nghiệm vật lý lượng cao [3-7] Sử dụng phép gần sở phương trình chuẩn LogunovTavkhelidze lý thuyết trường lượng tử, lần người ta thu biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hạt vùng lượng cao xung lượng truyền nhỏ (góc tán xạ nhỏ) Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ này, thu người ta tiến hành lấy tổng giản đồ Feynman, hay phương pháp tích phân phiếm hàm Trong lý thuyết trường lượng tử, phép gần eikonal thực tế tương ứng với việc tuyến tính hóa hàm truyền hạt tán xạ theo xung lượng hạt trao đổi [12,13] sau: 1 1     2  p   ki   m    p  ki   ki  i i i      (0.1) p xung lượng hạt tán xạ, ki – xung lượng hạt trao đổi công thức (0.1) ta bỏ qua số hạng ki k j  Phép gần sử dụng để nghiên cứu trình tán xạ lượng cao gọi phép gần quỹ đạo thẳng hay gần eikonal Bức tranh vật lý sau: Các hạt lượng cao bị tán xạ cách trao đổi liên tiếp độc lập lượng tử ảo, đồng thời khơng có liên kết tương thích q trình trao đổi riêng biệt với nhau, nên số hạng tương quan ki k j mặt hàm truyền (0.1) Các số hạng bổ cho biên độ tán xạ eikonal cho biên độ tán xạ hạt vùng lượng cao, gần giới khoa học quan tâm nghiên cứu, tương tác hạt tương tác hấp dẫn số hạng bổ liên quan đến lực hấp dẫn mạnh gần lỗ đen, lý thuyết siêu dây hấp dẫn loạt hiệu ứng hấp dẫn lượng tử /12-14/ Việc xác định số hạng bổ cho biểu diễn tán xạ eikonal lý thuyết hấp dẫn cần thiết , song vấn đề bỏ ngỏ, lượng hạt tăng, số hạng bổ tính theo lý thuyết nhiễu loạn, lại tăng nhanh số hạng trước Mục đích Bản luận văn Thạc sĩ tìm bổ bậc cho biên độ tán xạ eikonal hạt dựa sở phương trình chuẩn vùng lượng cao xung lượng truyền nhỏ lý thuyết trường lượng tử Nội dung Bản luận văn bao gồm: phần mở đầu, ba chương, phần kết luận, tài liệu trích dẫn phụ lục Chƣơng I Biểu diễn eikonal biên độ tán xạ Trong mục 1.1 xuất phát từ phương trình dừng Schrodinger hạt trường ngồi theo định nghĩa ta tìm cơng thức eikonal cho biên độ tán xạ vùng lượng cao xung lượng truyền nhỏ Biểu diễn eikonal biên độ tán xạ với điều kiện cần thiết cho phép sử dụng gần trình bầy mục Chƣơng II Biểu diễn eikonal bổ bậc Trong mục 2.1 giới thiệu cách thu nhận phương trình chuẩn cho biên độ tán xạ cho hàm sóng Trong mục 2.2 xuất phát từ phương trình chuẩn biểu diễn tọa độ, thực khai triển hàm sóng phương trình theo xung lượng hạt p  p Sử dụng phép khai triển ta thu biểu diễn eikonal số hạng bổ bậc cho biên độ tán xạ Chƣơng III Bài tốn dựa phương trình chuẩn giải phương pháp lặp theo gần Born (lý thuyết nhiễu loạn theo tương tác) Ở mục 3.1 chuẩn dạng Gauss sử dụng để minh họa phương pháp tính biên độ tán xạ bổ bậc bậc gần Born thấp Biểu thức tổng quát cho n+1 lần gần Born khai triển biên độ tán xạ theo lũy thừa 1/p, tương tự phân tích chương II, kết số hạng số hạng bổ bậc cho biên độ tán xạ tìm mục 3.2 Trường Yukawa tương ứng với trao đổi hạt lượng tử với spin khác (trao đổ hạt vô hướng, hạt véctơ graviton tương tác hấp dẫn ), sử dụng để minh hoa phụ thuộc vào lượng số hạng bổ cho biên độ tán xạ eikonal Cuối kết luận chung, tài liệu tham khảo phụ lục liên quan tới luận văn Trong luận văn sử dụng hệ đơn vị nguyên tử  c  metric Pauli: x  x   ( x1  x, x2  y, x3  z, x4  ict  it )  x  ab  a b  ab  a0b0  ab  a4b4  ak bk  a4b4   1   0  0  k  1, 2,3 0 0  0 0  0 1 Các số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ đến CHƢƠNG I BIỂU DIỄN EIKONAL CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ Bài toán tán xạ học lượng tử nghiên cứu sở phương trình Schrodinger Giả sử có hạt tán xạ trường ngồi, dáng điệu hàm sóng hạt bị tán xạ tìm dạng  tán xa eikr   toi  f ( ,  ) r Trong f ( ,  ) biên độ tán xạ cần tìm Nếu lượng hạt lớn, góc tán xạ nhỏ, ta tìm biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ- hay người ta gọi biểu diễn Glaubert [10], người thu công thức học lượng tử 1.1 Thành lập công thức tốn tán xạ Q trình tán xạ học lượng tử mơ tả phương trình Schrodinger: 2  k  (r )  U(r ) (r ) sử dụng ký hiệu k  (1.1.1) 2mE U (r )  2mV(r ) Nghiệm phương trình vi phân (1.1.1) viết lại dạng phương trình tích phân: (r)  (r)   d 3r ' G0 (r, r ')U(r ')(r ') (1.1.2) hàm (r ) thoả mãn phương trình cho hàm tự do: 2  k  (r )  (1.1.3) Phương trình (1.1.3) phương trình vi phân cấp nên nghiệm có dạng: (r )  A0eik r  B0eik r hàm Green G0 (r, r ') nghiệm phương trình: 2  k  G0 (r, r ')  (3) (r  r ') (1.1.4) Chúng ta tìm G0  r , r '  theo công thức: G0  r , r /    G  r  r /   3  r  r  d  r / / Chuyển phổ Fourier ta có: G0  r , r '    2  e  is r  r /  g  s d s (1.1.4a) Vậy :   k  G0 (r , r / )   2     k2 e  is r  r /  g  s  d  s is r  r is r  r Nhưng : 2e    s 2e   / / Sử dụng:  3  r  r /    2   is r  r / e  d 3s Thay vào phương trình (1.1.4a) có:  2    s  g s    k e  is r  r /  g  s  d  s   2   2  k  s2  Đặt vào (1.1.4a) ta có: G0  r , r /   e  2    is r  r /  d 3s k s Chuyển sang tọa độ cầu  s, ,   dọc theo trục r Vì s  r  r /   s r  r / cos  e is r  r / cos 2 is r  r / cos  e sin  d   is r  r /  sin s r  r s r r /  / Vì vậy: G0  r , r   (2 ) r  r / /  4 r  r /       s sin s r  r / k s  s sin s r  r / k s 2  ds Chuyển sang tích phân phức : ds e  is r  r /  d 3s i G0  r , r   8 r  r / /  is r  r / -is r  r /    se se ds   ds    s  k  s  k       s  k  s  k   i  I1  I  8 r  r / Sử dụng dạng tích phân Cauchy :     z  z   2 f  z  f z 0  seis r  r / I1     sk    seis r  r /  ds  2 i   sk  sk    ik r  r /   i e   sk  se-is r  r / I2      sk    se-is r  r /  ik r  r /   ds  2 i   i e  sk  sk     s  k / / i eik r  r  e ik r  r    G0  r , r /    /   8 r  r   4 r  r /  4 eik r  r /  e ik r  r /   Aeik r  r / Be ik r  r /   r r/  r r/        Các điều kiện biên hàm (r ) G0 (r, r ') xác định từ điều kiện biên hàm (r ) Phương trình tích phân (1.1.2) gọi phương trình Lippman-Schwinger Các nghiệm phương trình (1.1.3) (1.1.4) là: (r )  A0eik r  B0eik r (1.1.5)  ik r  r '  ik r r '  e e G0 (r, r ')   A B 4  r  r ' r r'      (1.1.6) (1.1.6) ý A+B =1 Sử dụng phương trình (1.1.5) (1.1.6), nghiệm phương trình Lippman-Schwinger (1.1.7) viết lại dạng: (r )  A0 e ik r  B0 e  ik r  ik r  r '  ik r r ' e e   d r' A B  r r' 4  r r'  10   U (r )(r ')   (1.1.7) T  x     ( x )  ( x )     ( x )  ( x )  m2  x     T  x  tensor xung lượng trường điện từ Hằng số tương tác  liên quan với số hấp dẫn Newton G hệ thức   16 G chuẩn Yukawa tăng theo lượng  e  r V  r; s   s 2 r (3.3.11) Hình Biểu diễn tương tác hai “nucleons” trường hợp trao đổi hạt tenxơ Tương tự ta tìm được: (0) Ttensor  s; t    (1) tensor T  s; t     4  3 6  F ( t )  F2 (t )   2 3(2 )  2     t 2(2 )  3  2    2 2  F ( t )  F ( t )   (2 )5 s    t (2 )  (3.3.12) (3.3.13) So sánh kết thu (3.3.3) - (3.3.12) ta rút nhận xét sau cho mơ hình tự tương tác hai hạt “nucleon” vô hướng Nếu hai “nucleon” vô hướng trao đổi hạt meson vô hướng, tương ứng với chuẩn phụ thuộc   vào lượng (3.1.1) tiết diện tán xạ tồn phần  tot giảm theo luật s 42 có số hạng gần Born chiếm ưu cho đóng góp chủ yếu vào biên độ tán xạ eikonal Khi trao đổi hạt meson véctơ – tương ứng với chuẩn khơng đổi (3.3.7), tiết diện tán xạ tồn phần tiến tới số s  ;  t s   Trong hai trường hợp này, pha eikonal hoàn toàn thực ảnh hưởng tán xạ khơng đàn tính coi không đáng kể phép gần  in  Trong trường hợp trao đổi graviton, tương ứng với chuẩn phụ thuộc lượng (3.3.10) Froissart bị vi phạm (tiết diện tán xạ toàn phần tăng lượng tăng) Kết tương tự thu với chuỗi eikonal trao đổi Regge graviton 43 KẾT LUẬN Trong Luận văn nghiên cứu phương trình chuẩn Logunov Tavkhelidze cho tốn tán xạ, đồng thời tính số hạng bổ bậc cho biên độ tán xạ lượng cao lý trường lượng tử kể hấp dẫn lượng tử , kết thu Luận văn bao gồm: 1/ Giải phương trình chuẩn Logunov - Tavkhelidze cho tốn tán xạ ta thu số hạng chính-biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ số hạng bổ bậc vùng lượng cao xung lượng truyền nhỏ 2/ Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận cho biên độ tán xạ lượng cao xung lượng truyền nhỏ qua Yukawa,tương ứng với trao đổi hạt vơ hướng ,thì số hạng bổ bậc cho biên độ tán xạ nhỏ số hạng –biểu diễn tán xạ eikonal,xấp xỉ s 3/ Khi tương tác hai nucleon qua việc trao đổi hạt với spin khác nhau, meson vô hướng (spin không), meson vector (spin 1) graviton (spin 2) hấp dẫn lượng tử - hạt tenxơ ta thu cơng thức, trùng với kết tính tốn phương pháp khác, phương pháp tích phân phiếm hàm với cải biến lý thuyết nhiễu loạn 4/ Tùy thuộc vào spin khác tiết diện tán xạ tồn phần  tot giảm, khơng đổi tăng theo tăng lượng Các kết lý thuyết nhận dựa sở phương trình chuẩn Gauss sử dụng để phân tích số liệu từ thực nghiệm tán xạ hadron Phương pháp nghiên cứu luận án Thạc sỹ sử dụng để nghiên cứu cho toán tán xạ phức tạp trường hấp dẫn lượng tử Các vấn đề dành cho việc nghiên cứu tới 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Xuân Hãn (2002), Các giảng tích phân quỹ đạo lý thuyết lượng tử, Giáo trình ĐHQG Hà Nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, ĐHQG Hà Nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, ĐHQG Hà Nội Phạm Thúc Tuyền (2007,2010), Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội Phạm Thúc Tuyền (2007,2011), Lý thuyết hạt bản, NXB ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh Efremov A.A (1971) , Short Distance Scala Invariance and High Energy Process in Field Theory , TMF 6, 55 Filipov A.T (1964), Các giảng lớp học vật lý lý thuyết Quốc tế mùa Đông Viện nghiên cứu liên hợp hạt nhân Dubna, NXB JINR-Liên Xô, pp.80-107 Garsevanishvili V.R, Matveev V.A., Slepchenko L.A, Tavkhelidze A.N (1969), Coral Gables Conference on Fundamental Interactions at High Energy, Gordon and Breach Science Publishers, p 74 Garsevanishvili V.R, Matveev V.A, Slepchenko L.A and Tavkhelidze (1969), “Relativistic quasipotential model of particle scattering at high energies” Phys.Lett 29B, No 3, 191 10 Garsevanishvili V.R, Matveev V.A, Slepchenko L.A and Tavkhelidze (1969), ICTP – Preprint IC/69/87, Trieste 11 Glauber R.J (1959), Lectures in Theorical Physics, New York, 315p 12 Logunov A.A and Tavkhelidze A.N (1963), “Quasipotential approach in quantum field theory”, Nuovo Cimento 29 (2), pp 380 13 Nguyen Suan Han and Eap Ponna (1997), “Straight-Line Path Aprroximation for the Studying Planckian- Energy Scattering in Quantum Gravity”, ICTP, IC/IR/96/36, Trieste, pp.1-15; IL Nuovo Cimento A, Vol 110A(5), pp 459 45 14 Nguyen Suan Han (2000), “Straight-Line Paths Approximation for the HighEnergy Elastic and Inelastic Scattering in Quantum Gravity”, European Physical Journal C, vol.16(3), pp 547-553 15 Nguyen Suan Han and Nguyen Nhu Xuan (2002), “Planckian Scattering Beyond Eikonal Approximation in the Functional Approach”, NXB Giáo dục, pp.393-401 16 Salpeter E.E and Bethe H.A (1951), “A Relativistic Equation for Bound-State Problems”, Phys Rev 84, pp 1231 17 Tavkelidze A.N (1964), Các giảng lớp học vật lý lý thuyết Quốc tế mùa Đông Viện nghiên cứu liên hợp hạt nhân Dubna, NXB JINR-Liên Xô, pp.66-78 18 Verlinde E and Verlinde H (1992), “Scattering at Planckian energies”, Nucl Phys B.371, pp 246 19 M Abramowitz, I Stegun, “Hanbook of Mathematical Functions’’, National Buerau of Standards (1970, Eq (11.4.16)) 46 PHỤ LỤC PHỤ LỤC A: GIẢI PHƢƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ BẰNG PHƢƠNG PHÁP LẶP Dạng phương trình chuẩn cho tán xạ hạt khơng có spin có khối lượng nhau: T ( p, k , E )  V ( p  k ) ; E    dq V ( p  q)2 ; E  T (q, k ; E ) m2  q q  m2  E  i (A.1) Phương trình (A.1) giải phương pháp lặp T (2 ; E)  V (2 ; E)   T (2 ; E)  ; 2  t (A.2) Phần bổ cho gần theo Born có dạng:  T ( ; E )   dq V ( p  q) ; E  V ( p  k ) ; E  m2  q q  m2  E  i (A.3)  (isg0 )2 eat A( ; E ), đó: e2 a ( q  ) pk ;  2 q  m2  E  i m q dq A( ; E )   (A.4) Lấy tích phân theo góc, ta có: A( ; E )       2a  e2 a ( q  ) 2 m2  q q  m  E  i qdq (A.5) pq , hay mặt lượng   p  t  p cos  (A.6) Viết lại (A.5) dạng: A  R  iJ (A.7) đó: 47 2 J 4a p  m2 e 2 a ( p   )2  e2 a ( p  )  (A.8) R xác định giá trị tích phân (A.5) Trong giới hạn lượng cao, xung lượng truyền nhỏ 2 1  O  as s  J 2 R as (A.9a) 1  O  2 as s  (A.9b) Như vậy, hai số hạng đầu chuỗi (A.2) cho T ( ; E )  isg0e  isg0 đó: at  g0 a (1  i )eat   (A.10) 2 as Điều kiện ứng dụng phép gần Born  g0 a  1; a t  2ln 48 a  g0 (A.11) PHỤ LỤC B: TÍNH ĐĨNG GĨP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ VỚI GÓC TÁN XẠ NHỎ Tính đóng góp phép lặp (n+1) vào biên độ tán xạ (A.1) T ( p, k ; E ) vùng lượng cao góc tán xạ nhỏ: T ( n 1) ( p, k ; E )  (isg ) n 1    dq1 dqn  1  n n 1    exp a ( p  q1 )   (ql  ql 1 )  (qn  k )   l 1     n  (q l 1 l (B.1)  p  i 0) đó: 1  ql  m2 , l  1, 2, , n Làm phép l  ql  l , l  1, 2, , n ; đây: l  qlexteme  (n   l ) p  lk ; l  1, 2, , n n 1 (B.2) giá trị xung lượng dạng toàn phương lũy thừa hàm mũ (B.1) Đưa vào véctơ trực giao l  pk pk ; r ; (lr  0) viết lại biểu thức (B.2) 2 dạng: l  l  rl  n  2l  r  l  rl ; l  1, 2, , n ; n 1 n  2l  r Khi số lũy thừa chia đóng góp điểm cực n 1 trị phần lại: n 1 ( p  ql )  (qn  k )   (ql  ql 1 )  l 1  (B.3) n 1 ( p  k )2  n      l2    l  l 1  n 1 l 1  l 1  n 1 ( p  k)  l2   2n   ( l   l 1 ) n 1 l 1 Trong biến số (B.1) có dạng: 49 T ( n 1) ( p, k ; E )  (isg ) n 1 e at n 1    d 1 d  n  1  n n 1   n  exp 2a   l2   l  l 1   l 1  l 1   n  ( l 1 l  l )  p  i0  Chia phép lấy tích phân theo  thành thành phần dọc ngang véctơ l   ( ; ) , ( l )  T ( n 1) ( p, k ; E )  (isg ) n 1 e at n 1 (n) d  (1)  d      1  n  (B.4)   n (l )2 n 1 (l ) ( l 1)    exp 2a             I n l 1  l 1   n 1   n  exp 2a   l2   l l 1   d  d  n l 1  l 1  I n      n  1  n  l2  2l l  ((l )  r )2  i0 l 1 Biểu diễn số mẫu dạng tích phân chia thành hai cực điểm:    i 1 1      k 2l    (r   k )2  i0   2l  (r   k )2  i0  k k 2l 2l   Ở vùng lượng lớn góc tán xạ nhỏ ta chứng minh được: In   2l  n n 1     n    exp 2a   l2    l  l 1     l 1  l 1    Jn      d 1 d  n  ( l )2 n         i    l   2l l 1      sử dụng giả thiết  k  l (k  1, 2,3, n) J n có đóng góp cực điểm khơng Biểu diễn thừa số Gauss dạng phổ e  a   e   (l )  , dễ dàng nhận được: Lưu ý định nghĩa hàm  giới hạn 2l In  (2l )2  (2 i)   Jn    (n  1)!  Như vậy, đóng góp chủ yếu vào biên độ tán xạ vùng là: 50 iz v( z )dz T ( n 1) ( p, k ; E )  (isg ) n 1 e at n 1  2 i  (n)  d  (1)  d     2   l ( n  1)!   n   n (l )2 n 1 (l ) (l 1)    exp 2a             l 1  l 1   Sử dụng công thức biết: n    2 d  d  exp  a C        n      a DetC (B.5) lưu ý trường hợp DetC  n  kết cuối nhận được: at at e n 1  2 i     e n 1  4 g0  T ( n1) ( p, k ; E )  (isg ) n1  isg  0      (n  1)!  2l   a  (n  1) a  (n  1)(n  1)!  n n 51 n PHỤ LỤC C: TÍNH ĐĨNG GÓP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ VỚI GĨC TÁN XẠ BẤT KỲ Dẫn tính tốn T ( n1) ( p, k ; E ) vùng (3.1), sau ta sử dụng số ký hiệu phụ lục B Xét biểu thức:   n n 1  exp  a       l l    at d 31 d 3 n l 1  l 1   ( n 1) n 1 n 1 T ( p, k ; E )  (isg ) e     n 1  n  (l  l )2  p  i0 (C.1) l 1 Tại vùng lượng cao, không giả thiết góc tán xạ nhỏ  l  (l  l )2  m2  l  p  4sin  (n   l )l (n  1) ; (C.2) l  1, 2, , n ; l - xác định (B.2),  - góc tán xạ hệ khối tâm l2  p  4 p sin  l (n   l ) (n  1)2 n n  (l2  2l l  l2  p  i0)   (l2  p  i0) l 1 l 1 (4 p sin  2)  (n  1)2 n 2 n (C.3) t n (n !) l ( n   l )   (n  1) n l 1 n Chú ý (C.2), (C.3) từ (C.1) ta thu được: T ( n 1) ( p, k ; E )  n 1 (isg ) (n  1) p nt n (n !) 2n e   4sin at n 1  (n   l )l  (n  1) (C.4) n 1   n      d 1 d  n exp 2a    l2    l  l 1   l 1  l 1   Lấy tích phân (C.4) tiến hành theo xung lượng - chiều  Sử dụng tương tự - chiều (B.5), biểu thức cho T ( n1) : n at  isg    (n  1)2 n e n 1 T ( n 1) ( p, k ; E )  isg    3/2 ( n !) ( n  1) pta a   n  l 1 Xét hàm số: 52  4sin  (n   l )l (n  1)2 (C.5) n l   f n ( )   1   , n 1  l 1  n f n ( )    4sin    2sin ei / 2  (n   l )l l 1 tính ln f n ( ) n (n  1)2 n n   1    l  ln f n ( )   ln 1    ln(1   )    ln 1    dl  n 1  (n  1)   n  l 1    Như vậy: n   4sin l 1  (n   l )l (n  1)  e n (0) n đó:  (0)   Re 1   ln(1   )    2tg  Thay biểu thức vào (C.5) Ta thu đóng góp vào T ( n1) vùng (3.1) n at  isg  (0)   (n  1)2( n 1) e n 1 T ( n 1) ( p, k ; E )  isg0   3/ pta a   [(n+1)!] (n  1) 53 (C.6) PHỤ LỤC D: MỘT SỐ TÍCH PHÂN SỬ DỤNG TRONG CHƢƠNG Tính tích phân I1   d x ei x K   | x |   2   d | x || x |J  0    | x | K   | x |   (D.1) 2 2     t  Tính tích phân  eiqx  I   d x ei x K 02   | x |   d x ei x  d q  q    K   | x |  2 1 i q  x  d 2q d x e     K   | x |   2 q  1  ,  2   d q 2 q    q    2    2  (D.2) biến đổi công thức (D.2) ta sử dụng kết tính tích phân I1 Sử dụng tích phân Feynman: dx  , ta có: ab  ax  b 1  x     I   dx  d q    dx  d q  q  2q  1  x    2 1  x     i ( )(1)   2 1  x      2 1  x 2  (2)    (i )  dx 1   dx   q    x   q        1  x  1  (i )  dx 2      x 1  x      tx 1  x   4 t  (i )  F (t ) ,  (i )  ln 4 4 t 1 1 1 t t 1 1 54 (D.3) 4 t ln đó: F1 (t )  4 4 t 1 1 1 t t 1 1 Tính tích phân I   d x ei x K 03 (  | x |)  eiq1x  eiq2 x  2   d x e   d q1 q12     d q2 q22    K0 ( | x |)  2  2 (D.4) d q1d q2    d x exp i q  q   x K (  | x |)         (2 )  (q12   )(q22   )  i  x  (2 ) d q d 2 q2 (q   )(q   ) (q1  q2    )    2 2 Áp dụng kết tích phân tính biểu thức I2, ta có: 1  d q1 (q12   ) (q1  q2   )2     (i )0 dx     q   2 x(1  x)      Như vậy: 1 I3  (  i  ) dx d q 2 0  (q22   )    (q2   )2 x(1  x)  (2 )   Lại sử dụng tích phân Feynman: I3   i 4 i  4 1 dx  thì: ab  ax  b 1  x     dx 0 x(1  x) 0 dy  d q2  2 (q2    )  B  y  (q2   )(1  y )   dx 0 x(1  x) 0 dy  d q2 q  2q  y  C 2   1 (D.5) 1 i dx 1 dx (i )  dy   dy ,    2 4 x (1  x ) x (1  x )     C    y  C    y  0 0     2     ; C  ( 2  B) y   (1  y)    t  y   (1  y ) B  x(1  x)  x(1  x)  Vì thế:  1 dx I3    dy  x(1  x)    2  x(1  x)  t  y   (1  y )  ty   55 1 1 1 1 1    dy  dx    dy  dx 2 0 (1  y)(ty   ) x(1  x)   0 Dx  Dx    dy 0 D 0 dx x2  x  2  1 dy dx   D ( x  x1 )( x  x2 ) D 1  (1  x1 ) x2 dy  1 dy I3     dx     ln  D  x  x1 x  x2  x1  x2 D x1  x2 (1  x2 ) x1 (D.6) với D  (1  y)(ty   )  ty  (  t ) y   ; x1 x2 hai nghiệm phương trình: x2  x  2 D  Chú ý rằng: 4 2  1 x1  x2    x1  x2 ;1  x2  x1 x1  x2   D D (D.7) ta có:  2  4  1 1 1   D  (1  x1 ) x2 x22 2 D  ln  ln  ln  ln  ln (1  x2 ) x1 x1 D  2  2  4   1 1   D  D  Thay kết vào (D.6), ta thu kết cuối cùng: 1 2 I    dy ln D  2 D  2 1 2    dy ln   F2 (t ) 2 (ty   )( y  1) y (ty    t ) 1 đó: F2 (t )   dy 2 ln (ty   )( y  1) y(ty    t ) 56 (D.8) ... hạng bổ bậc cho biên độ tán xạ lượng cao lý trường lượng tử kể hấp dẫn lượng tử , kết thu Luận văn bao gồm: 1/ Giải phương trình chuẩn Logunov - Tavkhelidze cho toán tán xạ ta thu số hạng chính- biểu... hạng chính- biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ số hạng bổ bậc vùng lượng cao xung lượng truyền nhỏ 2/ Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận cho biên độ tán xạ lượng cao xung lượng truyền nhỏ qua Yukawa,tương... eikonal biên độ tán xạ với điều kiện cần thiết cho phép sử dụng gần trình bầy mục Chƣơng II Biểu diễn eikonal bổ bậc Trong mục 2.1 giới thiệu cách thu nhận phương trình chuẩn cho biên độ tán xạ cho