Gần đúng eikonal cho biên độ tán xạ thế và phương pháp tích phân phiếm hàm trong cơ học lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -

NGUYỄN THỊ HẢI YẾN

GẦN ĐÚNG EIKONAL CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ THẾ

VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀMTRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -

NGUYỄN THỊ HẢI YẾN

GẦN ĐÚNG EIKONAL CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ THẾ

VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀMTRONG CƠ LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lý Lý thuyết và Vật lý ToánMã số: 60.44.01.03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS CAO THỊ VI BA

Hà Nội – 2016

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tớiTS.Cao

hướng dẫn, đóng góp những ý kiến quý báu cho tôi trong suốtvăn.

ThịVi Ba,người đã tận tìnhquá trình thực hiện luận

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu, Khoa Vật lý và phòng Sau đại họccủa Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tạo điều kiệntốt nhất cho tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô và toàn thể cán bộ bộ môn Vật lý lýthuyết, khoa Vật lý của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia HàNội, những người đã luôn tận tình dạy bảo, giúp đỡ và động viên tôi.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn những người thân trong gia đình, bạn bè vàđồng nghiệp đã động viên cho tôi hoàn thành luận văn này.

Do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên không thể tránh khỏi nhữngthiếu sót, rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô và các bạn.

Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 20 tháng 9 năm 2016

Học viên

Nguyễn Thị Hải Yến

MỤC LỤC

Mở đầu ……… 1

Chuơng 1 Gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ……….4

1.1 Gần đúng eikonal trong quang học……… ……… 4

1.2 Phát biểu bài toán tán xạ……….……… 8

1.3 Lời giải phương trình Schrodinger……….……….14

Chương 2 Công thức eikonal và phương pháp tích phân phiếm hàm……….…25

2.1 Hàm Green của hạt cho phương trình Schrodinger ở trường ngoài …… 25

2.2 Biên độ tán xạ và gần đúng quỹ đạo thẳng……… 30

Chương 3 Tán xạ trên thế ngoài cụ thể……… 41

MỞ ĐẦU

Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ được đề xuất lần đầu tiên vào năm 1959

trong cơ học lượng tử phi tương đối tính, đã được sử dụng rộng rãi để phân tích các sốliệu thực nghiệm về tán xạ các hạt với năng lượng cao [10].Biểu diễn eikonal này cóthể thu được bằng ba phương pháp khác nhau: phương pháp sóng riêng phần (tìm hàmsóng ở xa vô cùng), phương pháp hàm Green (giải phương trình vi tích phân) vàphương pháp chuẩn cổ điển (giải phương trình Schrodinger bằng gần đúng chuẩn cổđiển) [3].Các phương pháp này nói chung dựa vào lý thuyết nhiễu loạn và khó sử dụngtrong lý thuyết trường lượng tử Chính vì vậy, trong luận văn này chúng tôi muốn giớithiệu một phương pháp mới, đó là phương pháp tích phân phiếm hàm cho bài toán tánxạ trong cơ học lượng tử phi tương đối tínhkhông dựa vào lý thuyết nhiễu loạn[9].

Trong vùng tương đối tính và năng lượng cao, việc tổng quát hoá gần đúng

eikonaltrên cơ sở một lý thuyết chặt chẽ là một bài toán khá lý thú của lý thuyết trường

lượng tử.Cơ học lượng tử phi tương đối tính là lý thuyết đơn giản nhất mà trong khuônkhổ của nó với giả thiết tính nhẵn của thế năng, đã thành công trong việc giải thích vậtlý những đặc trưng cơ bản tán xạ năng lượng cao của các hadron Do mô hình quanghọc và phép gần đúng eikonal liên quan đến phép gần đúng tổng quát hơn là phép gầnđúng chuẩn cổ điển trong cơ học lượng tử nên lý thuyết tán xạ thế cho ta cơ sở để đưavào Vật lý hiện đại phép gần đúng eikonal hay gần đúng quang học.

hay còn gọi là phương pháp WKB cho bài toán tán xạ năng lượng cao Phương pháp WKBđược hiểu là phép gần đúng mà theo nó pha tán xạ tỷ lệ với hàm tác dụng cổ điển.

Phép khai triển theo sóng riêng phần là một phương pháp chủ yếu để nghiên cứu tán xạnăng lượng cao, song năng lượng hạt càng cao thì ta phải tính một số lượng khổng lồ

1

sóng riêng phần thì phương pháp này trở nên kém hiệu quả Vì vậy, người ta phải đềxuất các cách tiếp cận khác để nghiên cứu bài toán tán xạ năng lượng cao của các hạtcơ bản Một trong các cách tiếp cận khác đơn giản hơn và rõ ràng về mặt vật lý chínhlà biểu diễn eikonal hay biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ[3] Lưu ý, biểu diễneikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ đã được sử dụng rộng rãi để phân tích các số liệuthực nghiệm về tán xạ các hạt với năng lượng cao.

Mục đích của luận văn nhằm nghiên cứu gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ nănglượng cao ở trường ngoài bằng phương pháp tích phân phiếm hàm trong cơ học lượngtử.

Luận văn gồm các phần:Mở đầu, Nội dung nghiên cứu được viết thành ba chương, Kếtluận, Tài liệu tham khảo và Phụ lục.

Phần nội dung của luận văn gồm:

Chương 1.Gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ thế ngoài.

đó rút ra công thức eikonal hay công thức Glauber cho biên độ tán xạ.

Chương 2.Công thức eikonal và phương pháp tích phân phiếm hàm.

Trong chương này, chúng ta rút ra công thức eikonal cho biên độ tán xạ bằngphương pháp tích phân phiếm hàm trong cơ học lượng tử.

ở thế ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm.

biên độ tán xạ thế.Trong mục này, giới thiệu cách tính gần đúng tích phân phiếm hàm bằnggần đúng quỹ đạo thẳng và khảo sát dáng điệu tiệm cận của

2

biên độ tán xạ thế ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ Điều kiện sử dụnggần đúng này được thảo luận từ những giới hạn lênthế năng, năng lượng của hạtvà góc tán xạ.

Chương 3.Tán xạ trên thế ngoài cụ thể.

Sử dụng công thức eikonal thuđược hai chương trên cho một số thế ngoài cụ thể.

Phần kết luận: Tóm tắt các kết quả thu được trong luận văn và thảo luận những hướng nghiên cứu tiếp theo trong thời gian tới.

Vớivéctơ tọa độ phản biến là

1.1.Gần đúng eikonal trong quang học

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu gần đúng eikonal trong quang học Phương trình

mô tả việc truyền sóng ánh sáng trong môi trường có chiết suất n mà trong trường hợp

 n

2 2 

c 2 t 2

Nếu n là không đổi thì nghiệm riêng của phương trình (1.1) là sóng phẳng đơn sắc

với vectơ sóng (1.3) sẽ không thỏa mãn phương trình (1.1).

suất   thay đổi đáng kể, thì ở khoảng cách nhỏ đó sóng ánh sáng vẫn được coi là n r

sóng phẳng truyền theo hướng vuông góc với mặt sóng Các hướng như vậy được gọilà tia.

Chúng ta tìm nghiệm của phương trình (1.1) trong trường hợp này dưới dạng

  aei

khai triển nó thành chuỗi

nên so sánh (1.5) và (1.4) với (1.2) chúng ta tìm được

 ( ae i )   ((aei ))

a  i 2a ia

Lưu ý sự tương tự ở đây, giữa các phương trình eikonal (1.11) và (1.12) với phươngtrình Hamilton-Jacobi, mà trong cơ học cổ điển mô tả chuyển động của hạt trong

Quỹ đạo của hạt, như ta có thể suy ra từ (1.1), hướng theo pháp tuyến của các mặt này2.

Lưu ý, tốc độ dịch chuyển u của mặtS r , t   const trong không gian không trùng với tốc

độ v của hạt và liên hệ với vbằng hệ thức u  mvE

Kết hợp (1.17) và (1.18) ta thấy phương trình (1.14) có dạng

S   2m E V r

So sánh (1.15), (1.16) và (1.19) với (1.6), (1.13) và (1.12), ta suy ra rằng trong cơ học

trùng với quỹ đạo của hạt

Trước tiên, chúng ta xem xét gần đúng eikonal trong cơ học lượng tử dựa vào việc phátbiểu bài toán tán xạ Nếusự tán xạ xảy ra trong thế năng có đối xứng cầu thì hàm sóngở xa vô cùng gồm sóng phẳng tới và sóng cầu tán xạ có dạng

  r  ~ e ikz  f  

Theo công thức tính tiết diện ta cần phải tính mật độ dòng của các hạt tới và mật độ dòng các hạt tán xạ theo công thức tổng quát

trong đó

9

Thay (1.27) vào (1.26) ta được

Trong trường hợp này, mật độ dòng tán xạ

Xác suất để cho hạt tán xạ rơi vào góc khối

jtx dS  jtx r 2 dΩ  f  2 vdΩ (1.30)

j dS

d tx (1.31)

Thay (1.25) và (1.30) vào (1.31), ta được

10

'1 eiqrr

dạng tiệm cận (1.21).

Thay (1.37) vào (1.38) ta được

'

kr   e ikr   ' V r ' k r 'dr '

12

Khi lấy tích phân theo dr' ta chọn gốc tọa độ tại vùng tác dụng của thế năng

Hình 1.Chọn hệ tọa độ khi lấy tích phân trong công thức (1.39)

So sánh (1.41) và (1.21), chúng ta thu được biểu thức cho biên độ tán xạ

f    e ikrV r 'kr 'dr ' (1.42)

2 2

, nếu biết nghiệm của phương trình

không phải toàn

bộ không gian, mà chỉ ở vùng tác dụng của thế

 

V r '

1.3.Lời giải của phương trình Schrodinger trong gần đúng eikonal

Chúng ta sẽ tìm nghiệm phương trình (1.34) có dạng sóng phẳng mà trong quá trìnhtương tác với thế năng sẽ xuất hiện thêm số hạng dịch pha bổsung   Ta thu được r

trình eikonal trong quang học (1.12) thì trong (1.44) ta sẽ bỏ qua đạo hàm bậc hai của

2 k  r    r   2V r (1.45)

Nếu năng lượng của các hạt va chạm là lớn, thì ở vế trái (1.45) số hạng thứ nhất2

là vượt trội, và khi đó

V x , y , z

(1.47)

Khi z  thì chỉ tồn tại sóng tớir   e

ta có

1 

Đối với các thế năng có tính đối xứng thì trong (1.51) có thể lấy tích phân theo góc phương vị Sử dụng công thức tích phân Bessel

J n ( z )  2in 1

2 0

16

Trong công thức (1.51) ta thấy

Biểu thức (1.51) cho phép giải thích vật lý dưới đây (xem hình 2) Từng phần của sóng

củapha,mà nó tỷ lệ với tích phân dọc theo quỹ đạo thẳng, song song với trục z:

Hình 2.Việc lấy tích phân trong pha eikonal trong công thức (1.51)

được tiến hành dọc theo đường chấm chấm,I- vùng tương tác của thế, II- sóng phẳng tới.

Bây giờ chúng ta sẽ tìm các điều kiện cho thế năng, năng lượng của hạt bị tán xạ và góc tán xạ, để cho biểu thức (1.51) là đúng Để đạt được mục tiêu này, ta cần thiết lập

17

 a hay ka 1. (1.57)Như vậy,(1.57) là điều kiện cần tìm cho thế năng.

Bây giờ ta đánh giá số hạng thứ hai để có thể bỏ qua

ở đây E là động năng của hạt, số hạng này là nhỏ so với thế Vr với điều kiện

18

Như vậy, điều kiện để áp dụng gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ thế là (1.57) và(1.59) Nếu có bổ sung điều kiện góc tán xạ (1.55) thì biên độ tán xạ có thể biểu diễneikonal ở dạng (1.51) hay (1.54).

Khi rút ra biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ, ta đã không cần đặt điều kiện cho thếngoài phải là hàm thực Như đã biết ở một số trường hợp, ví dụ như tán xạ lên hệ phứctạp (hạt nhân nguyên tử), ta cần nghiên cứu thế năng phức mô tả tương tác hiệu dụngcủa hạt với bia phức tạp có sự hấp thụ.

Nếu thế là phức, thì với mật độ dòng xác suất (1.22) ta không thể viết định luật bảo

Trong trường hợp thế là hàm phức, theo công thức (1.51) pha eikonal cũng là một số

Chúng ta dẫn ra biểu thức để cho tiết diện tán xạ khi biên độ được biểu diễn ở dạng

   r  ii (1.62)Sử dụng (1.48) và (1.54), ta có tiết diện tán xạ đàn hồi bằng

Vùng lấy tích phân theo dx có thể coi xét đến vô cùng3

2k xdxJ 0b1 x  J 0b2 x  xdxJ 0b1 x  J 0b2 x  1  b1  b2(1.65)

1Thay (1.65)vào (1.64) ta được

 b1  b2 e i  b11eib21* el  2 b2 db2

Tiết diện tán xạ toàn phần theo (1.68) và (1.69) bằng

 t   el   in  4  bdb 1  e

i cos r (1.70)Từ các biểu thức cho biên độ tán xạ (1.54) và tiết diện toàn phần (1.70), dễ dàng chứngminh được định lý quang học

Thay (1.73) vào (1.71) ta được

Xét ví dụ tán xạ trong giếng thế hình cầu có bán kính a

V ( r)  

Quá trình này tương ứng trong quang học là sự tán xạ ánh sáng bị hấp thụ và khúc xạ

Pha eikonal trong trường hợp này bằng

ở đây q2aksin

Biểu thức này quen thuộc với chúng ta trong quang học Nó xác định cường độ tán xạánh sáng khi nhiễu xạ lên hình cầu (nhiễu xạ Fraunhofer) Lấy tích phân (1.79) theogóc ta thu được

Tiết diện tán xạ không đàn hồi (hấp thụ) theo (1.69) được xác định bằng biểu thức sau

Chương 2

CÔNG THỨC EIKONAL CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ THẾBẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾMHÀM

Khi giải thích biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ, như đã nói đến ở chương 1, ta cóthể coi các hạt tán xạ chuyển động theo các quỹ đạo thẳng Để nhận được biểu diễneikonal này trong bài toán tán xạ, người ta sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàmtrong cơ học lượng tử do Feynman khởi xướng.

Biên độ xác suất dời chuyển một hệ lượng tử từ trạng thái a đến trạng thái b được xác

Biên độ xác suất chính là hàm Green cho phương trình Schrodinger phụ thuộc thờigian.

Phương pháp tích phân phiếm hàm có thể đưa vào Cơ học lượng tử giống nhưToánhọc, nếu viết lời giải phương trình Schrodinger dưới dạng tích phân phiếm hàm Bâygiờ, chúng ta nghiên cứu phương pháp này qua ví dụ hàm Green cho phương trìnhSchrodinger dừng

  V r  iE G r , r    r  r (2.1)

Thay E thành E i trong (2.1) cho phép nhận được hàm Green mà nó chỉ chứa sóng

mà nó chứa tích phân phiếm hàm ba chiều.Trongcông thức (2.2) ta xét thừa số

0

 

1

t   

28

 r '.

  

Jacobian của phép biến đổi này không phụ thuộc vào biến phân phiếm hàm mới  x t

Gọi F(t '')là nguyên hàm của (t'') thì (2.6) trở thành2

Biên độ tán xạ liên quan tới hàm Green của phương trình Schrodinger đầy đủ

x t

Ta có thểthực hiện cách làm nêu trên như sau:

Thay (2.13) vào (2.12) ta được

31

k '|G|k 

dri k k re  

22

 2

ki 

m   d m    d  d 

Tiếp tục đổi biến

34

1    2  2

d 32  exp

 i

( )

d V

2 k '2  1

 1  2 2

với vận tốc của hạt trước hoặc sau tán xạ.

Khi tán xạ ở vùng năng lượng cao, ta có thể giả thiết rằng đóng góp chủ yếu vào tích

phân phiếm hàm (2.30) là các quỹ đạo thẳng được xác định bởi xung lượng đầu và

cuối của hạt

 m

0 và nếu gọik , k ' tương ứng là các vectơ đơn vị

Ta đểý rằng, khi hướng k theo trục z thì đối số của V sẽ chỉ thay đổi thành phần theo z nên

39

Đây chính là biểu thức (1.50) ta đã thu được trong chương 1.

Vậybiểu thức (2.37) sẽ là biểu diễn Glauber hay còn gọi là biểu diễn eikonal thông thường cho biên độ tán xạ.

  (b )   1  i K 0 b, (3.3)trong đó

 xK 0ax J 0 bx  dx  ,a  b 0

a 2 b 2

0

3.1.2 Tiết diện tán xạ sử dụng thế Yukawa

Từ biên độ tán xạ vừa tìm được, ta tính tiết diện tán xạ vi phân.Ta có

Từ công thức tính tiết diện tán xạ toàn phần

 

 d  d   d sin d (3.12)

2 d

dd 

43

2  gk 2

 2 

 2

0Thay (3.16) và (3.17) vào (3.13), ta được

 J

 f   gk 1 i  

0Áp dụng công thức tích phân của hàm Bessel

0Thay (3.26) vào (3.24), ta có

3.1.2 Tiết diện tán xạ sử dụng thế Gauss

Từ biên độ tán xạ vừa tìm được, ta tính tiết diện tán xạ vi phân.Ta có

d  2  1  gk k 2 2   2   gk 2  k 2 2 

d   2  v  8   4 3 v   4 

dạng

Như vậy, từ công thức eikonal thu được ở chương 1 và chương 2,ta đã tính được biên độ và tiết diện tán xạ của hạt ở hai trường ngoài cụ thể, đó là thế Yukawa và thế Gauss.

49

KẾT LUẬN

Trong bản luận văn này, chúng tôi nghiên cứu bài toán tán xạ của hạt ở trường thếngoài bằng hai phương pháp: giải phương trình Schrodinger cho hàm sóng trong gầnđúng eikonal và giải phương trình Schrodinger cho hàm Green bằng phương pháp tíchphân phiếm hàm trong gần đúng quỹ đạo thẳng Lưu ý rằng: Gần đúng eikonal đầu tiênđược sử dụng trong Quang học, sau đó áp dụng trong Cơ học lượng tử cho bài toán tánxạ các hạt ở vùng năng lượng cao.Gần đúng quỹ đạo thẳng được sử dụng trong Lýthuyết trường lượng tử.Về mặt vật lý, hai phép gần đúng này là tương đương nhau khihạt tương tác với trường thế ngoài – tương tác là nhỏ, nên quỹ đạo của hạt hầu nhưkhông thay đổi.Trong phương pháp tích phân phiếm hàm, sử dụng gần đúng quỹ đạothẳng giúp ta tính các tích phân nảy sinh cho bài toán tìm biên độ tán xạ ở vùng nănglượng cao với góc tán xạ nhỏ.Chúng tôi đã thu được những kết quả chính sau:

50

1. Thu được biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ của hạt nhanhở thế ngoài với góc tánxạ nhỏ theo lý thuyết nhiễu loạn dựa vào việc tìm lời giải phương trình Schrodinger dướidạng sóng phẳng, mà ta thu được trong quá trình tương tác với thế ngoài, sẽ xuất hiện thêmmột số hạng dịch pha.

xạ nhỏ dựa vào việc tìm lời giải phương trình Schrodinger bằng phương pháp tích phânphiếm hàm, mà nó không dựa vào việc khai triển theo lý thuyết nhiễu loạn thông thường.

thế Yukawa và thế Gauss Những kết quả này có thể được sử dụng để phân tích các số liệuthực nghiệm hiện nay.

Những phương pháp sử dụng trong Luận văn này có thể mở rộng để nghiên cứu nhiều bài toán tán xạ cụ thể trong Cơ học lượng tử và Lý thuyết trường lượng tử.

51