Ước lượng gradient cho phương trình p laplacian

I HC QUăC GIA H TRìNG NáI I HC KHOA H¯C TÜ NHI N Lả Vôn i ìC LìẹNG GRADIENT CHO PH×ÌNG TR NH p-LAPLACIAN LU NV NTH CS KHOAH¯C H Ni - Nôm 2019 I HC QUăC GIA H TRìNG NáI I HC KHOA HC Tĩ NHI N L¶ Vôn i ìC LìẹNG GRADIENT CHO PHìèNG TR NH p-LAPLACIAN Chuyản ng nh: ToĂn giÊi tch M s: 8460101.02 LU NV NTH CS KHOAH¯C NG×˝I HײNG D N KHOA H¯C: H Nºi - N«m 2019 PGS TS Nguy„n Th⁄c Dơng Mửc lửc Lới cÊm ỡn Danh mửc kỵ hiằu Lới nâi ƒu Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 H» frame àa ph÷ìng, to n cưc 1.2 a t⁄p Riemann v 1.2.1 1.2.2 1.2.3 a t⁄p Riemann ı 1.2.4 1.2.5 1.3 Tch phƠn trản a Riemann ìợc lữổng gradient cho phữỡng trnh p-Laplacian 2.1 ìợc lữổng tch phƠn gradient p 2.2 ìợc lữổng chu'n L 2.3 ìợc lữổng gradient cho nghiằm 2.4 CĂc h» qu£ v øng döng K‚t lu“n T i li»u tham kh£o i L˝IC MÌN Trữợc tiản, tổi xin b y tọ lặng bit ỡn n Thy, PGS TS Nguyn Thc Dụng vã sỹ hữợng dÔn tn tnh v sỹ truyãn cÊm hứng khoa hồc cụng nhữ nhng mi quan tƠm c biằt cuºc sŁng Ti‚p theo, tỉi xin gßi líi c£m ìn ‚n c¡c c¡n bº Khoa To¡n-Cì-Tin håc, °c bi»t l c¡c thƒy thuºc mỉn Gi£i t‰ch, v• nhœng b i gi£ng s¥u s›c, lỉi cuŁn v sü gióp ï ch¥n th nh Tỉi cơng c£m ìn c¡c th nh viản lợp Cao hồc khõa 2017-2019 vã nhng sỹ giúp ï, trao Œi, s· chia suŁt qu¡ tr…nh håc t“p t⁄i tr÷íng HKHTNHQGHN CuŁi cịng, tỉi c£m ìn gia nh v bn b  luổn ng viản tổi hồc v cuc sng ii Danh mửc kỵ hiằu R n A:=B TpM TM TM Tp M (M; g) hX; Y i jXj r To¡n tß gradient ui Tåa º thø i cıa v†c tì ru To¡n tß Laplace div To¡n tß divergence Hess To¡n tß Hessian T‰ch tensì Ricf Tensor Barky- mery Ricci tr¶n B0(R) Qu£ cƒu tr›c àa t¥m 0, b¡n k‰nh R k : kLp Ph†p lĐy chu'n trản khổng gian L C k a t⁄p M p H m trìn c§p k C0 H m trìn, câ gi¡ compact rX Y [X; Y ] Liản thổng Riemann ca trữớng vectỡ X, Y ToĂn tò mõc Lie du ToĂn tò vi phƠn ca h m thüc u MÖC LÖC V Th” t‰ch qu£ cƒu B0(R) @=@i Tr÷íng vectì tåa º @i Tr÷íng vectì tåa º K‚t thóc chøng minh Líi nâi u Ni dung lun vôn ch yu ã cp n cĂc kt quÊ i vợi nghiằm dữỡng ca phữỡng trnh d⁄ng p-Laplacian Lichnerowicz tr¶n khỉng gian o metric trìn Nh›c l⁄i r‹ng khỉng gian o metric trìn l mºt bº ba (M; g; d ), â (M; g) f mºt a t⁄p Riemann n chi•u, ı v d := e dv vỵi f l mºt h m trìn gi¡ trà thüc cŁ ành tr¶n M, â dv l dng th tch Riemann Trản M, ta xt toĂn tò vi phƠn f , gồi l f-Laplacian, ữổc nh nghắa bði l f : := : hr f; r:i : Trản khổng gian o metric trỡn cõ mt sỹ tữỡng tỹ rĐt tỹ nhiản ca cong Ricci, gồi l º cong m-Bakry- mery Ricci, ÷ỉc x¡c ành nh÷ sau m Ric := Ric + Hessf °c bi»t, m = cong n y ữổc giợi thiằu [2] bi Bakry- mery nghiản cứu vã sỹ khuch tĂn l thuyt vã dặng Ricci Trữớng hổp sò dửng m = n ch¿ ÷ỉc x¡c ành f l h m hng ToĂn tò p-Laplace cõ trồng trản a t⁄p M t¡c ºng tr¶n c¡c h m u Wloc 1;p (M) ữổc nh nghắa theo nghắa phƠn phi nh÷ sau f f p ru); p;f u = e div(e jruj ngh¾a l Z f p;f u’e dv = rjuj 1;p mð v ’ W0 Z p2 f ru; r’ e dv vỵi måi M ( ) bĐt k ìợc lữổng gradient l mt cổng cử quan trồng giÊi tch hnh hồc v ang ữổc sò dửng rng rÂi nhiãu lắnh vỹc khĂc nhau, t cĂc nh l Liouville, cĂc bĐt flng thức Harnack vã nghiằm dữỡng tợi cĂc dng phữỡng trnh phi tuyn trản a t⁄p Riemann Kotschwar v Ni [1] ¢ thi‚t l“p mt ữợc lữổng gradient a phữỡng cho cĂc h m p-harmonic vợi giÊ thit cong b chn dữợi Gn Lới nõi u Ơy, Wang v Zhang [12]  nghiản cứu vã h m p-hamonic v dÔn n ữợc lữổng gradient a phữỡng v bĐt flng thức Harnack vợi c¡c h‹ng sŁ m chóng ch¿ phư thuºc v o cn dữợi ca cong Ricci, chiãu a tp, bĂn knh hnh cu i vợi phữỡng trnh p-Laplacian trản khổng gian o trỡn, mt v i kt quÊ vã ữợc l÷ỉng gradient v t‰nh Liouville ÷ỉc tr…nh b y ð [7]v [8] °c bi»t, hai t¡c gi£ L Zhao v D Yang [6]  ữa ữợc gradient cho mt dng riảng ca phữỡng trnh Lichnerowicz xuĐt phĂt t ph÷ìng tr…nh Halminton r ng buºc, â l ph÷ìng tr…nh p -Laplacian Lichnerowicz p;f u + cu = tr¶n khỉng gian o metric trìn,vỵi c > 0, p > 1, p u > B¶n c⁄nh â, tĂc giÊ L Zhao cụng chứng minh cĂc ữợc lữổng gradient cho mºt sŁ d⁄ng kh¡c, xem ð [5] Lu“n vôn s thit lp ữợc lữổng gradient a phữỡng cho nghi»m d÷ìng cıa ph÷ìng tr…nh p-Laplacian phi tuy‚n tŒng qu¡t p;f u + F (u) = 0; vỵi h m F khÊ vi liản tửc, thọa mÂn vợi u > th… F (u) v â, d„ th§y r‹ng b i to¡n m hai t¡c gi£ L Zhao v mt trữớng hổp riảng ca b i toĂn (*) Do õ, lun vôn  m rng kt quÊ ca b i b¡o [6] Ngo i ra, chóng tỉi cơng s‡ ÷a mºt sŁ h» qu£ F l c¡c h m quan trồng thữớng gp Vt lỵ ToĂn, chflng h⁄n ph÷ìng tr…nh Allen-Cahn, ph÷ìng tr…nh Fisher Ngo i ra, viằc trnh b y ữợc lữổng gradient cho phữỡng tr…nh p;f u + F (u) = cơng ÷a chøng minh ch‰nh x¡c hìn, v ‰nh ch‰nh ÷ỉc cĂc lỉi k thut tữỡng i nghiảm trồng b i b¡o [6] H Nºi, ng y 26 th¡ng 11 nôm 2019 Lả Vôn i Chữỡng Kin thức chu'n bà Ch÷ìng n y tr…nh b y mºt sŁ khĂi niằm liản quan n hằ frame a phữỡng, a Riemann, cĂc toĂn tò v nh nghắa tch phƠn trản a Riemann, t õ l m tiãn ã xƠy dỹng chữỡng 1.1 Hằ frame Cho M l a phữỡng, to n cửc a trỡn, cõ biản hoc khổng cõ biản nh nghắa 1.1.1 (xem [9] tr.178) Cho M l a t⁄p trìn v T M l phƠn thợ tip xúc ca nõ Mt trữớng vectỡ trản M l mºt ¡nh x⁄ li¶n tưc X: M ! T M, thọa mÂn vợi mỉi p M th X(p) = Xp, Xp TpM N‚u X l mºt ¡nh x⁄ trỉn th… tr÷íng v†c tì ti‚p xóc X ữổc gồi l mt trữớng vc tỡ trỡn Lữu ỵ, xuyản sut lun vôn n y, nu khổng nõi g thảm th ta luổn giÊ thit rng trữớng vc tỡ trản a trỡn M l trỡn nh nghắa 1.1.2 (xem [9] tr.178) Mºt h» frame àa ph÷ìng x¡c ành tr¶n t“p mð U M l bº n th nh phƒn tr÷íng vectì (E1; :::; En) cho (E1jp; :::; Enjp) lp nản cỡ s ca TpM vợi mỉi p U, U M th… nâ ÷ỉc gåi l h» frame to n cöc °c bi»t, n‚u mØi Ei l h m trìn th… gåi l h» frame trìn 1.2 a Riemann 1.2.1 Trữớng tenxỡ nh nghắa 1.2.1 (xem [9] tr.255) Cho : E ! M l mºt phƠn thợ vctỡ Mt nhĂt ct a phữỡng ca E l mºt ¡nh x⁄ li¶n tưc : M ! E xĂc nh trản m U M thọa m Ân = IdU Khi U M th… gåi l nh¡t ct to n cửc Sau Ơy, ta s nh nghắa cĂc phƠn thợ tenxỡ trản M Chữỡng Kin thøc chu'n bà ành ngh¾a 1.2.2 (xem [9] tr.316) Cho M l a t⁄p trìn, câ bi¶n ho°c khỉng câ biản PhƠn thợ k-tenxỡ hiằp bin trản a M ÷ỉc ành ngh¾a bði a k T T M := p2M vỵi k T (Tp M) = Tp M Tp M õ Tp M l khổng gian i ngÔu cıa khỉng gian ti‚p xóc TpM T÷ìng tü, ta ành nghắa phƠn thợ k-tenxỡ phÊn bin k T T M := v phƠn thợ tenxỡ hỉn hổp dng (k; ) bði T (k;‘) T M := p2M k k (k;‘) Chú ỵ rng, cĂc phƠn thợ vctỡ T (T M), T (T M) v T (T M) câ c§u tróc tỹ nhiản l cĂc phƠn thợ vctỡ trỡn trản M T Ơy ta cõ nh nghắa vã cĂc trữớng tenxỡ ành ngh¾a 1.2.3 (xem [9] tr.317) Mºt nh¡t c›t cıa mt phƠn thợ tenxỡ ữổc gồi l mt trữớng tenxỡ (hi»p bi‚n, ph£n bi‚n, hØn hỉp) tr¶n a t⁄p M Khổng gian cĂc nhĂt ct trỡn ca phƠn thợ k-tenxỡ hi»p bi‚n, k-tenxì ph£n bi‚n, k k (k;‘) (k; ‘)-tenxì hØn hỉp ÷ỉc k‰ hi»u lƒn l÷ỉt l T (T M)), T (T M)) v T (T M)), chóng l cĂc khổng gian vctỡ vổ hn chiãu trản R Nõi riảng, khổng gian k tĐt cÊ cĂc trữớng k-tenxỡ hiằp bi‚n trìn ÷ỉc k‰ hi»u ng›n gån l T (M) Trong bĐt k hằ tồa trỡn (xi), cĂc trữớng k-tenxì hi»p bi‚n câ th” bi”u di„n A=A c¡c h m Ai1:::ik 1.2.2 i1:::ik dx ::: i1 dx ; ik ÷æc gåi l c¡c h m th nh phƒn cıa A h» tåa º ¢ chån a t⁄p Riemann nh nghắa 1.2.4 (xem [10] tr.24) Mt metric Riemann trản M l mºt tr÷íng 2-tenxì hi»p bi‚n Łi xøng, x¡c nh dữỡng ti mồi im trản M Nõi cĂch kh¡c, mºt metric Riemann g tr¶n M l mºt ¡nh x⁄ p 7!gp L (TpM; R) cho c¡c tnh chĐt sau thọa mÂn Chữỡng ìợc lữổng gradient cho phữỡng trnh p-Laplacian iãu n y tữỡng Z ÷ìng vỵi jr(w B0(R) p+b 2 )j + b d1 Z bd2 Z p+b 2 jr j + Kb d3 B0(R) w Z p+b : B0(R) p(m 1)w Nhữ vy, B ã 2.0.1 ữổc chứng minh 2.2 ìợc lữổng chu'n L p chøng minh BŒ ” 2.0.2, ta cƒn bŒ • v• bĐt flng thức Sobolev a phữỡng sau: B ã 2.2.1 Cho (M; g; d ) l mºt khæng gian o metric trỡn, , n chiãu GiÊ sò m Ric f (m 1)K vợi K l hng s khổng Ơm, m > n Khi õ, tỗn ti mt hng s C, ch¿ phư thuºc m, cho vỵi måi h…nh cƒu B0(R) M, måi h m C0 (B0(R)) th… Z B0(R) j jm ð ¥y V l th” t‰ch h…nh cƒu tr›c àa B0(R) Phƒn chøng minh cıa bŒ • n y câ th” xem ð [3] BƠy giớ ta s chứng minh B ã 2.0.2 k w kL(b0+p 1) Chøng minh Tł BŒ • 2.2.1 v BŒ • 2.0.1, ta câ Z B0(R)(w eC(1+ e c2b0 V m (bd2R Z B0(R) w p+b jr j 2 Z b2d1R2 B0(R) Z wp+b + B0(R) wp+b 25 2) Chữỡng ìợc lữổng gradient cho phữỡng trnh p-Laplacian p Ơy b0 = c1(m; p)(1 + KR) vỵi c1 ı lỵn ” l m cho b0 thọa mÂn (2.14) Tip tửc iãu chnh lợn ca c1 cõ ữợc lữổng 2 Kb d3R p(m 1) + 2 a5b 0b : Theo â m Z p+b (w B0(R) cb bd2R e V 2 cb + Kb d3R e cb bd2R e 2 V V Bữợc tip theo ta s giÂn ÷ỵc sŁ h⁄ng thø hai cıa v‚ tr¡i (2.15) b‹ng c¡ch l m trºi lƒn l÷ỉt hai sŁ h⁄ng ð v‚ ph£i theo nâ ƒu ti¶n, ta s‡ ¡nh gi¡ sŁ h⁄ng C 1 thø nh§t ð v‚ ph£i Chån C0 ( ) thäa m¢n 1, 1 B0( R), jr 1j R v °t = p+b Khi â r = (p + b) p+b r 1; n¶n 2 2(p+b 1) jr j =(p + b) jr 1j C R C = R2 Th‚ n¶n d R2 Z B0(R) wp+b jr j Ta sò dửng bĐt flng thức Holder Z 2(p+b w p+b 1) p+b dZ a b2 Z B0(R) wp+b p+b : Z B0(R) t B0(R) Ơy ta nhn d B0(R) ữổc Z B0(R) d2R 26 ; Chữỡng ìợc lữổng gradient cho phữỡng trnh p-Laplacian Nhc li rng bĐt flng thức Young khflng ành Ap AB + Bq p A p + B q; q vỵi A; B 0; p; q > 0, a b2 Z " B0(R) = ( R2) R Z p+b B0(R) w bd 2 R Z bd1 B0(R) w p+b + bd Do â cb bd2R e V 2 p+b Ti‚p theo ¡nh gi¡ sŁ h⁄ng thø hai ð v‚ ph£i (2.15) Chó r‹ng a5b 0b w < 2 p+b 2 w > a9b 0R Do â, ” ¡nh gi¡ sŁ h⁄ng n y, ta chia h…nh cƒu b d1R w B0(R) th nh miãn B1 v B2 vợi 2 w jB2 a9b20R 2: w jB1 > a9b 0R ; V… h m dữợi dĐu tch phƠn l khổng Ơm v kt hổp vợi iãu kiằn nản ta cõ cĂc b§t flng thøc sau: a b2b2ec2b0 V Z m 50 wp+b B0(R) = a b2b2ec2b0 V 50 m Z Z wp+b 2+ wp+b 2 c b 2b d1R e V 1 2 cb b d 1R e 2 Vm 2b 2 cb d1R e 27 Vm Chữỡng ìợc lữổng gradient cho phữỡng trnh p-Laplacian Chồn b = b0, õ vợi c1 lợn tỗn ti a10, a11, a12 cho R2 a8 v T Ơy nhn ữổc cb bd2R e ỗng thới 2 c2b0 a5 b0 b e V m Z B0(R) p+b w B¥y gií ta th‚ (2.16), (2.17) v o (2.15), ta thu m (w ZB (R) )m CuŁi cịng, l§y côn bc p + b0 ữổc V k w kL(b0+p 1) Theo õ B ã 2.0.2 ữổc chứng minh ho n to n 2.3 ìợc lữổng gradient cho nghiằm phữỡng trnh p-Laplacian BƠy giớ ta s chứng minh ành l‰ 2.0.1 Chøng minh Nh›c l⁄i r‹ng, chứng minh B ã 2.0.2, ta  chứng minh ữổc (2.15) Do 28 Chữỡng ìợc lữổng gradient cho ph÷ìng tr…nh p-Laplacian sŁ h⁄ng thø hai ð v‚ tr¡i khổng Ơm nản ta cõ th bọ s hng n y cõ bĐt flng thức mợi nhữ sau Z B0(R)(w )m Ti‚p theo, ta sß dưng ph†p l°p Moser °t b l+1 =b l l C0 (B0(R)) v chån cho Vỵi c¡ch chån nhữ trản, ta cõ l Z l+1 wb l+1 T ữợc lữổng jr lj suy k Chú ỵ r‹ng wk Lbl+1 ( l+1) a ec2b0 V 14 m P = m2 n¶n ta câ ¡nh gi¡ 4b1 2 l b 0b + b16 bl = l (1 + 16 )(b0b) l 12 (17 )bl :(b0b)bl : Do â k w kL1(B0( b l M°t kh¡c tł BŒ • 2.0.2 b‹ng c¡ch °t b1 = (b0 + p B¥y gií th‚ k‚t qu£ n y v o trản v chồn b0 lợn, ta thu ữổc 29 Chữỡng ìợc lữổng gradient cho phữỡng tr…nh p-Laplacian p Th‚ b0 = c1(1 + KR), ta câ k w kL1(B0( CuŁi còng, thay w = 2.4 C¡c h» qu£ v øng dưng Ta ¢ chøng minh ành l‰ 2.0.1 vỵi F mºt h m kh¡ tŒng qu¡t Khi F (u) = cu , vỵi c > 0, p 1, ta thu ÷ỉc ph÷ìng tr…nh [6] Do vy, nh lỵ 2.0.1 l mt sỹ tng quĂt hâa c¡c k‚t qu£ cıa c¡c t¡c gi£ L Zhao v D Y Yang Ta cơng câ th” câ ÷ỉc c¡c k‚t qu£ t÷ìng tü b‹ng c¡ch chån F l c¡c h m quen thuºc nh÷ F (u) = u(1 hay tng quĂt hỡn l Lichnerowicz tng quĂt lỵ thuyt tữỡng i) Sau Ơy ta s chứng minh cĂc hằ quÊ Â nõi u chữỡng n y Chứng minh H» qu£ 2.0.1 Vỵi F (u) = u(1 u ) th… F (u) = câ Nh÷ vy, giÊ thit nh l 2.0.1 ữổc thọa mÂn nản ta câ (2.2) Khi K = 0, th‚ v o (2.2), ta câ jruuj C Rp;m : B¥y gií cho R ! +1, v… u > n¶n ta câ ru = 0, suy u l h m h‹ng trản M iãu n y dÔn n p;f u = 0, th‚ v o ph÷ìng tr…nh, ta ÷ỉc u(1 u ) = Sò dửng iãu kiằn < u 1, suy u = tr¶n M Chøng minh H» qu£ 2.0.2 L“p lu“n t÷ìng tü nh÷ phƒn chøng minh H» qu£ 2.0.1 Chøng minh H» qu£ 2.0.3 V… p n‹m giœa + a v + b nản cÊ hai trữớng hổp a < b, < u v a > b, u > 1, ta •u câ F 0(u) p u F (u) Nhữ vy giÊ thit nh l 2.0.1 ữổc thọa mÂn n¶n ta câ (2.2) CuŁi cịng thay K = v lĐy giợi hn R ! +1 suy u l h‹ng sŁ a b Do â p;f u = 0, k†o theo u u = V… u > v a 6= b n¶n u = tr¶n M 30 KTLUN Lun vôn  nghiản cứu v thit lp ữợc lữổng gradient cho phữỡng trnh pLaplacian phi tuy‚n tŒng qu¡t thæng qua vi»c tr…nh b y chi tit tng bữợc chứng minh nh l 2.0.1 vã ữợc l÷ỉng gradient cıa ph÷ìng tr…nh p;f u + F (u) = tr¶n khỉng gian o metric trìn thỉng qua cĂc B ã 2.0.1, 2.0.2 Cui cũng, dỹa trản kt quÊ nh l 2.0.1, lun vôn  ữa mt sŁ h» qu£ v øng dưng cho c¡c ph÷ìng tr…nh quan trồng Vt lỵ ToĂn, bao gỗm phữỡng trnh Allen-Cahn, ph÷ìng tr…nh Fisher, ph÷ìng tr…nh ki”u Lichnerowicz tŒng qu¡t 31 T i li»u tham kh£o [1] B Kotschwar and L Ni (2009), Local gradient estimates of p-harmonic functions, 1/H-flow, and an entropy formula, Ann Sci Ec Norm Sup†r (4) 42, no 1, 36 [2] D Bakry and M Emery (1985), Diffusions hypercontractives (French), S†minaire de probabilit†s, XIX, 1983/84, Lecture Notes in Math., vol 1123, Springer, Berlin, pp 177 206 [3] J Y Wu, Li Yau (2010), Type estimates for a nonlinear parabolic equation on complete manifolds, J Math Anal Appl 369 (1) 400 407 [4] K Wolfgang (2006), Differential geometry (2nd Edition), American Math- ematical Society [5] L Zhao (2014), Gradient estimates for a simple parabolic Lichnerowicz equa-tion , Osaka J Math 51, no 1, 245 256 [6] L Zhao v D Yang (2018), Gradient estimates for the p-Laplacian Lich- nerowicz equation on smooth metric measure spaces, American Mathemat-ical Society 146, 5451-5461 [7] L F Wang and Y Zhu (2012), A sharp gradient estimate for the weighted p-Laplacian, Appl Math J Chinese Univ Ser B 27, no 4, 462 474 [8] L F Wang, Z Y Zhang, L Zhao, and Y J Zhou (2017), A Liouville theorem for weighted p-Laplace operator on smooth metric measure spaces, Math Methods Appl Sci 40, no 4, 992 1002 [9] M L John (2013), Introduction to Smooth Manifolds (2nd Edition), Springer, NewYork [10] M L John (1997), Riemannian manifolds: An introduction to curvature, Springer, NewYork 32 T ILI UTHAMKH O [11] X.-D Li (2005), Liouville theorems for symmetric diffusion operators on complete Riemannian manifolds, J Math Pures Appl 84, 1295 1361 [12] X Wang and L Zhang (2011), Local gradient estimate for p-harmonic func- tions on Riemannian manifolds, Comm Anal Geom 19, no 4, 759 771 [13] Y Canzani (2013), Analysis on manifolds via the Laplacian, xem website cıa t¡c gi£: http://canzani.web.unc.edu/documents/ [14] Y Z Wang and H Q Li (2016), Lower bound estimates for the first eigen-value of the weighted p-Laplacian on smooth metric measure spaces, Differ-ential Geom Appl 45, 23 42 33 ... (Q) nh÷ sau: Lf (Q) =Lf (w w pwp w pwp m Hỡn na, vợi iãu kiằn Ricf Lf (Q) + p + p = wp 3jrwj2 + p( p 1) m p2 p 2w p3 w jrwj + m p p 1w (1 + hw p ) hrv; rwi p( p + BĐt phữỡng trnh trản xÊy bĐt n o... v p; f v = (p 1) °t w = jrvj , theo p; f v = e f p v e F (ep f div(e p w K‚t h? ?p hai ph÷ìng tr…nh tr¶n ta w2 fv + 2 p =w2 p p ) jr vj : nh nghắa ca toĂn tò p- Laplace câ trång th… p p fv + rv) 2... p; f u = ru; r w Do â, ta câ ÷ỉc ru; r p; f u p Lf (jruj ) =w p + (p p 2)w p 2 jHessuj + Ricf (ru; ru) + w 1u p 1u w p p;f u: i•u n y dÔn tợi (2.3) Hỡn na, th nh phn bc nhĐt ca L ữổc cho bi p p