Đang tải... (xem toàn văn)
Mục đích của luận văn nhằm tìm bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ eikonal của hạt dựa trên cơ sở phương trình chuẩn thế ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ trong lý thuyết trường lượng tử.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ VĂN TIẾN BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ VĂN TIẾN BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chun ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý tốn Mã ngành: 60440103 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. Tốnlý Nguyễn Xn Hãn Hà Nội 2013 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 5 Hình 1: Minh hoạ rõ ràng những biến đổi phức tạp sử dụng trong các tính tốn trên. 13 Chú ý rằng , và là các cực toạ độ cầu và là cực toạ độ trụ. 13 CHƯƠNG II 21 BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIỂU DIỄN EIKONAL 21 CHƯƠNG III 36 PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ VÀ PHÉP GẦN ĐÚNG BORN 36 3.1 Phép gần đúng Born 36 3.2 Vùng năng lượng cao 37 3.3 Thế Yukawa. 40 Trong mục này ta xem xét sự trao đổi các hạt với spin khác nhau, để xem xét sự phụ thuộc của dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ và số hạng bổ chính bậc nhất của nó với với năng lượng của hạt. 40 a)Trao đổi hạt vô hướng 40 b) Trao đổi hạt vectơ 43 c) Trao đổi hạt graviton trong hấp dẫn lượng tử 44 KẾT LUẬN 46 PHỤ LỤC A: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẶP 50 PHỤ LỤC B: TÍNH ĐĨNG GĨP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ VỚI GĨC TÁN XẠ NHỎ 53 PHỤ LỤC C: TÍNH ĐĨNG GĨP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ VỚI GĨC TÁN XẠ BẤT KỲ 56 PHỤ LỤC D: MỘT SỐ TÍCH PHÂN SỬ DỤNG TRONG CHƯƠNG 3 58 DANH MỤC HÌNH VẼ Trang MỞ ĐẦU 5 Hình 1: Minh hoạ rõ ràng những biến đổi phức tạp sử dụng trong các tính tốn trên. 13 Chú ý rằng , và là các cực toạ độ cầu và là cực toạ độ trụ. 13 CHƯƠNG II 21 BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIỂU DIỄN EIKONAL 21 CHƯƠNG III 36 PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ VÀ PHÉP GẦN ĐÚNG BORN 36 3.1 Phép gần đúng Born 36 3.2 Vùng năng lượng cao 37 3.3 Thế Yukawa. 40 Trong mục này ta xem xét sự trao đổi các hạt với spin khác nhau, để xem xét sự phụ thuộc của dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ và số hạng bổ chính bậc nhất của nó với với năng lượng của hạt. 40 a)Trao đổi hạt vô hướng 40 b) Trao đổi hạt vectơ 43 c) Trao đổi hạt graviton trong hấp dẫn lượng tử 44 KẾT LUẬN 46 PHỤ LỤC A: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẶP 50 PHỤ LỤC B: TÍNH ĐĨNG GĨP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ VỚI GĨC TÁN XẠ NHỎ 53 PHỤ LỤC C: TÍNH ĐĨNG GĨP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ VỚI GĨC TÁN XẠ BẤT KỲ 56 PHỤ LỤC D: MỘT SỐ TÍCH PHÂN SỬ DỤNG TRONG CHƯƠNG 3 58 MỞ ĐẦU Phép gần đúng eikonal được sử dụng để tìm biên độ tán xạ của các hạt trong cơ học lượng tử phi tương đối tính đã được sử dụng từ lâu và biểu diễn eikonal thu được cho biên độ tán xạ được dùng rất rộng rãi để phân tích số liệu thực nghiệm của vật lý năng lượng cao [37]. Sử dụng phép gần đúng này trên cơ sở phương trình chuẩn thế Logunov Tavkhelidze trong lý thuyết trường lượng tử, lần đầu tiên người ta đã thu được biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hạt vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ (góc tán xạ nhỏ). Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ này, cũng có thể thu được khi người ta tiến hành lấy tổng các giản đồ Feynman, hay phương pháp tích phân phiếm hàm. Trong lý thuyết trường lượng tử, phép gần đúng eikonal thực tế tương ứng với việc tuyến tính hóa hàm truyền của các hạt tán xạ theo xung lượng của hạt trao đổi [12,13] như sau: −1 � � � 2� � �p + �ki �− m � � i � � � � � −1 � 2� �2 p �ki + �ki � i � i � (0.1) trong đó p là xung lượng của hạt tán xạ, ki – là xung lượng của các hạt được trao đổi và trong cơng thức (0.1) ta bỏ qua số hạng ki k j = Phép gần đúng này được sử dụng để nghiên cứu các quá trình tán xạ năng lượng cao và được gọi là phép gần đúng quỹ đạo thẳng hay gần đúng eikonal. Bức tranh vật lý đây như sau: Các hạt năng lượng cao bị tán xạ bằng cách trao đổi liên tiếp và độc lập các lượng tử ảo, đồng thời khơng có sự liên kết tương thích giữa các q trình trao đổi riêng biệt với nhau, nên số hạng tương quan ki k j khơng có mặt hàm truyền (0.1) Các số hạng bổ chính cho biên độ tán xạ eikonal cho biên độ tán xạ hạt ở vùng năng lượng cao, gần đây được giới khoa học quan tâm nghiên cứu, khi tương tác giữa các hạt là tương tác hấp dẫn và các số hạng bổ chính liên quan đến lực hấp dẫn mạnh ở gần lỗ đen, lý thuyết siêu dây hấp dẫn cùng một loạt những hiệu ứng hấp dẫn lượng tử /1214/. Việc xác định những số hạng bổ chính cho biểu diễn tán xạ eikonal trong lý thuyết hấp dẫn là cần thiết , song nó là vấn đề còn bỏ ngỏ, khi năng lượng của hạt tăng, các số hạng bổ chính tiếp theo được tính theo lý thuyết nhiễu loạn, lại tăng nhanh hơn số hạng trước nó. Mục đích của Bản luận văn Thạc sĩ này là tìm bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ eikonal của hạt dựa trên cơ sở phương trình chuẩn thế vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ trong lý thuyết trường lượng tử. Nội dung Bản luận văn bao gồm: phần mở đầu, ba chương, phần kết luận, tài liệu trích dẫn và các phụ lục Chương I. Biểu diễn eikonal của biên độ tán xạ. Trong mục 1.1 xuất phát từ phương trình dừng Schrodinger của hạt ở trường ngồi theo định nghĩa ta tìm cơng thức eikonal cho biên độ tán xạ ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ. Biểu diễn eikonal của biên độ tán xạ cùng với các điều kiện cần thiết cho phép sử dụng gần đúng này được trình bầy ở mục 2 Chương II. Biểu diễn eikonal và bổ chính bậc nhất Trong mục 2.1 giới thiệu cách thu nhận phương trình chuẩn thế cho biên độ tán xạ và cho hàm sóng. Trong mục 2.2 xuất phát từ phương trình chuẩn thế trong biểu diễn tọa độ, thực r hiện sự khai triển hàm sóng và phương trình này theo xung lượng của hạt p = p Sử dụng phép khai triển này ta thu được biểu diễn eikonal và số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ Chương III. Bài tốn trên dựa trên phương trình chuẩn thế được giải quyết bằng phương pháp lặp theo gần đúng của Born (lý thuyết nhiễu loạn theo thế tương tác). Ở mục 3.1 chuẩn thế dưới dạng thế Gauss được sử dụng để minh họa phương pháp tính biên độ tán xạ và bổ chính bậc nhất của nó trong những bậc gần đúng Born thấp nhất. Biểu thức tổng qt cho n+1 lần gần đúng Born và khai triển biên độ tán xạ theo lũy thừa của 1/p, tương tự như phân tích ở chương II, kết quả số hạng chính và số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ cũng tìm được ở mục 3.2. Trường thế Yukawa tương ứng với sự trao đổi giữa các hạt các lượng tử với spin khác nhau (trao đổ hạt vơ hướng, hạt véctơ và graviton trong tương tác hấp dẫn ), đã được sử dụng để minh hoa sự phụ thuộc vào năng lượng của các số hạng bổ chính cho biên độ tán xạ eikonal Cuối cùng là kết luận chung, các tài liệu tham khảo và phụ lục liên quan tới luận văn Trong luận văn sẽ sử dụng hệ đơn vị ngun tử h = c = và metric Pauli: xµ = x µ = ( x1 = x, x2 = y , x3 = z , x4 = ict = it ) = x µ rr rr ab = aµ bµ = ab − a0b0 = ab + a4b4 = ak bk + a4b4 ( k = 1, 2,3) δ µν �1 � =� �0 � �0 0 0� � 0� 0� � 0 1� Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 1 đến 4 CHƯƠNG I BIỂU DIỄN EIKONAL CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ Bài tốn tán xạ trong cơ học lượng tử được nghiên cứu trên cơ sở của phương trình Schrodinger. Giả sử có hạt tán xạ ở trường ngồi, thì dáng điệu của hàm sóng của hạt bị tán xạ có thể tìm dưới dạng ψ tán xa = ψ toi + f (θ , ϕ ) rr ikr e r Trong đó f (θ , ϕ ) là biên độ tán xạ cần tìm. Nếu năng lượng của hạt là lớn, góc tán xạ nhỏ, thì ta có thể tìm được biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hay người ta còn gọi là biểu diễn Glaubert [10], người đầu tiên thu được cơng thức này trong cơ học lượng tử 1.1 Thành lập cơng thức của bài tốn tán xạ Q trình tán xạ học lượng tử mô tả phương trình Schrodinger: r r ur �2 + k2 � ψ (r ) = U (r )ψ (r ) � � � (1.1.1) r r 2mV(r ) 2mE đây chúng ta đã sử dụng các ký hiệu k = U (r ) = Nghiệm của h h2 phương trình vi phân (1.1.1) có thể được viết lại dưới dạng phương trình tích phân: r r r ur r r ψ(r ) = φ(r ) + d3r ' G0 ( r , r ')U (r ')ψ(r ') (1.1.2) r trong đó hàm φ(r ) thoả mãn phương trình cho hàm thế tự do: r 2 � � � + k φ ( r � � )=0 (1.1.3) Phương trình (1.1.3) phương trình vi phân cấp nên nghiệm có dạng: rr rr r ur r φ(r ) = A0ei k.r + B0e−i k.r và hàm Green G0 (r , r ') là nghiệm của phương trình: r ur r ur 2 (3) � � � + k G ( r , r ') = δ ( r − r ') (1.1.4) � �0 Chúng ta tìm G0 ( r , r ' ) theo cơng thức: rr rr r r r r r G0 ( r , r / ) = G ( r − r / )δ ( 3) ( r − r / ) d ( 3) r / Chuyển phổ Fourier ta có: rr G0 ( r , r ' ) = e ( 2π ) ( r r r is r − r / ) g sr d sr ( ) (1.1.4a) Vậy : ( � + k ) G (rr, rr ) = 2 / (� +k )e ( 2π ) 2 ( r r r is r − r / ) r r g ( s ) d ( 3) s r r r r r r Nhưng : �2 eis ( r −r ) = − s 2eis ( r − r ) / / ( 3) r r/ Sử dụng: δ ( r − r ) = ( 2π ) e ( r r r is r − r / ) d sr Thay vào phương trình (1.1.4a) có: ( −s � ( 2π ) r g( s) = + k )e ( r r r is r − r / ( 2π ) (k ) g sr d ( 3) sr = ( ) ( ( 2π ) r r r is r − r / e � − s2 ) Đặt vào (1.1.4a) ta có: rr G0 ( r , r / ) = ( 2π ) e ( r r r is r − r / ) d 3s k −s r Chuyển sang tọa độ cầu ( s,θ , φ ) dọc theo trục r / / Vì vậy s ( r − r ) = s r − r cosθ r r r π e r r is r − r / cosθ π r r is r − r / cosθ sin θ dθ = − ( r r r r sin s r − r / =2 r r s r −r/ ) e r r is r − r / Vì vậy: 10 ) d 3sr độ tán xạ năng lượng cao trong lý trường lượng tử kể cả hấp dẫn lượng tử , các kết quả thu được trong Luận văn bao gồm: 1/ Giải phương trình chuẩn thế Logunov Tavkhelidze cho bài tốn tán xạ ta thu được số hạng chínhbiểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ và số hạng bổ chính bậc nhất của nó ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ 2/ Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận cho biên độ tán xạ ở năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ qua Yukawa,tương ứng với trao đổi hạt vơ hướng ,thì số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ của nó nhỏ hơn số hạng chính –biểu diễn tán xạ eikonal,xấp xỉ bằng : s 3/ Khi tương tác giữa hai nucleon qua việc trao đổi các hạt với spin khác nhau, meson vơ hướng (spin bằng khơng), meson vector (spin bằng 1) và graviton (spin bằng 2) trong hấp dẫn lượng tử hạt tenxơ ta thu được các cơng thức, trùng với kết quả được tính tốn bằng một phương pháp khác, phương pháp tích phân phiếm hàm với sự cải biến của lý thuyết nhiễu loạn. 4/ Tùy thuộc vào spin khác nhau tiết diện tán xạ tồn phần σ tot giảm, khơng đổi và tăng theo sự tăng của năng lượng. Các kết quả lý thuyết nhận được dựa trên cơ sở phương trình chuẩn thế và Gauss có thể sử dụng để phân tích các số liệu từ thực nghiệm về tán xạ các hadron. Phương pháp nghiên cứu trong luận án Thạc sỹ này có thể được sử dụng để nghiên cứu tiếp theo cho các bài tốn tán xạ phức tạp hơn trong trường hấp dẫn lượng tử. Các vấn đề này dành cho việc nghiên cứu sắp tới 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Xuân Hãn (2002), Các giảng tích phân quỹ đạo lý thuyết lượng tử, Giáo trình ĐHQG Hà Nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, ĐHQG Hà Nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, ĐHQG Hà Nội Phạm Thúc Tuyền (2007,2010), Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội Phạm Thúc Tuyền (2007,2011), Lý thuyết hạt cơ bản, NXB ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh Efremov A.A (1971) , Short Distance Scala Invariance and High Energy Process in Field Theory , TMF 6, 55 Filipov A.T (1964), Các bài giảng tại lớp học vật lý lý thuyết Quốc tế mùa Đông tại Viện nghiên cứu liên hợp hạt nhân Dubna, NXB JINRLiên Xô, pp.80107 Garsevanishvili V.R, Matveev V.A., Slepchenko L.A, Tavkhelidze A.N (1969), Coral Gables Conference on Fundamental Interactions at High Energy, Gordon and Breach Science Publishers, p. 74. Garsevanishvili V.R, Matveev V.A, Slepchenko L.A and Tavkhelidze (1969), “Relativistic quasipotential model of particle scattering at high energies” Phys.Lett. 29B, No. 3, 191. 10 Garsevanishvili V.R, Matveev V.A, Slepchenko L.A and Tavkhelidze (1969), ICTP – Preprint IC/69/87, Trieste. 11 Glauber R.J (1959), Lectures in Theorical Physics, New York, 315p 12 Logunov A.A and Tavkhelidze A.N (1963), “Quasipotential approach in quantum field theory”, Nuovo Cimento 29 (2), pp. 380 13 Nguyen Suan Han and Eap Ponna (1997), “StraightLine Path Aprroximation for the Studying Planckian Energy Scattering in Quantum Gravity”, ICTP, IC/IR/96/36, Trieste, pp.115; IL Nuovo Cimento A, Vol. 110A(5), pp. 459 48 14 Nguyen Suan Han (2000), “StraightLine Paths Approximation for the High Energy Elastic and Inelastic Scattering in Quantum Gravity”, European Physical Journal C, vol.16(3), pp. 547553. 15 Nguyen Suan Han and Nguyen Nhu Xuan (2002), “Planckian Scattering Beyond Eikonal Approximation in the Functional Approach”, NXB Giáo dục, pp.393401 16 Salpeter E.E and Bethe H.A (1951), “A Relativistic Equation for BoundState Problems”, Phys. Rev. 84, pp. 1231 17 Tavkelidze A.N (1964), Các bài giảng tại lớp học vật lý lý thuyết Quốc tế mùa Đông tại Viện nghiên cứu liên hợp hạt nhân Dubna, NXB JINRLiên Xô, pp.6678 18 Verlinde E. and Verlinde H. (1992), “Scattering at Planckian energies”, Nucl. Phys. B.371, pp. 246 19 M. Abramowitz, I. Stegun, “Hanbook of Mathematical Functions’’, National Buerau of Standards (1970, Eq. (11.4.16)) 49 PHỤ LỤC PHỤ LỤC A: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẶP Dạng của phương trình chuẩn thế cho tán xạ của các hạt khơng có spin có khối lượng như nhau: V� ( p − q)2 ; E � T ( q, k ; E ) � � dq T ( p, k , E ) = V � ( p − k) ; E� � �+ q + m2 − E − i0 m2 + q (A.1) Phương trình (A.1) có thể giải bằng phương pháp lặp T (∆ ; E ) = V (∆ ; E ) + δ T (∆ ; E ) + ; ∆ = −t (A.2) Phần bổ chính cho gần đúng theo Born có dạng: δ T (∆ ; E ) = V� ( p − q)2 ; E � V� ( p − k )2 ; E � � � � � 2 2 q + m − E − i0 (A.3) m +q dq = (isg ) e at A(∆ ; E ), trong đó: A(∆ ; E ) = 2 e −2 a ( q −λ ) p+k ; λ= (A.4) 2 2 m2 + q2 q + m − E − i0 dq Lấy tích phân theo góc, ta có: π A(∆ ; E ) = aλ − trong đó λ = e −2 a ( q −λ ) (A.5) 2 m2 + q q + m − E − i0 qdq p+q , hay trên mặt năng lượng λ = p + t = p cos θ (A.6) Viết lại (A.5) dưới dạng: A = R + iJ (A.7) 50 trong đó: J = π2 aλ p + m {e −2 a ( p − λ ) − e −2 a ( p +λ ) } (A.8) R được xác định bằng giá trị chính của tích phân (A.5). Trong giới hạn năng lượng cao, xung lượng truyền nhỏ J= π2 �1 � + O � � as �s � (A.9a) R = π2 as �1 � + O � � (A.9b) 2π as �s � Như vậy, hai số hạng đầu của chuỗi (A.2) cho π g0 T (∆ ; E ) = isg 0e − isg (1 + iα )e at + (A.10) a at trong đó: α = 2π as Điều kiện ứng dụng phép gần đúng Born π g0 a < 1; a t < ln (A.11) a π g0 51 52 PHỤ LỤC B: TÍNH ĐĨNG GĨP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ VỚI GĨC TÁN XẠ NHỎ Tính đóng góp của phép lặp (n+1) vào biên độ tán xạ (A.1) T ( p, k ; E ) ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ: dq1 dqn T ( n +1) ( p, k ; E ) = (isg ) n +1 � ��ε1 ε n n −1 � � � � exp � −a � ( p − q1 ) + (ql − ql +1 ) + (qn − k ) � � (B.1) l =1 � � � n l =1 (ql2 − p − i 0) trong đó: ε1 = ql + m , l = 1, 2, , n Làm phép thế ∆l = ql − λl , l = 1, 2, , n ; ở đây: λl = qlexteme = ( n + − l ) p + lk ; l = 1, 2, , n (B.2) n +1 là các giá trị xung lượng của dạng toàn phương ở lũy thừa hàm mũ trong (B.1). Đưa vào các véctơ trực giao l = p+k p−k ; r= ; (lr = 0) và viết lại biểu thức (B.2) 2 dưới dạng: λl = l + trong đó rl = n − 2l + r = l + rl ; l = 1, 2, , n ; (B.3) n +1 n − 2l + r Khi đó chỉ số của lũy thừa có thể chia ra đóng góp điểm n +1 cực trị và phần còn lại: n −1 ( p − ql ) + ( qn − k ) + �(ql − ql +1 ) − l =1 = n −1 ( p − k) + ∆ l2 + ∆ 2n + (∆ l − ∆ l +1 ) n +1 l =1 ( p − k )2 �n n −1 � +2� ∆ l − �∆ l ∆ l +1 � � n +1 l =1 �l =1 � 53 Trong các biến số mới (B.1) có dạng: at d ∆ d ∆ n T ( n +1) ( p, k ; E ) = (isg ) n +1 e n +1 � � � ε1 ε n � �n n −1 � � exp � −2a � ∆ l − �∆ l ∆ l +1 � � � l =1 � � �l =1 n l =1 � (∆ l + λl ) − p − i � � � Chia phép lấy tích phân theo ∆ thành các thành phần dọc và ngang đối với véctơ l ∆ = (∆ ⊥ ; ∆ ) , (∆ ⊥ l ) = at ( n) d ∆ (1) ⊥ d ∆ ⊥ T ( n +1) ( p, k ; E ) = (isg ) n +1 e n +1 � �� ε1 ε n � �n ( l )2 n −1 ( l ) ( l +1) � � exp �−2a � ∆ ⊥ − �∆ ⊥ ∆ ⊥ � �I n � l =1 � � �l =1 d ∆1 d ∆ n In = � �� ε1 ε n (B.4) � �n n −1 � � exp � −2a � ∆ l − �∆ l ∆ l +1 � � � l =1 � � �l =1 n l =1 � ∆ l2 + 2∆ l l + (∆ (⊥l ) + r )2 − i � � � Biểu diễn mỗi một chỉ số mẫu dưới dạng tích phân chia thành hai cực điểm: � � � � 1 = � − � (r + ∆ k⊥ )2 (r + ∆ k⊥ ) 2l � − i ∆ k + 2l + − i0 � �∆ k + � 2l 2l � � i [ ] k Ở vùng năng lượng lớn và góc tán xạ nhỏ ta có thể chứng minh được: In = ( 2l ) n � � �n n −1 � � � � exp � −2a � ∆ − ∆ ∆ � � �l � l l +1 � � � l =1 �l =1 � � d ∆1 d ∆ n − Jn � �� �� ( l )2 n � � ∆⊥ � � ∆ + − i � � l � � 2l l =1 � � � trong đó đã sử dụng giả thiết ε k ≅ l (k = 1, 2,3, n) và J n có sự đóng góp của các cực điểm khơng Biểu diễn thừa số Gauss dạng phổ e − a∆ (l ) e v ( z )dz Lưu ý định nghĩa của hàm θ giới hạn ∆ ⊥ 2l i ∆z = − nhận được: 54 , dễ dàng I n (2l ) �(2π i ) � − Jn � � �(n + 1)! Như vậy, đóng góp chủ yếu vào biên độ tán xạ trong vùng này là: T ( n +1) ( p, k ; E ) (isg ) n +1 e at n +1 n �2π i � (n ) d ∆ (1) ⊥ d ∆ ⊥ � 2� � �� �2l �(n + 1)! � �n (l )2 n −1 ( l ) ( l +1) � � exp � −2a � ∆ ⊥ − �∆ ⊥ ∆ ⊥ � � � l =1 � � �l =1 Sử dụng công thức đã biết: � n � π 2 d ∆ d ∆ exp − a C ∆ ∆ � (B.5) � �= n αβ α β �� a DetC αβ � và lưu ý trong trường hợp của chúng ta DetC = n + kết quả cuối cùng nhận được: at T ( n +1) ( p, k ; E ) n n n at e n +1 �2π i �� π� e n+1 � 4π g � (isg ) n +1 = isg − 0� � �� � � (n + 1)! �2l ��a �( n + 1) a ( n + 1)( n + 1)! � � 55 PHỤ LỤC C: TÍNH ĐĨNG GĨP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ VỚI GĨC TÁN XẠ BẤT KỲ Dẫn những tính tốn T ( n +1) ( p, k ; E ) ở vùng (3.1), sau đó ta sử dụng một số ký hiệu trong phụ lục B. Xét biểu thức: T ( n +1) ( p , k ; E ) = (isg ) n +1 e at n +1 � �n n −1 � � exp � −2a � ∆ l − �∆ l +1 � � � l =1 � (C.1) � �l =1 d ∆1 d 3∆ n � �� ε1 ε n n l =1 � ( ∆ l + λl ) − p − i � � � Tại vùng năng lượng cao, khơng giả thiết góc tán xạ nhỏ ε l = (∆ l + λl )2 + m λl = p − 4sin θ (n + − l )l ; (n + 1) (C.2) l = 1, 2, , n ; trong đó λl được xác định trong (B.2), và θ góc tán xạ trong hệ khối tâm λl2 − p = −4 p sin θ l (n + − l ) (n + 1) n �(∆l2 + 2∆l λl + λl2 − p − i0) l =1 (−4 p sin θ 2) = (n + 1) n 2 n n �(λ l l =1 − p − i 0) (C.3) t n (n !) l (n + − l ) = (n + 1) n l =1 n Chú ý (C.2), (C.3) và từ (C.1) ta thu được: (isg ) n +1 ( n + 1) n T ( n +1) ( p, k ; E ) = p nt n (n !) at e n +1 θ (n + − l )l − 4sin 2 (n + 1) (C.4) � �n n −1 � � d ∆ d ∆ exp −2a � ∆ l − �∆ l ∆ l +1 � � � � �� n � l =1 � � �l =1 56 Lấy tích phân trong (C.4) được tiến hành theo xung lượng 3 chiều ∆ Sử dụng sự tương tự 3 chiều (B.5), khi đó biểu thức cho T ( n +1) : at n �isg 0π π � (n + 1) n e n +1 ( n +1) T ( p, k ; E ) = isg � � pta a � �( n !) ( n + 1)3/2 � � n − 4sin l =1 θ (n + − l )l (C.5) (n + 1) Xét hàm số: f n (γ ) = f n (γ ) = l � θ � 1− γ , trong đó γ = 2sin e −iθ / � � n +1� l =1 � n n − 4sin l =1 θ (n + − l )l (n + 1)2 và tính ln f n (γ ) để cho n ? ln f n (λ ) = n � � 1− γ � � � l� ln � 1− γ 1− γ � dl = −n � 1+ ln(1 − γ ) � � ln � l =1 � γ � � (n + 1) � � n � n Như vậy: n − 4sin l =1 θ (n + − l )l (n + 1)2 e − nϕ (0) n ? trong đó: ϕ (0) = + Re 1− γ θ ln(1 − γ ) = − γ 2tg θ Thay biểu thức này vào (C.5). Ta thu được đóng góp vào T ( n +1) ở vùng (3.1) n at �isg 0ϕ (0)π π �(n + 1) 2( n +1) e n +1 (C.6) T ( n +1) ( p, k ; E ) = isg � � � pta a � [(n+1)!]2 (n + 1)3/ � � 57 PHỤ LỤC D: MỘT SỐ TÍCH PHÂN SỬ DỤNG TRONG CHƯƠNG 3 Tính tích phân I1 = d x⊥ ei∆⊥ x⊥ K ( µ | x⊥ |) = ( 2π ) d | x⊥ || x⊥ |J ( 0) ( ∆ ⊥ | x⊥ |) K ( µ | x⊥ | ) 2π 2π = = ∆⊥ + µ µ −t (D.1) Tính tích phân �1 eiqx⊥ � I2 = � d x⊥ ei∆⊥ x⊥ K 02 ( µ | x⊥ |) = � d x⊥ei∆⊥ x⊥ � � d 2q �K ( µ | x⊥ |) q + µ2 � �2π 1 i q +∆ x d q d x e ( ⊥ ) ⊥ K ( µ | x⊥ |) 2 � ⊥ � 2π q +µ 1 = , ( 2π ) d q 2 q + µ ( q + ∆⊥ ) + µ ( 2π ) = (D.2) trong biến đổi cơng thức (D.2) ta đã sử dụng kết quả khi tính tích phân I1 1 dx Sử dụng tích phân Feynman: ab = , ta có: � ax + b − x � ( ) � � I = �� dx d q {( q + µ2 ) x + � ( q + ∆⊥ ) + µ � ( 1− x ) � � = �� dx d q = dx = (−iπ ) � dx } � q + 2q∆ ⊥ ( − x ) + ∆ ⊥2 ( − x ) + µ � � � i (−π )Γ(1) � ∆ 2⊥ ( − x ) + µ − ∆ 2⊥ ( − x ) � Γ(2) � � 1 = (−iπ ) � dx 2 � � µ + ∆⊥ x ( − x ) � µ − tx ( − x ) � � � � � 4µ 1− 1− t = (−iπ ) ln 4µ 4µ t 1− 1+ 1− t t (D.3) (−iπ ) F1 (t ) , 58 4µ t ln trong đó: F1 (t ) = 4µ 4µ t 1− 1+ 1− t t 1− 1− Tính tích phân I = d x⊥ ei∆⊥ x⊥ K 03 ( µ | x⊥ |) �1 �1 eiq1x⊥ � eiq2 x⊥ � 2 =� d x⊥ e d q1 d q2 � � � � � �K ( µ | x⊥ |) q1 + µ � q2 + µ � �2π �2π (D.4) d q1d q2 � � = d x exp i q + q + ∆ x K ( µ | x |) ( ) ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ � � (2π )2 � (q12 + µ )(q22 + µ ) � = i∆ ⊥ x⊥ 1 d 2q d 2q � 1� 2 2 (2π ) (q1 + µ )(q2 + µ ) � (q1 + q2 + ∆ ⊥ )2 + µ � � � Áp dụng kết quả tích phân như đã tính biểu thức I2, ta có: 1 d q1 = (−iπ )� dx � 2 2 � (q1 + µ ) � (q1 + q2 + ∆ ⊥ ) + µ � µ + ( q2 + ∆ ⊥ ) x(1 − x) � � � � � Như vậy: 1 I3 = (−iπ ) �� dx d q2 2 2 (2π ) (q2 + µ ) � µ + ( q2 + ∆ ⊥ ) x(1 − x) � � � 1 dx Lại sử dụng tích phân Feynman: ab = thì: ax + b ( − x ) � � � � i I3 = − 4π i =− 4π 1 dx dy d q2 � �� 2 x(1 − x) 0 � (q2 + ∆ ⊥ ) + B � � �y + (q2 + µ )(1 − y ) { } dx dy d q2 � �� x(1 − x) 0 ( q2 + 2q2∆ ⊥ y + C ) 1 (D.5) 1 i dx 1 dx =− (−iπ ) � dy =− � dy , � � 2 4π x(1 − x) � C − ( ∆ ⊥ y ) � x(1 − x) � C − ( ∆⊥ y ) � � � � � 2 � µ � µ ; C = (∆ 2⊥ + B ) y + µ (1 − y ) = � − t �y + µ (1 − y ) ở đây B = x(1 − x) �x(1 − x) � Vì thế: 1 dx I3 = − � dy � x(1 − x) � µ � 2 �x(1 − x) − t �y + µ (1 − y ) + ty � � 59 1 1 1 1 1 dy dx = − �� dy dx = − �� 2 0 (1 − y )(ty − µ ) x (1 − x) + µ 0 Dx − Dx + µ =− I = − 1 dy dx dy dx =− �� � � µ 40 D0 D ( x − x1 )( x − x2 ) x −x+ D 1 �1 dy � 1 dy (1 − x1 ) x2 dx − = − ln (D.6) � � � � � D �x − x1 x − x2 �x1 − x2 D x1 − x2 (1 − x2 ) x1 với D = −(1 − y )(ty − µ ) = ty + ( µ − t ) y + µ ; x1 x2 hai nghiệm phương trình: x2 − x + µ2 = D Chú ý rằng: x1 + x2 = � − x1 = x2 ;1 − x2 = x1 và x1 − x2 = − 4µ D 1− 2µ (D.7) D ta có: 4µ − − (1 − x1 ) x2 x2 D ln = ln 22 = ln (1 − x2 ) x1 x1 4µ 1+ 1− D � 2µ � 1− � 1− � D � µ2 � ln = ln D − µ2 � 2µ � 1+ � 1− � � D � Thay kết quả này vào (D.6), ta thu được kết quả cuối cùng: I3 = − 1 µ2 dy ln D − 2µ D − µ2 1 1 µ2 =− dy ln (ty + µ )( y − 1) y (ty + µ − t ) µ2 ln trong đó: F2 (t ) = dy (ty + µ )( y − 1) y (ty + µ − t ) 60 − F2 (t ) (D.8) 61 ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ VĂN TIẾN BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chun ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý tốn... Mục đích của Bản luận văn Thạc sĩ này là tìm bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ eikonal của hạt dựa trên cơ sở phương trình chuẩn thế vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ trong lý thuyết trường lượng tử. ... thiệu cách thu nhận phương trình chuẩn thế cho biên độ tán xạ và cho hàm sóng. Trong mục 2.2 xuất phát từ phương trình chuẩn thế trong biểu diễn tọa độ, thực r hiện sự khai triển hàm sóng và phương trình này theo xung lượng của hạt