Mômen từ dị thường của electron và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong điện động lực học lượng tử

Mômen từ dị thường của electron và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong điện động lực học lượng tử Phạm Thị Thuận Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn ThS chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán ; Mã số: 60 44 01 10 Người hướng dẫn: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Hãn Năm bảo vệ: 2012 Abstract: Phương trình Pauli và mômen từ của electron. Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị thường của electron. Moment từ dị thường của electron trong gần đúng một vòng. Việc tính moment từ dị thường của electron là bài toán phức tạp, trong Luận văn này bước đầu ta đã thực hiện một loạt những động tác để đơn giản bài toán bằng việc bỏ qua phân kỳ hồng ngoại liên quan đến khối lượng photon, bỏ qua việc tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron, và hàm sóng của electron và trường điện từ ngoài liên quan tới các đường ngoài trong gian đồ Feynman, và tính toán tới phần đóng góp chủ yếu nhất liên quan đến giản đồ đỉnh Feynman cho moment từ dị thương của electron. Keywords: Vật lý toán; Động lực học; Lượng tử; Momen từ Content MỞ ĐẦU Lý thuyết lượng tử về tương tác điện từ của các hạt tích điện hay còn gọi là điện động lực học lượng tử QED, đã được xây dựng khá hoàn chỉnh. Sự phát triển của QED liên quan đến những đóng góp của Tomonaga, J. Schwinger, R. Feynman. Dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến do tác giả đã nêu cùng với việc tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron, QED đã lý giải thích thành công các quá trình vật lý qua tương tác điện từ, cả định tính lẫn định lượng. Phương trình Dirac cho electron ở trường điện từ ngoài, tương tác của electron với trường điện từ, sẽ chứa thêm số hạng tương tác từ tính mới. Cường độ của tương tác này được mô tả bằng mômen từ electron  , và nó bằng 00 0 00 |1 22 ee c m c m        ( 0 m và 0 e là khối lượng “trần” và điện tích “trần” của electron, 0  - gọi là magneton Bohr). Các hiệu ứng phân cực của chân không– khi tính các bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho mômen từ electron, sau khi tái chuẩn hóa khối lượng electron   0 R mm và điện tích electron   0 R ee sẽ dẫn đến sự đóng góp bổ sung, mà nó được gọi là mômen từ dị thường. Lưu ý, chỉ số R – ký hiệu giá trị được lấy từ thực nghiệm. Tuy nhiên, thực nghiệm đo được mômen từ của electron bằng 0 1,003875   , giá trị này được gọi là mômen từ dị thường của electron. J. Schwinger thu được kết quả phù hợp với thực nghiệm ( bổ chính cho mômen từ của electron khi tính các giản đồ bậc cao cho QED, sai số tính toán với thực nghiệm vào khoảng 10 10 %  ). Biểu thức giải tích của mômen từ dị thường electron về mặt lý thuyết đã thu được 23 0 23 1 0,32748 1,184175 2 ly thuyet                (0.1)   0 1,001159652236 28 .     0 1,00115965241 20 . R   (0.2) Ở đây về cơ bản các giá trị mômen được tính bằng lý thuyết theo thuyết nhiễu loạn (0.1) và giá trị được lấy từ số liệu thực nghiệm (0.2) có sự trùng khớp với nhau. Mục đích bản luận văn Thạc sĩ khoa học này là tính bổ chính một vòng cho mômen từ dị thường của electron trong QED. Việc loại bỏ phân kỳ trong quá trình tính toán giản đồ Feynman, ta sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, tài liệu tham khảo và một số phụ lục. Trong Bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử 1c và metric Feynman. Các véctơ phản biến là tọa độ :     0 1 2 3 , , , ,x x t x x x y x z t x         thì các véctơ tọa độ hiệp biến :     0 1 2 3 , , , ,x g x x t x x x y x z t x                , trong đó 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 gg             Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3. CHƢƠNG 1 - PHƢƠNG TRÌNH PAULI VÀ MÔMEN TỪ CỦA ELECTRON 1.1 Phƣơng trình Pauli Phương trình Pauli mô tả hạt có spin bằng ½ chuyển động trong trường điện từ ngoài với điều kiện vận tốc của hạt nhỏ hơn nhiều vận tốc ánh sáng. Phương trình Pauli có dạng phương trình Schrodinger (khi hạt có spin bằng không), song hàm song  trong phương trình Pauli không phải là một vô hướng có một thành phần   ,rt   phụ thuộc vào các biến không gian và thời gian, mà còn chứa biến số spin của hạt là z s . Kết quả để cho hàm sóng   ,, z r s t   là một spinor hai thành phần   1 2 ,, 2 ,, ,, 2 z rt r s t rt                        (1.1) Vì hạt có spin nên nó có mômen từ. Từ thực nghiệm hiệu ứng Zeemann mômen từ của hạt với spin bằng 2  . 0 ,      (1.2) 0  - là magneton Bohr, còn   là các ma trận Pauli. Khi đăt hạt vào trường điện từ ngoài, ta có thêm năng lượng tương tác phụ.   0 0 2 e e U H s sH mc m c                 (1.3) Hamiltonian của phương trình Schrodinger có dạng 2 0 () 2 p H U r m   (1.4) Nếu hạt ở trong trường điện từ ngoài, thì ta phải thực hiện các phép thay thế dưới đây trong phương trình Schrodinger 0 0 e p p A c E E e      (1.5) Kể thêm spin của hạt thì phương trình mô tả phải có thêm một năng lượng phụ   0 0 2 e U H sH mc          . Kết quả ta thu được phương trình         2 00 0 00 ,, 1 ,, 22 z z r s t ee i p A e r U r sH r s t t m c m c                         (1.6) ở đây   r  , ()Ar  là thế vô hướng và thế véc tơ của trường điện từ 1.2 Phƣơng trình Dirac cho electron ở trƣờng ngoài trong giới hạn phi tƣơng đối tính Xuất phát từ phương trình Dirac cho electron trong trường ngoài ở dạng chính tắc : 02 0 00 () () e x i c p A e A m c x tc                     (1.7) Để nghiên cứu giới hạn phi tương đối tính cho phương trình (1.7), thuận tiện ta viết các spinor hai thành phần 13 24 ,, u ud d                          (1.8) Như vậy, phương trình (1.7) sẽ biến thành hệ phương trình     02 0 00 02 9 00 u du d ud e i c p A e A m c tc e i c p A e A m c tc                                         (1.9) Trong đó chỉ số u kí hiệu “trên” (hai thành phần trên) và d – “dưới” (hai thành phần dưới). Kể thêm 2 0 ( ) 2 ( ) 0 , 0 , 2 1 u d u d v i e A m c O tc                   (1.10) Phương trình thứ hai của hệ (1.9) sẽ đưa đến nghiệm dương (+)   2 () 0 2 0 2 du e v p A O m c c c                 (1.11) Còn phương trình đầu của hệ (1.9) sẽ đưa đến nghiệm âm (-) 2 ( ) ( ) 0 2 0 2 ud e v p A O m c c c                (1.12) Những hệ thức này cuối cùng có thể hệ thống trong phương trình Dirac 2 3 20 0 3 00 1 ˆ , 22 0 ˆ 0 nr nr iH t e e v H m c p A eA B O m c m c c                                                  (1.16) đúng đến bậc   2 2 v c cùng với toán tử và tự liên hợp nr H . 1.3 Các bổ chính tƣơng đối tính cho phƣơng trình Pauli Ta đã chỉ ra rằng việc lấy giới hạn phi tương đối tính phương trình Dirac ở trường điện từ ngoài ta thu được lý thuyết Pauli đúng tới bậc   2 2 v c và sai sót trong Hamilton ở bậc   3 3 v c . Trong giới hạn này nr H là chéo nhưng các nghiệm âm và dương là hoàn toàn “phân ly ” . Để chéo hóa toán tử Hamilton ở các bậc cao hơn một cách hệ thống, thì ta phải kể thêm các bổ chính tương đối tính, bằng cách sử dụng phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho phương trình Dirac. Để đơn giản ta bắt đầu tử bậc   /vc và phương trình Dirac ở dạng 2 0 0,m c K K         (1.19) cùng với 22 0 2 2 2 0 1 (1) , vv i eA O O O m c t c c                             (1.20) và 2 0 c e v p A O m c c c                  (1.21) ở đây  và     là các toán tử chẵn (chéo) và toán tử lẻ (không chéo). Sử dụng việc chọn phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen thích hợp , , iS iS U e U e    với mục đích là thay đổi các biểu diễn mới trong đó  cao hơn và cao hơn bậc   /vc sao cho không động chạm đến điều nó sẽ đưa đến chéo hóa toán tử K đung đắn tới bậc   /vc . Điều này sẽ dẫn đến K          (1.27) Cùng với 2 6 12 8 2 6 12 8 v v v v O O O O c c c c                               2 4 2 2 1 , , 2 8 8 v O c                         (1.28)     35 5 , , , , 3 2 48 v O c                                (1.29) Như ta đã thấy   bây giờ đã nâng lên hai bậc   /vc Từ đây chúng ta nhận được toán tử K    đúng đến bậc   3 3 v c , đúng trong phương trình Pauli (1.16) Để tiếp tục loại bỏ phần lẻ của các K-toán tử chẵn, chúng ta tiếp tục thực hiện phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen thứ hai với K  cùng , 2 iS i U e S        (1.30) Từ đây suy ra K          (1.31) Cuối cùng kết quả dẫn đến phương trình Dirac iH t          (1.35) CHƢƠNG 2 - CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MÔMEN TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON Xuất phát từ Lagrance tương tác của electron với trường ngoài ta viết S-matrận tương ứng ở mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với trường điện từ ngoài   ext Ax  . Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng cho đóng góp vào mômet từ dị thường của electron. Mục 2.3 dành cho việc thảo luận ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi tương đối tính 2.1 S-ma trận Quá trình tán xạ được mô tả bằng S-ma trận /1/                   ex int int 01 int 4 44 exp ; ; 1; ; t ext S T L x d x L x ieN A S S T L x d x T ie N A x d x             (2.1)Quá trình tán xạ này có thể mô tả bởi các giản đồ Feynman / 2,3,4/ theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến. Giản đồ Feynman trong gần đúng bậc thấp nhất (a) theo điện tích e, và các giản đồ Feynman tiếp theo mô tả các bậc cao (bổ chính) cho quá trình tán xạ này (xem Hình 1). (a) (b1) (b2) (b3) (b4) Hình 1. Các giản đồ Feynman cho tán xạ electron ở trường ngoài theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến trong gần đúng một vòng đường electron trường điện từ ngoài đường photon Giải thích hình vẽ 1: Giản đồ (1a) electron có xung lượng 1 p bay vào vùng có trường điện từ bị tán xạ bay ra với xung lượng 2 p ở gần đúng bậc thấp nhất. Các giản đồ mô tả các bổ chính bậc cao cho tương tác của electron với chân không vật lý- chân không của trường điện từ và chân không của trường electron-pozitron. Trong bản luận văn này chúng ta chỉ giới hạn các giản đồ Feynman (a) và (b1) cho đóng góp vào mômen từ dị thường của electron, còn ba giản đồ còn lại (b2), (b3), (b4) liên quan đến việc chuẩn hóa khối lượng của electron, chuẩn hóa điện tích của electron, các hàm sóng của electron và hàm sóng của trường điện từ ngoài. Ngoài ra ta còn bỏ qua phân kỳ hồng ngoại liên quan đến khối lượng photon, và chỉ giữ lại phần đóng góp chủ yếu nhất liên quan đến giản đồ đỉnh Feynman (b1) cho mômen từ dị thường của electron Yếu tố ma trận trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tương ứng với giản đồ Hình 1.(a) theo quy tắc Feynman có thể viết như sau:   2 1 0 2 1 4 1 | | | ( ) ( ) ( )| ext p S p e d xb p N x x A x p         . (2.4) Vì trường ngoài () ext Ax  không phải là toán tử mà là hàm số thông thường nên ta có thể bỏ ra ngoài N-tích và 21 | |pp , đồng thời khai triển các toán tử ()x  và ()x  thành các toán tử sinh hủy hạt.       ( ) ( ) 2 1 2 1 | | 0| | 0p N p c p c p                     21 1 2 3 10 20 2 21 . 1 2 i p p x m u p u p e pp            (2.6b) Thay (2.6b) vào (2.4) ta được yếu tố ma trận cho quá trình tán xạ đàn tính của electron ở trường điện từ ngoài trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn :       0 2 1 0 2 1 2 1 1 2 ex 10 20 2 1 || t m p S p e u p u p A p p pp         , (2.7) trong đó:   1 up : spinor của electron ở trạng thái đầu ;       22 4 .u p u p    ;     21 ex ex 4 21 i p p x tt A p p e A x d x        là thế điện từ ngoài . Chú ý, ta có thể viết yếu tố ma trận (2.7) dưới dạng tương tự:   2 1 1 20 10 fi p S p p p R   (2.8) trong đó fi R được xác định bằng công thức:       12 2 0 0 2 1 2 1 10 20 2 / ext fi m R e . u p u p A p p pp         (2.9) và được gọi là biên độ tán xạ của electron trong trường điện từ ngoài tĩnh (trường thế Coulomb) trong gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo electron. 2.2 Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào mômen từ dị thƣờng. Lấy tổng các giản đồ đỉnh đích thực, bỏ qua các hàm sóng ngoài, ta xác định « phần đỉnh đích thực »       1 2 1 2 ,,p p p p         (2.10) trong đó   là đỉnh « trần » , còn   12 ,pp   được xác định bằng tập hợp các giản đồ Hình 1. Tiết diện tán xạ ở bậc nhất theo trường ngoài cùng với tất cả các bổ chính được kể đến, được xác định bằng, mà trong đó ta thay 21 uu   bằng 21 uu   . 2.3 Hệ số dạng điện từ Yếu tố ma trận của tán xạ electron với trường ngoài ở bậc thấp nhất       2 1 1 0 2 1 2 1 01 02 || ext m p S p e u p u p A p p pp             (2.11) trường ngoài tĩnh         2 1 1 20 10 0 2 1 2 1 01 02 | | 2 ext m p S p p p e u p u p A p p pp               (2.12) Bỏ qua việc chuẩn hóa các hàm sóng ngoài , thì hàm đỉnh     2 1 2 1 ,,p p p p         (2.13) trong đó số hạng   là đỉnh “trần” , còn   21 ,pp   được xác định bởi tập hợp các giản đồ. Tiết diện tán xạ ở gần đúng bậc nhất với trường ngoài, cùng với các bổ chính thì biểu thức     21 u p u p   được thay thế bằng       2 2 1 1 ,u p p p u p   . Bằng lập luận bất biến Lorentz, hàm đỉnh có thể biểu diễn dưới dạng   2 1 1 1 2 2 3 4 1 5 2 ,p p c p c p c c p c p                 (2.14) trong đó , 1,2,3,4,5 i ci là các hàm số của của 1 p và 2 p , Đặt 12 P p p     (2.15) 12 k p p     Khi các đường ngoài nằm trên mặt khối lượng 2 2 2 12 p p m , thì chỉ có một biến độc lập bất biến mà ta chọn là 2 k . Định luật bảo toàn dòng       2 2 1 1 ,0k u p p p u p    . (2.16) Điều này dẫn đến các điều kiện sau 12 0cc và 45 0cc . Hệ quả chỉ còn lại hàm số độc lập 3 c và 4 c , chúng ta viết lại toán tử đỉnh dưới dạng       22 2 1 1 2 1 , 2 p p F k F k i m        (2.17) Cần nhấn mạnh các thừa số dạng tồn tại khi các xung lượng không nằm trên mặt khối lượng Sử dụng sự khai triển của Gordon   2 1 2 1 1 2 u u u P i k u m       (2.18) Ta có thể viết        22 2 2 1 1 2 1 2 1 1 , 2 u p p u u F k P i k F k i k u m                  2 1 1 2 1 1 2 u FP F F i k u m          [...]... cả hai vùng : vùng tử ngoại  q    và vùng hồng ngoại  q  0  Phân kỳ tử ngoại là phân kỳ loga Loại bỏ phân kỳ này có nhiều cách: phương pháp cắt xung lượng lớn, phương pháp Pauli- Villars, và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên Trong bản Luận văn này ta sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên vì nó thông dụng trong lý thuyết trường hiện đại Sau khi điều chỉnh thứ nguyên công thức (3.1a) trở thành... điều chỉnh thứ nguyên chúng tôi đã tách được phần phân kỳ và phần hữu hạn của số hạng bổ chính cho mômen từ Phần phân kỳ của số hạng bổ chính được gộp vào việc tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron, còn phần hữu hạn của số hạng bổ chính cho đóng góp vào mômen từ dị thường 4/ Kết quả tính số mômen từ dị thường phù hợp khá tốt với số liệu thu được từ thực nghiệm Những kết quả thu được trong. .. Schrodinger từ tư duy hiện tượng luận; ii/ Thực hiện phép gần đúng phi tương đối tính cho phương trình Dirac của electron trong trường điện từ ngoài 2/ Sự dị thường của mômen từ xuất hiện do tương tác của electron với chân không vật lý của trường điện từ Việc tính bổ chính cho mômen từ electron qua quá trình tán xạ của electron với trường điện từ ngoài theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến 3/ Sử dụng phương pháp. .. LUẬN Trong Bản Luận văn Thạc sĩ khoa học chúng tôi nghiên cứu mômen từ dị thường của electron trong điện động lực học lương tử Việc tính bổ chính cho mômen từ dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến qua giản đồ Feynman Những kết quả chủ yếu của Luận văn Thạc sĩ bao gồm 1/ Phương trình Pauli chưa số hạng tương tác giữa mômen từ của electron với từ trường ngoài, nhận được bằng hai cách: i/ Tổng quát hóa phương. .. thể thay thế F2  0  F1  0  bằng F2  0  , và e0 bằng e , khi F1  0   1  O e0 Như vậy ta có :    g  2 1    2  (3.57) 2 trong đó   e / 4 là hằng số cấu trúc tinh tế Số hạng thứ hai từ moment từ dị thường và nó được biết như bổ chính Schwinger Mômen từ dị thường của electron trong điện động lực học lượng tử được tính đến bậc sáu, và tương tác yếu đã được kể đến Kết quả ta có: 1... Springer PHỤ LỤC A PHƢƠNG PHÁP KHỬ PHÂN KỲ BẰNG ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN A.1 Những luận điểm cơ bản Phương pháp khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên lần đầu tiên năm 1972 được G’t Hoof và Veltman[8] sử dụng để chứng minh tính tái chuẩn hóa được của các lý thuyết trường chuẩn không Abel Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên bao gồm các bước sau: 1/ Tích phân theo đa tạp 4- chiều của các xung lượng ảo được thay... nghiên cứu việc tính mômen từ của các hạt cơ bản trong các lý thuyết trường phức tạp hơn trong vật lý hạt cơ bản như mô hình chuẩn mà nó thống nhất ba trong bốn loại tương tác hiện nay: điện từ, yếu và mạnh , và trong sắc động học lượng tử TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1 Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG, Hà Nội 2 Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, NXB ĐHQG, Hà Nội... đóng góp bổ sung vào mômen từ của electron Theo công thức mômen từ dị thường (2.32) nhận được ở cuối chương 2, ta có 1   e0 F2  0  S m (3.54) trong đó F2  0  được xác định bằng công thức (3.53) Theo công thức (2.33) tổng mômen từ của electron bằng   e  F2  0    1  S m  F1  0   (3.55) trong thừa số g được xác định bằng công thức (2.34)  F  0  g  2 1  2   F1  0   (3.56)... cầu đơn vị trong không gian n chiều được ngoại suy từ hàm Gamma Euler: n 2 2 ( n )  n   2 Tham số  có thứ nguyên như thứ nguyên của khối lượng được đưa vào ở đây là do suy luận từ sự bảo toàn thứ nguyên chung 2/Các phép biến đổi tham số Feynman: 1 1 1   dx ab 0 [ax  b(1  x)]2 (A2) 1 x 1 1 1  2 dx  dy 3 abc  a 1  x  y   bx  cy  0 0   (A3) 3/Tính tích phân theo xung lượng: Ta... 1 u2  FE P   FM i  k  u1  2m  (2.19) Hai thừa số dạng FE  F1 ; FM  F1  F2 (2.20) tương ứng với với hệ số dạng điện và hệ số dạng từ CHƢƠNG 3 - BỔ CHÍNH CHO MÔMEN TỪ DỊ THƢỜNG 3.1 Bổ chính cho mômen dị thƣờng trong gần đúng một vòng Từ giản đồ Feynman bậc hai trong Hình 1, ta có  ie  d 4q iD k   iS p  k   iS p  k       ( p1 , p2 )   F  2   F F 1 4   2  2   . Mômen từ dị thường của electron và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong điện động lực học lượng tử Phạm Thị Thuận Trường Đại học Khoa học. Số hạng thứ hai từ moment từ dị thường và nó được biết như bổ chính Schwinger . Mômen từ dị thường của electron trong điện động lực học lượng tử được