1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ năng lượng cao và phương trình chuẩn thế

61 42 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 61
Dung lượng 740,4 KB

Nội dung

Mục đích của luận văn nhằm tìm bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ eikonal của hạt dựa trên cơ sở phương trình chuẩn thế ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ trong lý thuyết trường lượng tử.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ VĂN TIẾN BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG  LƯỢNG CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ  LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC                                                                                                              Hà Nội ­2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ VĂN TIẾN BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG  LƯỢNG CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ  LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chun ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý tốn Mã ngành: 60440103 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:  GS. TSKH. Tốn­lý Nguyễn Xn Hãn                                                                                                              Hà Nội ­2013 MỤC LỤC  Trang  MỞ ĐẦU                                                                                                                                             5 Hình 1: Minh hoạ  rõ ràng những biến đổi phức tạp sử  dụng trong các tính tốn    trên.                                                                                                                                                  13  Chú ý rằng ,  và  là các cực toạ độ cầu và  là cực toạ độ trụ.                                                13                                                     CHƯƠNG II                                                                                   21  BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIỂU DIỄN EIKONAL                                                                   21  CHƯƠNG III                                                                                                                                     36  PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ VÀ PHÉP GẦN ĐÚNG BORN                                                  36   3.1 Phép gần đúng Born                                                                                                               36  3.2 Vùng năng lượng cao                                                                                                               37  3.3 Thế Yukawa.                                                                                                                            40     Trong mục này ta xem xét sự trao đổi các hạt với spin khác nhau, để xem xét sự phụ  thuộc của dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ và số hạng bổ chính bậc nhất của nó với với   năng lượng của hạt.                                                                                                                           40    a)Trao đổi hạt vô hướng                                                                                                            40  b)  Trao đổi hạt vectơ                                                                                                                   43  c) Trao đổi hạt graviton trong hấp dẫn lượng tử                                                                    44  KẾT LUẬN                                                                                                                                         46  PHỤ LỤC A: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẶP                  50 PHỤ  LỤC B: TÍNH ĐĨNG GĨP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ  TÁN XẠ   VỚI GĨC TÁN XẠ NHỎ                                                                                                             53 PHỤ  LỤC C: TÍNH ĐĨNG GĨP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ  TÁN XẠ   VỚI GĨC TÁN XẠ BẤT KỲ                                                                                                       56  PHỤ LỤC D: MỘT SỐ TÍCH PHÂN SỬ DỤNG TRONG CHƯƠNG 3                               58   DANH MỤC HÌNH VẼ                                                                                                                                  Trang  MỞ ĐẦU                                                                                                                                             5 Hình 1: Minh hoạ  rõ ràng những biến đổi phức tạp sử  dụng trong các tính tốn    trên.                                                                                                                                                  13  Chú ý rằng ,  và  là các cực toạ độ cầu và  là cực toạ độ trụ.                                                13                                                     CHƯƠNG II                                                                                   21  BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIỂU DIỄN EIKONAL                                                                   21  CHƯƠNG III                                                                                                                                     36  PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ VÀ PHÉP GẦN ĐÚNG BORN                                                  36   3.1 Phép gần đúng Born                                                                                                               36  3.2 Vùng năng lượng cao                                                                                                               37  3.3 Thế Yukawa.                                                                                                                            40     Trong mục này ta xem xét sự trao đổi các hạt với spin khác nhau, để xem xét sự phụ  thuộc của dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ và số hạng bổ chính bậc nhất của nó với với   năng lượng của hạt.                                                                                                                           40    a)Trao đổi hạt vô hướng                                                                                                            40  b)  Trao đổi hạt vectơ                                                                                                                   43  c) Trao đổi hạt graviton trong hấp dẫn lượng tử                                                                    44  KẾT LUẬN                                                                                                                                         46  PHỤ LỤC A: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẶP                  50 PHỤ  LỤC B: TÍNH ĐĨNG GĨP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ  TÁN XẠ   VỚI GĨC TÁN XẠ NHỎ                                                                                                             53 PHỤ  LỤC C: TÍNH ĐĨNG GĨP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ  TÁN XẠ   VỚI GĨC TÁN XẠ BẤT KỲ                                                                                                       56  PHỤ LỤC D: MỘT SỐ TÍCH PHÂN SỬ DỤNG TRONG CHƯƠNG 3                               58 MỞ ĐẦU Phép gần đúng eikonal được sử dụng để tìm biên độ tán xạ của các hạt trong   cơ học lượng tử phi tương đối tính đã được sử dụng từ lâu và biểu diễn eikonal thu  được cho biên độ  tán xạ  được dùng rất rộng rãi để  phân tích số  liệu thực nghiệm   của vật lý năng lượng cao [3­7].  Sử  dụng phép gần đúng này trên cơ  sở  phương trình chuẩn thế  Logunov­ Tavkhelidze trong lý thuyết trường lượng tử, lần đầu tiên người ta đã thu được biểu   diễn eikonal cho biên độ  tán xạ  hạt   vùng năng lượng cao và xung lượng truyền   nhỏ  (góc tán xạ  nhỏ). Biểu diễn eikonal cho biên độ  tán xạ  này, cũng có thể  thu   được khi người ta tiến hành lấy tổng các giản đồ  Feynman, hay phương pháp tích   phân phiếm hàm. Trong lý thuyết trường lượng tử, phép gần đúng eikonal thực tế  tương ứng với việc tuyến tính hóa hàm truyền của các hạt tán xạ  theo xung lượng   của hạt trao đổi [12,13] như sau: −1 � � � 2�                                � �p + �ki �− m � � i � � � � � −1 � 2� �2 p �ki + �ki �   i � i � (0.1) trong đó p là xung lượng của hạt tán xạ,  ki – là xung lượng của các hạt được trao  đổi và trong cơng thức (0.1) ta bỏ qua số hạng  ki k j =  Phép gần đúng này được sử  dụng để  nghiên cứu các quá trình tán xạ  năng lượng cao và được gọi là phép gần   đúng quỹ  đạo thẳng hay gần đúng eikonal. Bức tranh vật lý   đây như  sau: Các   hạt năng lượng cao bị tán xạ bằng cách trao đổi liên tiếp và độc lập các lượng   tử   ảo, đồng thời khơng có sự  liên kết tương thích giữa các q trình trao đổi   riêng  biệt  với  nhau,   nên số   hạng tương  quan   ki k j   khơng  có  mặt   hàm   truyền (0.1)            Các số hạng bổ chính cho biên độ  tán xạ  eikonal cho biên độ  tán xạ  hạt  ở  vùng năng lượng cao, gần đây được giới khoa học quan tâm nghiên cứu, khi tương  tác giữa các hạt là tương tác hấp dẫn và các số  hạng bổ  chính liên quan đến lực   hấp dẫn mạnh ở gần lỗ đen, lý thuyết siêu dây hấp dẫn cùng một loạt những hiệu  ứng hấp dẫn lượng tử  /12­14/. Việc xác định những số  hạng bổ  chính cho biểu   diễn tán xạ eikonal trong lý thuyết hấp dẫn là cần thiết , song nó là vấn đề  còn bỏ  ngỏ, khi năng lượng của hạt tăng, các số hạng bổ chính tiếp theo được tính theo lý   thuyết nhiễu loạn, lại tăng nhanh hơn số hạng trước nó.      Mục đích của Bản luận văn Thạc sĩ này là  tìm bổ chính bậc nhất cho biên  độ  tán xạ  eikonal của hạt dựa trên cơ  sở  phương trình chuẩn thế    vùng năng   lượng cao và xung lượng truyền nhỏ trong lý thuyết trường lượng tử.  Nội dung Bản luận văn bao gồm: phần mở  đầu, ba chương, phần kết luận,  tài liệu trích dẫn và các phụ lục Chương I. Biểu diễn eikonal của biên độ tán xạ. Trong mục 1.1 xuất phát từ  phương trình dừng Schrodinger của hạt  ở trường ngồi  theo định nghĩa ta tìm cơng  thức eikonal cho biên độ tán xạ  ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ.  Biểu diễn eikonal của biên độ tán xạ cùng với các điều kiện cần thiết cho phép sử  dụng gần đúng này  được trình bầy ở mục 2             Chương II.  Biểu diễn eikonal và bổ  chính bậc nhất  Trong mục 2.1 giới  thiệu cách thu nhận phương trình chuẩn thế  cho biên độ  tán xạ  và cho hàm sóng.  Trong mục 2.2 xuất phát từ  phương trình chuẩn thế  trong biểu diễn tọa độ, thực  r hiện sự  khai triển hàm sóng và phương trình này theo xung lượng của hạt  p = p   Sử dụng phép khai triển này ta thu được biểu diễn eikonal  và số hạng bổ chính bậc  nhất cho biên độ tán xạ Chương III. Bài tốn trên dựa trên phương trình chuẩn thế được giải quyết  bằng phương pháp lặp theo gần  đúng của Born (lý thuyết nhiễu loạn theo thế  tương tác). Ở mục 3.1  chuẩn thế dưới dạng thế Gauss được sử dụng để minh họa  phương pháp tính biên độ tán xạ và bổ chính bậc nhất của nó trong những bậc gần   đúng Born thấp nhất. Biểu thức tổng qt cho n+1 lần gần đúng Born và khai triển  biên độ tán xạ theo lũy thừa của 1/p, tương tự  như phân tích ở chương II, kết quả  số  hạng chính và số  hạng bổ  chính bậc nhất cho biên độ  tán xạ  cũng tìm được  ở  mục 3.2. Trường thế Yukawa tương  ứng với sự trao đổi giữa các hạt các lượng tử  với spin khác nhau (trao đổ hạt vơ hướng, hạt véctơ và graviton trong tương tác hấp   dẫn ), đã được sử dụng để minh hoa sự phụ thuộc vào năng lượng của các số hạng   bổ chính cho biên độ tán xạ eikonal  Cuối cùng là kết luận chung, các tài liệu tham khảo và phụ  lục liên quan tới  luận văn Trong luận văn sẽ sử dụng hệ đơn vị ngun tử   h = c =   và metric Pauli:   xµ = x µ = ( x1 = x, x2 = y , x3 = z , x4 = ict = it ) = x µ                          rr rr ab = aµ bµ = ab − a0b0 = ab + a4b4 = ak bk + a4b4    ( k = 1, 2,3)     δ µν �1 � =� �0 � �0 0 0� � 0� 0� � 0 1� Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 1 đến 4 CHƯƠNG I BIỂU DIỄN EIKONAL CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ        Bài tốn tán xạ trong cơ học lượng tử được nghiên cứu trên cơ sở của phương   trình  Schrodinger. Giả sử có hạt tán xạ ở trường ngồi, thì dáng điệu của hàm sóng  của hạt bị tán xạ có thể tìm dưới dạng                                                ψ tán xa = ψ toi + f (θ , ϕ ) rr ikr e r Trong đó  f (θ , ϕ )  là biên độ tán xạ cần tìm. Nếu năng lượng của hạt là lớn, góc tán   xạ  nhỏ, thì ta có thể  tìm được biểu diễn eikonal cho biên độ  tán xạ­ hay người ta  còn gọi là biểu diễn Glaubert [10], người đầu tiên thu được cơng thức này trong cơ  học lượng tử               1.1 Thành lập cơng thức của bài tốn tán xạ Q   trình   tán   xạ       học   lượng   tử     mô   tả     phương   trình  Schrodinger: r r ur �2 + k2 � ψ (r ) = U (r )ψ (r )                           � � �                   (1.1.1) r r 2mV(r ) 2mE  đây chúng ta đã sử  dụng các ký hiệu   k =     U (r ) =  Nghiệm của  h h2 phương trình vi phân (1.1.1) có thể được viết lại dưới dạng phương trình tích phân: r r r ur r r ψ(r ) = φ(r ) + d3r ' G0 ( r , r ')U (r ')ψ(r ')                      (1.1.2) r trong đó hàm  φ(r )  thoả mãn phương trình cho hàm thế tự do: r 2 � � � + k φ ( r � � )=0                   (1.1.3) Phương   trình   (1.1.3)     phương   trình   vi   phân   cấp     nên   nghiệm   có   dạng:   rr rr r ur r φ(r ) = A0ei k.r + B0e−i k.r   và hàm Green  G0 (r , r ')  là nghiệm của phương trình: r ur r ur 2 (3) � � � + k G ( r , r ') = δ ( r − r ')                     (1.1.4) � �0 Chúng ta tìm  G0 ( r , r ' ) theo cơng thức: rr rr r r r r r G0 ( r , r / ) = G ( r − r / )δ ( 3) ( r − r / ) d ( 3) r / Chuyển phổ Fourier ta có: rr G0 ( r , r ' ) = e ( 2π ) ( r r r is r − r / ) g sr d sr ( )                                                                (1.1.4a) Vậy : ( � + k ) G (rr, rr ) = 2 / (� +k )e ( 2π ) 2 ( r r r is r − r / ) r r g ( s ) d ( 3) s r r r r r r Nhưng :  �2 eis ( r −r ) = − s 2eis ( r − r ) / / ( 3) r r/ Sử dụng: δ ( r − r ) = ( 2π ) e ( r r r is r − r / ) d sr Thay vào phương trình (1.1.4a) có: ( −s � ( 2π ) r g( s) = + k )e ( r r r is r − r / ( 2π ) (k ) g sr d ( 3) sr = ( ) ( ( 2π ) r r r is r − r / e � − s2 ) Đặt vào (1.1.4a) ta có: rr G0 ( r , r / ) = ( 2π ) e ( r r r is r − r / ) d 3s   k −s r Chuyển sang tọa độ cầu  ( s,θ , φ ) dọc theo trục  r   / / Vì vậy  s ( r − r ) = s r − r cosθ r r r π e r r is r − r / cosθ π r r is r − r / cosθ sin θ dθ = − ( r r r r sin s r − r / =2 r r s r −r/ ) e r r is r − r / Vì vậy: 10 ) d 3sr độ  tán xạ  năng lượng cao trong lý trường lượng tử  kể  cả  hấp dẫn lượng tử  , các  kết quả thu được trong Luận văn bao gồm:         1/  Giải phương trình chuẩn thế Logunov ­ Tavkhelidze cho bài tốn tán xạ ta   thu được số hạng chính­biểu diễn eikonal cho biên độ  tán xạ  và số  hạng bổ  chính  bậc nhất của nó ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ          2/  Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận cho biên độ  tán xạ   ở năng lượng cao và  xung  lượng   truyền  nhỏ   qua     Yukawa,tương   ứng  với     trao  đổi     hạt  vơ  hướng ,thì số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ  của nó nhỏ  hơn số hạng   chính –biểu diễn tán xạ eikonal,xấp xỉ bằng  : s           3/  Khi tương tác giữa hai nucleon qua việc trao đổi các hạt với spin khác nhau,   meson vơ hướng (spin bằng khơng), meson vector (spin bằng 1) và   graviton (spin   bằng 2) trong hấp dẫn lượng tử ­ hạt tenxơ ta thu được các cơng thức, trùng với kết   quả được tính tốn bằng một phương pháp khác, phương pháp tích phân phiếm hàm  với sự cải biến của lý thuyết nhiễu loạn.  4/ Tùy thuộc vào spin khác nhau tiết diện tán xạ  tồn phần  σ tot  giảm, khơng  đổi và tăng theo sự tăng của năng lượng.  Các kết quả lý thuyết nhận được dựa trên cơ  sở phương trình chuẩn thế  và   Gauss có thể  sử  dụng để  phân tích các số  liệu từ  thực nghiệm về  tán xạ  các  hadron.  Phương pháp nghiên cứu trong luận án Thạc sỹ  này có thể  được sử  dụng   để  nghiên cứu tiếp theo cho các bài tốn tán xạ phức tạp hơn trong trường hấp dẫn   lượng tử. Các vấn đề này dành cho việc nghiên cứu sắp tới 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn  Xuân   Hãn  (2002),  Các     giảng     tích   phân   quỹ   đạo    lý   thuyết lượng tử, Giáo trình ĐHQG Hà Nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, ĐHQG Hà Nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, ĐHQG Hà Nội Phạm Thúc Tuyền (2007,2010), Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội Phạm Thúc Tuyền (2007,2011), Lý thuyết hạt cơ bản, NXB ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh Efremov   A.A   (1971)   ,  Short   Distance   Scala   Invariance   and   High   Energy   Process in Field Theory , TMF 6, 55 Filipov A.T (1964), Các bài giảng tại lớp học vật lý lý thuyết Quốc tế  mùa   Đông tại Viện nghiên cứu liên hợp hạt nhân Dubna, NXB JINR­Liên Xô,  pp.80­107 Garsevanishvili V.R, Matveev V.A., Slepchenko L.A, Tavkhelidze A.N (1969),  Coral   Gables   Conference   on   Fundamental   Interactions   at   High   Energy,  Gordon and Breach Science Publishers, p. 74.  Garsevanishvili V.R, Matveev V.A, Slepchenko L.A and Tavkhelidze (1969),  “Relativistic   quasipotential   model   of   particle   scattering   at   high   energies”  Phys.Lett. 29B, No. 3, 191.  10 Garsevanishvili V.R, Matveev V.A, Slepchenko L.A and Tavkhelidze (1969),  ICTP – Preprint IC/69/87, Trieste.  11 Glauber R.J (1959), Lectures in Theorical Physics, New York, 315p 12 Logunov   A.A   and  Tavkhelidze   A.N   (1963),  “Quasipotential   approach   in  quantum field theory”, Nuovo Cimento 29 (2), pp. 380 13  Nguyen Suan Han and Eap Ponna (1997), “Straight­Line Path Aprroximation  for the  Studying  Planckian­  Energy Scattering  in  Quantum  Gravity”,  ICTP,  IC/IR/96/36, Trieste, pp.1­15; IL Nuovo Cimento A, Vol. 110A(5), pp. 459 48 14  Nguyen  Suan Han (2000), “Straight­Line Paths Approximation for the High­ Energy   Elastic   and   Inelastic   Scattering   in   Quantum   Gravity”,  European   Physical Journal C, vol.16(3), pp. 547­553.  15 Nguyen   Suan   Han   and   Nguyen   Nhu   Xuan   (2002),  “Planckian   Scattering  Beyond Eikonal Approximation in the Functional Approach”, NXB Giáo dục,  pp.393­401 16  Salpeter E.E and Bethe H.A (1951), “A Relativistic Equation for Bound­State  Problems”, Phys. Rev. 84, pp. 1231 17  Tavkelidze A.N (1964), Các bài giảng tại lớp học vật lý lý thuyết Quốc tế   mùa Đông tại Viện nghiên cứu liên hợp hạt nhân Dubna, NXB JINR­Liên Xô,  pp.66­78 18  Verlinde E. and  Verlinde H. (1992), “Scattering at Planckian energies”, Nucl.  Phys. B.371, pp. 246 19 M. Abramowitz, I. Stegun, “Hanbook of Mathematical Functions’’,  National   Buerau of Standards (1970, Eq. (11.4.16)) 49 PHỤ LỤC PHỤ  LỤC A: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ  BẰNG PHƯƠNG PHÁP  LẶP Dạng của phương trình chuẩn thế  cho tán xạ  của các hạt khơng có spin có  khối lượng như nhau: V� ( p − q)2 ; E � T ( q, k ; E ) � � dq T ( p, k , E ) = V � ( p − k) ; E� � �+ q + m2 − E − i0 m2 + q                 (A.1) Phương trình (A.1) có thể giải bằng phương pháp lặp T (∆ ; E ) = V (∆ ; E ) + δ T (∆ ; E ) + ; ∆ = −t                                                (A.2) Phần bổ chính cho gần đúng theo Born có dạng: δ T (∆ ; E ) = V� ( p − q)2 ; E � V� ( p − k )2 ; E � � � � � 2 2 q + m − E − i0                                   (A.3) m +q dq = (isg ) e at A(∆ ; E ), trong đó: A(∆ ; E ) = 2 e −2 a ( q −λ ) p+k ; λ=                                     (A.4) 2 2 m2 + q2 q + m − E − i0 dq Lấy tích phân theo góc, ta có: π A(∆ ; E ) = aλ − trong đó  λ = e −2 a ( q −λ )                                                (A.5) 2 m2 + q q + m − E − i0 qdq p+q , hay trên mặt năng lượng                                          λ = p + t = p cos θ                                          (A.6) Viết lại (A.5) dưới dạng:                                          A = R + iJ                                                                (A.7) 50 trong đó:                                           J = π2 aλ p + m {e −2 a ( p − λ ) − e −2 a ( p +λ ) }                  (A.8) R được xác định bằng giá trị  chính của tích phân (A.5). Trong giới hạn năng lượng   cao, xung lượng truyền nhỏ                                                                                J= π2 �1 � + O � �  as �s � (A.9a)                                          R = π2 as �1 � + O � �                                        (A.9b) 2π as �s � Như vậy, hai số hạng đầu của chuỗi (A.2) cho π g0 T (∆ ; E ) = isg 0e − isg (1 + iα )e at +                                                (A.10) a at trong đó:                                      α = 2π as Điều kiện ứng dụng phép gần đúng Born                                          π g0 a < 1; a t < ln                                    (A.11) a π g0             51 52 PHỤ LỤC B: TÍNH ĐĨNG GĨP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ  TÁN  XẠ VỚI GĨC TÁN XẠ NHỎ Tính đóng góp của phép lặp (n+1) vào biên độ tán xạ (A.1)  T ( p, k ; E )  ở vùng  năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ: dq1 dqn T ( n +1) ( p, k ; E ) = (isg ) n +1 � ��ε1 ε n n −1 � � � � exp � −a � ( p − q1 ) + (ql − ql +1 ) + (qn − k ) � �                          (B.1) l =1 � � � n l =1 (ql2 − p − i 0) trong đó:   ε1 = ql + m , l = 1, 2, , n                                                                        Làm phép thế  ∆l = ql − λl , l = 1, 2, , n ; ở đây:  λl = qlexteme = ( n + − l ) p + lk ; l = 1, 2, , n                                                     (B.2) n +1 là các giá trị xung lượng của dạng toàn phương ở lũy thừa hàm mũ trong (B.1). Đưa  vào các véctơ  trực giao   l = p+k p−k ; r= ; (lr = 0)   và viết lại biểu thức (B.2)  2 dưới dạng: λl = l + trong đó  rl = n − 2l + r = l + rl ; l = 1, 2, , n ;                                                        (B.3) n +1 n − 2l + r  Khi đó chỉ  số  của lũy thừa có thể  chia ra đóng góp   điểm   n +1 cực trị và phần còn lại: n −1 ( p − ql ) + ( qn − k ) + �(ql − ql +1 ) − l =1 = n −1 ( p − k) + ∆ l2 + ∆ 2n + (∆ l − ∆ l +1 ) n +1 l =1 ( p − k )2 �n n −1 � +2� ∆ l − �∆ l ∆ l +1 � � n +1 l =1 �l =1 �    53            Trong các biến số mới (B.1) có dạng: at d ∆ d ∆ n   T ( n +1) ( p, k ; E ) = (isg ) n +1 e n +1 � � � ε1 ε n � �n n −1 � � exp � −2a � ∆ l − �∆ l ∆ l +1 � � � l =1 � � �l =1 n l =1 � (∆ l + λl ) − p − i � � � Chia phép lấy tích phân theo  ∆  thành các thành phần dọc và ngang đối với véctơ l ∆ = (∆ ⊥ ; ∆ ) , (∆ ⊥ l ) = at ( n) d ∆ (1) ⊥ d ∆ ⊥ T ( n +1) ( p, k ; E ) = (isg ) n +1 e n +1 � �� ε1 ε n � �n ( l )2 n −1 ( l ) ( l +1) � � exp �−2a � ∆ ⊥ − �∆ ⊥ ∆ ⊥ � �I n � l =1 � � �l =1 d ∆1 d ∆ n In = � �� ε1 ε n                                    (B.4) � �n n −1 � � exp � −2a � ∆ l − �∆ l ∆ l +1 � � � l =1 � � �l =1 n l =1 � ∆ l2 + 2∆ l l + (∆ (⊥l ) + r )2 − i � � � Biểu diễn mỗi một chỉ số mẫu dưới dạng tích phân chia thành hai cực điểm: � � � � 1 = � − � (r + ∆ k⊥ )2 (r + ∆ k⊥ ) 2l � − i ∆ k + 2l + − i0 � �∆ k + � 2l 2l � � i [ ] k Ở vùng năng lượng lớn và góc tán xạ nhỏ ta có thể chứng minh được: In = ( 2l ) n � � �n n −1 � � � � exp � −2a � ∆ − ∆ ∆ � � �l � l l +1 � � � l =1 �l =1 � � d ∆1 d ∆ n − Jn � �� �� ( l )2 n � � ∆⊥ � � ∆ + − i � � l � � 2l l =1 � � � trong đó đã sử  dụng giả  thiết  ε k ≅ l (k = 1, 2,3, n)  và  J n  có sự  đóng góp của các  cực   điểm   khơng     Biểu   diễn       thừa   số   Gauss     dạng   phổ e − a∆ (l ) e v ( z )dz  Lưu ý định nghĩa của hàm   θ    giới hạn   ∆ ⊥ 2l i ∆z = − nhận được: 54 , dễ  dàng                                      I n (2l ) �(2π i ) � − Jn � � �(n + 1)! Như vậy, đóng góp chủ yếu vào biên độ tán xạ trong vùng này là: T ( n +1) ( p, k ; E ) (isg ) n +1 e at n +1 n �2π i � (n ) d ∆ (1) ⊥ d ∆ ⊥ � 2� � �� �2l �(n + 1)! � �n (l )2 n −1 ( l ) ( l +1) � � exp � −2a � ∆ ⊥ − �∆ ⊥ ∆ ⊥ � � � l =1 � � �l =1 Sử dụng công thức đã biết: � n � π 2 d ∆ d ∆ exp − a C ∆ ∆                   �                    (B.5) � �= n αβ α β �� a DetC αβ � và lưu ý trong trường hợp của chúng ta  DetC = n +  kết quả cuối cùng nhận được: at T ( n +1) ( p, k ; E ) n n n at e n +1 �2π i �� π� e n+1 � 4π g � (isg ) n +1 = isg − 0� � �� � � (n + 1)! �2l ��a �( n + 1) a ( n + 1)( n + 1)! � � 55 PHỤ LỤC C: TÍNH ĐĨNG GĨP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ  TÁN  XẠ VỚI GĨC TÁN XẠ BẤT KỲ Dẫn những tính tốn  T ( n +1) ( p, k ; E )   ở vùng (3.1), sau đó ta sử dụng một số ký  hiệu trong phụ lục B. Xét biểu thức: T ( n +1) ( p , k ; E ) = (isg ) n +1 e at n +1 � �n n −1 � � exp � −2a � ∆ l − �∆ l +1 � � � l =1 �               (C.1) � �l =1 d ∆1 d 3∆ n � �� ε1 ε n n l =1 � ( ∆ l + λl ) − p − i � � � Tại vùng năng lượng cao, khơng giả thiết góc tán xạ nhỏ ε l = (∆ l + λl )2 + m λl = p − 4sin θ (n + − l )l ; (n + 1)                                    (C.2) l = 1, 2, , n ; trong đó  λl  ­ được xác định trong (B.2), và  θ  ­ góc tán xạ trong hệ khối tâm λl2 − p = −4 p sin θ l (n + − l ) (n + 1) n �(∆l2 + 2∆l λl + λl2 − p − i0) l =1 (−4 p sin θ 2) = (n + 1) n 2 n n �(λ l l =1 − p − i 0)                                             (C.3) t n (n !) l (n + − l ) = (n + 1) n l =1 n Chú ý (C.2), (C.3) và từ (C.1) ta thu được: (isg ) n +1 ( n + 1) n T ( n +1) ( p, k ; E ) = p nt n (n !) at e n +1 θ (n + − l )l − 4sin 2 (n + 1)                      (C.4) � �n n −1 � � d ∆ d ∆ exp −2a � ∆ l − �∆ l ∆ l +1 � � � � �� n � l =1 � � �l =1 56 Lấy tích phân trong (C.4) được tiến hành theo xung lượng 3 ­ chiều  ∆  Sử dụng sự  tương tự 3 ­ chiều (B.5), khi đó biểu thức cho  T ( n +1) : at n �isg 0π π � (n + 1) n e n +1 ( n +1) T ( p, k ; E ) = isg � � pta a � �( n !) ( n + 1)3/2 � � n − 4sin l =1 θ (n + − l )l               (C.5) (n + 1) Xét hàm số: f n (γ ) = f n (γ ) = l � θ � 1− γ ,          trong đó     γ = 2sin e −iθ /   � � n +1� l =1 � n n − 4sin l =1 θ (n + − l )l (n + 1)2 và tính  ln f n (γ )  để cho  n ? ln f n (λ ) = n � � 1− γ � � � l� ln � 1− γ 1− γ � dl = −n � 1+ ln(1 − γ ) � � ln � l =1 � γ � � (n + 1) � � n � n Như vậy: n − 4sin l =1 θ (n + − l )l (n + 1)2 e − nϕ (0)          n ?   trong đó: ϕ (0) = + Re 1− γ θ ln(1 − γ ) = −   γ 2tg θ Thay biểu thức này vào (C.5). Ta thu được đóng góp vào  T ( n +1)  ở vùng (3.1) n at �isg 0ϕ (0)π π �(n + 1) 2( n +1) e n +1                              (C.6) T ( n +1) ( p, k ; E ) = isg � � � pta a � [(n+1)!]2 (n + 1)3/ � � 57 PHỤ LỤC D: MỘT SỐ TÍCH PHÂN SỬ DỤNG TRONG CHƯƠNG 3 Tính tích phân            I1 = d x⊥ ei∆⊥ x⊥ K ( µ | x⊥ |) = ( 2π ) d | x⊥ || x⊥ |J ( 0) ( ∆ ⊥ | x⊥ |) K ( µ | x⊥ | ) 2π 2π = = ∆⊥ + µ µ −t                                              (D.1) Tính tích phân �1 eiqx⊥ � I2 = � d x⊥ ei∆⊥ x⊥ K 02 ( µ | x⊥ |) = � d x⊥ei∆⊥ x⊥ � � d 2q �K ( µ | x⊥ |) q + µ2 � �2π 1 i q +∆ x d q d x e ( ⊥ ) ⊥ K ( µ | x⊥ |) 2 � ⊥ � 2π q +µ 1 = , ( 2π ) d q 2 q + µ ( q + ∆⊥ ) + µ ( 2π ) =        (D.2) trong biến đổi cơng thức (D.2) ta đã sử dụng kết quả khi tính tích phân  I1 1 dx Sử dụng tích phân Feynman:    ab = , ta có: � ax + b − x � ( ) � � I = �� dx d q {( q + µ2 ) x + � ( q + ∆⊥ ) + µ � ( 1− x ) � �            = �� dx d q = dx = (−iπ ) � dx    } � q + 2q∆ ⊥ ( − x ) + ∆ ⊥2 ( − x ) + µ � � �          i (−π )Γ(1) � ∆ 2⊥ ( − x ) + µ − ∆ 2⊥ ( − x ) � Γ(2) � � 1 = (−iπ ) � dx 2 � � µ + ∆⊥ x ( − x ) � µ − tx ( − x ) � � � � � 4µ 1− 1− t = (−iπ ) ln 4µ 4µ t 1− 1+ 1− t t                                  (D.3)  (−iπ ) F1 (t ) , 58 4µ t ln trong đó:  F1 (t ) = 4µ 4µ t 1− 1+ 1− t t 1− 1− Tính tích phân  I = d x⊥ ei∆⊥ x⊥ K 03 ( µ | x⊥ |) �1 �1 eiq1x⊥ � eiq2 x⊥ � 2 =� d x⊥ e d q1 d q2 � � � � � �K ( µ | x⊥ |) q1 + µ � q2 + µ � �2π �2π    (D.4)      d q1d q2 � � = d x exp i q + q + ∆ x K ( µ | x |) ( ) ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ � � (2π )2 � (q12 + µ )(q22 + µ ) �            = i∆ ⊥ x⊥ 1 d 2q d 2q � 1� 2 2 (2π ) (q1 + µ )(q2 + µ ) � (q1 + q2 + ∆ ⊥ )2 + µ � � � Áp dụng kết quả tích phân như đã tính biểu thức  I2,  ta có: 1 d q1 = (−iπ )� dx     � 2 2 � (q1 + µ ) � (q1 + q2 + ∆ ⊥ ) + µ � µ + ( q2 + ∆ ⊥ ) x(1 − x) � � � � � Như vậy: 1 I3 = (−iπ ) �� dx d q2 2 2 (2π ) (q2 + µ ) � µ + ( q2 + ∆ ⊥ ) x(1 − x) � � � 1 dx Lại sử dụng tích phân Feynman:    ab =  thì: ax + b ( − x ) � � � � i I3 = − 4π         i =− 4π 1 dx dy d q2 � �� 2 x(1 − x) 0 � (q2 + ∆ ⊥ ) + B � � �y + (q2 + µ )(1 − y ) { } dx dy d q2 � �� x(1 − x) 0 ( q2 + 2q2∆ ⊥ y + C ) 1    (D.5) 1 i dx 1 dx =− (−iπ ) � dy =− � dy , � � 2 4π x(1 − x) � C − ( ∆ ⊥ y ) � x(1 − x) � C − ( ∆⊥ y ) � � � � � 2 � µ � µ ; C = (∆ 2⊥ + B ) y + µ (1 − y ) = � − t �y + µ (1 − y ) ở đây   B = x(1 − x) �x(1 − x) � Vì thế:                1 dx I3 = − � dy � x(1 − x) � µ �         2        �x(1 − x) − t �y + µ (1 − y ) + ty � � 59 1 1 1 1 1 dy dx = − �� dy dx              = − �� 2 0 (1 − y )(ty − µ ) x (1 − x) + µ 0 Dx − Dx + µ              =−         I = − 1 dy dx dy dx =− �� � � µ 40 D0 D ( x − x1 )( x − x2 ) x −x+ D 1 �1 dy � 1 dy (1 − x1 ) x2 dx − = − ln               (D.6) � � � � � D �x − x1 x − x2 �x1 − x2 D x1 − x2 (1 − x2 ) x1 với D = −(1 − y )(ty − µ ) = ty + ( µ − t ) y + µ ;    x1     x2    hai   nghiệm     phương  trình:       x2 − x + µ2 = D Chú ý rằng:  x1 + x2 = � − x1 = x2 ;1 − x2 = x1  và  x1 − x2 = − 4µ D 1− 2µ                     (D.7)  D ta có: 4µ − − (1 − x1 ) x2 x2 D ln = ln 22 = ln (1 − x2 ) x1 x1 4µ 1+ 1− D � 2µ � 1− � 1− � D � µ2 � ln = ln D − µ2 � 2µ � 1+ � 1− � � D � Thay kết quả này vào (D.6), ta thu được kết quả cuối cùng: I3 = −                  1 µ2 dy ln D − 2µ D − µ2 1 1 µ2 =− dy ln (ty + µ )( y − 1) y (ty + µ − t ) µ2 ln trong đó:   F2 (t ) = dy (ty + µ )( y − 1) y (ty + µ − t ) 60 − F2 (t )                   (D.8)  61 ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ VĂN TIẾN BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG  LƯỢNG CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ  LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chun ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý tốn... Mục đích của Bản luận văn Thạc sĩ này là  tìm bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ  eikonal của hạt dựa trên cơ  sở phương trình chuẩn thế    vùng năng   lượng cao và xung lượng truyền nhỏ trong lý thuyết trường lượng tử. ... thiệu cách thu nhận phương trình chuẩn thế cho biên độ tán xạ và cho hàm sóng.  Trong mục 2.2 xuất phát từ phương trình chuẩn thế  trong biểu diễn tọa độ,  thực  r hiện sự  khai triển hàm sóng và phương trình này theo xung lượng của hạt 

Ngày đăng: 19/01/2020, 00:01

w