Luận văn bổ chính một vòng cho mômen từ dị thường của electron trong QED

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ƯỜ NG ĐẠ ÊN TR TRƯỜ ƯỜNG ĐẠII HỌC KHOA HỌC TỰ NHI NHIÊ ẠM TH ẬN PH PHẠ THỊỊ THU THUẬ ƯỜ NG CỦA ELECTRON MÔMEN TỪ DỊ TH THƯỜ ƯỜNG ƯƠ NG PH ÁP ĐIỀU CH Ứ NGUY ÊN TRONG VÀ PH PHƯƠ ƯƠNG PHÁ CHỈỈNH TH THỨ NGUYÊ NG LỰC HỌC LƯỢ NG TỬ ĐIỆN ĐỘ ĐỘNG ƯỢNG ẬN VĂN TH ẠC SĨ KHOA HỌC LU LUẬ THẠ Hà Nội ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ƯỜ NG ĐẠ ÊN TR TRƯỜ ƯỜNG ĐẠII HỌC KHOA HỌC TỰ NHI NHIÊ ẠM TH ẬN PH PHẠ THỊỊ THU THUẬ ƯỜ NG CỦA ELECTRON MÔMEN TỪ DỊ TH THƯỜ ƯỜNG ƯƠ NG PH ÁP ĐIỀU CH Ứ NGUY ÊN TRONG VÀ PH PHƯƠ ƯƠNG PHÁ CHỈỈNH TH THỨ NGUYÊ NG LỰC HỌC LƯỢ NG TỬ ĐIỆN ĐỘ ĐỘNG ƯỢNG Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 60.44.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ng dẫn khoa học: Gi Giááo vi viêên hướ ướng GS TSKH Nguy Nguyễễn Xu Xuâân Hãn Hà Nội LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, GS TSKH ân Hãn, người trực tiếp bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em Nguy Nguyễễn Xu Xuâ suốt thời gian học tập hoàn thành Bản luận văn thạc sĩ khoa h ọc Em gửi lời cảm ơn chân thành tới tất Thầy Cô, Tập thể cán Bộ môn Vật lý lý thuy thuyếết, toàn thể người thân, bạn bè giúp đỡ, dạy bảo, động viên, trực tiếp đóng góp, trao đổi ý kiến khoa học quý báu để em hoàn thành Bản luận văn Qua đây, em chân thành gửi lời cảm ơn tới Thầy C« Khoa Vật lý dạy bảo tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em suốt trình học tập hoàn thành Bản luận văn Học viên Ph Phạạm Th Thịị Thu Thuậận MỤC LỤC MỞ ĐẦU ….4 CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MÔMEN TỪ CỦA ELECTRON ….7 1.1.Phương trình Pauli …7 1.2 Phương trình Dirac cho electron trường giới hạn phi tương đối tính ….8 1.3 Các bổ tương đối tính cho phương trình Pauli ….11 CHƯƠNG 2: CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MÔMEN TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON ……………………………………………………… 20 2.1 S-ma trận … 20 2.2 Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào mômen từ dị thường … 24 2.3 Hệ số dạng điện từ 25 CHƯƠNG 3: BỔ CHÍNH CHO MÔMEN TỪ DỊ THƯỜNG … 29 3.1 Bổ cho mômen từ dị thường gần vòng … 29 3.2 Mômen từ dị thường với bổ lượng tử … 36 KẾT LUẬN … 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO … 39 PHỤ LỤC A … 40 PHỤ LỤC B … 49 PHỤ LUC C … 50 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình Chương I…………………………………………………………………… 21 Hình Phụ luc A…………………………………………………………………… 43 Hình Phụ lục A…………………………………………………………………… 45 U MỞ ĐẦ ĐẦU Lý thuyết lượng tử tương tác điện từ hạt tích điện hay gọi điện động lực học lượng tử QED, xây dựng hoàn chỉnh Sự phát triển QED liên quan đến đóng góp Tomonaga, J Schwinger, R Feynman Dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến tác giả nêu với việc tái chuẩn hóa khối lượng điện tích electron, QED lý giải thích thành công trình vật lý qua tương tác điện từ, định tính lẫn định lượng Ví dụ dịch chuyển Lamb mức lượng nguyên tử Hydro mômen từ dị thường electron, kết tính toán lý thuyết số liệu thực nghiệm trùng với độ xác cao./1, 4, 6-13, 15,17/ Phương trình Dirac cho electron trường điện từ ngoài, tương tác electron với trường điện từ, chứa thêm số hạng tương tác từ tính Cường độ tương tác µ= mô tả e0ℏ e = µ0 = | ℏ = c = 2m0 2m0 c mômen từ electron µ , ( m0 e0 khối lượng “trần” điện tích “trần” electron, µ0 - gọi magneton Bohr) Các hiệu ứng phân cực chân không– tính bổ bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho mômen từ electron, sau tái chuẩn hóa khối lượng electron ( m0 → mR ) điện tích electron ( e0 → eR ) dẫn đến đóng góp bổ sung, mà gọi mômen từ dị thường Lưu ý, số R – ký hiệu giá trị lấy từ thực nghiệm Tuy nhiên, thực nghiệm đo mômen từ electron µ = 1, 003875 µ0 , giá trị gọi mômen từ dị thường electron J Schwinger /13/ người tính bổ cho mômen từ dị thường electron vào năm 1948 ông thu kết phù hợp với thực nghiệm ( bổ cho mômen từ electron tính giản đồ bậc cao cho QED, sai số tính toán với thực nghiệm vào khoảng 10−10 % ) Biểu thức giải tích mômen từ dị thường electron mặt lý thuyết thu ⎡ α α2 α3 ⎤ µly thuyet = µ0 ⎢1 + − 0,32748 + 1,184175 ⎥ = π π ⎦ ⎣ 2π (0.1) = 1, 001159652236 ( 28 ) µ0 µ R = 1, 00115965241( 20 ) µ0 (0.2) Ở giá trị mômen tính lý thuyết theo thuyết nhiễu loạn (0.1) giá trị lấy từ số liệu thực nghiệm (0.2) có trùng khớp với Mục đích luận văn Thạc sĩ khoa học tính bổ vòng cho mômen từ dị thường electron QED Việc loại bỏ phân kỳ trình tính toán giản đồ Feynman, ta sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên, sử dụng rộng rãi lý thuyết trường lượng tử Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, tài liệu tham khảo số phụ lục ươ ng tr Chương Ph Phươ ương trìình Pauli mômen từ electron electron Phương trình Pauli mômen từ dị thường thu nhận hai cách: Trong mục 1.1 xuất phát từ ng lu phương trình Schrodinger tư hi hiệện tượ ượng luậận ta thu phương trình Pauli với số hạng tương tác mômen từ electron với trường /1/ Mục 1.2 dành cho việc nhận phương trình Pauli việc lấy gần phi tương đối tính ( ) phương trình Dirac trường điện từ gần v c , v – vận tốc hạt, c vận tốc ánh sáng Các bổ tương đối tính cho phương ( ) trình Pauli gần bậc cao v c thu việc sử dụng phép biến đổi Fouldy-Wouthuyen mục 1.3 ng góp vào mômen từ dị th ườ ng Chương Các gi giảản đồ Feynman cho đóng thườ ường electron electron Xuất phát từ Lagrangce tương tác electron với trường ta nêu vắn tắt xây dựng S-matrận mục 2.1 cho toán tán xạ electron với trường điện từ Trong mục 2.2 ta phân tích giản đồ Feynman gần vòng đóng góp cho mômen từ dị thường electron Mục 2.3 dành cho việc thảo luận ý nghĩa vật lý hệ số dạng điện từ, đặc biệt gần phi tương đối tính ườ ng electron gần đú ng vòng Trong Chương Mômen từ dị th thườ ường mục 3.1 sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên ta tách phần hữu hạn phần phân kỳ cho giản đồ Feynman gần vòng Việc tính biểu thức bổ cho mômen từ dị thường gần vòng tiến hành mục 3.2 Lưu ý, việc tính mômen từ dị thường electron toán phức tạp, Luận văn bước đầu ta thực loạt động tác để đơn giản toán việc bỏ qua phân kỳ hồng ngoại liên quan đến khối lượng photon, bỏ qua việc tái chuẩn hóa khối lượng, điện tích electron, hàm sóng electron trường điện từ liên quan tới đường giản đồ Feynman, tính toán tới phần đóng góp chủ yếu liên quan đến giản đồ đỉnh Feynman cho mômen từ dị thường electron Phần kết luận ta hệ thống lại kết thu thảo luận việc tổng quát hóa sơ đồ tính toán cho lý thuyết tương tự Trong Bản luận văn sử dụng hệ đơn vị nguyên tử ℏ = c = metric Feynman Các véctơ phản biến tọa độ : � x µ = ( x = t , x1 = x, x = y, x = z ) = ( t , x ) � véctơ tọa độ hiệp biến : xµ = g µν xν = ( x0 = t , x1 = − x, x2 = − y, x3 = − z ) = ( t , − x ) , g µν = g µν ⎛1 0 ⎞ ⎜ ⎟ −1 0 ⎟ ⎜ = ⎜ 0 −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 −1 ⎠ Các số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ đến CH ƯƠ NG - PH ƯƠ NG TR CHƯƠ ƯƠNG PHƯƠ ƯƠNG TRÌÌNH PAULI VÀ MÔMEN TỪ CỦA ELECTRON Phương trình Pauli số hạng tương tác mômen từ electron với trường điện từ thu hai cách: i/ Tổng quát hóa phương trình Schrodinger cách kể thêm spin electron tương tác mômen từ với trường giới thiệu mục 1.1; ii/ Từ phương trình Dirac cho electron trường điện từ ngoài, thực ( ) phép gần phi tương đối tính gần bậc v c ta có phương trình Pauli cho electron với mômen từ Nghiên cứu bổ tương đối tính cho phương trình Pauli gần bậc cao ta phải sử dụng phép biến đổi Fouldy-Wouthuyen ươ ng tr 1.1 Ph Phươ ương trìình Pauli Phương trình Pauli mô tả hạt có spin ½ chuyển động trường điện từ với điều kiện vận tốc hạt nhỏ nhiều vận tốc ánh sáng Phương trình Pauli có dạng phương trình Schrodinger (khi hạt có spin không), song hàm song ψ � phương trình Pauli vô hướng có thành phần ψ ( r , t ) phụ thuộc vào biến không gian thời gian, mà chứa biến số spin hạt sz Kết � hàm sóng ψ ( r , sz , t ) spinor hai thành phần ⎛ ⎛ � ℏ ⎞⎞ ⎜ψ ⎜ r , + , t ⎟ ⎟ � ⎝ ⎠⎟ ψ = ψ ( r , sz , t ) = ⎜ ⎜ ⎛ � ℏ ⎞⎟ ⎜ψ ⎜ r , − , t ⎟ ⎟ ⎠⎠ ⎝ ⎝ (1.1) Vì hạt có spin nên có mômen từ Từ thực nghiệm hiệu ứng Zeemann mômen từ hạt với spin ℏ � � µ = µ0σ , (1.2) � µ0 - magneton Bohr, σ ma trận Pauli Khi đăt hạt vào trường điện từ ngoài, ta có thêm lượng tương tác phụ �� e � ⎞ e0 ℏ � � ⎛� ∆U = − µ H = ⎜ µ = s⎟= sH mc ⎠ 2m0 c ⎝ ( ) (1.3) Hamiltonian phương trình Schrodinger có dạng � p2 H= + U (r ) 2m0 (1.4) Nếu hạt trường điện từ ngoài, ta phải thực phép thay phương trình Schrodinger � � e � p→ p− A c E → E − e0ϕ (1.5) Kể thêm spin hạt phương trình mô tả phải có thêm lượng phụ �� eℏ �� ∆U = − µ H = sH Kết ta thu phương trình 2m0 c ( ) iℏ � ∂ψ ( r , s z , t ) ∂t ⎡ ⎛ � e0 � ⎞ e0 ℏ � � ⎤ � =⎢ p − A + e ϕ r + U r + sH ⎥ψ ( r , s z , t ) ( ) ( ) ⎜ c ⎟⎠ 2m0c ⎢⎣ 2m0 ⎝ ⎥⎦ (1.6) � ϕ ( r ) , A(r ) vô hướng véc tơ trường điện từ Phương trình (1.6) phương trình Pauli, mà nhờ ta giải thích hiệu ứng Zeemann ươ ng tr ườ ng ngo ài gi ới hạn phi tươ ng 1.2 Ph Phươ ương trìình Dirac cho electron tr trườ ường ngoà giớ ương đố đốii tính Xuất phát từ phương trình Dirac cho electron trường dạng tắc ta có: iℏ ⎤ ∂ψ ( x) ⎡ � ⎛ � e0 � ⎞ = ⎢cα ⎜ p − A ⎟ + e0 A0 + β m0 c ⎥ψ ( x) ∂t c ⎠ ⎣ ⎝ ⎦ (1.7) Để nghiên cứu giới hạn phi tương đối tính cho phương trình (1.7), thuận tiện ta viết spinor hai thành phần ⎛ψ ⎞ ⎛ψ ⎞ ψu = ⎜ ⎟, ψ d = ⎜ ⎟, ⎝ψ ⎠ ⎝ψ ⎠ ⎛ψ ⎞ ψ =⎜ u ⎟ ⎝ψ d ⎠ (1.8) Như vậy, phương trình (1.7) biến thành hệ phương trình ⎫ ∂ψ u �⎛ � e �⎞ = cσ ⎜ p − A ⎟ψ d + e0 A0 + m0 c ψ u ⎪ ∂t c ⎠ ⎝ ⎪ ⎬ ∂ψ d ⎛ � e9 � ⎞ iℏ = cσ ⎜ p − A ⎟ψ u + e0 A + m0c ψ d ⎪ ⎪⎭ ∂t c ⎠ ⎝ iℏ ( ( ) (1.9) ) Trong số u kí hiệu “trên” (hai thành phần trên) d – “dưới” (hai thành phần dưới) Kể thêm 10 Vậy −i µε X = = = ( 4π ) ( ) ε ⎛2 ⎞ ε ⎜ − γ + O ( ε ) ⎟ ⎛ 4πµ ⎞ 2⎝ε ⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ D ( x, y ) ⎝ D ( x, y ) ⎠ −i ( 4π ) ε ⎛ ε⎞ d 2− 2 Γ ⎜1 + ⎟ µ ⎛ ⎞ ( ) ⎝ 2⎠ ⎜ ⎟ d ⎜ ⎟ −2 4π D ( x, y ) ⎝ D ( x, y ) ⎠ 2 ε ⎛ ε ⎞ ⎛ ε ⎛ 4πµ ⎞ ⎞ − γ + O ε + ln ( ) ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ D ( x, y ) ⎠ ⎟⎠ −i ( 4π ) D ( x, y ) (3.45) Cho ε → 0+ Do đó: −i µε X = ( 4π ) −i = D ( x, y ) ( 4π ) m ( x + y )2 − xyq (3.46) Tính 1− x F2 ( q ) = −2ie µ ε ∫ dx ∫ dy X ( −2mB ) 1− x = 4ime ∫ dx ∫ dy 0 −i 2 ( 4π ) m ( x + y ) ⎡ 2 = 4m e ( x + y ) ⎢1 + ⎛⎜ −1 + 1− x ⎡ 2−d ⎤ m x + y + x + y ( ) ( ) ⎢⎣ ⎥⎦ − xyq ε⎞ ⎤ ⎟ ( x + y )⎥ 2⎠ ⎦ ⎝ m ( x + y ) − xyq ⎣ dx dy ( 4π ) ∫ ∫ (3.47) (3.48) (3.49) Lấy giới hạn q → cho ε → 0+ thì: F2 ( q = )= 4e 4e ( 4π ) 1− x 1− x ∫ dx ∫ dy 0 ⎛ ( x + y ) ⎡⎣1 − ( x + y )⎤⎦ ( x + y) ⎞ dx dy ⎜ − 1⎟ ( 4π ) ∫ ∫ ⎝ x + y ⎠ (3.51) (3.50) 36 = 4e ( 4π ) với α = ∫ dx ( x − ln x − 1) = e2 4π 4e ( 4π ) α = 2π (3.52) Kết cuối ta tìm F2 (0) = e2 8π (3.53) ườ ng với bổ ch ng tử 3.2 Mômen từ dị th thườ ường chíính lượ ượng Hiệu ứng hạt tương tác với chân không vật ly cho đóng góp bổ sung vào mômen từ electron Theo công thức mômen từ dị thường (2.32) nhận cuối chương 2, ta có µ1 = � e0 F2 ( ) S m (3.54) F2 ( ) xác định công thức (3.53) Theo công thức (2.33) tổng mômen từ electron � e ⎡ F (0) ⎤ � µ = ⎢1 + ⎥S m ⎣ F1 ( ) ⎦ (3.55) thừa số g xác định công thức (2.34) ⎡ F (0) ⎤ g = ⎢1 + ⎥ ⎣ F1 ( ) ⎦ (3.56) ta thay F2 ( ) F1 ( ) F2 ( ) , e0 e , F1 ( ) = + O ( e02 ) Như ta có : α ⎞ ⎛ g = ⎜1 + ⎟ ⎝ 2π ⎠ (3.57) α = e / 4π số cấu trúc tinh tế Số hạng thứ hai từ moment từ dị thường biết bổ Schwinger Mômen từ dị thường electron điện động lực học lượng tử tính đến bậc sáu, tương tác yếu kể đến Kết ta có: 37 α ⎛α ⎞ ⎛α ⎞ g = 1+ − 0,32848 ⎜ ⎟ + (1,195 ± 0,026) ⎜ ⎟ 2π ⎝ 2π ⎠ ⎝π ⎠ (3.58) Số hạng tiên đoán phương trình Di rac vào năm 1928 số hạng thứ hai bổ Schwinger /11/ xuất phát từ giản đồ Feynman Số hạng thứ ba kết tính 18 giản đồ Feynman /12/ số hạng thứ tư tính từ 72 giản đồ Feynman /13/ So sánh với thực nghiệm ta có gtheory = + (1159651.7 ± 2.2 ) ×10 −9 g exp t = + (1159656.7 ± 3.5 ) ×10 −9 (3.59) Giá trị lý thuyết tính sử dụng số cấu trúc tinh tế /8/ = 137.03608(26) α (3.60) mà nhận từ thực nghiệm qua hiệu ứng Josephson Mômen từ dị thường electron xuất từ tương tác điện từ Mặt khác nucleon, tham gia tương tác mạnh, mà cho đóng góp vượt trội vào mômen từ dị thường Những giá trị lớn ta thấy từ giá trị thực nghiệm mômen từ toàn phần µ= e M ⎧⎪2.79 ⎨ ⎪⎩−1.91 ( proton ) ( neutron ) (3.61) M khối lượng nucleon KẾT LU ẬN LUẬ Trong Bản Luận văn Thạc sĩ khoa học nghiên cứu mômen từ dị thường electron điện động lực học lương tử Việc tính bổ cho mômen từ 38 dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến qua giản đồ Feynman Những kết chủ yếu Luận văn Thạc sĩ bao gồm 1/ Phương trình Pauli chưa số hạng tương tác mômen từ electron với từ trường ngoài, nhận hai cách: i/ Tổng quát hóa phương trình Schrodinger từ tư tượng luận; ii/ Thực phép gần phi tương đối tính cho phương trình Dirac electron trường điện từ 2/ Sự dị thường mômen từ xuất tương tác electron với chân không vật lý trường điện từ Việc tính bổ cho mômen từ electron qua trình tán xạ electron với trường điện từ theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến 3/ Sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên tách phần phân kỳ phần hữu hạn số hạng bổ cho mômen từ Phần phân kỳ số hạng bổ gộp vào việc tái chuẩn hóa khối lượng điện tích electron, phần hữu hạn số hạng bổ cho đóng góp vào mômen từ dị thường 4/ Kết tính số mômen từ dị thường phù hợp tốt với số liệu thu từ thực nghiệm Những kết thu Luận văn Thạc sĩ sở để nghiên cứu việc tính mômen từ hạt lý thuyết trường phức tạp vật lý hạt mô hình chuẩn mà thống ba bốn loại tương tác nay: điện từ, yếu mạnh , sắc động học lượng tử ỆU THAM KH ẢO TÀI LI LIỆ KHẢ Ti Tiếếng Vi Việệt Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG, Hà Nội 39 Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, NXB ĐHQG, Hà Nội Phạm Phúc Tuyền (2007), Lý thuyết hạt bản, ĐHQG, Hà Nội Hoàng Ngọc Long (2005), Cơ sở vật lý hạt bản, NXB Thống kê, Hà Nội Hà Huy Bằng (2006), Các bổ vòng lý thuyết trường lượng tử, NXB ĐHQG, Hà Nội Ti Tiếếng Anh A.I Akhiezer and V.B Berestetski (1959) Quantum Electrodynamics, Moscow N.N Bogoliubov and D V Shirkov, (1976) Introduction tho the Theory of Quantized Fields, Interscience Publihers, rd edition Nauka (in Russian) C.M Cvitanovic and T Kinoshita (1974), Phys Rev D10, 1974, 4007 F Gross (2001), Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory, A Wiley – Interescience Publication 10 W Greiner and Joachim Reinhardt, (2006) Quantum Electrodynamics, Springer 11 R P Feynman, (1998) Quantum Electrodynamics, Westview Press 12 S Fradkin,(1985) Quantum Field Theory and Quantum Statistics, Adam Hilger, Bristol 13 J Schwinger, (1949) Quantum Electrodynamics II Vacuum Polarization and Self-Energy, Phys Rev 75 (1949) 651 14 C M Summerfield,(1958) Ann Phys N, Y, (1958) 26 15 L H Ryder, (1985),Quantum field theory, Cambridge University Press 16 A Wachter (2010), Relativistic Quantum Mechanics, Springer Ụ LỤC A PH PHỤ 40 PH ƯƠ NG PH ÁP KH Ử PH ÂN KỲ BẰNG ĐIỀU CH Ứ NGUY ÊN PHƯƠ ƯƠNG PHÁ KHỬ PH CHỈỈNH TH THỨ NGUYÊ ững lu A.1 Nh Nhữ luậận điểm Phương pháp khử phân kỳ điều chỉnh thứ nguyên lần năm 1972 G’t Hoof Veltman[8] sử dụng để chứng minh tính tái chuẩn hóa lý thuyết trường chuẩn không Abel Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên bao gồm bước sau: 1/ Tích phân theo đa tạp 4- chiều xung lượng ảo thay tích phân ký hiệu tương ứng việc lấy tích phân theo không gian n = − 2ε chiều Trong ε coi đại lượng dương xác định, phép lấy tích phân thực n số không nguyên Trong phép lấy giới hạn có ngầm định: m2 = m2 − 1δ (δ → +0) Trong không gian Euclide việc đưa phép khử phân kỳ điều chỉnh thứ nguyên có nghĩa: ∞ ∫(d p) E = ∫ Ω (4) ∞ n d Ω ∫ p dp → ∫ d p ≡ µ 2ε ∫ Ω( n) d Ω ∫ p n −1dp, (A.1) Ở thể tích Ω(n) hình cầu đơn vị không gian n chiều ngoại suy từ hàm Gamma Euler: n 2π Ω( n) = ⎛n⎞ Γ⎜ ⎟ ⎝2⎠ Tham số µ có thứ nguyên thứ nguyên khối lượng đưa vào suy luận từ bảo toàn thứ nguyên chung 2/Các phép biến đổi tham số Feynman: 1 = ∫ dx ab [ax + b(1 − x)]2 (A2) 41 1− x 1 = ∫ dx ∫ dy abc ⎡⎣ a (1 − x − y ) + bx + cy ⎦⎤ 0 (A3) 3/Tính tích phân theo xung lượng: Ta áp dụng số công thức ví dụ như: ∫ d p (p n⎞ ⎛ Γ⎜ m − ⎟ 2⎠ ⎝ = (−1)m iπ Γ ( m) n n − pk + l ) m (k −l) m− n (A4) 4/Thác triển giải tích cho ε → , ta tách phần hữu hạn phần phân kỳ tích phân ban đầu ông gian n-1 th ứ nguy A.2 Các tọa độ cầu kh khô thứ nguyêên Các phép lấy tích phân d n−1K thực từ tọa độ đến tọa độ cầu kéo theo K (n -2) biến số góc Nhận thấy phương trình biến đổi K1 = K cos θ1 K = K sin θ1 cos θ K = K sin θ1 sin θ cos θ3 K n − = K sin θ1 sin θ sin θ sin θ n −3 cos θ n − K n −1 = K sin θ1 sin θ sin θ3 sin θ n −3 sin θ n − ≤ θi ≤ π i = 1, 2,3, , n − (A.5) ≤ θ n− ≤ 2π Jacobian cần thiết cho ta ∫d n −1 K=∫K n− sin n−3 θ1 sin n− θ sin θ n − sin θ n −3dθ1dθ dθ n − d K p.K = EK − p K cosθ = K E (1 − β cos θ ) (A.6) (A.7) Vì biểu thức dấu tích phân mà ta quan tâm phụ thuộc vào K θ , góc p n-1 thành phần K vector, qua hệ thức liên hệ 42 ⎛1 ⎞ Γ ⎜ ( m + 1) ⎟ m ⎝2 ⎠ ∫0 sin θ dθ = π ⎛ ⎞ Γ ⎜ ( m + 2) ⎟ ⎝2 ⎠ π (A.8) Mà đưa đến n −1 π 2π n−2 n −1 d K = d K K sin n−3 θ dθ ∫ ∫ ∫ ⎛1 ⎞ Γ ⎜ n − 1⎟ ⎝2 ⎠ (A.9) Hay qua biến x = cosθ n −1 2π dK ⎛1 ⎞∫ Γ ⎜ n − 1⎟ ⎝2 ⎠ n− 2 n−2 ∫ dx K (1 − x ) (A.10) −1 ng tác tr ườ ng vô hươ ng Lint = gϕ A.3 Mô hình tự tươ ương trườ ường ương Để minh họa phương pháp điều chỉnh phân kỳ tử ngoại điều chỉnh thứ nguyên xem xét mô hình toán học tương tác đơn giản Lint = gϕ Trong g- số tương tác, ϕ trường thực vô hướng ản đồ lượ ng ri Gi Giả ượng riêêng Theo quy tắc đối ứng Feynman giản đồ lượng riêng mô hình tương ứng với tích phân đơn giản sau đây: I (k ) ∼ i dp ∫ π ( m2 − p − iε ) ⎡ m − ( p − k )2 − iε ⎤ ⎣ ⎦ (A.11) Tương ứng với giản đồ vòng Feynman với hai đường vô hướng k (xem hình 2) p p-k Hình.2 43 p Chuyển từ chiều sang n chiều ( với n = − 2ε ) ta viết: i µ 2ε π2 I (k ) → regε J (k ) = = i µ 2ε π2 ∫ ∫ dnp (m ( − p ) m2 − ( p − k ) dnp (p −m )(( p − k ) −m 2 ) (A.12) ) Áp dụng công thức tham số hóa Feynman 1 = ∫ dx ab ⎡ ax + b (1 − x ) ⎤ ⎣ ⎦ (A.13) a = ( p − k )2 − m2 , b = p − m2 Với Ta i µ 2ε dn p regε J (k ) = ∫ dx ∫ π ⎡( p − k ) − m ⎤ x + ( p − m ) (1 − x ) ⎣ ⎦ { } = i µ 2ε dn p dx π ∫0 ∫ { p − pkx + k x − m }2 (A.14) Áp dụng tích phân: ∫ d p (p n⎞ ⎛ Γ⎜ m − ⎟ m 2⎠ ⎝ = ( −1) iπ Γ ( m) n n − pk '+ lb ) m (k ' − l) m− n m = 2, l = k x − m , k ' = kx Với ta n⎞ ⎛ Γ⎜ − ⎟ 2⎠ ⎝ ∫0 ( −1) iπ Γ ( ) 2ε regε J ( k ) = iµ π2 n {k x + m2 − k x} 44 2− n = i µ 2ε −ε Γ (ε ) π dx ( ) ∫ π ( m − x (1 − x ) k )ε ⎡ ⎤ µ2 ⎥ = −Γ ( ε ) ∫ dx ⎢ 2 π m − x − x k ( ) ⎢ ⎥⎦ { } ⎣ ε (A.15) Sử dụng công thức khai triển: aε = + ε ln a Ta có: ε ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ µ2 µ2 ⎢ ⎥ = + ε ln = ⎢ 2 ⎥ 2 π { m − x − x k } π m − x − x k ( ) ( ) ⎢⎣ { } ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎡ π {m − x (1 − x ) k } ⎤ ⎡ m − x (1 − x ) k ⎤ ⎥ = − ε ln ⎢ = − ε ln ⎢ ⎥ − ε ln π µ2 µ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ ⎦ Γ(ε ) = − γ + O(ε ) ε (A.16) Trong γ = 0.5772 số Euler Mascheroni ⎡ m − x (1 − x ) k ⎤ ⎪⎧ ⎪⎫ ⎛1 ⎞ regε J ( k ) = − ⎜ − γ + O ( ε ) ⎟ ∫ dx ⎨1 − ε ln ⎢ ⎥ − ε ln π ⎬ µ ⎝ε ⎠ ⎩⎪ ⎣ ⎦ ⎭⎪ Cho ε → 0+ ta có regε J ( k ) = − + I huu han ( ε ) ε Trong ⎡ m − x (1 − x ) k ⎤ I huu han ( ε ) = ∫ dx ln ⎢ ⎥ + ln π + γ µ ⎣ ⎦ (A.17) Như phương pháp khử phân kỳ điều chỉnh thứ nguyên phần kỳ dị tích phân ( phân kỳ loga vùng tử ngoại) có cực riêng 45 tách thành phần ε Một vấn đề đặt ra: liệu sử dụng phương pháp khử phân kỳ tử ngoại điều chỉnh thứ nguyên, để tiếp tục khử phân kỳ hồng ngoại QED photon bị xạ hay hấp thụ có lượng thấp khối lượng nghỉ không hay không? ản đồ đỉ nh Gi Giả đỉnh Giản đồ đỉnh tương ứng với tích phân sau Γ ( p, k ) = dq 1 × × 2 ∫ 2 iπ m − q m − ( q + k ) m − ( q − p )2 (A.18) tam giác liên quan đến đỉnh có ba đường – đường có xung lượng q - hàm truyền vô hướng m − (q + k ) 2 , đường khác có xung lượng m − q2 ( q + k ) - hàm truyền vô hướng , đường lại có xung lượng ( q − p ) - hàm truyền vô hướng m − (q − p) 2 q k+q k p p-k p+q Hình.3 Viết lại tích phân dạng: Γ ( p, k ) = dq 1 × × 2 ∫ 2 iπ m − q m − ( q + k ) m − ( q − p )2 i dq 1 = 2∫ × × 2 π q − m ( q + k ) − m ( q − p )2 − m Áp dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên: 46 (A.19) Γ ( p, k ) → regε I ( p, k ) = i µ 2ε π2 ∫ d nq 2 ( q − m2 ) ⎡⎣( q + k ) − m2 ⎤⎦ ⎡⎣( q − p ) − m2 ⎤⎦ (A.20) Sử dụng công thức tham số hóa Feynman: 1− x 1 = ∫ dx ∫ dy abc ⎡⎣ a (1 − x − y ) + bx + cy ⎤⎦ 0 Với (A.21) a = q − m2 b = ( q + k ) − m2 c = ( q − p ) − m2 Ta có a (1 − x − y ) + bx + cy = 2 = ( q − m ) (1 − x − y ) + ⎡( q + k ) − m2 ⎤ x + ⎡( q − p ) − m ⎤ y ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = q − 2q ( py − kx ) + k x + p y (A.22) Tích phân (A.20) viết lại: 1− x 2i µ 2ε regε I ( p, k ) = dx ∫ dy ∫ d n q ∫ π 0 ⎡⎣ q − 2q ( py − kx ) + k x + p y ⎤⎦ (A.23) Áp dụng công thức: ∫ d p (p − pk '+ l ) n⎞ ⎛ Γ⎜ m − ⎟ 2⎠ ⎝ = (−1) m iπ Γ ( m) n n m m=3 Với l = k x + p2 y k ' = py − kx Ta được: 47 (k ' − l) m− n (A.24) 1− x n 2iµ 2ε regε I ( p, k ) = dx dy ( − 1) i π ∫ ∫ π 0 n Γ(3 − ) Γ(3) 2 3− [( py − kx) − k x − p y ] n 1− x π 2−ε Γ (1 + ε ) = 2µ ∫ dx ∫ dy 1+ε π ⎡( py − kx ) − k x − p y ⎤ 0 ⎣ ⎦ 2ε 1+ε = 1− x π dx µ ∫0 ∫0 ⎛ ⎞ µ2 ⎜ ⎟ dy Γ (1 + ε ) 2 ⎜⎜ π ⎡( py − kx ) − k x − p y ⎤ ⎟⎟ ⎦⎠ ⎝ ⎣ (A.25) Khai triển ⎛1 ⎞ Γ(1 + ε ) = εΓ(ε ) = ε ⎜ − γ + O (ε ) ⎟ = (1 − εγ + ε O (ε ) ) ⎝ε ⎠ 1+ε ⎛ ⎞ µ2 ⎜ ⎟ ⎜⎜ π ⎡( py − kx )2 − k x − p y ⎤ ⎟⎟ ⎦⎠ ⎝ ⎣ (A.26) ⎛ ⎞ µ2 ⎜ ⎟ = + (1 + ε ) ln ⎜⎜ π ⎡( py − kx )2 − k x − p y ⎤ ⎟⎟ ⎦⎠ ⎝ ⎣ ⎛ π ⎡( py − kx ) − k x − p y ⎤ ⎞ ⎦⎟ = − (1 + ε ) ln ⎜ ⎣ ⎜⎜ ⎟⎟ µ2 ⎝ ⎠ (A.27) ⎧ ⎛ π ⎡( py − kx )2 − k x − p y ⎤ ⎞ ⎫ 1− x π ⎪ ⎦ ⎟⎪ regε I ( p, k ) = ∫ dx ∫ dy (1 − εγ + ε O(ε ) ) ⎨1 − (1 + ε ) ln ⎜ ⎣ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎬ µ 0 µ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪⎭ ⎩ (A.28) Cho ε → 0+ ta thấy tích phân hữu hạn ⎧ ⎛ π ⎡( py − kx ) − k x − p y ⎤ ⎞ ⎫ 1− x π ⎪ ⎦ ⎟⎪ regε I ( p, k ) = ∫ dx ∫ dy ⎨1 − ln ⎜ ⎣ ⎜ ⎟⎟ ⎬ 2µ 0 µ ⎜ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪⎭ ⎩ (A.29) Kết luận: với toán hàm đỉnh hạt vô hướng tích phân (C.8) không phân kỳ mà lượng hữu hạn 48 ụ lụ c B Ph Phụ ức với ma tr Một số hệ th thứ trậận Dirac {γ µ , γ ν } = g µν (B.1) δ µµ = d (B.2) γ µγ µ = d (B.3) γ µγ ν γ µ = ( − d ) γ ν γ µ γ ρ γ σ γ µ = g ρσ + ( d − ) γ ρ γ σ (B.4) (B.5) γ µ γ ρ γ σ γ ν γ µ = −2γ ν γ σ γ ρ + ( − d ) γ ρ γ σ γ ν (B.6) Tr(ood number of Dirac matrices)=0, (B.7) Tr ( γ µ γ ν ) = dg µν (B.8) Tr ( γ µ γ ρ γ ν γ σ ) = d ( g µρ gνσ − g µν g ρσ + g µσ gνρ ) (B.9) 49 ụ lụ c C Ph Phụ ức tích ph Một số công th thứ phâân vòng ứ nguy điều ch chỉỉnh th thứ nguyêên d⎞ ⎛ d iΓ ⎜ α − ⎟ α− ⎠⎛ ⎞ ⎝ ⎜ 2⎟ d π Γ α ( ) ( ) ⎝M ⎠ α d d p ∫ ( 2π ) ( −1) d α ( p2 − M ) = (C.1) d ⎞ ⎛ d ig µν Γ ⎜ α − − 1⎟ α − −1 2 ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ (C.2) ⎜ 2⎟ d M ⎝ ⎠ ( 4π ) 2Γ (α ) α −1 d µ d p ∫ ( 2π ) d ( −1) ν p p (p −M α ) = d ⎞ ⎛ d id Γ ⎜ α − − 1⎟ α − −1 ⎠⎛ ⎞ ⎝ ⎜ d ⎟ M ⎝ ⎠ ( 4π ) 2Γ (α ) α −1 d d p p ∫ ( 2π )d p − M α = ( ) ( −1) 50 (C.3) [...]... FEYNMAN CHO ĐÓ NG GÓP VÀO MÔMEN TỪ CH CHƯƠ ƯƠNG GIẢ ĐÓNG ƯỜ NG CỦA ELECTRON DỊ TH THƯỜ ƯỜNG Xuất phát từ Lagrance tương tác của electron với trường ngoài ta viết S-matrận tương ứng ở mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với trường điện từ ngoài Aµext ( x ) Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng cho đóng góp vào mômet từ dị thường của electron Mục 2.3 dành cho việc thảo luận. .. , trong đó µ0 aµ là 2mc phần dị thường của mômen từ của electron mà nó không thể giải thích trong khuôn khổ của cơ học lượng tử Nguyên nhân chủ yếu là cơ học lượng tử mới chỉ xem xét tương tác của electron với trường ngoài chứ chưa xem xét tương tác của electron với chân không vật lý của trường điện từ Việc kể thêm tương tác của electron với chân không vật lý của trường điện từ sẽ dẫn đến số hạng bổ. .. của trường điện từ và chân không của trường electron- pozitron Trong bản luận văn này chúng ta chỉ giới hạn các giản đồ Feynman (a) và (b1) cho đóng góp vào mômen từ dị thường của electron, còn ba giản đồ còn lại (b2), (b3), (b4) liên quan đến việc chuẩn hóa khối lượng của electron, chuẩn hóa điện tích của electron, các hàm sóng của electron và hàm sóng của trường điện từ ngoài Ngoài ra ta còn bỏ qua... đến số hạng bổ sung cho mômen, kết quả ta có mômen từ dị thường Việc tính lượng bổ chính cho mômen từ dị thường ta gặp phải các tích phân theo các đường trong là các tích phân phân kỳ Để tách các phần phân kỳ, thông thường người ta sử dụng các phương pháp khử phân kỳ sau đây: phương pháp cắt xung lượng lớn, phương pháp Pauli - Villars, phương pháp điều chỉnh thứ nguyên Trong Luận văn này tôi sử dụng... phương pháp điều chỉnh thứ nguyên và cuối cùng tôi thu được kết quả phù hợp với thực nghiệm Trong mục 3.1 tôi trình bày tính toán bổ chính cho mômen từ trong gần đúng một vòng bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên ườ ng trong gần đú ng một vòng 3.1 Bổ ch chíính cho mômen dị th thườ ường đúng Từ giản đồ Feynman bậc hai trong Hình 1, ta có 2 Λ µ ( −ie ) d 4 q iD̃ k γ ν iS̃ p − k γ µiS̃ p − k γ ( p1 , p2 )... F2 ( 0 ) S m (2.32) Số hạng này gọi là mômen từ dị thường Tổng mômen như vậy bằng � e ⎡ F ( 0) ⎤ � µ = ⎢1 + 2 ⎥S m ⎣ F1 ( 0 ) ⎦ Và nhân tử g được xác định 29 (2.33) ⎡ F (0) ⎤ g = 2 ⎢1 + 2 ⎥ ⎣ F1 ( 0 ) ⎦ Thừa số 2 xuất phát từ việc biểu diễn mômen từ qua đơn vị magneton eℏ / 2mc ƯƠ NG 3 - BỔ CH ƯỜ NG CH CHƯƠ ƯƠNG CHÍÍNH CHO MÔMEN TỪ DỊ TH THƯỜ ƯỜNG Mômen từ của electron theo lý thuyết Dirac: được xác... Theo lý thuyết Dirac mômen từ của electron có dạng µ0 = eℏ - magneton Bohr 2mc Theo thực nghiệm phát hiện mômen từ dị thường của electron µ = µ0 (1 + a ) µ0 a - gọi là phần dị thường – không thể giải thích trong cơ học lượng tử, vì chân không ở đây là chân không toán học - không có gì Trong QED ta xem xét dưới đây là chân không vật lý - chân không có hạt ảo và kể thêm tương tác của hạt với chân không... (2.8) trong đó R fi được xác định bằng công thức: 1/ 2 ⎛ m0 2 ⎞ R fi = −2π e0 ⎜ ⎟ ⎝ p10 p20 ⎠ u ( p2 ) γ µ u ( p1 ) Aµext ( p2 − p1 ) 25 (2.9) và được gọi là biên độ tán xạ của electron trong trường điện từ ngoài tĩnh (trường thế Coulomb) trong gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo electron ng góp vào mômen từ dị th ườ ng 2.2 Các gi giảản đồ Feynman cho đó đóng thườ ường Để kể thêm các bổ chính. .. để cho hạt có spin ½ trong trường điện từ ngoài Thật đáng chú ý đặc biệt ở chỗ quá trình giới hạn phi tương đối tính hóa của phương trình �� Dirac ở trường ngoài sẽ tự động dẫn đến số hạng tương tác − MB giữa mômen từ (hay spin ) của hạt với từ trường ngoài, trong đó electron có mômen từ đúng khác với tỉ số từ hồi chuyển đúng đắn M (e) = eℏ eg σ= S, 2m0 c 2m0 c g=2 (thừa số Lande) (1.17) Ngược lại trong. .. Thành phần thứ năm là bổ chính tương đối tính cho trường xuyên tâm mà ta biết Darwin term và có thể gia tốc chuyển động lắc của electron Thành phần cuối cùng chứa năng lượng tương tác giữa spin của electron (hoặc là mômen từ ) và mômen góc quỹ đạo Nhận thấy rằng trong thành phần này được lấy một cách chính xác bằng thừa số 4 trong mẫu số1 Trong trường hợp của thế Coulomb V ( r ) = − Ze 2 / r hai thành