Tuyến tính hóa của phương trình động lực trên thang thời gian

I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN KHOA TON C TIN TRN TH HOI TUYN TNH HểA CA PHNG TRèNH NG LC TRấN THANG THI GIAN LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: TON GII TCH Mó s : 60 46 01 02 NGI HNG DN KHOA HC TS Lấ HUY TIN H Ni - Nm 2014 Mc lc Li cm n Li núi u Kin thc chun b 1.1 Thang thi gian 1.1.1 nh ngha 1.1.2 Hm m 1.1.3 Mt s kớ hiu 1.1.4 o hm trờn thang thi gian 1.2 1.3 1 Nh phõn m Nguyờn lớ im bt ng 11 Tuyn tớnh húa trờn thang thi gian 2.1 2.2 ii iii 12 Gii thiu bi toỏn 12 nh lớ tuyn tớnh húa 16 Tuyn tớnh húa h tun hon trờn thang thi gian 29 3.1 Thang thi gian tun hon 29 3.2 Tuyn tớnh húa trng hp tun hon 30 Kt lun 33 Ti liu tham kho 34 i Li cm n hon thnh c chng trỡnh o to v hon thin lun ny, thi gian va qua tụi ó nhn c rt nhiu s giỳp quớ bỏu ca gia ỡnh, thy cụ v bn bố Vỡ vy, nhõn dp ny, tụi mun c gi li cm n ti mi ngi Li u tiờn, tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti TS Lờ Huy Tin, thy ó rt nhit tỡnh hng dn v ch bo tụi quỏ trỡnh hon thnh lun Tụi cng xin gi li cm n chõn thnh ti tt c cỏc thy cụ khoa, nhng ngi ó trc tip truyn th kin thc, ging dy tụi quỏ trỡnh hc cao hc Tụi xin cm n Ban ch nhim khoa Toỏn - C - Tin hc, phũng Sau i Hc trng i hc Khoa hc T nhiờn ó to iu kin thun li tụi hon thin cỏc th tc bo v lun Cui cựng, tụi xin cm n cha m tụi, nhng ngi luụn yờu thng v ng h tụi vụ iu kin ii Li núi u Gn õy, lớ thuyt phng trỡnh ng lc trờn thang thi gian c phỏt trin mt cỏch cú h thng nhm hp nht v suy rng lớ thuyt phng trỡnh vi phõn v phng trỡnh sai phõn Lun trỡnh by lớ thuyt phng trỡnh ng lc trờn thang thi gian vi bi toỏn tuyn tớnh húa Xột h phng trỡnh tuyn tớnh x = A(t)x, (1) v h phng trỡnh na tuyn tớnh x = A(t)x + f (t, x) (2) ú, t T, A Crd (T, L(X)) Bng vic gii thiu khỏi nim hm tng ng tụpụ chỳng tụi s nghiờn cu mi quan h gia h phng trỡnh tuyn tớnh (1) v h phng trỡnh na tuyn tớnh (2) Trong lun vn, chỳng tụi s gii thiu mt vi iu kin m bo cho s tn ti ca hm tng ng H (t, x) bin nghim (c, d) - ta b chn ca h phng trỡnh na tuyn tớnh (2) lờn h phng trỡnh tuyn tớnh (1) Chỳng tụi m rng nh lớ tuyn tớnh húa ca Palmer v phng trỡnh h ng lc trờn thang thi gian õy, chỳng tụi cng trỡnh by mt phng phỏp gii tớch mi nghiờn cu bi toỏn tng ng tụpụ trờn thang thi gian Kt qu l mi trng hp T = R a mt cỏch y cỏc phng phỏp khỏc nghiờn cu bi toỏn tng ng tụpụ, chỳng tụi xem xột cỏc kt qu khỏc t cụng trỡnh nghiờn cu u tiờn ca Higler Hn na, chỳng tụi s chng minh hm tng ng H (t, x) cng l - tun hon h l tun hon Ni dung chớnh ca lun l nh lớ tuyn tớnh húa trờn thang thi gian chng minh s tng ng tụpụ gia h phng trỡnh na tuyn tớnh (2) v h phng trỡnh tuyn tớnh (1) Chỡa khúa gii quyt ny l cỏc khỏi nim nh phõn m, v xõy dng hm tng ng tụpụ H (t, x) Ni dung lun trỡnh by kt qu chớnh bi bỏo " A new analytical method for the linearization of dynamic equation on measure chains" ca Yonghui Xia, Jinde Cao v Maoan Han Lun c chia thnh ba chng iii Chng 1: trỡnh by khỏi nim c bn trờn thang thi gian v cỏc kớ hiu, khỏi nim nh phõn m ca phng trỡnh vi phõn, phng trỡnh sai phõn v khỏi nim nh phõn m trờn thang thi gian Chng 2: chng minh s tn ti hm tng ng tụpụ ca h phng trỡnh na tuyn tớnh v h phng trỡnh tuyn tớnh õy chớnh l mc ớch chớnh ca lun Chng 3: chng minh hm tng ng l - tun hon nu h tuyn tớnh l - tun hon trờn thang thi gian Do thi gian v nng lc cú hn, cú th lun cũn nhng sai sút Tỏc gi mong mun nhn c s gúp ý ca cỏc thy, cỏc cụ v cỏc bn ng nghip H ni, thỏng 12 nm 2014 Trn Th Hoi iv Chng Kin thc chun b 1.1 Thang thi gian 1.1.1 nh ngha nh ngha 1.1 Thang thi gian l úng, khỏc rng tựy ý ca s thc R Kớ hiu thang thi gian l T Cỏc R, Z, N, [0, 1] [2, 3] l vớ d v thang thi gian Sau õy ta nh ngha toỏn t nhy tin, toỏn t nhy lui v hm graininess trờn thang thi gian nh ngha 1.2 C nh t T Toỏn t : T T xỏc nh bi (t) := inf {s T : s > t} c gi l toỏn t nhy tin trờn thang thi gian T Vớ d: Nu T = Z thỡ (n) = n + Nu T = R thỡ (t) = t nh ngha 1.3 C nh t T Toỏn t : T T xỏc nh bi (t) := sup{s T : s < t} c gi l toỏn t nhy lui trờn thang thi gian T Vớ d: Nu T = Z thỡ (n) = n Nu T = R thỡ (t) = t Ta gii thiu khỏi nim im ri rc trỏi, ri rc phi, trự mt trỏi, trự mt phi, im b cụ lp v im trự mt nh sau Nu (t) > t, ta núi t l ri rc phi Nu (t) < t, ta núi t l ri rc trỏi Nu (t) < t < (t), ta núi t b cụ lp Nu (t) = t, ta núi t trự mt phi Nu (t) = t, ta núi t trự mt trỏi Nu (t) = t = (t), ta núi t trự mt nh ngha 1.4 Hm : T [0, ) xỏc nh bi à(t) := (t) t c gi l hm graininess Vớ d: Nu T = Z, ta cú à(n) = Nu T = R, ta cú à(t) = Ta nh ngha T = T \ ( (supT) , supT) nu supT < T nu supT = Sau õy ta gii thiu mt s khỏi nim liờn quan n hm m trờn thang thi gian 1.1.2 Hm m Ta kớ hiu tt c cỏc hm regressive v rd - liờn tc f : T R bi R = R(T) = R(T, R) nh ngha 1.5 Gi s p R, ta nh ngha hm m tng quỏt trờn thang thi gian nh sau t ep (t, s) = exp à( ) (p( )) s ú, à( ) (p( )) = Log (1 + à( )p( )) ( ) , t, s T B 1.1 Vi p R, ta cú ep (t, )ep (, s) = ep (t, s), , s, t T Chng minh Gi s p R vi , s, t T, ta cú t ep (t, )ep (, s) = exp à( ) (p( )) exp à( ) (p( )) s t = exp à( ) (p( )) + à( ) (p( )) s t = exp à( ) (p( )) s = ep (t, s) B c chng minh Chỳng ta gii thiu mt s tớnh cht ca hm m nh lớ sau nh lý 1.1 Gi s cỏc hm p, q R Khi ú ta cú (i) e0 (t, s) v ep (t, t) 1; (ii)ep ( (t), s) = (1 + à(t)p(t))ep (t, s); = e p (t, s); (iii) ep (t, s) (iv) ep (t, s) = = e p (s, t); ep (s, t) (v) ep (t, s)eq (t, s) = epq (t, s); ep (t, s) (vi) = ep q (t, s) eq (t, s) Chng minh Xem [ ] Bõy gi ta s gii thiu mt s kớ hiu c dựng lun 1.1.3 Mt s kớ hiu Gi s T l thang thi gian tựy ý vi hm b chn graininess v X l khụng gian Banach thc hoc phc vi chun ã Gi L (X1 , X2 ) l khụng gian tuyn tớnh cỏc ỏnh x tuyn tớnh liờn tc vi chun xỏc nh bi T := sup T x , T L (X1 , X2 ) x =1 Gi GL (X1 , X2 ) l cỏc ng cu tuyn tớnh gia hai khụng gian X1 , X2 ca X IX1 l ỏnh x ng nht trờn X1 L (X) := L (X, X) N (T ) = T ({0}) l khụng gian nhõn R (T ) := TX l khong bin thiờn ca T L (X) Mt vi kớ hiu c trng cho phộp toỏn trờn thang thi gian T+ := {t T : t }, T T := {t T : t }, T Ta cng dựng kớ hiu + ch toỏn t nhy tin, tc l + (t) = (t), t T Tp J T c gi l khụng b chn trờn (tng ng di) nu {à (t, ) R : t J, T} khụng b chn trờn (tng ng di) o hm riờng cp ca ỏnh x : T ì T X, kớ hiu l Crd (T , X) l cỏc ỏnh x rd - liờn tc t T n X Crd R+ (T , R) l khụng gian tuyn tớnh ca cỏc hm regressive vi cỏc phộp toỏn i s (a b)(t) := a(t) + b(t) + à(t)a(t)b(t), a(t) b(t) , (a b)(t) := + à(t)b(t) (1 + ha(t)) ( a)(t) := lim , t T , h h à(t) ú a, b Crd R+ (T , R) , R v Crd R+ (T , R) := {a Crd (T , R) : + (t) a (t) > 0, t T } Nu T = R thỡ (a b)(t) := a(t) + b(t), (a b)(t) := a(t) b(t) Nu T = Z thỡ (a b)(t) := a(t) + b(t) + a(t)b(t), a(t) b(t) (a b)(t) := + b(t) Vi T c nh v c, d Crd R+ (T , R) ta nh ngha + B,c (X) := { Crd T+ , X : sup (t) e c (t, ) < }, t B,d (X) := { B,c,d (X) := Crd T ,X : sup (t) e d (t, ) < }, t Crd (T , X) | T : sup (t) e c (t, ) < , t sup (t) e d (t, ) < t l khụng gian tuyn tớnh cỏc ỏnh x c+ - ta b chn v d - ta b chn Cỏc khụng gian trờn l khụng gian Banach vi chun + ,c := sup (t) e c (t, ), ,c,d t := max{ |T+ + ,c , |T ,d := sup (t) e d (t, ), t ,d } ú ec (t, ) l hm m thc trờn T Cú th d dng thy rng (t) + ,c ec (t, ), t ( ) + ,c T+ , (t) ,c,d , ( ) ,d ed (t, ), t ,d ,c,d T , Mt s kớ hiu vit tt b a := inf {b(t) a(t)}, tT a b : < b a , a b : b a ú hai hm regressive a, b Crd R+ (T , R) c kớ hiu l bc tng nu sup à(t)a(t) < v sup à(t)b(t) < tT tT Khi ú ta thu c cỏc gii hn sau lim ea b (t, ) = 0, lim eb a (t, ) = t t vi bc tng a b khụng b chn trờn (tng ng di) trờn thang thi gian Khỏi nim kh vi delta trờn thang thi gian c gii thiu di õy Ti liu tham kho [1] Martin Bohner, Allan Peterson, Dynamic Equations on Time Scales, May 4, 2001 [2] Martin Bohner, Allan Peterson, Advances in dynamic Equations on Time Scales, 2003 [3] Yonghui Xia, Jinde Cao, Maoan Han, A new analytical method for the linearization of dynamic equation on measure chains, Scince Direct, 235 (2007) 527 - 543 [4] C Potzsche, Exponential Dichotomies for Dynamic Equations on Measure Chains, Nonlinear Analysis 47 (2001) 873 - 884 [5] C Potzsche, Langsame Faserbundel Dynamischer Gleichungen auf MaBketten, PhD thesis, Logos Verlag, Berlin, 2002 [6] C Potzsche, Exponential dichotomies of linear dynamic equations on measure chain under slowly varying coefficients, J Math Anal Appl 289 (2004) 317 - 335 [7] C Potzsche, Exponential dichotomies for linear dynamic equations, Nonlinear Anal 47 (2001) 873 - 884 [8] K.J Palmer, A generalization of Hartmans linearization theorem, J Math Anal Appl 41 (1973) 753 - 758 [9] J Shi, J Zhang, Classification of the Differential Equations, Science Press, BeiJing, 2003 [10] Andrzej Granas, James Dugundji, Fixed point theory, Springer Press, 2003 34