Bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ năng lượng cao và phương trình chuẩn thế001

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN CAO THỊ VÂN ANH BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội -2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN CAO THỊ VÂN ANH BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã ngành: 604401 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Toán-lý Nguyễn Xuân Hãn Hà Nội -2011 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Error! Bookmark not defined CHƯƠNG BIỂU DIỄN EIKONAL CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬError! Bookmark not defined 1.1 Thành lập công thức toán tán xạ Error! Bookmark not defined 1.2 Biểu diễn Eikonal biên độ tán xạ học lượng tử Error! Bookmark not defined CHƯƠNG KỂ THÊM BỔ CHÍNH CHO GẦN ĐÚNG EIKONAL TRONG PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ 2.1Phương trình chuẩn 2.2Phương trình chuẩn biểu diễn tọa độ CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ VÀ PHÉP GẦN ĐÚNG BORN Error! Bookmark not 3.1 3.2 3.3 Phụ lục A :Giải phương trình chuẩn Phụ lục B: Tính đóng góp phép lặp ( N+1) cho biên độ tán xạ với góc tán xạ nhỏ Error! Bookmark not defined Phụ lục C : Tính đóng góp phép lặp ( N+1) cho biên độ tán xạ với góc tán xạ Error! Bookmark not defined Phụ lục D: Một số tích phân sử dụng chương Error! Bookmark not defined Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh MỞ ĐẦU Phép gần eikonal sử dụng để tìm biên độ tán xạ hạt học lượng tử phi tương đối tính sử dụng từ lâu biểu diễn eikonal thu cho biên độ tán xạ dùng rộng rãi để phân tích số liệu thực nghiệm vật lý lượng cao [3-6] Sử dụng phép gần sở phương trình chuẩn LogunovTavkhelidze lý thuyết trường lượng tử, lần người ta thu biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hạt vùng lượng cao xung lượng truyền nhỏ (góc tán xạ nhỏ) Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ nay, thu người ta tiến hành lấy tổng giản đồ Feynman, hay phương pháp tích phân phiếm hàm Trong lý thuyết trường lượng tử, phép gần eikonal thực tế tương ứng với việc tuyến tính hóa hàm truyền hạt tán xạ theo xung lượng hạt trao đổi [11,12] sau:    p + ∑ ki   i  p xung lượng hạt tán xạ, ki – xung lượng hạt trao đổi công thức (0.1) ta bỏ qua số hạng ki k j = Phép gần sử dụng để nghiên cứu trình tán xạ lượng cao gọi phép gần quỹ đạo thẳng hay gần eikonal Bức tranh vật lý sau: Các hạt lượng cao bị tán xạ cách trao đổi liên tiếp độc lập lượng tử ảo, đồng thời khơng có liên kết tương thích q trình trao đổi riêng biệt với nhau, nên số hạng tương quan k i k j khơng có mặt hàm truyền (0.1) Các số hạng bổ cho biên độ tán xạ eikonal cho biên độ tán xạ hạt vùng lượng cao, gần giới khoa học quan tâm nghiên cứu, tương tác hạt tương tác hấp dẫn số hạng bổ liên quan đến lực hấp dẫn mạnh gần lỗ đen, lý thuyết siêu dây hấp dẫn loạt hiệu ứng hấp dẫn lượng tử /11-13/ Việc xác định số hạng bổ cho biểu diễn tán xạ eikonal lý Khoa Vật lý Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh thuyết hấp dẫn cần thiết , song vấn đề cịn bỏ ngỏ, lượng hạt tăng, số hạng bổ tính theo lý thuyết nhiễu loạn, lại tăng nhanh số hạng trước Mục đích Ban luận văn Thạc sĩ tìm bổ bậc cho biên độ tán xạ eikonal hạt dựa sở phương trình chuẩn vùng lượng cao xung lượng truyền nhỏ lý thuyết trường lượng tử Nội dung Bản luận văn bao gồm: phần mở đầu, ba chương, phần kết luận, tài liệu trích dẫn bốn phụ lục Chƣơng 1.Biểu diễn eikonal biên độ tán xạ học lượng tử Trong mục 1.1 xuất phát từ phương trình dừng Schrodinger hạt trường ngồi theo định nghĩa ta tìm công thức eikonal cho biên độ tán xạ vùng lượng cao xung lượng truyền nhỏ Biểu diễn eikonal biên độ tán xạ với điều kiện cần thiết cho phép sử dụng gần trình bầy mục Chƣơng 2.Biểu diễn eikonal bổ bậc Trong mục 2.1 giới thiệu phương trình chuẩn cho biên độ tán xạ, cho hàm sóng Trong mục 2.2 xuất phát từ phương trình chuẩn biểu diễn tọa độ, thực khai triển hàm sóng = phương trình theo xung lượng hạt p p Sử dụng phép khai triển ta thu biểu diễn eikonal số hạng bổ bậc cho biên độ tán xạ Chƣơng Bài toán dựa phương trình chuẩn giải phương pháp lặp theo gần Born (lý thuyết nhiễu loạn theo tương tác) Ở mục 2.1 chuẩn dạng Gauss sử dụng để minh họa phương pháp tính biên độ tán xạ bổ bậc bậc gần Born thấp Biểu thức tổng quát cho n+1 lần gần Born khai triển biên độ tán xạ theo lũy thừa 1/p, tương tự phân tích chương II, kết số hạng số hạng bổ bậc cho biên độ tán xạ tìm mục 2.2 Trường Yukawa tương ứng với trao đổi hạt lượng tử với spin khác nhau, sử dụng để minh hoa phụ thuộc vào lượng số hạng bổ cho biên độ tán xạ eikonal Cuối kết luận chung, tài liệu tham khảo phụ lục liên quan tới luận văn Trong luận văn sử dụng hệ đơn vị nguyên tử = c =1 metric Pauli: xµ = x µ = ( x1 = x, x2 = y , x3 = z , x4 = ict = it ) = xµ ; Khoa Vật lý Luận văn thạc sĩ ab = aµ bµ = ab (k =1, 2, 3), δµν = Các số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ đến Khoa Vật lý Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh CHƢƠNG BIỂU DIỄN EIKONAL CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ Bài toán tán xạ học lượng tử nghiên cứu sở phương trình Schrodinger Giả sử có hạt tán xạ trường ngồi, dáng điệu hàm sóng hạt bị tán xạ tìm dạng ψ tán xa Trong f (θ , ϕ) biên độ tán xạ cần tìm Nếu lượng hạt lớn, góc tán xạ nhỏ, ta tìm biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ- hay người ta gọi biểu diễn Glaubert /9/ , người thu công thức học lượng tử 1.1 Thành lập cơng thức tốn tán xạ Quá trình tán xạ học lượng tử mơ tả phương trình Schrodinger: (1.1.1) ∇   mV ( r ) Nghiệm sử dụng ký hiệu phương trình vi phân (1.1.1) viết lại dạng phương trình tích phân: ψ( r ) = φ( r ) + hàm φ( r ) thoả mãn phương trình cho hàm tự do: ∇ + k  Phương trình φ( r ) = A ei k r + B e−i k r ∇ + k  Chúng ta tìm G0 (r , r ( / G r,r Khoa Vật lý Luận văn thạc sĩ Chuyển phổ Fourier ta có: ( G r,r Vậy : (∇ + k )G0 ( r , r (2π ) Sử dụng: δ (3) is (r Nhưng : ∇ e ( Thay vào phương trình (1.1.4a) có: 1is (2π ) → g (s Đặt vào (1.1.4a) ta có: G0 ( r,r Chuyển sang tọa độ cầu (s, θ , φ )dọc theo trục Vì π / r −r ∫e is =2 sin s Vì vậy: / G0 ( r,r = 4π Chuyển sang tích phân phức : Khoa Vật lý Luận văn thạc sĩ G0 (r , r / ) = Cao Thị Vân Anh  +∞  se ∫ ( s − k )(s + k )  −∞  = Sử dụng dạng tích phân Cauchy : f (z ) ∫ (z − z0 )  se I   se I =−  ∫ → G0 (r , r =− 4π =− ψ( r ) Phương trình tích phân (1.1.2) gọi phương trình Lippman-Schwinger Các nghiệm phương trình (1.1.3) (1.1.4) là: 4π Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh Như vậy, đóng góp chủ yếu vào biên độ tán xạ vùng là: ( n +1) (p,k;E T Sử dụng công thức biết: lưu ý trường hợp DetC = n +1 kết cuối nhận được: T ( n +1) ( p , k ; E ) ≈ (isg )n+1 Khoa Vật lý 39 Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh PHỤ LỤC C: TÍNH ĐĨNG GĨP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ VỚI GĨC TÁN XẠ BẤT KỲ Dẫn tính tốn T ( n+1) ( p, k ; E) vùng (3.1), sau ta sử dụng số ký hiệu phụ lục B Xét biểu thức: ( n +1) ( p , k ; E ) = (isg ) T Tại vùng lượng cao, khơng giả thiết góc tán xạ nhỏ (C.2) ε = l l =1, 2, , n ; λl - xác định (B.2), θ - góc tán xạ hệ khối tâm λ − p = −4 p2 sin2 l n ∏ ( ∆ l2 + ∆ l λl + λl2 − p − i 0) ≈ ∏( λl2 − p − i0) l =1 = Chú ý (C.2), (C.3) từ (C.1) ta thu được: (C.3) ( p , k ; E) = T ( n+1) Lấy tích phân (C.4) tiến hành theo xung lượng - chiều ∆ Sử dụng tương tự - chiều (B.5), biểu thức cho T ( n+1) : T ( n+1) ( p , k ; E ) = isg0 ( n +1) 2n e ( n !) Khoa Vật lý 40 ( n +1) Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh Xét hàm số:  = sin  θ −iθ / ; 2e  l  dl = − n 1 + tính ln fn (γ ) n ln f n ( λ ) = ∑ln  − γ Như vậy: đó: n  n 1,  1− γ γ ln(1 −γ )  ϕ (0) = + Re Thay biểu thức vào (C.5) Ta thu đóng góp vào T ( n+1) T ( n+1) ( p , k ; E ) = isg vùng (3.1) (C.6) Khoa Vật lý 41 Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh PHỤ LỤC D: MỘT SỐ TÍCH PHÂN SỬ DỤNG TRONG CHƢƠNG Tính tích phân I1 = ∫d x⊥ e i ∆ ⊥ x ⊥ K (µ | x⊥ |) = ( 2π ) ∫d | x⊥ || x⊥ |J ( 0) (∆⊥ | x⊥ | )K (µ | x⊥ |) 2π = ∆⊥2 +µ = Tính tích phân I2 = ∫ d x⊥ e i ∆ ⊥ x⊥ K 02 = 2π ∫d2q =(2π ) biến đổi công thức (D.2) ta sử dụng kết tính tích phân I1 Sử dụng tích phân Feynman: Khoa Vật lý 42 Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh I = ∫ dx ∫d q = ∫ dx ∫d q = ∫dx (D.3) = ( −iπ ) ∫ dx = ( −iπ ) × (D.4) đó: F1 (t) = Tính tích phân I = ∫d x⊥ e i ∆ ⊥ = x ⊥ K 03 ( µ | x⊥ |) (2π)2 = Áp dụng kết tích phân tính biểu thức I2, ∫ d 2q1 Như vậy: I3 = ( Lại sử dụng tích phân Feynman: Khoa Vật lý 43 Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh i { (D.5) i  µ2 B = Vì thế:  x (1 − x) =− (D.6) =− với D = −(1 − y )(ty − µ ) = ty + (µ − t ) y + µ2 ; x1 x2 hai nghiệm phương trình: x2−x+ µ2 =0 D Chú ý rằng: x + x = ⇒ − x = x ;1− x = x ta có: (1 − x1 )x2 (1 − x2 )x1 ln Thay kết vào (D.6), ta thu kết cuối cùng: Khoa Vật lý 44 Khoa Vật lý 45 Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG BIỂU DIỄN EIKONAL CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 1.1 Thành lập công thức toán tán xạ 1.2 Biểu diễn Eikonal biên độ tán xạ học lượng tử CHƢƠNG KỂ THÊM BỔ CHÍNH CHO GẦN ĐÚNG EIKONAL TRONG PHƢƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ 16 2.1 Phương trình chuẩn 16 2.2 Phương trình chuẩn biểu diễn tọa độ 17 CHƢƠNG PHƢƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ VÀ PHÉP GẦN ĐÚNG BORN 23 3.1 Phép gần Born 23 3.2 Vùng lượng cao .24 3.3 Thế Yukawa 27 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO .33 PHỤ LỤC 34 Phụ lục A :Giải phương trình chuẩn 35 Phụ lục B: Tính đóng góp phép lặp ( N+1) cho biên độ tán xạ với góc tán xạ nhỏ .37 Phụ lục C : Tính đóng góp phép lặp ( N+1) cho biên độ tán xạ với góc tán xạ 40 Phụ lục D: Một số tích phân sử dụng chương 42 Khoa Vật lý 46 ... dựng phương trình chuẩn biểu diễn xung lượng có dạng /10/:  Sử dụng phương trình (3.1.1) để tìm biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ số hạng bổ bậc cho tốn tán xạ 3.1 Phép gần Born Giải phương trình. .. CHƯƠNG KỂ THÊM BỔ CHÍNH CHO GẦN ĐÚNG EIKONAL TRONG PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ 2. 1Phương trình chuẩn 2. 2Phương trình chuẩn biểu diễn tọa độ CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ VÀ PHÉP GẦN... diễn eikonal biên độ tán xạ với điều kiện cần thiết cho phép sử dụng gần trình bầy mục Chƣơng 2.Biểu diễn eikonal bổ bậc Trong mục 2.1 giới thiệu phương trình chuẩn cho biên độ tán xạ, cho hàm sóng