Nhị phân mũ của phương trình động lực trên thang thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN TRẦN THỊ LOAN NHỊ PHÂN MŨ CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ HUY TIỄN Hà Nội - Năm 2014 Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm thang thời gian 1.2 Nhị phân mũ phương trình vi phân sai phân 1.3 Nhị phân mũ thang thời gian 1.4 Bổ đề Gronwall Nhị 2.1 2.2 Kết ii iii 1 9 17 phân mũ thang thời gian 20 Nhị phân mũ thang thời gian rời rạc 20 Định lý 28 luận 35 Tài liệu tham khảo 36 i Lời cảm ơn Để hồn thành chương trình đào tạo hoàn thiện luận văn này, thời gian vừa qua nhận nhiều giúp đỡ q báu gia đình, thầy bạn bè Vì vậy, này, tơi muốn gửi lời cảm ơn tới người Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn, thầy nhiệt tình hướng dẫn bảo tơi q trình hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất thầy cô khoa, người trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy q trình học cao học Tơi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn-Cơ-Tin học, phịng Sau Đại Học trường Đại học Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thiện thủ tục bảo vệ luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn cha mẹ tôi, người yêu thương ủng hộ tơi vơ điều kiện ii Lời nói đầu Nhị phân mũ phương trình tuyến tính khơng ơtơnơm khái niệm suy rộng tính hyperbolic phương trình tuyến tính ơtơnơm Nhị phân mũ đóng vai trị quan trọng nhiều toán lý thuyết hệ động lực khơng ơtơnơm, chẳng hạn tốn nhiễu Nhị phân mũ phương trình vi phân tìm thấy sách [3,5] Nhị phân mũ phương trình sai phân có chẳng hạn [4] [6, mục 7.6] Cả hai khái niệm thống Phép tính thang thời gian (xem [7,12,13]) Phép toán cho phép đồng thời nghiên cứu phương trình vi phân, phương trình sai phân trường hợp riêng phương trình động lực thang thời gian (xem [2]) Xét hệ tuyến tính x∆ = A(t, q )x, (1) x∆ = B (t)x (2) hệ tuyến tính đó, t ∈ T, A(., q ) ∈ Crd (T, L(X )) Với giả thiết hệ (1) có nhị phân mũ phụ thuộc tham số q , ta đưa thêm vài điều kiện để hệ (2) có nhị phân mũ Trong luận văn chúng tơi kết nhiễu cho phương trình động lực tuyến tính phụ thuộc tham số thang thời gian khơng gian Banach tùy ý Ứng dụng kết tính vững nhị phân mũ hệ với hệ số toán tử biến đổi chậm: nghĩa giả sử phương trình tuyến tính phụ thuộc tham số x = A(t, q )x có nhị phân mũ với tham số q , sau ta thay giá trị q hàm q∗ (t) biến đổi chậm theo thời gian Khi phương trình x = A(t, q∗ (t))x có nhị phân mũ Đây điều kiện đủ đặt lên hệ số tốn tử để phương trình động lực có nhị phân mũ Để giải vấn đề này, sử dụng kỹ thuật phương trình động lực thang thời gian, tính bị chặn hệ số toán tử, xây dựng hệ tuyến tính phụ thuộc tham số thang thời gian có nhị phân mũ Nội dung luận văn dựa báo [C Poetzsche, Exponential Dichotomies of Linear Dynamic Equations on Measure Chains under Slowly Varying Coefficients, J Math Anal Appl., 289 (2004), 317–335.] Luận văn chia thành hai chương Chương 1: trình bày khái niệm thang thời gian, nhị phân mũ iii không gian hữu hạn chiều, nhị phân mũ thang thời gian bất đẳng thức Gronwall Chương 2: chứng minh hệ tuyến tính nhiễu có nhị phân mũ với giả thiết hệ tuyến tính ban đầu phụ thuộc tham số có nhị phân mũ Đây mục đích luận văn Do thời gian lực có hạn, luận văn cịn sai sót Tác giả mong muốn nhận góp ý thầy, bạn đồng nghiệp Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Trần Thị Loan iv Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn nhắc lại số kiến thức thang thời gian, nhị phân mũ khơng gian hữu hạn chiều, bổ đề Gronwall Qua đưa khái niệm nhị phân mũ thang thời gian 1.1 Các khái niệm thang thời gian Gọi X không gian Banach thực phức với chuẩn ; L(X ) không gian tuyến tính tự đồng cấu liên tục X với chuẩn xác định T := sup x =1 Tx Kí hiệu GL(X ) tập đẳng cấu tuyến tính X IX ánh xạ đồng X Định nghĩa 1.1 Thang thời gian T tập đóng, khác rỗng tùy ý tập số thực R Tập số thực R, tập số nguyên Z, tập số tự nhiên N tập số nguyên dương N0 , thang thời gian Tập số hữu tỷ, số vô tỷ, khoảng mở (0,1) không thang thời gian Ta định nghĩa đạo hàm f ∆ hàm f xác định T cho (i) f ∆ = f đạo hàm thông thường T = R (ii) f ∆ = ∆f T = Z Các toán tử nhảy tiến toán tử nhảy lùi thang thời gian mô cách thời gian biến thiên thang thời gian Định nghĩa 1.2 Giả sử T thang thời gian Với t ∈ T toán tử nhảy tiến σ : T → T xác định σ (t) := inf {s ∈ T : s > t}, toán tử nhảy lùi ρ(t) : T → T xác định ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t} Nếu σ (t) > t ta nói t điểm rời rạc phải ρ(t) < t ta nói t điểm rời rạc trái Những điểm vừa rời rạc trái vừa rời rạc phải gọi điểm cô lập Nếu σ (t) = t ta nói t điểm trù mật phải ρ(t) = t ta nói t điểm trù mật trái Những điểm vừa trù mật phải vừa trù mật trái gọi trù mật Định nghĩa 1.3 Giả sử T có điểm lập trái lớn m, tập Tκ = T − {m} Do Tκ = T \ (ρ (supT) , supT) T supT < ∞ supT = ∞ Định nghĩa 1.4 Ánh xạ µ : T → R+ xác định µ(t) = σ (t) − t gọi hàm hạt graininess Ví dụ 1.1 (i) Nếu T = R với t ∈ R σ (t) = inf {s ∈ R : s > t} = inf (t, ∞) = t Tương tự ρ(t) = t Hàm graininess µ(t) = σ (t) − t = (ii)Nếu T = Z với t ∈ Z σ (t) = inf {s ∈ Z : s > t} = inf (t + 1, t + 2, t + ) = t + Tương tự ρ(t) = t − Hàm graininess µ(t) = σ (t) − t = Định nghĩa 1.5 (T, µ) thang thời gian rời rạc T = {tk }k∈Z , ∃ h0 , h > cho h0 ≤ µ(tk+1 , tk ) ≤ h, k ∈ Z (1.1) Với số thực h0 , h > thang thời gian T Shh0 (T) tập hợp tất thang thời gian rời rạc (T, µ) với T ⊆ T thỏa mãn (1.1) Ngồi ta nói (h0 , h) - thang thời gian (T, ≤, µ) với điểm t0 ∈ T tồn tk , t−k ∈ T, k ∈ N thỏa mãn {tk }k∈Z ∈ Shh0 (T) Với thang thời gian mà không bị chặn dưới, hàm hạt graininess µ xác định, gọi (h0 , h) thang thời gian với h0 > h ≥ h0 + supt∈T µ(t) Ví dụ 1.2 (i) R (h0 , h) - thang thời gian với < h0 ≤ h (ii) Thang thời gian rời rạc hZ, h > có σ (t) = t + h, µ(t) = h hZ hZ (h0 , h) - thang thời gian với h ≤ h0 ≤ h Định nghĩa 1.6 Giả sử hàm f : T → R khả vi t ∈ Tκ Khi với ε > 0, tồn lân cận U t cho |[f (σ (t)) − f (s)] − f ∆ (t)[σ (t) − s]| ≤ ε|σ (t) − s|, s ∈ U (1.2) Khi f ∆ (t) đạo hàm hàm f t Kí hiệu f ∆ (t) df (t) • Cho T = R f ∆ (t) = dt • Cho T = Z f ∆ (t) = f (t + 1) − f (t) Ví dụ 1.3 (i) Giả sử f : T → R xác định f (t) = α, t ∈ T, α ∈ R số, f ∆ = Bởi với ε > 0, |[f (σ (t)) − f (s)] − 0.[σ (t) − s] = |α − α| = ≤ ε|σ (t) − s|, s ∈ T (ii) Giả sử f : T → R xác định f (t) = t, t ∈ T, f ∆ = Bởi với ∀ε > 0, |[f (σ (t)) − f (s)] − 1.[σ (t) − s]| = |σ (t) − s − (σ (t) − s)| = ≤ ε|σ (t) − s|, s ∈ T Định nghĩa 1.7 Ánh xạ φ : T −→ X gọi khả vi (tại t0 ∈ T), tồn đạo hàm φ∆ (t0 ) ∈ X , cho với ε > 0, φ(σ (t0 )) − φ(t) − µ(σ (t0 ), t)φ∆ (t0 ) ≤ ε|µ(σ (t0 ), t)|, với U lân cận t0 • Giả sử T = R φ∆ (t) = φ(t) • Giả sử T = hZ, h > φ∆ (t) = (φ(t + h) − φ(t) h ∀t ∈ U Định lý 1.1 Giả sử f : T → R hàm t ∈ Tκ Khi đó, (i) Nếu f khả vi t, f liên tục t (ii) Nếu f liên tục t t điểm lập phải, f khả vi t với f ∆ (t) = f (σ (t)) − f (t) µ(t) (1.3) (iii) Nếu t điểm trù mật phải, hàm f khả vi t tồn giới hạn hữu hạn f (t) − f (s) lim (1.4) s→t t−s Trong trường hợp đạo hàm f (t) − f (s) s→t t−s f ∆ (t) = lim (iv) Nếu f khả vi t, f (σ (t)) = f (t) + µ(t)f ∆ (t) Định lý 1.2 Giả sử f, g : T → R hàm khả vi t ∈ Tκ Khi (i) Tổng hàm f + g : T → R hàm khả vi t với (f + g )∆ (t) = f ∆ (t) + g ∆ (t) (ii) Với số α, αf : T → R khả vi t với (αf )∆ (t) = αf ∆ (t) (iii) Tích hàm f g : T → R hàm khả vi t với (f g )∆ (t) = f ∆ (t)g (t) + f (σ (t))g ∆ (t) = f (t)g ∆ (t) + f ∆ (t)g (σ (t)) (iv) Giả sử f (t)f (σ (t)) = 0, f (v) Giả sử g (t)g (σ (t)) = 0, f g ∆ f khả vi t với ∆ =− f ∆ (t) f (t)f (σ (t)) f hàm khả vi t với g f ∆ (t)g (t) − f (t)g ∆ (t) = f (t)f (σ (t)) Định nghĩa 1.8 Hàm f : T → R gọi rd - liên tục thỏa mãn (i) Hàm f liên tục điểm trù mật phải t ∈ T (ii) Tồn hữu hạn lims→t− f (s) điểm trù mật phải t ∈ T Tập hợp hàm rd - liên tục kí hiệu Crd Chú ý 1.1 (i) Giả sử f : T → R Khi • Nếu hàm f liên tục, hàm f rd - liên tục • Tốn tử nhảy tiến σ rd - liên tục (ii) Trên thang thời gian T = R, rd - liên tục nghĩa liên tục, T = hZ, h > hàm rd - liên tục Định nghĩa 1.9 Hàm p : T → R gọi regressive + µ(t)p(t) = với ∀t ∈ Tk R = {p : T → R, p ∈ Crd (T) : + µ(t)p(t) = 0, R+ = {p ∈ R : + µ(t)p(t) > 0, ∀t ∈ Tκ }, ∀t ∈ Tκ } Tập hợp hàm quay ngược rd - liên tục kí hiệu R = R(T) = R(T, R) Định lý 1.3 Giả sử hàm f ∈ Crd , a, b ∈ T (i) Nếu T = R b b f (t)∆t = a f (t)dt a (ii) Giả sử T = Z b f (t)∆t = a      t∈[a,b) µ(t)f (t) − t∈[b,a) µ(t)f (t) a < b a = b a > b (iii) Giả sử [a, b] gồm điểm lập  b−1  a < b  t=a f (t) b f (t)∆t = a = b  a  b−1 a > b − t=a f (t) Định nghĩa 1.10 Giả sử p ∈ R đó, ta định nghĩa hàm số mũ thang thời gian sau t ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ ep (t, s) = exp , s Ta có ea⊕b (t, s) = ea (t, s)eb (t, s), t, s ∈ T (xem [7]) t, s ∈ T (1.5) trên, dãy A, B : Z → L(X ) tương ứng với phép chiếu P1 , P2 : Z → L(X ) thỏa mãn A(k )η ≤ θ1 (1 + µ(tk )a(tk ) η với η ∈ R(P1 (k )), (2.9) A(k )ξ ≥ θ2 (1 + µ(tk )b(tk ) ξ với ξ ∈ N (P1 (k )), (2.10) IX − P2 (k ) ≤ K2 , A(k ) ≤ N0 , P2 (k + 1)A(k ) = A(k )P1 (k ), P1 (k ) ≤ K1 , N (P2 (k + 1)) ⊆ R(A(k )), |P2 (k ) ≤ K1 Cố định hàm c, d ∈ Crd R+ (T, R) với a A(k ) − B (k ) ≤ 0, c với k ∈ Z (2.12) b, ta giả sử d P2 (k ) − P1 (k ) ≤ 1, (2.11) 2, với k ∈ Z, (2.13) ≥ thỏa mãn 2 K1 ≤ min{1 − θ1 , θ2 − 1} < 0, Ca,b (c, d) ≤ 1, (2.14) với rút gọn := µ + 2 K1 N0 − 2 K1 Khi đó, hệ phương trình tuyến tính x = B (t)x, B (tk ) := (B (k ) − IX ) với k ∈ Z, µ(tk ) (2.15) T có nhị phân mũ với c, d, L1 , L2 L1 = Ca˜,˜b (˜ c, d˜)Γ+ (d˜) − Ca˜,˜b (˜c, d˜) , L2 = 1+ Ca˜,˜b (˜ c, d˜)Γ+ (d˜) Ca˜,˜b (˜ c, d˜)Γ+ (d˜) − Ca˜,˜b (˜c, d˜) − Ca˜,˜b (˜c, d˜) phép chiếu bất biến Q : T → L(X ) thỏa mãn Q(tk ) − P2 (t) ≤ 1+ Ca˜,˜b (˜ c, d˜)Γ+ (d˜) Ca˜,˜b (˜ c, d˜)2 Γ+ (d˜) − Ca˜,˜b (˜c, d˜) − Ca˜,˜b (˜c, d˜) Chứng minh Xét dãy toán tử Γ : Z → L(X ) xác định Γ(k ) := P2 (k )P1 (k ) + [IX − P2 (k )][IX − P1 (k )] 23 , t ∈ Z , Với P1 (k ), P2 (k ) ∈ L(X ) ta có P2 (k )Γ(k ) ≡ P2 (k )2 P1 (k ) + [P2 (k ) − P2 (k )2 ][IX − P1 (k )] ≡ P2 (k )P1 (k )2 + [IX − P2 (k )][P1 (k ) − P1 (k )2 ] ≡ Γ(k )P1 (k ) Z (2.16) Ngoài IX − Γ(k ) = IX − P2 (k )P1 (k ) − [IX − P2 (k )][IX − P1 (k )] = P1 ( k ) − P2 ( k ) P1 ( k ) + P ( k ) − P2 ( k ) P1 ( k ) = P1 (k )2 − P2 (k )P1 (k ) + P2 (k )2 − P2 (k )P1 (k ) (2.17) = [P1 (k ) − P2 (k )]P1 (k ) + P2 (k )[P2 (k ) − P1 (k )] ≤ P1 ( k ) − P2 ( k ) P1 ( k ) + P2 ( k ) P2 ( k ) − P1 ( k ) ≤ 2K1 P2 (k ) − P1 (k ) ≤ 2 K1 , k ∈ Z (do(2.12), (2.13)) Vậy tốn tử tuyến tính Γ(k ) ∈ L(X ) khả nghịch Khi Γ(k ) ≤ IX + IX − Γ(k ) ≤ + 2 K1 , k ∈ Z Γ(k )−1 ≤ [1 − IX − Γ(k ) ]−1 ≤ [1 + 2 K1 ]−1 , k ∈ Z Từ (2.8) ta có Γ(k )−1 P2 (k ) ≡ P1 (k )Γ(k )−1 Z Cho ánh xạ C : Z → L(X ) xác định C (k ) := A(k )Γ(k )−1 Khi P2 (k + 1)C (k ) ≡ P2 (k + 1)A(k )Γ(k )−1 ≡ A(k )P1 (k )Γ(k )−1 ≡ A(k )Γ(k )−1 P2 (k ) (do(2.18)) ≡ C ( k ) P2 ( k ) Z Vì C (k ) ∈ L(X ) dẫn tới R(C (k )) = R(A(k )) Với η ∈ R(P2 (k )) P1 (k )Γ(k )−1 η ≡ Γ(k )−1 P2 (k )η ≡ Γ(k )−1 Do Γ(k )−1 ∈ R(P1 (k )) C (k )η = A(k )Γ(k )−1 η ≤ θ1 ea (tk+1 , tk ) Γ(k )−1 η θ1 e (t , t ) η ≤ − 2 K1 a k+1 k ≤ ea (tk+1 , tk ) η , k ∈ Z 24 (2.18) Áp dụng bổ đề (2.1) cho dãy C, P2 : Z → L(X ) với giả sử ΨC (k, l)P2 (l)x ≤ ea (tk , tl ) P2 (l)x , x ∈ X , l ≤ k ΨC (k, l)[IX − P2 (l)]x ≥ eb (tk , tl ) [IX − P2 (l)]x , x ∈ X , l ≤ k Toán tử C (k, l) ∈ L(X ), M1 = K1 , M2 = K2 Khi phương trình tuyến tính x∆ = C (t)x, C (tk ) := (C (k ) − IX ), µ(tk ) k∈Z (2.19) T có nhị phân mũ với a, b, K1 , K2 phép chiếu bất biến P (tk ) := P2 , k ∈ Z Do µ(tk ) C (tk ) − B (tk ) = C (k ) − B (k ) ≤ ≤ A(k )Γ(k )−1 − A(k ) + A(k ) − B (k ) ≤ A(k ) Γ(k )−1 IX − Γ(k ) + ε1 ≤ 2ε2 K1 A(k ) Γ(k )−1 + ε1 2ε2 K1 N0 + ε1 k ∈ Z ≤ − 2ε2 K1 Bổ đề chứng minh Cuối đưa vấn đề nhị phân mũ thang thời gian tổng quát Bổ đề 2.3 Giả sử ≤ h0 ≤ h , µ số thực, cho (T, ≤, µ) (h, h0 ) - thang thời gian, C2 ≥ 1, hàm c, c2 , d, d2 ∈ Crd R+ (T, R), d bị chặn trên, d2 rời rạc bị chặn c d, sup ξµ(s) (c(s)) < inf ξµ(s) (d(s)) s∈T s∈T Giả sử hệ tuyến tính x = B (t)x T, với B ∈ Crd R(T, L(X )) Giả sử (i) Hệ (2.20) có (c2 , d2 ) - tăng bị chặn với số C2 25 (2.20) (ii) Tồn số thực L1 , L2 ≥ cho với thang thời gian rời rạc tùy ý T = {tk }k∈Z ∈ Shh0 (T) Khi phương trình x = B (t)x, B (tk ) := µ(tk+1 , tk ) (ΦB (tk+1 , tk ) − IX ) với k ∈ Z, (2.21) T có nhị phân mũ với c, d : T → R, L1 , L2 , c(tk ) := ec (tk+1 , tk ) − , µ(tk+1 , tk ) d(tk ) := ed (tk+1 , tk ) − , µ(tk+1 , tk ) phép chiếu bất biến Qt0 : T → R, xác định c(t) := υµ(t) sup ξµ(s) (c(s)) , d(t) := υµ(t) s∈T L1 (t) := L1 C2 Ec+2 c (h0 , h), inf ξµ(s) (d(s)) , s∈T L2 (t) := L2 C2 E + d d2 (2.22) (h0 , h), vecto bất biến Q : T → L(X ) với Q(t) := Qt (t) Chứng minh Do hàm d bị chặn d2 rời rạc bị chặn dưới, nên dẫn đến c2 c, d d2 bị chặn Theo bổ đề (1.1) Ec+2 c (h0 , h), Ed+ d2 (h0 , h) < ∞ Giả sử t0 ∈ T tùy ý ta chọn thang rời gian rời rạc T = {tk }k∈Z ∈ Shh0 (T) giống giả sử (ii) Do c, d ∈ Crd R+ (T, R) Áp dụng bất đẳng thức Becnuli ta có tk+1 ed c (tk+1 , tk ) ≥ d c tk d−c µ(tk+1 , tk ) Γ+ (c) d−c ≥1+ h0 k ∈ Z Γ+ (c) ≥1+ Theo tính chất hàm số mũ tk+1 ed (tk+1 , tk ) = exp ξµ(s) (d(s))∆s) ≥ tk tk+1 ≥ exp (với δ := infs∈T ξµ(s) (d(s))) δ tk δh0 ≥ min{e , eδh } 26 k ∈ Z Ngoài ra, d(tk ) − c(tk ) = Vậy c ed (tk+1 , tk )(1 − ec d (tk+1 , tk )) µ(tk+1 , tk ) d Ta có tk+1 lnec (tk+1 , tk ) ln(1 + µ(tk+1 , tk )c(tk )) = = µ(tk+1 , tk ) µ(tk+1 , tk ) µ(tk+1 , tk ) ξµ(s) (c(s))∆s tk tk+1 ≤ supξµ(t) (c(t))∆s µ(tk+1 , tk ) tk = supξµ(t) (c(t)), k ∈ Z Dẫn đến sup k∈Z ln(1 + µ(tk+1 , tk )c(tk )) ≤ sup ξµ(t) (c(t)) µ(tk+1 , tk ) k∈Z (2.23) Ta định nghĩa ánh xạ Pt0 : T → L(X ) xác định Pt0 (t) := ΦB (t, t0 )Qt0 (t0 )ΦB (t0 , t) thỏa mãn Pt0 (t) ≡ Pt0 (t)2 , Pt0 (t)ΦB (t, t0 ) = ΦB (t, t0 )Pt0 (t0 ) T Trong Pt0 phép chiếu bất biến hệ tuyến tính (2.21) Ta có IX + µ(tk+1 , tk )B (tk ) ≡ ΦB (tk+1 , tk ) Z Ánh xạ B : T → L(X ) quay ngược ΦB (tk , tl ) = ΦB (tk , tl ) với k, l ∈ Z Với điểm k ∈ T, t0 ≤ t ta chọn k ∈ N0 lớn thỏa mãn t0 ≤ tk ≤ t cố định ΦB (t, t0 )Pt0 (t0 ) ≤ ΦB (t, tk ) ΦB (tk , t0 )Qt0 (t0 ) = ΦB (t, tk ) ΦB (tk , t0 )Qt0 (t0 ) ≤ C2 ec2 (t, tk )L1 ec (tk , t0 ) 27 Từ bổ đề (1.2) ϑµ(t) : R → R, t ∈ T từ (2.23) dẫn đến ΦB (t, t0 )Pt0 (t0 ) ≤ L1 C2 ec2 (t, tk )ec (tk , t0 ) ≤ L1 C2 ec2 c (t, tk )ec (tk , t0 ) ≤ L1 C2 Ec+2 c (h0 , h)ec (t, t0 ), t0 ≤ t Tương tự ΦB (t, t0 )[IX − Pt0 (t0 ) ≤ L2 C2 Ed+ d2 (h0 , h)ed (t, t0 ), t0 ≤ t Do hệ (2.21) có nhị phân mũ với c, d phép chiếu bất biến Q : T → L(X ) Hoàn thành chứng minh 2.2 Định lý Sau vào kết luận văn Trong trường hợp phương trình vi phân xem [6, trang 240-241, Định lí 7.6.12] Định lý 2.1 Giả sử Q tập hợp khác rỗng ánh xạ A( , q ) ∈ Crd (T, L(X )), q ∈ Q, B ∈ Crd R(T, L(X )), số thực C1 , C2 , K1 , K2 ≥ Các hàm a, b, c1 , c2 , d2 ∈ Crd R+ (T, L(X )), a b, b bị chặn c1 , c2 rời rạc bị chặn thỏa mãn với q ∈ Q (i) Hệ tuyến tính x = A(t, q )x (2.24) có c+ - tăng bị chặn với C số (ii) Hệ tuyến tính (2.24) có nhị phân mũ với a, b, K1 , K2 phép chiếu bất biến Pq : T → L(X ) (iii) Hệ tuyến tính x = B (t)x (2.25) có (c2 , d2 ) tăng bị chặn với C số Hơn nữa, cho hàm cố định tùy ý c, d ∈ Crd R+ (T, L(X )) với a ✁ c ✁ d ✁ b sup ξµ(s) (c(s)) < inf ξµ(s) (d(s)) s∈T s∈T Chọn < h0 ≤ h đủ lớn để (iv) K1 K2 < Eb− a (h0 , h), K1 < Ec− a (h0 , h) K2 < Eb− d (h0 , h) 28 (2.26) (v) (T, ≤, µ) (h0 , h) - thang thời gian Do vậy, tồn , > phụ thuộc vào h0 , h, a, b, c1 , c2 , d, d2 , C1 , C2 , K1 , K2 cho tồn ánh xạ q∗ : T → Q với A(t, q∗ (τ )) − B (t) 0, t, τ ∈ T, ≤ µ(t, τ ) ≤ h (2.27) Pq∗ (t) (t) − Pq∗ (τ ) (τ ) 1, t, τ ∈ T, h0 ≤ µ(t, τ ) ≤ h (2.28) Khi đó, phương trình tuyến tính (2.25) có nhị phân mũ với c, d : T → R phép chiếu bất biến Q : T → L(X ) thỏa mãn Q(t) − Pq∗ (t) (t) + Q(t) − Pq∗ (τ ) (τ ) , t, τ ∈ T, h0 ≤ µ(t, τ ) ≤ h (2.29) Chú ý 2.1 (i) Nói chung ta có bất đẳng thức c✂ c, d ✂ d tính nhị phân mũ với hàm c, d định lí (2.1) yếu tính nhị phân mũ với hàm c, d Tuy với thang thời gian đặc biệt T = R, T = Z, T = hZ, h > ta có c = c, d = d c, d hàm Nói riêng bất đẳng thức (2.26) tự động thỏa mãn Ngoài T = hZ, h > ta thay giả thiết (v) bất đẳng thức h ≤ h0 , T = R giả thiết (v) bỏ qua (ii) Ngay trường hợp phương trình vi phân thường (T = R) định lí (2.1) suy rộng kết [16, định lí 1] cụ thể sau: định lí (2.1) khơng gian Banach vơ hạn chiều, cần phương trình (2.24) có bậc tăng bị chặn nửa trục dương; không giả thiết điều kiện hypecbolic hàm c, d (ii) Khi không gian tham số Q có phần tử bất đẳng thức (2.28) khơng cần thiết Lúc định lí (2.1) trở thành định lí tính vững hệ nhị phân mũ với bậc tăng bị chặn Tuy nhiên thang thời gian rời rạc định lí (1.6) tổng quát định lí (2.1) (iv) Nếu thang thời gian xét (tức hàm hạt graininess số) ta thu cơng thức cụ thể cho giá trị cực đại , theo bậc tăng trưởng phương trình (2.24), số nhị phân mũ phương trình (2.25) giá trị h0 , h xem chi tiết [13,trang 125-126] xem [14] Chứng minh Giả sử phương trình (2.24) có ΦA ( ; q ), q ∈ Q toán tử phụ thuộc tham số Ta cần chứng minh bốn điều sau: 29 (I) Giả thiết cho d ∈ Crd R+ (T, L(X )), b bị chặn nên a, d rời rạc bị chặn b a, c a, b d Theo bổ đề (1.1) ta chọn h0 > đủ lớn thỏa mãn giả thiết (iv) định lí Do ta chọn < θ1 < < θ2 cho (θ2 /θ1 )K1 K2 < Eb− a (h0 , h) (II) Giả sử s ∈ T cố định tùy ý Do giả thiết (ii) nên phương trình tuyến tính x = A(t, q∗ (s))x (2.30) có nhị phân mũ với phép chiếu bất biến Pq∗ (s) : T → L(X ) ΦA (t, s; q∗ (s))|N (Pq∗ (s)) : N (Pq∗ (t)) → N (Pq∗ (s)), s ≤ t, song ánh Với ξ ∈ N (Pq∗ (s)), tồn ξ0 ∈ N (Pq∗ (t)) cho ξ = ΦA (t, s; q∗ (s))ξ0 Do N (Pq∗ (s) (t)) ⊆ R(ΦA (t, s; q∗ (s)) s ≤ t (2.31) (III) Theo giả thiết (v) (T, ≤, µ) (h0 , h)- thang thời gian , với t0 ∈ T ta có thang thời gian rời rạc T = {tk }k∈Z ∈ Shh0 (T) Xét dãy toán tử sau A : Z → L(X ), A(k ) := ΦA (tk+1 , tk ; q∗ (tk )) B : Z → L(X ), B (k ) := ΦA (tk+1 , tk ) P1 : Z → L(X ), P1 := Pq∗ (tk ) (tk ) P2 : Z → L(X ), P2 := Pq∗ (tk−1 ) (tk ) thỏa mãn bổ đề (2.2) P1 , P2 ∈ L(X ) phép chiếu với k ∈ Z P2 (k + 1)A(k ) = Pq∗ (tk ) (tk+1 )ΦA (tk+1 , tk , q∗ (tk )) = ΦA (tk+1 , tk , q∗ (tk ))Pq∗ (tk ) (tk+1 ) = A(k )P1 (k ), 30 k ∈ Z Và (2.28) nên N (P2 (k + 1)) = N (Pq∗ (tk ) (tk+1 )) ⊆ R(ΦA (tk+1 , tk , q∗ (tk ))) = R(A(k )), k ∈ Z Giả sử hàm a, b : T → R, xác định a(tk ) := K1 ea (tk+1 , tk ) − θ1 , θ1 µ(tk+1 , tk ) b(tk ) := eb (tk+1 , tk ) − θ2 K2 θ2 K2 µ(tk+1 , tk ) với k ∈ Z, thỏa mãn a, b ∈ Crd R+ (T, R), a b Vì b bị chặn nên b bị chặn Khi từ giả thiết (ii) A(k )η = A(k )P1 (k )η = ΦA (tk+1 , tk ; q∗ (tk ))Pq∗ (tk ) (tk )η ≤ ≤ K1 ea (tk+1 , tk ) η với η ∈ R(P1 (k )) ξ = [IX − P (k )]ξ = ΦA (tk+1 , tk ; q∗ (tk ))ΦA (tk+1 , tk ; q∗ (tk ))[IX − Pq∗ (tk ) (tk )]ξ = ΦA (tk+1 , tk ; q∗ (tk ))[IX − Pq∗ (tk ) (tk )]ΦA (tk+1 , tk ; q∗ (tk ))ξ ≤ K2 eb (tk , tk+1 A(k )ξ với η ∈ N (P1 (k )), A(k )η ≤ θ1 (1 + µ(tk+1 , tk )a(tk ) η A(k )ξ ≥ θ2 + (1 + µ(tk+1 , tk ))a(tk ) ξ với η ∈ R(P1 (k )), với η ∈ N (P1 (k )) Từ giả thiết (ii) ta có với q ∈ Q Pq (s) ≤ K1 , IX − Pq (s) ≤ K2 , với s ∈ T Mặt khác ta có P1 (k ) ≤ K1 , IX − P2 (k ) ≤ K2 , P2 (k ) ≤ K1 , với k ∈ Z Cuối theo (i) bổ đề (1.3) ta có A(k ) = ΦA (tk+1 , tk ; q∗ (tk )) ≤ ≤ C1 ec1 (tk+1 , tk ) ≤ C1 Ec+1 (h0 , h) 31 Từ giả thiết (iv) bổ đề (2.1) ta có A(k ) − B (k ) = ΦA (tk+1 , tk ; q∗ (tk )) − ΦB (tk+1 , tk ) ≤ C12 Γ( c1 + C1 ) hEc1 + C1 (h0 , h) với k ∈ Z, P1 (k ) − P2 (k ) = Pq∗ (tk ) (tk ) − Pq∗ (tk−1 ) (tk ) ≤ (2.32) với k ∈ Z Các hàm c, d : T → R ( c, d ∈ Crd R+ (T, R)) xác định c(tk ) := ec (tk+1 , tk ) − , µ(tk+1 , tk ) d(tk ) := ed (tk+1 , tk ) − , µ(tk+1 , tk ) k ∈ Z, thỏa mãn a c d b Do với số thực , > đủ nhỏ, áp dụng bổ đề (2.2) hệ tuyến tính (B (k ) − IX ), k ∈ Z, x = B (t)x, B (tk ) := µ(tk ) T có nhị phân mũ với c, d, L1 , L2 ≥ phép chiếu bất biến Qt0 : T → L(X ) Chứng minh hoàn thành Hệ 2.1 Giả sử bất đẳng thức A(t, q∗ (τ )) − B (t) µ(t, τ ) ≤ h, viết lại sau ΦA (t, τ ; q∗ (s)) − ΦB (t, τ ) ≤ 0, t, τ ∈ T, ≤ với t, τ ∈ T, ≤ µ(t, τ ) ≤ h, (2.33) với t, τ ∈ T, ≤ µ(t, τ ) ≤ h, (2.34) trường hợp c1 = c2 t τ A(s; q∗ (s)) − B (s) + µ(s)c1 (s) s≤ điều khơng làm thay đổi kết luận định lí 2.1 Chú ý 2.2 Định lí (2.1) trừu tượng có nhiều chi tiết kĩ thuật dùng để chứng minh khái niệm nhị phân mũ vững cho hệ số biến thiên chậm Cụ thể kết phát biểu hệ có nhị phân mũ liên tục Holder theo tham số cố định tham số thay hàm có số Holder tồn cục đủ nhỏ mà khơng làm thay đổi tính nhị phân mũ phương trình ban đầu 32 Chứng minh Ta có A(k ) − B (k ) = ΦA (tk+1 , tk ; q∗ (tk )) − ΦB (tk+1 , tk ) tk+1 A(s; q∗ (s)) − B (s) ∆s + µ(s)c1 (s) ≤ C1 C2 ec1 (tk+1 , tk ) tk ≤ + C1 C2 Ec1 (h0 , h) Do điều kiện xác định độ lớn > ko phải khẳng định định lý Trong tài liệu sau [8, định lí 3.1], [11, định lí 2] [18, hệ 2] chứng mính định lí vững nhị phân mũ phương trình vi phân hữu hạn chiều giả sử tương tự (2.33) Trong trường hợp này, định lí 2.1 đủ cho [8, định lí 3.1] [15] Hệ 2.2 Giả sử (Q, d) không gian metric, ánh xạ A : T × Q → L(X ) rd - liên tục, số thực K1 , K2 ≥ 1, C1 C2 ≥ 0, α, β ∈ (0, 1] hàm a, b, c1 , c2 ∈ Crd R+ (T, R), a b, b bị chặn cho với q ∈ Q giả sử (i) Ta có bất đẳng thức Holder A(t, q ) − B (t, q ) ≤ L(q, q )α , t ∈ T, q ∈ Q (2.35) (ii) Hệ tuyến tính (2.24) có c+ - tăng bị chặn với số C1 (iii) Hệ tuyến tính (2.24) có nhị phân mũ với a, b, K1 , K2 phép chiếu bất biến Pq : T → L(X ) Ngoài ra, lấy cố định hàm c, d ∈ Crd R+ (T, R) (2.26) ta chọn số thực < h0 ≤ h, µ ≤ h đủ lớn (iv) K1 K2 < Eb− a (h0 , h), K1 < Ec− a (h0 , h) K2 < Eb− d (h0 , h) (v) (T, ≤, µ) (h0 , h) - thang thời gian rời rạc Khi đó, tồn số thực , > phụ thuộc vào h0 , h, a, b, c, d, c1 , c2 , d2 , C1 , C2 , K1 , K2 cho ánh xạ q∗ : T → Q thỏa mãn (vi) Điều kiện Holder d(q∗ (t), q∗ (τ )) ≤ θ|µ(t, τ )|β θ ≥ thỏa mãn Lθα hαβ ≤ (vi) Hệ phương trình tuyến tính x 0, t, τ ∈ T, Lθα hαβ max{K1 , K2 }Ca,b (c, d) ≤ = A(t, q∗ (t))x 33 (2.36) (2.37) có (c2 , d2 ) - tăng bị chặn với C2 Hệ phương trình tuyến tính có nhị phân mũ với c, d : T → R xác định (2.22), L1 , L2 ≥ phép chiếu bất biến Q : T → L(X ) Chú ý 2.3 (i) Tính chất q∗ : T → Q biến đổi chậm theo thời gian sử dụng điều kiện Holder (2.36) Trong không gian Banach Q ánh xạ khả vi q∗ , người ta sử dụng định lí giá trị trung bình thang thời gian cụ thể [7,trang 16-17 hệ 3.3(i)] để thấy (2.36) thỏa mãn với β = 1, đạo hàm q∗∆ : T → Q có giá trị đủ nhỏ Điều thường dùng ứng dụng lý thuyết nhiễu phương trình động lực thang thời gian (ii) Ta sử dụng hệ (2.2) tiêu chuẩn cho nhị phân mũ hệ tuyến tính (1.9) Trong thực t ta gi s rng ã h à(t) H với t ∈ T số thực h, H > • Tồn số thực α < β, α ∈ Rh thỏa mãn phổ A(t0 ) ∈ L(X ), t0 ∈ T phân tích thành tập đóng rời σ1 (t0 ), σ2 (t0 ) với sup RH λ < α < β < λ∈σ1 (t0 inf λ∈σ2 (t0 ) RH λ, t0 ∈ T, từ hệ bất biến thời gian x∆ = A(t0 )x, t0 ∈ T cố định, có nhị phân mũ Ở |1 + tz| − , z ∈ C, với + hz = 0, t h RH λ := lim t gọi phần thực Hilger Bây hệ (2.2) với Q = T, metric d(t, τ ) := |µ(t, τ )|, q∗ (t) := t, có nghĩa (1.9) có nhị phân mũ với giả thiết A(t) − A(τ ) ≤ L|µ(t, τ )|α với t, τ ∈ T L ≥ đủ nhỏ Chứng minh Xem [19] 34 Kết luận Trong luận văn này, chứng minh tính nhị phân mũ hệ tuyến tính x∆ = B (t)x, t ∈ T với giả thiết phương trình đủ gần hệ nhị phân mũ x∆ = A(t, q )x, t ∈ T với tham biến biến thiên chậm Phương pháp chứng minh cổ điển, dựa theo khái niệm nhị phân mũ thang thời gian Tuy nhiên, có mặt tham biến mà tính tốn trở nên phức tạp nhiều so với trường hợp hệ tuyến tính không phụ thuộc tham số 35 Tài liệu tham khảo [1] B Aulbach, S Hilger, Linear dynamic processes with inhomogeneous time scale, in Nonlinear Dynamics and Quantum Dynamical Systems, G.A Leonov, et al., eds., Akademie-Verlag, Berlin, 1990, 9-20 [2] M Bohner, A Peterson, Dynamic Equations on Time Scales - An Introduction with Applications, Birkhauser, Boston, 2001 [3] W.A Coppel , Dichotomies in Stability Theory, Lecture Notes in Mathematics, 629, Springer-Verlag, Berlin, 1978 [4] C.V Coffman , J.J Schaeffer, Dichotomies for linear difference equations, Mathematische Annalen 172 (1967), 139–166 [5] J.L Daleckii,M.G Kreiin, Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space, Translations of Mathematical Monographs, Vol 43, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1974 [6] D Henry, Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Lecture Notes in Mathematics, 840, Springer-Verlag, Berlin, 1980 [7] S Hilger, Analysis on measure chains – a unified approach to continuous and discrete calculus, Results in Mathematics 18 (1990), 18–56 [8] R.A Johnson, Remarks on linear differential systems with measurable coefficients, Proc Am Math Soc 100(3) (1987), 491–504 [9] J Kalkbrenner, Exponential Dichotomy and Chaotic Dynamic of Noninvertible Difference Equations (in german), Ph.D Thesis, University of Augsburg, 1994 (available from Wißner Verlag, Augsburg, ISBN 3-928898-57-4) [10] J.S Muldowney, Dichotomies and asymptotic behaviour for linear differential systems, Trans Am Math Soc 283 (1984), 465–484 36 [11] K.J Palmer, A perturbation theorem for exponential dichotomies, Proc R Soc.Edinb., Sect A 106 (1987), 25–37 [12] C Poetzsche, Exponential dichotomies for linear dynamic equations, Nonlinear Analysis (TMA) 47(2) (2001), 873–884 [13] ——, Slow Fiber Bundles of Dynamic Equations on Measure Chains (in german), Ph.D Thesis, University of Augsburg, 2002 (available from Logos Verlag, Berlin, ISBN 3-8325-0016-2) [14] —–, Slow and fast variables in nonautonomous difference equations, Journal of Difference Equations and Applications 9(5) (2003), 473–487 [15] K Sakamoto, A remark on perturbation theorems for exponential dichotomies, private correspondence, March 2000 [16] —–, Estimates on the strength of exponential dichotomies and application to integral manifolds, Journal of Differential Equations 107 (1994), 259–279 [17] R.J Sacker, G.R Sell, A spectral theory for linear differential systems, Journal of Differential Equations 27 (1978), 320–358 [18] N Van Minh, Spectral theory for linear non-autonomous differential equations, J Math Anal Appl 187 (1994), 339–351 [19] Christian Poetzsche, Exponential Dichotomies of Linear Dynamic Equations on Measure Chains under Slowly Varying Coefficients, J Math Anal Appl., 289 (2004), 317–335 37 ... nghiệm (1.8) 1.3 Nhị phân mũ thang thời gian Trong phần này, giới thiệu khái niệm nhị phân mũ thang thời gian, tính bị chặn tốn tử dịch chuyển Với phương trình động lực thang thời gian giả sử hệ... Chương Nhị phân mũ thang thời gian Trong chương này, ta giới thiệu tính nhị phân mũ hệ tuyến tính thang thời gian khác nhau, thang thời gian Z, thang rời rạc thang tổng quát Cuối chứng minh tính nhị. .. Chương 1: trình bày khái niệm thang thời gian, nhị phân mũ iii không gian hữu hạn chiều, nhị phân mũ thang thời gian bất đẳng thức Gronwall Chương 2: chứng minh hệ tuyến tính nhiễu có nhị phân mũ với