Luận văn bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ năng lượng cao và phương trình chuần thế

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ VĂN TIẾN BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ VĂN TIẾN BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã ngành: 60440103 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Toán-lý Nguyễn Xuân Hãn Hà Nội MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Hình 1: Minh hoạ rõ ràng biến đổi phức tạp sử dụng tính toán 20 Chú ý , cực toạ độ cầu cực toạ độ trụ 20 CHƯƠNG II 37 BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIỂU DIỄN EIKONAL .37 CHƯƠNG III 52 PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ VÀ PHÉP GẦN ĐÚNG BORN 52 3.1 Phép gần Born 52 3.2 Vùng lượng cao 53 3.3 Thế Yukawa 56 Trong mục ta xem xét trao đổi hạt với spin khác nhau, để xem xét phụ thuộc dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ số hạng bổ bậc với với lượng hạt 56 a)Trao đổi hạt vô hướng 56 b) Trao đổi hạt vectơ 58 c) Trao đổi hạt graviton hấp dẫn lượng tử 59 KẾT LUẬN .61 PHỤ LỤC A: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẶP 64 PHỤ LỤC B: TÍNH ĐÓNG GÓP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ VỚI GÓC TÁN XẠ NHỎ 67 PHỤ LỤC C: TÍNH ĐÓNG GÓP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ VỚI GÓC TÁN XẠ BẤT KỲ 70 PHỤ LỤC D: MỘT SỐ TÍCH PHÂN SỬ DỤNG TRONG CHƯƠNG .72 DANH MỤC HÌNH VẼ Trang MỞ ĐẦU Hình 1: Minh hoạ rõ ràng biến đổi phức tạp sử dụng tính toán 20 Chú ý , cực toạ độ cầu cực toạ độ trụ 20 CHƯƠNG II 37 BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIỂU DIỄN EIKONAL .37 CHƯƠNG III 52 PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ VÀ PHÉP GẦN ĐÚNG BORN 52 3.1 Phép gần Born 52 3.2 Vùng lượng cao 53 3.3 Thế Yukawa 56 Trong mục ta xem xét trao đổi hạt với spin khác nhau, để xem xét phụ thuộc dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ số hạng bổ bậc với với lượng hạt 56 a)Trao đổi hạt vô hướng 56 b) Trao đổi hạt vectơ 58 c) Trao đổi hạt graviton hấp dẫn lượng tử 59 KẾT LUẬN .61 PHỤ LỤC A: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẶP 64 PHỤ LỤC B: TÍNH ĐÓNG GÓP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ VỚI GÓC TÁN XẠ NHỎ 67 PHỤ LỤC C: TÍNH ĐÓNG GÓP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ VỚI GÓC TÁN XẠ BẤT KỲ 70 PHỤ LỤC D: MỘT SỐ TÍCH PHÂN SỬ DỤNG TRONG CHƯƠNG .72 MỞ ĐẦU Phép gần eikonal sử dụng để tìm biên độ tán xạ hạt học lượng tử phi tương đối tính sử dụng từ lâu biểu diễn eikonal thu cho biên độ tán xạ dùng rộng rãi để phân tích số liệu thực nghiệm vật lý lượng cao [3-7] Sử dụng phép gần sở phương trình chuẩn LogunovTavkhelidze lý thuyết trường lượng tử, lần người ta thu biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hạt vùng lượng cao xung lượng truyền nhỏ (góc tán xạ nhỏ) Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ này, thu người ta tiến hành lấy tổng giản đồ Feynman, hay phương pháp tích phân phiếm hàm Trong lý thuyết trường lượng tử, phép gần eikonal thực tế tương ứng với việc tuyến tính hóa hàm truyền hạt tán xạ theo xung lượng hạt trao đổi [12,13] sau: −1 −1     2  p + ∑ ki ÷ − m  →  p ∑ ki + ∑ ki ÷ i i i    (0.1)   p xung lượng hạt tán ki kkkij ki=j xạ, – xung lượng hạt trao đổi công thức (0.1) ta bỏ qua số hạng Phép gần sử dụng để nghiên cứu trình tán xạ lượng cao gọi phép gần quỹ đạo thẳng hay gần eikonal Bức tranh vật lý sau: Các hạt lượng cao bị tán xạ cách trao đổi liên tiếp độc lập lượng tử ảo, đồng thời liên kết tương thích trình trao đổi riêng biệt với nhau, nên số hạng tương quan mặt hàm truyền (0.1) Các số hạng bổ cho biên độ tán xạ eikonal cho biên độ tán xạ hạt vùng lượng cao, gần giới khoa học quan tâm nghiên cứu, tương tác hạt tương tác hấp dẫn số hạng bổ liên quan đến lực hấp dẫn mạnh gần lỗ đen, lý thuyết siêu dây hấp dẫn loạt hiệu ứng hấp dẫn lượng tử /12-14/ Việc xác định số hạng bổ cho biểu diễn tán xạ eikonal lý thuyết hấp dẫn cần thiết , song vấn đề bỏ ngỏ, lượng hạt tăng, số hạng bổ tính theo lý thuyết nhiễu loạn, lại tăng nhanh số hạng trước Mục đích Bản luận văn Thạc sĩ tìm bổ bậc cho biên độ tán xạ eikonal hạt dựa sở phương trình chuẩn vùng lượng cao xung lượng truyền nhỏ lý thuyết trường lượng tử Nội dung Bản luận văn bao gồm: phần mở đầu, ba chương, phần kết luận, tài liệu trích dẫn phụ lục Chương I Biểu diễn eikonal biên độ tán xạ Trong mục 1.1 xuất phát từ phương trình dừng Schrodinger hạt trường theo định nghĩa ta tìm công thức eikonal cho biên độ tán xạ vùng lượng cao xung lượng truyền nhỏ Biểu diễn eikonal biên độ tán xạ với điều kiện cần thiết cho phép sử dụng gần trình bầy mục r Chương II Biểu diễn eikonal p = p bổ bậc Trong mục 2.1 giới thiệu cách thu nhận phương trình chuẩn cho biên độ tán xạ cho hàm sóng Trong mục 2.2 xuất phát từ phương trình chuẩn biểu diễn tọa độ, thực khai triển hàm sóng phương trình theo xung lượng hạt Sử dụng phép khai triển ta thu biểu diễn eikonal số hạng bổ bậc cho biên độ tán xạ Chương III Bài toán dựa phương trình chuẩn giải phương pháp lặp theo gần Born (lý thuyết nhiễu loạn theo tương tác) Ở mục 3.1 chuẩn dạng Gauss sử dụng để minh họa phương pháp tính biên độ tán xạ bổ bậc bậc gần Born thấp Biểu thức tổng quát cho n+1 lần gần Born khai triển biên độ tán xạ theo lũy thừa 1/p, tương tự phân tích chương II, kết số hạng số hạng bổ bậc cho biên độ tán xạ tìm mục 3.2 Trường Yukawa tương ứng với trao đổi hạt lượng tử với spin khác (trao đổ hạt vô hướng, hạt véctơ graviton tương tác hấp dẫn ), sử dụng để minh hoa phụ thuộc vào lượng số hạng bổ cho biên độ tán xạ eikonal Cuối kết luận chung, tài liệu tham khảo phụ lục liên quan tới luận văn Trong luận văn sử dụng hệ h = c = đơn vị nguyên tử metric Pauli: xµ = x µ = ( x1 = x, x2 = y, x3 = z , x4 = ict = it ) = x µ rr rr 2,3+) a4b4 = ak bk + a4b4 ab = aµ bµ = ab − a( 0kb0==1,ab δ µν 1  = 0  0 0 0 0 ÷ 0÷ 0÷ ÷ Các số Hy Lạp lặp lại có ngụ 1 ý lấy tổng từ đến CHƯƠNG I BIỂU DIỄN EIKONAL CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ Bài toán tán xạ học lượng tử nghiên cứu sở phương trình Schrodinger Giả sử có hạt tán xạ trường ngoài, dáng điệu hàm sóng hạt bị tán xạ tìm dạng rr Trong biên độ tán xạ cần ψ tán xa eikr = ψ toi + f (θ , ϕ ) r f (θ , ϕ ) tìm Nếu lượng hạt lớn, góc tán xạ nhỏ, ta tìm biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ- hay người ta gọi biểu diễn Glaubert [10], người thu công thức học lượng tử 1.1 Thành lập công thức toán tán xạ Quá trình tán xạ học lượng tử mô tả phương trình Schrodinger: r r r ur r ∇ + k ψ (r2) mV = U (r )(ψr() r) U (r ) = 2mE 2 h k = 2 r r r u r r r ψ(r ) = φ(r ) + ∫ d r ' G0 (r, r ')U (r ')ψ(r ') h (1.1.1) sử dụng ký hiệu Nghiệm phương trình vi phân (1.1.1) viết lại dạng phương trình tích phân: (1.1.2) r φ(r ) 10 Hình Biểu diễn tương tác hai “nucleons” trường hợp trao đổi hạt tenxơ Tương tự ta tìm được: (0) Ttensor ( s; t ) = − (1) Ttensor ( s; t ) = −  κ4  κ3 κ6 + F ( t ) + F2 (t )   2 3(2π ) ( 2π )  µ − t 2(2π )  (3.3.12)   2κ 2κ + F ( t ) + F2 (t )   2 (2π ) s  µ − t (2π )  (3.3.13) 3κ ( 2π ) So sánh kết thu ( σ1 s ) (3.3.3) - (3.3.12) ta rút tot nhận xét sau cho mô hình tự tương tác hai hạt “nucleon” vô hướng Nếu hai “nucleon” vô hướng trao đổi hạt meson vô hướng, tương ứng với chuẩn phụ thuộc vào lượng (3.1.1) tiết diện tán xạ toàn phần giảm theo luật có số hạng gần Born chiếm ưu cho đóng góp chủ yếu vào biên độ tán xạ eikonal Khi trao đổi hạt meson ( ) s → ∞σ; in =t → s véctơ – tương ứng với chuẩn không đổi (3.3.7), tiết diện tán xạ toàn phần tiến tới số Trong hai trường hợp này, pha eikonal hoàn toàn thực ảnh hưởng tán xạ không đàn tính coi không đáng kể phép gần Trong trường hợp trao đổi graviton, tương ứng với chuẩn phụ thuộc lượng (3.3.10) Froissart bị vi phạm (tiết diện tán xạ toàn phần tăng lượng tăng) Kết tương tự thu với chuỗi eikonal trao đổi Regge graviton 60 KẾT LUẬN Trong Luận văn nghiên cứu phương trình chuẩn Logunov Tavkhelidze cho toán tán xạ, đồng thời tính số hạng bổ bậc cho biên độ tán xạ lượng cao lý trường lượng tử kể hấp dẫn lượng tử , kết thu Luận văn bao gồm: 1/ Giải phương trình chuẩn Logunov - Tavkhelidze cho toán tán xạ ta thu số hạng chính-biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ số hạng bổ bậc vùng lượng cao xung lượng truyền nhỏ 2/ Nghiên cứu dáng điệu tiệm : s cận cho biên độ tán xạ lượng cao xung lượng truyền nhỏ qua Yukawa,tương ứng với trao đổi hạt vô hướng ,thì số hạng bổ bậc cho biên độ tán xạ nhỏ số hạng –biểu diễn tán xạ eikonal,xấp xỉ 3/ Khi tương tác hai nucleon qua việc trao đổi hạt với spin khác nhau, meson vô hướng (spin không), meson vector (spin 1) graviton (spin 2) hấp dẫn lượng tử - hạt tenxơ ta thu công thức, trùng với kết tính toán phương pháp khác, phương pháp tích phân phiếm hàm với cải biến lý thuyết nhiễu loạn 61 4/ Tùy thuộc vào spin khác σ tot tiết diện tán xạ toàn phần giảm, không đổi tăng theo tăng lượng Các kết lý thuyết nhận dựa sở phương trình chuẩn Gauss sử dụng để phân tích số liệu từ thực nghiệm tán xạ hadron Phương pháp nghiên cứu luận án Thạc sỹ sử dụng để nghiên cứu cho toán tán xạ phức tạp trường hấp dẫn lượng tử Các vấn đề dành cho việc nghiên cứu tới TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Xuân Hãn (2002), Các giảng tích phân quỹ đạo lý thuyết lượng tử, Giáo trình ĐHQG Hà Nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, ĐHQG Hà Nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, ĐHQG Hà Nội Phạm Thúc Tuyền (2007,2010), Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội Phạm Thúc Tuyền (2007,2011), Lý thuyết hạt bản, NXB ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh Efremov A.A (1971) , Short Distance Scala Invariance and High Energy Process in Field Theory , TMF 6, 55 Filipov A.T (1964), Các giảng lớp học vật lý lý thuyết Quốc tế mùa Đông Viện nghiên cứu liên hợp hạt nhân Dubna, NXB JINR-Liên Xô, pp.80-107 Garsevanishvili V.R, Matveev V.A., Slepchenko L.A, Tavkhelidze A.N (1969), Coral Gables Conference on Fundamental Interactions at High Energy, Gordon and Breach Science Publishers, p 74 62 Garsevanishvili V.R, Matveev V.A, Slepchenko L.A and Tavkhelidze (1969), “Relativistic quasipotential model of particle scattering at high energies” Phys.Lett 29B, No 3, 191 10 Garsevanishvili V.R, Matveev V.A, Slepchenko L.A and Tavkhelidze (1969), ICTP – Preprint IC/69/87, Trieste 11 Glauber R.J (1959), Lectures in Theorical Physics, New York, 315p 12 Logunov A.A and Tavkhelidze A.N (1963), “Quasipotential approach in quantum field theory”, Nuovo Cimento 29 (2), pp 380 13 Nguyen Suan Han and Eap Ponna (1997), “Straight-Line Path Aprroximation for the Studying Planckian- Energy Scattering in Quantum Gravity”, ICTP, IC/IR/96/36, Trieste, pp.1-15; IL Nuovo Cimento A, Vol 110A(5), pp 459 14 Nguyen Suan Han (2000), “Straight-Line Paths Approximation for the HighEnergy Elastic and Inelastic Scattering in Quantum Gravity”, European Physical Journal C, vol.16(3), pp 547-553 15 Nguyen Suan Han and Nguyen Nhu Xuan (2002), “Planckian Scattering Beyond Eikonal Approximation in the Functional Approach”, NXB Giáo dục, pp.393-401 16 Salpeter E.E and Bethe H.A (1951), “A Relativistic Equation for Bound-State Problems”, Phys Rev 84, pp 1231 17 Tavkelidze A.N (1964), Các giảng lớp học vật lý lý thuyết Quốc tế mùa Đông Viện nghiên cứu liên hợp hạt nhân Dubna, NXB JINR-Liên Xô, pp.66-78 18 Verlinde E and Verlinde H (1992), “Scattering at Planckian energies”, Nucl Phys B.371, pp 246 19 M Abramowitz, I Stegun, “Hanbook of Mathematical Functions’’, National Buerau of Standards (1970, Eq (11.4.16)) 63 PHỤ LỤC PHỤ LỤC A: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẶP Dạng phương trình chuẩn cho tán xạ hạt spin có khối lượng nhau: T ( p, k , E ) = V ( p − k ) ; E  + ∫ dq V  ( p − q ) ; E  T (q, k ; E ) q + m2 − E − i0 m2 + q (A.1) Phương trình (A.1) giải phương pháp lặp T (∆ ; E ) = V ( ∆ ; E ) + δ T (∆ ; E ) + ; ∆ = −t (A.2) Phần bổ cho gần theo Born có dạng: δ T (∆ ; E ) = ∫ V  ( p − q) ; E  V ( p − k ) ; E  q + m2 − E − i (A.3) m2 + q dq = (isg ) e at A(∆ ; E ), A(∆ ; E ) = ∫ đó: e −2 a ( q −λ ) p+k ; λ= 2 2 (A.4) m2 + q q + m − E − i0 dq 64 Lấy tích phân theo góc, ta có: π ∞ qdq e −2 a ( q −λ ) A(∆ ; E ) = ∫ m2 + q q + m2 − E − i0 (A.5) 2aλ −∞ 2 p + q , hay mặt lượng θ p + t = p cos λ= λ= (A.6) Viết lại (A.5) dạng: A = R + iJ (A.7) đó: (A.8) J= π2 4aλ p + m {e −2 a ( p − λ ) − e −2 a ( p +λ ) } R xác định giá trị tích phân (A.5) Trong giới hạn lượng cao, xung lượng truyền nhỏ (A.9a) π2 1 + O ÷ as s  π2 1 R= +O ÷ as 2π as s  J= (A.9b) Như vậy, hai số hạng đầu chuỗi (A.2) cho T (∆ ; E ) = isg e at − isg α= π g0 (1 + iα )e at + a (A.10) đó: 2π as Điều kiện ứng dụng phép gần Born π g0 a < 1; a t < ln a π g (A.11) 65 66 PHỤ LỤC B: TÍNH ĐÓNG GÓP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ VỚI GÓC TÁN XẠ NHỎ Tính đóng góp phép lặp T ( p, k ; E ) (n+1) vào biên độ tán xạ (A.1) vùng lượng cao góc tán xạ nhỏ: T ( n +1) ( p, k ; E ) = (isg ) n +1 ∫ ∫ ∫ dq1 dqn × ε1 ε n (B.1)    exp −a ( p − q1 ) + ∑ (ql − ql +1 ) + (qn − k )  ε = q + m , l = 1, 2, , n l l =1    n −1 × n ∏ (q l =1 l − p − i 0) đó: ∆ l = ql − λl , l = 1, 2, , n Làm phép ; đây: ( n + − l ) p + lk ; l = 1, 2, , n n +1 p+k p−k l= ; r= ; (lr = 0) 2 λl = qlexteme = (B.2) giá trị xung lượng dạng toàn phương lũy thừa hàm mũ (B.1) Đưa vào véctơ trực giao viết lại biểu thức (B.2) dạng: ; λl = l + (B.3) n − 2l + r = l + rl ; l = 1, 2, , n n +1 rl = n − 2l + Khi số lũy r n +1 thừa chia đóng góp điểm cực trị phần lại: n −1 ( p − ql ) + (qn − k ) + ∑ (ql − ql +1 ) − l =1 = n −1 ( p − k) + ∆ l2 + ∆ 2n + ∑ (∆ l − ∆ l +1 ) n +1 l =1 (B.1) có dạng: 67 n −1 ( p − k )2  n  +  ∑ ∆ l2 − ∑ ∆ l ∆ l +1  n +1 l =1  l =1  Trong biến số at T ( n +1) ( p, k ; E ) = (isg ) n +1 e n +1 ∫ ∫ ∫ d ∆1 d ∆ n × ε1 ε n n −1   n  exp  −2a  ∑ ∆ l2 − ∑ ∆ l ∆ l +1   l =1  l =1   n ∏ (∆ l =1 l + λl ) − p − i  Chia phép lấy tích phân theo thành ∆ thành phần dọc ngang véctơ l ∆ = (∆ ⊥ ; ∆ ) , (∆ ⊥ l ) = at T ( n +1) ( p, k ; E ) = (isg ) n +1 e n +1 ∫ ∫ ∫ (n) d ∆ (1) ⊥ d ∆ ⊥ × ε1 ε n (B.4) n −1   n  × exp −2a  ∑ ∆ (⊥l ) − ∑ ∆ (⊥l ) ∆ (⊥l +1)   I n   n n −1  exp − a ∆ l − ∑ ∆ l ∆ l +1    ∑ l = l =      d ∆ d ∆ n l =1  l =1  I n = ∫ ∫ ∫ × n  ε1 ε n ∏  ∆l2 + 2∆l l + (∆ (⊥l ) + r )2 − i0 Biểu diễn số mẫu dạng tích l =1 phân chia thành hai cực điểm:   ÷ i 1 1 =  − ÷ [ ] k 2l  ∆ + (r + ∆ k⊥ )2 − i0 ∆ + 2l + (r + ∆ k⊥ )2 − i0 ÷÷ k k 2l 2l  Ở vùng lượng lớn góc tán xạ nhỏ ta chứng minh được: In = ( 2l ) n n −1     n    exp −2a  ∑ ∆ l2 − ∑ ∆ l ∆l +1     l =1  l =1   − Jn   ∫ ∫ ∫ d ∆1 d ∆ n × ( l )2 n   ∆⊥   ∆ + − i   ∏ l   l l =1      ( l )2 ε k ≅−la∆2 (k ∞= 1,∆i∆2,3, nJθ) e = ∫ e ⊥z v( z→ )dz0n −∞ 2l sử dụng giả thiết có đóng góp cực điểm không Biểu diễn thừa số Gauss dạng phổ Lưu ý định nghĩa hàm giới hạn , dễ dàng nhận được: In ≈ (2l )  (2π i)  − Jn    (n + 1)!  Như vậy, đóng góp chủ yếu vào biên độ tán xạ vùng là: T ( n +1) ( p, k ; E ) ≈ (isg ) n +1 e at n +1 n  2π i  (n) ∫ d ∆ (1) ⊥ d ∆ ⊥ ×  2÷ ∫ ∫ l ( n + 1)!   n −1   n  × exp −2a  ∑ ∆ (⊥l ) − ∑ ∆ (⊥l ) ∆ (⊥l +1)   l =1  l =1   68 Sử dụng công thức biết: n   π 2 d ∆ d ∆ exp − a  ∑ Cαβ ∆α ∆ β  = n ∫∫ ∫  αβ  a DetC (B.5) DetC = n + lưu ý trường hợp kết cuối nhận được: at n +1 n n n at e e n +1  4π g   2π i   π  T ( n +1) ( p, k ; E ) ≈ (isg ) n +1 = isg  −  2÷ ÷ ÷ (n + 1)!  2l   a  (n + 1) a  ( n + 1)( n + 1)!  69 PHỤ LỤC C: TÍNH ĐÓNG GÓP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ VỚI GÓC TÁN XẠ BẤT KỲ Dẫn tính toán vùng T ( n +1) ( p, k ; E ) (3.1), sau ta sử dụng số ký hiệu phụ lục B Xét biểu thức:   n n −1  exp − a ∆ l − ∑ ∆ l +1    ∑  at 3 d ∆1 d ∆ n l =1  l =1  T ( n +1) ( p, k ; E ) = (isg ) n +1 e n +1 ∫ ∫ ∫ × n ε1 ε n ∏ (∆l + λl )2 − p − i0 l =1 (C.1) Tại vùng lượng cao, không giả thiết góc tán xạ nhỏ ε l = (∆l + λl ) + m ≈ λl = p − 4sin θ (n + − l )l ; (n + 1) (C.2) l = 1, 2, , n ; - λθl xác định (B.2), - góc tán xạ hệ khối tâm λl2 − p = −4 p sin θ l (n + − l ) (n + 1) n n ∏ (∆l2 + 2∆l λl + λl2 − p − i0) ≈ ∏ (λl2 − p − i0) l =1 l =1 (−4 p sin θ 2) = (n + 1) n 2 n t n (n !) l ( n + − l ) = ∏ (n + 1) n l =1 n (C.3) Chú ý (C.2), (C.3) từ (C.1) ta thu được: (isg ) n +1 (n + 1) n T ( n +1) ( p, k ; E ) = p nt n (n !) at ∏ e n +1 × (C.4) θ ( n + − l )l − 4sin ( n + 1) Lấy tích phân n −1   n  × ∫ ∫ ∫ d ∆1 d ∆ n exp −2a  ∑ ∆ l2 − ∑ ∆ l ∆ l +1    l =1 l =1    (C.4) tiến hành theo xung lượng - chiều Sử dụng tương tự - chiều (B.5), biểu thức cho : at n  isg 0π π  (n + 1) n e n +1 ( n +1) T ( p, k ; E ) = isg  × ÷ 3/2 ÷  pta a  (n !) (n + 1) n ∏ l =1 70 − 4sin θ (n + − l )l (n + 1) 1) T ( n +∆ (C.5) Xét hàm số: , n  θ e − iθ / 2l  f n (γγ) == 2sin ∏ 1 − γ ÷ n +1  l =1  n θ (n + − l )l f n (γ ) = ∏ − 4sin 2 (n + 1) l =1 lnn f?n (γ1 ) tính n n   1− γ   l  ln f n (λ ) = ∑ ln 1 − γ ≈ ln(1 − γ )  ÷ ∫ ln 1 − γ ÷dl = −n 1 + (n + 1)   n γ l =1    Như vậy: n ∏ − 4sin l =1 ϕ (0) = + Re Thay biểu thức vào θn (?n +1 − l )l ≈ e − nϕ (0) 2 (n + 1) đó: 1− γ θ ln(1 − γ ) = − γ ( n +1) 2tg θ T (C.5) Ta thu đóng góp vào vùng (3.1) n at  isg ϕ (0)π π  (n + 1) 2( n +1) e n +1 T ( n +1) ( p, k ; E ) = isg  ÷ ÷ [(n +1)!]2 (n + 1)3/ (C.6) pta a   71 PHỤ LỤC D: MỘT SỐ TÍCH PHÂN SỬ DỤNG TRONG CHƯƠNG Tính tích phân I1 = ∫ d x⊥ ei∆⊥ x⊥ K ( µ | x⊥ |) = ( 2π ) ∫ d | x⊥ || x⊥ |J ( 0) ( ∆ ⊥ | x⊥ | ) K ( µ | x⊥ | ) (D.1) Tính tích phân 2π 2π = ∆ +µ µ −t eiqx⊥  i∆ ⊥ x⊥ i ∆ ⊥ x⊥  2 2 I = ∫ d x⊥ e K ( µ | x⊥ |) = ∫ d x⊥ e  ∫ d q q + µ ÷ K ( µ | x⊥ |)  2π (D.2) biến đổi công thức = ∫ d q 2 ∫ d x⊥ ei( q +∆⊥ ) x⊥ K ( µ | x⊥ |) 2π q +µ (D.2) ta sử dụng kết 1 = , ( 2π ) ∫ d q 2 tính tích phân I1 q + µ ( q + ∆⊥ ) + µ ( 2π ) = Sử dụng tích ⊥ phân 1 ab Feynman: , ta có: =∫ dx  ax + b ( − x )  I = ∫ dx ∫ d q { ( q + µ ) x +=((q−i+π∆)∫ dx) + µ  ( −1 x ) } 2 ⊥ 2 = ∫ dx ∫ d q  µ + ∆ x ( − x )  2 ⊥ = (−iπ ) ∫ dx  µ − tx ( − x )  2  q + 2q∆ ⊥ ( − x ) + ∆ 2⊥ ( − x ) + µ  − − 4µ t ≡ (−iπ ) × F (t ) , ln i ( −π )Γ=(1)(−iπ ) × 2 µ µ = ∫ dx − 1+ 1−  ∆ 2⊥ ( − x ) + µ − ∆ 2⊥ ( − x ) t Γ1(2) t t   (D.3) µ đó: t Tính tích phân F1 (t ) = ln µi∆ x 4µ 2− ⊥ ⊥ t 1 + − I = ∫ d x⊥ e K ( µ | x⊥ |) t t  eiq1x⊥  eiq2 x⊥  2 = ∫ d x⊥ ei∆⊥ x⊥  d q d q ∫ q12 + µ ÷ ∫ q22 + µ ÷K (µ | x⊥ |)  2π  2π 1− 1− (D.4) = d q1d q2 d x⊥ exp i ( q1 + q2 + ∆ ⊥ ) x⊥  K ( µ | x⊥ |) ∫ 2 2 ∫ (2π ) (q1 + µ )(q2 + µ ) = 1 d q1 ∫ d q2 ∫ 2 (2π ) (q1 + µ )(q2 + µ ) (q1 + q2 + ∆ ⊥ ) + µ  Áp dụng kết tích phân tính biểu thức I2, ta có: 72 ∫ d q1 1 = (−iπ ) ∫ dx 2 2  µ + ( q2 + ∆ ⊥ ) x(1 − x )  (q1 + µ ) ( q1 + q2 + ∆ ⊥ ) + µ    Như vậy: 1 Lại sử dụng I = (2π )2 (−iπ ) ∫ dx1∫ d q12 (q + µdx2 )  µ + (q + ∆ ) x(1 − x)  ⊥  2  =∫ ab   ax + b − x ( ) tích phân  Feynman: thì: I3 = − i 4π i =− 4π 1 dx ∫0 x(1 − x) ∫0 dy ∫ d q2  2 (q2 + ∆ ⊥ ) + B  y + (q2 + µ )(1 − y ) { dx ∫0 x(1 − x) ∫0 dy ∫ d q2 q + 2q ∆ y + C ( 2 ⊥ ) =− } 1 i dx 1 dx (−iπ ) ∫ dy =− ∫ dy , ∫ ∫ 2 4π x (1 − x ) x (1 − x )     C − ( ∆⊥ y ) C − ( ∆⊥ y ) 0 0     (D.5) B=  µ2  µ2 ; C = (∆ 2⊥ + B ) y + µ (1 − y ) =  − t  y + µ (1 − y ) Vì thế: x (1 − x)  x(1 − x)  1 dx 1 I = −1 ∫ dy 1 ∫ = − ∫ dy ∫ dx = − 4∫ dy x(1dx− x )  µ  0 (1 − y )(ty − µ ) x (1 − x) + µ 0 ∫0 Dx02 − Dx + µ − t  y + µ (1 − y ) + ty  x(1  − x)  =− 1 dy ∫0 D ∫0 (D.6) dx 1 dy dx =− ∫ ∫ µ 1 0 D ( x − x1 )( x − x2 ) 1 1 dy (1 − x1 ) x2 x − x + dy I = − D∫ ∫ dx  − =− ∫ ln  D  x − x1 x − x2  x1 − x2 D x1 − x2 (1 − x2 ) x1 D = −(1 − y )(ty − µ ) = ty + ( µ − t ) y + µ với; x1 x2 hai nghiệm phương trình: x2 − x + µ2 =0 D Chú ý rằng: x1 + x2 = ⇒ − 4x1µ=2 x2 ;1 −2xµ2 2= x1 x1 − x2 = − ≈ 1− D D ta có:  2µ  4µ − 1− 1− 1 − ÷ D  (1 − x1 ) x2 x22 µ2 D  ln = ln = ln ≈ ln = ln (1 − x2 ) x1 x1 D − µ2  2µ  4µ + 1 − 1+ 1− ÷ D  D  73 (D.7) Thay kết vào (D.6), ta thu kết cuối cùng: 1 1 µ2 µ2 I = − F2 ∫(tdy ) = ∫ dy ln ln D0 − 2(µty + µ D)(−yµ−21) y (ty + µ − t ) 1 µ2 dy ln ≡ − F2 (t ) 2 ∫ (ty + µ )( y − 1) y (ty + µ − t ) =− 74 (D.8) đó: [...]... ( tkaθ ) J 0 ( t ' kaθ ) 0 Và tính chất Để làm sáng tỏ hơn biểu thức của biên độ tán xạ, chúng ta đa vào các biến không thứ nguyên u và t với định nghĩa rằng và , ở đây a là chiều dài tán xạ của hố thế đã được định nghĩa ở phần trên Chúng ta cũng sử dụng V để biểu hiện giá trị lớn nhất của hàm Khi đó biên độ tán xạ trong (1.2.22) được viết lại dạng: ở đây: Tiết diện tán xạ vi phân được xác định nh... Eikonal của biên độ tán xạ Trong phần này, chúng ta sẽ chỉ ra sự hợp lý của các phép gần đúng eikonal cho quá trình bao gồm các góc tán xạ nhỏ và xung lượng vào lớn Các điều kiện cần thiết là và 21 +∞ uur uur 1 2m χ(b ') = − dz ' V ( b ', z ') 2 ∫ uur uur uur rr r r 2 k h k 1 2 3 −∞ − i k−'.i bk 'r iχ ( b ') f (θ, φ) = − ∫ d∫ db 're' e 2 π4 π Ve(r ')ψ−(r1')   Trong miền giới hạn đó, biên độ tán xạ được... rr rr r i k r − i k r φ(r ) = A0 e + B0 e Các điều kiện biên của hàm và được xác định từ điều kiện biên của hàm Phương trình tích phân (1.1.2) được gọi là phương trình Lippman-Schwinger Các nghiệm của phương trình (1.1.3) và (1.1.4) là: (1.1.5) (1.1.6) trong (1.1.6) chú ý rằng A+B =1 Sử dụng phương trình (1.1.5) và (1.1.6), thì nghiệm của phương trình Lippman-Schwinger (1.1.7) được viết lại dạng: (1.1.7)...11 r 2 2 ∇ + k  φ(r ) = 0 trong đó hàm thoả mãn phương trình cho hàm thế tự do: r ur G0 (r, r ') rr rr r i ku.rr − i kur r r r 2r ) = 2 A e (3) e φ ( + B ∇ + k  G00 (r, r ') = δ 0(r − r ') (1.1.3)   Phương trình (1.1.3) là phương trình vi phân cấp 2 nên nghiệm có dạng: và hàm Green là nghiệm của phương trình: (1.1.4) rr G0 ( r , r ' ) Chúng ta tìm theo công thức: rr r r r... ( r − ) r r '