Thông tin tài liệu
ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN TRAN TH± LOAN NH± PHÂN MŨ CUA PHƯƠNG TRÌNH Đ®NG LUC TRÊN THANG THèI GIAN LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so : 60 46 01 02 NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC TS LÊ HUY TIEN Hà N®i - Năm 2014 Mnc lnc Lài cam ơn ii Lài nói đau iii Kien thÉc chuan b% 1.1 Các khái ni¾m ban ve thang thòi gian 1.2 Nh% phân mũ cna phương trình vi phân sai phân 1.3 Nh% phân mũ thang thòi gian 1.4 Bő đe Gronwall 17 Nh% 2.1 2.2 Ket phân mũ thang thài gian 20 Nh% phân mũ thang thòi gian ròi rac 20 Đ%nh lý 28 lu¾n 35 Tài li¾u tham khao 36 i Lài cam ơn Đe hồn thành đưoc chương trình đào tao hồn thi¾n lu¾n văn này, thịi gian vùa qua tơi nh¾n đưoc rat nhieu sn giúp đõ q báu cna gia đình, thay ban bè Vì v¾y, nhân d%p này, tơi muon đưoc gui lịi cam ơn tói MQI ngưịi Lịi đau tiên, tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói TS Lê Huy Tien, thay rat nhi¾t tình hưóng dan chi bao tơi q trình hồn thành lu¾n văn Tơi xin gui lịi cam ơn chân thành tói tat ca thay khoa, nhung ngưòi trnc tiep truyen thu kien thúc, giang day tơi q trình HQc cao HQc Tơi xin cam ơn Ban chn nhi¾m khoa Tốn-Cơ-Tin HQc, phịng Sau Đai HQc trưòng Đai HQc Khoa hQc Tn nhiên tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tơi hồn thi¾n thn tuc bao v¾ lu¾n văn Cuoi cùng, tơi xin cam ơn cha me tơi, nhung ngưịi ln u thương nng hđ tụi vụ ieu kiắn Li núi au Nh% phân mũ cna phương trình tuyen tính khơng ơtơnơm l khỏi niắm suy rđng cna tớnh hyperbolic cna phng trình tuyen tính ơtơnơm Nh% phân mũ đóng vai trị quan TRQNG nhieu toán cna lý thuyet hắ đng lnc khụng ụtụnụm, chang han bi toỏn nhieu Nh% phân mũ cna phương trình vi phân có the tìm thay sách [3,5] Nh% phân mũ cna phương trình sai phân có chang han [4] [6, muc 7.6] Ca hai khái ni¾m đeu đưoc thong nhat Phép tính thang thài gian (xem [7,12,13]) Phép tốn cho phép đong thịi nghiên cúu phương trình vi phân, phương trình sai phân trưịng hop riêng cna phương trình đ®ng lnc thang thịi gian (xem [2]) Xét h¾ tuyen tính x∆ = A(t, q)x, h¾ tuyen tính x∆ = B (t )x (1) (2) đó, t ∈ T, A(., q) ∈ Crd(T, L(X )) Vói gia thiet h¾ (1) có nh% phân mũ phu thu®c tham so q , ta a thờm mđt vi ieu kiắn e hắ (2) cú nh% phân mũ Trong lu¾n văn chúng tơi chi m®t ket qua nhieu cho phương trình đ®ng lnc tuyen tính phu thu®c tham so thang thịi gian khơng gian Banach tùy ý Úng dung cna ket qua tính vung cna nh% phân mũ cna h¾ vói h¾ so tốn tu bien đői ch¾m: nghĩa neu gia su rang phương trình tuyen tính phu thu®c tham so x = A(t, q)x có nh% phân mũ đeu vói tham so q, sau ta thay the giá tr% q boi hàm ∗q (t) bien đői ch¾m theo thịi gian Khi phương trình x = A(t, q∗ (t))x có nh% phân mũ Đây đieu ki¾n đn đ¾t lên h¾ so tốn tu đe phương trình đ®ng lnc có nh% phân mũ Đe giai quyet van đe này, su dung ky thu¾t ban cna phương trình đng lnc trờn thang thũi gian, tớnh b% chắn cna h¾ so tốn tu, xây dnng h¾ tuyen tính phu thu®c tham so thang thịi gian có nh% phõn m Nđi dung chớnh cna luắn dna trờn báo [C Poetzsche, Exponential Dichotomies of Linear Dynamic Equations on Measure Chains under Slowly Varying Coeffi- cients, J Math Anal Appl., 289 (2004), 317–335.] Lu¾n văn đưoc chia thành hai chương Chương 1: trình bày khái ni¾m ban thang thịi gian, nh% phân mũ khơng gian huu han chieu, nh% phân mũ thang thòi gian bat thúc Gronwall Chương 2: chúng minh h¾ tuyen tính nhieu có nh% phân mũ vói gia thiet hắ tuyen tớnh ban au phu thuđc tham so có nh% phân mũ Đây muc đích cna lu¾n văn Do thịi gian lnc có han, có the lu¾n văn cịn nhung sai sót Tác gia mong muon nh¾n đưoc sn góp ý cna thay, ban đong nghi¾p Hà N®i, tháng 12 năm 2014 Tran Th% Loan Chương Kien thÉc chuan b% Trong chương này, lu¾n văn se nhac lai m®t so kien thúc ban thang thịi gian, nh% phân mũ khơng gian huu han chieu, bő đe Gronwall Qua đưa khái ni¾m nh% phân mũ thang thòi gian 1.1 Các khái ni¾m ban ve thang thài gian GQI X khơng gian Banach thnc ho¾c phúc vói chuan ǁ.ǁ; L(X ) khơng gian tuyen tính tn đong cau liên tuc X vói chuan xác đ%nh boi ǁTǁ := supǁxǁ=1ǁTxǁ Kí hi¾u GL(X ) t¾p cau tuyen tính X IX ánh xa đong nhat X Đ%nh nghĩa 1.1 Thang thài gian T t¾p đóng, khác rőng tùy ý cua t¾p so thnc R T¾p so thnc R, t¾p so nguyên Z, t¾p so tn nhiên N t¾p so nguyên dương N0, thang thòi gian T¾p so huu ty, so vơ ty, khoang mo (0,1) khơng thang thịi gian Ta se đ%nh nghĩa đao hàm f ∆ cna m®t hàm f xác đ%nh T cho (i) f ∆ = f j đao hàm thơng thưịng neu T = R (ii) f ∆ = ∆f neu T = Z Các toán tu nhay tien toán tu nhay lùi thang thịi gian mơ phong cách thịi gian bien thiên thang thòi gian Đ%nh nghĩa 1.2 Gia su T m®t thang thài gian Vái t ∈ T toán tu nhay tien σ : T → T xác đ%nh bái σ(t) := inf{s ∈ T : s > t}, toán tu nhay lùi ρ(t) : T → T xác đ%nh bái ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t} Neu σ (t) > t ta nói t điem rài rac phai ρ(t) < t ta nói t điem rài rac trái Nhung điem vùa rài rac trái vùa rài rac phai GQI điem l¾p Neu σ(t) = t ta nói t điem trù m¾t phai ρ(t) = t ta nói t điem trù m¾t trái Nhung điem vùa trù m¾t phai vùa trù m¾t trái GQI trự mắt %nh ngha 1.3 Gia su T cú mđt điem l¾p trái lán nhat m, t¾p Tκ = T − {m} Do T \ ( ρ (supT) , supT) neu supT < ∞ Tκ = T neu supT = ∞ Đ%nh nghĩa 1.4 Ánh xa µ : T → R+ xác đ%nh bái µ(t) = σ (t) − t GQI hàm hat graininess Ví dn 1.1 (i) Neu T = R vái MQI t ∈ R σ(t) = inf{s ∈ R : s > t} = inf (t, ∞) = t Tương tn ρ(t) = t Hàm graininess µ(t) = σ(t) − t = (ii)Neu T = Z vái MQI t ∈ Z σ(t) = inf{s ∈ Z : s > t} = inf (t + 1, t + 2, t + ) = t + Tương tn ρ(t) = t − Hàm graininess µ(t) = σ(t) − t = Đ%nh nghĩa 1.5 (T˜, µ ˜) thang thài gian rài rac neu T˜ = {tk}k∈Z, ∃ h0, h > cho h0 ≤ µ˜(t k+1 , ) ≤ h, k Z (1.1) tk ∈ Vói so thnc h0, h > thang thịi gian T hSh (T) t¾p hop tat ca thang thịi gian rịi rac (T˜ , µ˜) vói T˜ ⊆ T thoa 0mãn (1.1) Ngồi ta nói m®t (h0, h) - thang thịi gian (T, ≤, µ) neu vói moi điem t0 ∈ T ton tai tk , t−k ∈ T, k ∈ N thoa mãn {tk }k∈Z ∈h S h (T) Vói bat kì thang thịi gian mà khơng b% ch¾n dưói, hàm hat graininess µ xác đ%nh, GQI m®t (h0 , h) - thang thịi gian vói h0 > h ≥ h0 + supt∈T µ(t) Ví dn 1.2 (i) R m®t (h0, h) - thang thài gian vái < h0 ≤ h (ii) Thang thài gian rài rac hZ, h > có σ(t) = t + h, µ(t) = h hZ hZ m®t (h0, h) - thang thài gian vái h ≤ h0 ≤ h Đ%nh nghĩa 1.6 Gia su hàm f : T → R kha vi tai t ∈ Tκ Khi vái MQI ε > 0, ton tai mđt lõn cắn U cua t cho ∆ |[f (σ (t)) − f (s)] − f (t)[σ (t) − s]| ≤ ε|σ (t) − s|, s ∈ U (1.2) Khi f ∆(t) đao hàm cua hàm f tai t Kí hi¾u f ∆(t) df (t) • Cho T = R f ∆(t) = d ∆ • Cho T = Z f (t) = tf (t + 1) − f (t) Ví dn 1.3 (i) Gia su f : T → R xác đ%nh bái f (t) = α, t ∈ T, α ∈ R hang so, f ∆ = Bái vái MQI ε > 0, |[f (σ (t)) − f (s)] − 0.[σ (t) − s] = |α − α| = ≤ ε|σ(t) − s|, s ∈ T (ii) Gia su f : T → R xác đ%nh bái f (t) = t, t ∈ T, f ∆ = Bái vái ∀ε > 0, |[f (σ (t)) − f (s)] − 1.[σ (t) − s]| = |σ (t) − s − (σ (t) − s)| = ≤ ε|σ(t) − s|, s ∈ T Đ%nh nghĩa 1.7 Ánh xa φ : T −→ X đưac GQI kha vi (tai t0 ∈ T), neu ton tai nhat đao hàm φ∆ (t0 ) ∈ X , cho vái MQI ε > 0, ǁφ(σ(t0)) − φ(t) − µ(σ(t0), t)φ ∆(t0)ǁ ≤ ε|µ(σ(t0), t)|, vái U lân cắn cua t0 t U ã Gia su T = R φ∆(t) = φ(t) • Gia su T = hZ, h > φ∆(t) = (φ(t + h) − φ(t) h Đ%nh lý 1.1 Gia su f : T → R m®t hàm t ∈ Tκ Khi đó, (i) Neu f kha vi tai t, f liên tnc tai t (ii) Neu f liên tnc tai t t điem l¾p phai, f kha vi tai t vái f ∆ ( t) = f (σ(t)) − f (t) à(t) (1.3) (iii) Neu t l iem trự mắt phai, hàm f kha vi tai t neu ton tai giái han huu han lim s→t f (t) − f (s) t−s (1.4) Trong trưàng hap đao hàm f ∆ (t) = lim s→t f (t ) − f ( s ) t−s (iv) Neu f kha vi tai t, f (σ(t)) = f (t) + µ(t)f ∆(t) Đ%nh lý 1.2 Gia su f, g : T → R hàm kha vi tai t ∈ Tκ Khi (i) Tőng hàm f + g : T → R hàm kha vi tai t vái (f + g ) ∆ ( t ) = f ∆ ( t) + g ∆ ( t ) (ii) Vái bat kì hang so α, αf : T → R kha vi tai t vái (αf )∆(t) = αf ∆(t) (iii) Tích cua hàm fg : T → R hàm kha vi tai t vái (fg)∆(t) = f ∆(t)g(t) + f (σ(t))g∆(t) = f (t)g∆(t) + f ∆(t)g(σ(t)) (iv) Gia su f (t)f (σ(tƒ)) = 0, kha vi tai t vái f Σ∆ f (v) Gia su g(t)g(σ(t)) = 0, ƒ f f g f (t)f (σ(t)) hàm kha vi tai t vái g Σ∆ =− f ∆ (t ) = f ∆(t)− g ( t) f (t) g ∆ (t) f (t)f ((t)) (v) (T, ,à ) l mđt (h0, h) - thang thài gian Do v¾y, ton tai s0, s1 > phn thu®c vào h0, h, a, b, c1, c2, d, d2, C1, C2, K1, K2 cho ton tai ánh xa q∗ : T → Q vái ǁA(t, q∗(τ )) − B(t)ǁ ™ s0, t, τ ∈ T, ≤ µ(t, τ ) ≤ (2.27) h ǁPq∗ (t) (t) − Pq∗ (τ ) (τ )ǁ ™ s1 , t, τ ∈ T, h0 ≤ µ(t, τ ) ≤ (2.28) h Khi đó, phương trình tuyen tính (2.25) có nh% phân mũ vái c,˜ d˜: T → R phép chieu bat bien Q : T → L(X ) thóa mãn ǁQ(t) − Pq∗ (t) (t)ǁ ™ s1 + ǁQ(t) − Pq∗ (τ ) (τ )ǁ, ≤ µ(t, τ ) ≤ h (2.29) t, τ ∈ T, h0 Chú ý 2.1 (i) Nói chung ta có bat thúc cŒ c, d Œ d v¾y tính nh% phân mũ vái hàm c, d đ%nh lí (2.1) yeu tính nh% phân mũ vái hàm c, d Tuy v¾y vái thang thài gian đ¾c bi¾t T = R, T = Z, T = hZ, h > ta có c = c, d = d c, d hàm hang Nói riêng bat thúc (2.26) tn đ®ng đưac thóa mãn Ngồi T = hZ, h > ta có the thay gia thiet (v) bái bat thúc h ≤ h0, T = R gia thiet (v) có the bó qua (ii) Ngay ca trưàng hap phương trình vi phân thưàng (T = R) đ%nh lí (2.1) suy r®ng ket qua [16, đ%nh lí 1] cn the sau: đ%nh lí (2.1) khơng gian Banach vơ han chieu, chs can phương trình (2.24) có b¾c tăng b% ch¾n nua trnc dương; nua khơng gia thiet đieu ki¾n hypecbolic ve hàm c, d (ii) Khi không gian tham so Q chs có m®t phan tu bat thúc (2.28) không can thiet Lúc đ%nh lí (2.1) trá thành đ%nh lí ve tính vung cua h¾ nh% phân mũ vái b¾c tăng b% ch¾n Tuy nhiên thang thài gian rài rac đ%nh lí (1.6) tőng quát đ%nh lí (2.1) (iv) Neu thang thài gian xét thuan nhat (túc hàm hat graininess hang so) ta có the thu đưac cơng thúc cn the cho giá tr% cnc đai cua s0, s1 theo b¾c tăng trưáng cua phương trình (2.24), hang so nh% phân mũ cua phương trình (2.25) giá tr% h0, h xem chi tiet [13,trang 125-126] ho¾c xem [14] Chúng minh Gia su phương trình (2.24) có ΦA( ; q), q ∈ Q tốn tu phu thu®c tham so Ta can chúng minh bon đieu sau: (I) Gia thiet cho d ∈ CrdR+(T, L(X )), b b% ch¾n nên a, d rịi rac b% ch¾n a b g a, a c g a, a b g d Theo bő đe (1.1) ta có the cHQN h0 > đn lón thoa mãn gia thiet (iv) đ%nh lí Do v¾y ta cHQN < θ1 < < θ2 cho (θ2/θ1)K1K2 < Eb− g a (h0, h) (II) Gia su s ∈ T co đ%nh tùy ý Do gia thiet (ii) nên phương trình tuyen tính xO = A(t, q∗ (s))x (2.30) có nh% phân mũ vói phép chieu bat bien Pq∗(s) : T → L(X ) ΦA (t, s; q∗ (s))|N (Pq∗ (s)) : N (Pq∗ (t)) → N (Pq∗ (s)), s ≤ t, song ánh Vói bat kì ξ ∈ N (Pq∗ (s)), ton tai ξ0 ∈ N (Pq∗ (t)) cho ξ = ΦA (t, s; q∗ (s))ξ0 Do N (Pq∗ (s) (t)) ⊆ R(ΦA (t, s; q∗ (s)) s ≤ t (2.31) (III) Theo gia thiet (v) (T, ,à ) l mđt (h0, h)- thang thũi gian , the vói t0 ∈ T bat kì ta có thang thịi gian rịi rac T˜ = {tk }k∈Z ∈ Shh (T) Xét dãy toán tu sau A^ : Z → L(X ), ^ B: Z→ L(X ), P^1 : Z → L ^(PX ),: Z → L(X ),2 ^(k) := ΦA (tk+1 , tk ; q∗ (tk )) A B^(k ) := ΦA (tk+1 , tk ) ^P := P (t ).^ := Pq (tkq ) (tk ) P ∗ k−1 (t )∗ k thoa mãn bő đe (2.2) P^ , P2 ∈ L(X ) phép chieu vói MQI k ∈ Z ngồi ^ P2 (k ^ + 1)A(k) = Pq∗ (tk ) (tk+1 )ΦA (tk+1 , tk , q∗ (tk )) ^ = ΦA (tk+1 , tk , q∗ (tk ))Pq∗ (tk ) (tk+1 ) = A^(k)P^1 (k), k ∈ Z Và (2.28) nên N (P2 (k + 1)) = N (Pq∗ (tk ) (tk+1 )) ⊆ R(ΦA (tk+1 , tk , q∗ (tk ))) = R(A^(k )), k ∈ Z Gia su hàm ˜a, ˜b : T˜ → R, xác đ%nh boi ˜a(tk ) := K1ea(tk+1, tk) − θ1 , θ1µ(tk+1, tk) k ˜ ) := eb(tk+1, tk) − θ2K2 θ2K2µ(tk+1, tk) vói k ∈ Z, thoa mãn a, ˜b ∈ CrdR+(T ˜ , R), a a b ˜ ˜ Vì b b% ch¾n nên˜b b% ch¾n Khi tù gia thiet (ii) ˜ ^(k)ηǁ = ǁA ^(k)P1 (k)ηǁ = ǁΦA (tk+1 , tk ; q∗ (tk ))Pq∗ (tk ) (tk )ηǁ ≤ ǁA ^ ≤ K1ea(tk+1, tk)ǁηǁ vói η ∈ R(^ P1(k)) ǁξǁ = ǁ[IX − P 1(k)]ξǁ = ǁΦA (tk+1 , tk ; q∗ (tk ))ΦA (tk+1 , tk ; q∗ (tk ))[IX − Pq∗ (tk ) (tk )]ξǁ = ΦA (tk+1 , tk ; q∗ (tk ))[IX − Pq∗ (tk ) (tk )]ΦA (tk+1 , tk ; q∗ (tk ))ξǁ ≤ K2 eb (tk , tk+1 ǁA^(k )ξǁ vói η ∈ N (P^1 (k)), ǁA^(k )ηǁ ≤ θ1 (1 + µ(tk+1 , tk )˜a(tk )ǁηǁ vói η ∈ R(P^1 (k )), ǁA^(k )ξǁ ≥ θ2 + (1 + µ(tk+1 , tk ))˜a(tk )ǁξǁ vói η ∈ N (P^1 (k)) Tù gia thiet (ii) ta có vói MQI q ∈ Q ǁPq(s)ǁ ≤ K1, ǁIX − Pq(s)ǁ ≤ K2, vói s ∈ T M¾t khác ta có ǁP^ 1(k)ǁ ≤ K1, ǁIX − P^ 2(k)ǁ ≤ K2, ǁP2(k)ǁ ≤ K1, vói k ∈ Z ^ Cuoi theo (i) bő đe (1.3) ta có ǁA^ (k)ǁ = ǁΦA (tk+1 , tk ; q∗ (tk ))ǁ ≤ ≤ C1ec1 (tk+1, tk) ≤ C1Ec+1 (h0, h) Tù gia thiet (iv) bő đe (2.1) ta có ^(k) − B (k)ǁ = ǁΦA (tk+1 , tk ; q∗ (tk )) − ΦB (tk+1 , tk )ǁ ǁA ^ ≤ C s0C1) Γ ( c1 + hEc +G C (h0 , h) vói k ∈ Z, ǁP^1 (k ) − P^2 (k )ǁ = ǁPq∗ (tk ) (tk ) − Pq∗ (tk−1 ) (tk )ǁ ≤ s1 vói k ∈ Z Các hàm ˜c, d˜ : T˜ → R ( ˜c, d˜ ∈ Crd R+ (T˜ , R)) xác đ%nh boi ˜c(tk (2.32) ) := ec(tk+1, tk) −1 , ˜ µ d (tk ( t k + , t k ) ∈ ) := ed(tk+1, tk) k Z, µ(tk+1, t k) thoa mãn ˜a a ˜c a d˜ a ˜b Do vói MQI so thnc s0 , s1 > đn nho, áp dung bő đe (2.2) h¾ tuyen tính xO = B˜ ) := (B ^(k) − IX ), k ∈ Z, k B˜(t)x, (t µ˜(tk ) T˜ có nh% phân mũ vói ˜c, d˜, L1 , L2 ≥ phép chieu bat bien Q˜t0 : T˜ → L (X ) minh đưoc hồn thành Chúng H¾ qua 2.1 Gia su bat thúc ǁA(t, q∗(τ )) − B(t)ǁ ™ s0, t, τ ∈ T, ≤ µ(t, τ ) ≤ h, có the viet lai sau ǁΦA(t, τ ; q∗(s)) − ΦB(t, τ )ǁ ≤ s0 T, ≤ µ(t, τ ) ≤ h, (2.33) trưàng hap c1 = c2 ∫t ǁA(s; q∗(s)) − B(s) O s ≤ s0 vái t, τ ∈ T, ≤ µ(t, τ ) ≤ h, 1+ (s) à(s)c ieu ú khụng lm thay i ket luắn cua đ%nh lí 2.1 vái t, τ ∈ (2.34) Chú ý 2.2 Đ%nh lí (2.1) trùu tưang có nhieu chi tiet kĩ thu¾t se dùng đe chúng minh rang khái ni¾m nh% phân mũ vung cho h¾ so bien thiên ch¾m Cn the ket qua chớnh phỏt bieu rang neu mđt hắ cú nh% phân mũ liên tnc Holder theo m®t tham so co đ%nh tham so có the đưac thay the bái m®t hàm có hang so Holder tồn cnc đu nhó mà khơng làm thay đői tính nh % phân mũ cua phương trình ban đau Chúng minh Ta có ^(k) − B (k)ǁ = ǁΦA (tk+1 , tk ; q∗ (tk )) − ΦB (tk+1 , tk )ǁ ǁA ^ ∫tk+1 ≤ C 1C ec (tk+ , tk) 1 tk ǁA(s; q∗(s)) − B(s) ∆s + µ(s)c1(s) ≤ s0C1C2E+ c1 (h0, h) Do chi l ieu kiắn xỏc %nh đ lún cna s0 > ko phai khang đ %nh cna đ%nh lý Trong tài li¾u sau [8, đ%nh lí 3.1], [11, đ%nh lí 2] [18, h¾ qua 2] chúng mính đ%nh lí vung cna nh% phân mũ cna phương trình vi phân huu han chieu dưói gia su tương tn (2.33) Trong trưòng hop này, đ%nh lí 2.1 đn cho [8, đ%nh lí 3.1] [15] H¾ qua 2.2 Gia su (Q, d) khơng gian metric, ánh xa A : T × Q → L(X ) rd - liên tnc, so thnc K1 , K2 ≥ 1, C1 C2 ≥ 0, α, β ∈ (0, 1] hàm a, b, ˜c1 , c2 ∈ Crd R+ (T, R), a a b, b b% ch¾n cho vái MQI q ∈ Q gia su (i) Ta có bat thúc Holder ǁA(t, q) − B(t, q)ǁ ≤ L(q, q)α, Q (2.35) t ∈ T, q ∈ (ii) H¾ tuyen tính (2.24) có c+- tăng b% ch¾n vái hang so C1 (iii) H¾ tuyen tính (2.24) có nh% phân mũ vái a, b, K1, K2 phép chieu bat bien Pq : T → L(X ) Ngồi ra, lay bat kì co đ%nh hàm c, d ∈ Crd R˜+ (T, R) (2.26) ta có the CHQN so thnc < h0 ≤ h, |µ| ≤ h đu lán − − (iv) K1K2 < Eb− g (h0, h), K1 < Ecg (h0, h) K2 < E gb (h0, h) a a ˜ , ≤, ˜µ) (v) (T (h0, h) - thang thài gian rài rac d Khi đó, ton tai so thnc s0, s1 > phn thu®c vào h0, h, a, b, c, d, c1, c2, d2, C1, C2, K1, K2 cho ánh xa q∗ : T → Q thóa mãn (vi) Đieu ki¾n Holder d(q∗ (t), q∗ (τ )) ≤ θ|µ(t, τ )|β t, τ ∈ T, (2.36) θ ≥ thóa mãn Lθαhαβ ≤ s0, Lθαhαβ max{K1, K2}Ca,b(c, d) ≤ s1 (vi) H¾ phương trình tuyen tính xO = A(t, q∗ (t))x (2.37) có (c2, d2) - tăng b% ch¾n vái C2 H¾ phương trình tuyen tính có nh% phân mũ vái c, d : T → R đưac xác đ%nh (2.22), L1, L2 ≥ phép chieu bat bien Q : T → L(X ) Chú ý 2.3 (i) Tính chat q∗ : T → Q bien đői ch¾m theo thài gian đưac su dnng đieu ki¾n Holder (2.36) Trong khơng gian Banach Q ánh xa kha vi q∗ , ngưài ta có the su dnng đ%nh lí giá tr% trung bình thang thài gian cn the [7,trang 16-17 h¾ qua 3.3(i)] đe thay rang (2.36) thóa mãn vái β = 1, neu đao hàm q∗∆ : T → Q có giá tr% đu nhó Đieu thưàng đưac dùng úng dnng lý thuyet nhieu cua phương trình đ®ng lnc thang thài gian (ii) Ta có the su dnng hắ qua (2.2) nh l mđt tiờu chuan cho nh% phân mũ cua h¾ tuyen tính (1.9) Trong thnc te ta gia su rang • • h ≤ µ(t) ≤ H vái MQI t ∈ T so thnc h, H > • Ton tai so thnc α < β, α ∈ Rh thóa mãn phő cua A(t0) ∈ L(X ), t0 ∈ T có the đưac phân tích thành nhung t¾p đóng rài σ1(t0), σ2(t0) vái sup R λ < α < β < RHλ, H inf λ∈σ1(t t0 ∈ T, λ∈σ2(t0) tù h¾ bat bien thài gian x∆ = A(t0)x, t0 ∈ T co đ%nh, có nh% phân mũ |1 + tz| − R λ := lim , z ∈ C, vái + hz 0, H GQI t\h t phan thnc Hilger Bây già h¾ qua (2.2) vái Q = T, metric d(t, τ ) := |µ(t, τ )|, q∗ (t) := t, có nghĩa (1.9) có nh% phân mũ vái gia thiet ǁA(t) − A(τ )ǁ ≤ L|µ(t, τ )|α vái t, τ ∈ T L ≥ đu nhó Chúng minh Xem [19] Ket lu¾n Trong lu¾n văn này, chúng tơi chúng minh tính nh% phân mũ cna h¾ tuyen tính x∆ = B(t)x, t ∈ T vói gia thiet phương trình đn gan h¾ nh% phân mũ x∆ = A(t, q)x, t ∈ T vói tham bien bien thiên ch¾m Phương pháp chúng minh cő đien, dna theo khái ni¾m nh% phân mũ thang thòi gian Tuy nhiên, sn có m¾t cna tham bien mà tính tốn tro nên phúc tap nhieu so vói trưịng hop h¾ tuyen tớnh khụng phu thuđc tham so Ti liắu tham khao [1]B Aulbach, S Hilger, Linear dynamic processes with inhomogeneous time scale, in Nonlinear Dynamics and Quantum Dynamical Systems, G.A Leonov, et al., eds., Akademie-Verlag, Berlin, 1990, 9-20 [2]M Bohner, A Peterson, Dynamic Equations on Time Scales - An Introduction with Applications, Birkhauser, Boston, 2001 [3]W.A Coppel , Dichotomies in Stability Theory, Lecture Notes in Mathematics, 629, Springer-Verlag, Berlin, 1978 [4]C.V Coffman , J.J Schaeffer, Dichotomies for linear difference equations, Mathematische Annalen 172 (1967), 139–166 [5]J.L Daleckii,M.G Kreiin, Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space, Translations of Mathematical Monographs, Vol 43, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1974 [6]D Henry, Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Notes in Mathematics, 840, Springer-Verlag, Berlin, 1980 Lecture [7]S Hilger, Analysis on measure chains – a unified approach to continuous and discrete calculus, Results in Mathematics 18 (1990), 18–56 [8]R.A Johnson, Remarks on linear differential systems with measurable coefficients, Proc Am Math Soc 100(3) (1987), 491–504 [9]J Kalkbrenner, Exponential Dichotomy and Chaotic Dynamic of Noninvertible Difference Equations (in german), Ph.D Thesis, University of Augsburg, 1994 (available from Wißner Verlag, Augsburg, ISBN 3-928898-57-4) [10]J.S Muldowney, Dichotomies and asymptotic behaviour for linear differential systems, Trans Am Math Soc 283 (1984), 465–484 [11]K.J Palmer, A perturbation theorem for exponential dichotomies, Proc R Soc.Edinb., Sect A 106 (1987), 25–37 [12]C Poetzsche, Exponential dichotomies for linear dynamic equations, Nonlinear Analysis (TMA) 47(2) (2001), 873–884 [13] ——, Slow Fiber Bundles of Dynamic Equations on Measure Chains (in german), Ph.D Thesis, University of Augsburg, 2002 (available from Logos Verlag, Berlin, ISBN 3-8325-0016-2) [14] —–, Slow and fast variables in nonautonomous difference equations, Journal of Difference Equations and Applications 9(5) (2003), 473–487 [15]K Sakamoto, A remark on perturbation theorems chotomies, private correspondence, March 2000 for exponential di- [16]—–, Estimates on the strength of exponential dichotomies and application to integral manifolds, Journal of Differential Equations 107 (1994), 259– 279 [17]R.J Sacker, G.R Sell, A spectral theory for linear differential systems, Journal of Differential Equations 27 (1978), 320–358 [18]N Van Minh, Spectral theory for linear non-autonomous differential equations, J Math Anal Appl 187 (1994), 339–351 [19]Christian Poetzsche, Exponential Dichotomies of Linear Dynamic Equations on Measure Chains under Slowly Varying Coefficients, J Math Anal Appl., 289 (2004), 317–335 ... ve thang thịi gian 1.2 Nh% phân mũ cna phương trình vi phân sai phân 1.3 Nh% phân mũ thang thòi gian 1.4 Bő đe Gronwall 17 Nh% 2.1 2.2 Ket phân mũ thang thài gian 20 Nh% phân. .. kien thúc ban thang thòi gian, nh% phân mũ không gian huu han chieu, bő đe Gronwall Qua đưa khái ni¾m nh% phân mũ thang thịi gian 1.1 Các khái ni¾m ban ve thang thài gian GQI X khơng gian Banach... (1.8) 1.3 Nh% phân mũ thang thài gian Trong phan này, se giói thi¾u khái ni¾m nh% phân mũ thang thịi gian, tính b% ch¾n cna tốn tu d%ch chuyen Vói phương trình đ®ng lnc thang thịi gian gia su h¾
Ngày đăng: 24/12/2021, 20:11
Xem thêm:
