TUYẾN TÍNH hóa của PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG lực TRÊN THANG THỜI GIAN

I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN KHOA TON C TIN TRN TH HOI TUYN TNH HểA CA PHNG TRèNH NG LC TRấN THANG THI GIAN LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: TON GII TCH Mó s : 60 46 01 02 NGI HNG DN KHOA HC TS Lấ HUY TIN H Ni - Nm 2014 Mc lc Li cm n Li núi u Kin thc chun b 1.1 Thang thi gian 1.1.1 nh ngha 1.1.2 Hm m 1.1.3 Mt s kớ hiu 1.1.4 o hm trờn thang thi gian 1.2 1.3 1 Nh phõn m Nguyờn lớ im bt ng 11 Tuyn tớnh húa trờn thang thi gian 2.1 2.2 ii iii 12 Gii thiu bi toỏn 12 nh lớ tuyn tớnh húa 16 Tuyn tớnh húa h tun hon trờn thang thi gian 29 3.1 Thang thi gian tun hon 29 3.2 Tuyn tớnh húa trng hp tun hon 30 Kt lun 33 Ti liu tham kho 34 i Li cm n hon thnh c chng trỡnh o to v hon thin lun ny, thi gian va qua tụi ó nhn c rt nhiu s giỳp quớ bỏu ca gia ỡnh, thy cụ v bn bố Vỡ vy, nhõn dp ny, tụi mun c gi li cm n ti mi ngi Li u tiờn, tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti TS Lờ Huy Tin, thy ó rt nhit tỡnh hng dn v ch bo tụi quỏ trỡnh hon thnh lun Tụi cng xin gi li cm n chõn thnh ti tt c cỏc thy cụ khoa, nhng ngi ó trc tip truyn th kin thc, ging dy tụi quỏ trỡnh hc cao hc Tụi xin cm n Ban ch nhim khoa Toỏn - C - Tin hc, phũng Sau i Hc trng i hc Khoa hc T nhiờn ó to iu kin thun li tụi hon thin cỏc th tc bo v lun Cui cựng, tụi xin cm n cha m tụi, nhng ngi luụn yờu thng v ng h tụi vụ iu kin ii Li núi u Gn õy, lớ thuyt phng trỡnh ng lc trờn thang thi gian c phỏt trin mt cỏch cú h thng nhm hp nht v suy rng lớ thuyt phng trỡnh vi phõn v phng trỡnh sai phõn Lun trỡnh by lớ thuyt phng trỡnh ng lc trờn thang thi gian vi bi toỏn tuyn tớnh húa Xột h phng trỡnh tuyn tớnh x = A(t)x, (1) v h phng trỡnh na tuyn tớnh x = A(t)x + f (t, x) (2) ú, t T, A Crd (T, L(X)) Bng vic gii thiu khỏi nim hm tng ng tụpụ chỳng tụi s nghiờn cu mi quan h gia h phng trỡnh tuyn tớnh (1) v h phng trỡnh na tuyn tớnh (2) Trong lun vn, chỳng tụi s gii thiu mt vi iu kin m bo cho s tn ti ca hm tng ng H (t, x) bin nghim (c, d) - ta b chn ca h phng trỡnh na tuyn tớnh (2) lờn h phng trỡnh tuyn tớnh (1) Chỳng tụi m rng nh lớ tuyn tớnh húa ca Palmer v phng trỡnh h ng lc trờn thang thi gian õy, chỳng tụi cng trỡnh by mt phng phỏp gii tớch mi nghiờn cu bi toỏn tng ng tụpụ trờn thang thi gian Kt qu l mi trng hp T = R a mt cỏch y cỏc phng phỏp khỏc nghiờn cu bi toỏn tng ng tụpụ, chỳng tụi xem xột cỏc kt qu khỏc t cụng trỡnh nghiờn cu u tiờn ca Higler Hn na, chỳng tụi s chng minh hm tng ng H (t, x) cng l - tun hon h l tun hon Ni dung chớnh ca lun l nh lớ tuyn tớnh húa trờn thang thi gian chng minh s tng ng tụpụ gia h phng trỡnh na tuyn tớnh (2) v h phng trỡnh tuyn tớnh (1) Chỡa khúa gii quyt ny l cỏc khỏi nim nh phõn m, v xõy dng hm tng ng tụpụ H (t, x) Ni dung lun trỡnh by kt qu chớnh bi bỏo " A new analytical method for the linearization of dynamic equation on measure chains" ca Yonghui Xia, Jinde Cao v Maoan Han Lun c chia thnh ba chng iii Chng 1: trỡnh by khỏi nim c bn trờn thang thi gian v cỏc kớ hiu, khỏi nim nh phõn m ca phng trỡnh vi phõn, phng trỡnh sai phõn v khỏi nim nh phõn m trờn thang thi gian Chng 2: chng minh s tn ti hm tng ng tụpụ ca h phng trỡnh na tuyn tớnh v h phng trỡnh tuyn tớnh õy chớnh l mc ớch chớnh ca lun Chng 3: chng minh hm tng ng l - tun hon nu h tuyn tớnh l - tun hon trờn thang thi gian Do thi gian v nng lc cú hn, cú th lun cũn nhng sai sút Tỏc gi mong mun nhn c s gúp ý ca cỏc thy, cỏc cụ v cỏc bn ng nghip H ni, thỏng 12 nm 2014 Trn Th Hoi iv Chng Kin thc chun b 1.1 Thang thi gian 1.1.1 nh ngha nh ngha 1.1 Thang thi gian l úng, khỏc rng tựy ý ca s thc R Kớ hiu thang thi gian l T Cỏc R, Z, N, [0, 1] [2, 3] l vớ d v thang thi gian Sau õy ta nh ngha toỏn t nhy tin, toỏn t nhy lui v hm graininess trờn thang thi gian nh ngha 1.2 C nh t T Toỏn t : T T xỏc nh bi (t) := inf {s T : s > t} c gi l toỏn t nhy tin trờn thang thi gian T Vớ d: Nu T = Z thỡ (n) = n + Nu T = R thỡ (t) = t nh ngha 1.3 C nh t T Toỏn t : T T xỏc nh bi (t) := sup{s T : s < t} c gi l toỏn t nhy lui trờn thang thi gian T Vớ d: Nu T = Z thỡ (n) = n Nu T = R thỡ (t) = t Ta gii thiu khỏi nim im ri rc trỏi, ri rc phi, trự mt trỏi, trự mt phi, im b cụ lp v im trự mt nh sau Nu (t) > t, ta núi t l ri rc phi Nu (t) < t, ta núi t l ri rc trỏi Nu (t) < t < (t), ta núi t b cụ lp Nu (t) = t, ta núi t trự mt phi Nu (t) = t, ta núi t trự mt trỏi Nu (t) = t = (t), ta núi t trự mt nh ngha 1.4 Hm : T [0, ) xỏc nh bi à(t) := (t) t c gi l hm graininess Vớ d: Nu T = Z, ta cú à(n) = Nu T = R, ta cú à(t) = Ta nh ngha T = T \ ( (supT) , supT) nu supT < T nu supT = Sau õy ta gii thiu mt s khỏi nim liờn quan n hm m trờn thang thi gian 1.1.2 Hm m Ta kớ hiu tt c cỏc hm regressive v rd - liờn tc f : T R bi R = R(T) = R(T, R) nh ngha 1.5 Gi s p R, ta nh ngha hm m tng quỏt trờn thang thi gian nh sau t ep (t, s) = exp à( ) (p( )) s ú, à( ) (p( )) = Log (1 + à( )p( )) ( ) , t, s T B 1.1 Vi p R, ta cú ep (t, )ep (, s) = ep (t, s), , s, t T Chng minh Gi s p R vi , s, t T, ta cú t ep (t, )ep (, s) = exp à( ) (p( )) exp à( ) (p( )) s t = exp à( ) (p( )) + à( ) (p( )) s t = exp à( ) (p( )) s = ep (t, s) B c chng minh Chỳng ta gii thiu mt s tớnh cht ca hm m nh lớ sau nh lý 1.1 Gi s cỏc hm p, q R Khi ú ta cú (i) e0 (t, s) v ep (t, t) 1; (ii)ep ( (t), s) = (1 + à(t)p(t))ep (t, s); = e p (t, s); (iii) ep (t, s) (iv) ep (t, s) = = e p (s, t); ep (s, t) (v) ep (t, s)eq (t, s) = epq (t, s); ep (t, s) (vi) = ep q (t, s) eq (t, s) Chng minh Xem [ ] Bõy gi ta s gii thiu mt s kớ hiu c dựng lun 1.1.3 Mt s kớ hiu Gi s T l thang thi gian tựy ý vi hm b chn graininess v X l khụng gian Banach thc hoc phc vi chun ã Gi L (X1 , X2 ) l khụng gian tuyn tớnh cỏc ỏnh x tuyn tớnh liờn tc vi chun xỏc nh bi T := sup T x , T L (X1 , X2 ) x =1 Gi GL (X1 , X2 ) l cỏc ng cu tuyn tớnh gia hai khụng gian X1 , X2 ca X IX1 l ỏnh x ng nht trờn X1 L (X) := L (X, X) N (T ) = T ({0}) l khụng gian nhõn R (T ) := TX l khong bin thiờn ca T L (X) Mt vi kớ hiu c trng cho phộp toỏn trờn thang thi gian T+ := {t T : t }, T T := {t T : t }, T Ta cng dựng kớ hiu + ch toỏn t nhy tin, tc l + (t) = (t), t T Tp J T c gi l khụng b chn trờn (tng ng di) nu {à (t, ) R : t J, T} khụng b chn trờn (tng ng di) o hm riờng cp ca ỏnh x : T ì T X, kớ hiu l Crd (T , X) l cỏc ỏnh x rd - liờn tc t T n X Crd R+ (T , R) l khụng gian tuyn tớnh ca cỏc hm regressive vi cỏc phộp toỏn i s (a b)(t) := a(t) + b(t) + à(t)a(t)b(t), a(t) b(t) , (a b)(t) := + à(t)b(t) (1 + ha(t)) ( a)(t) := lim , t T , h h à(t) ú a, b Crd R+ (T , R) , R v Crd R+ (T , R) := {a Crd (T , R) : + (t) a (t) > 0, t T } Nu T = R thỡ (a b)(t) := a(t) + b(t), (a b)(t) := a(t) b(t) Nu T = Z thỡ (a b)(t) := a(t) + b(t) + a(t)b(t), a(t) b(t) (a b)(t) := + b(t) Vi T c nh v c, d Crd R+ (T , R) ta nh ngha + B,c (X) := { Crd T+ , X : sup (t) e c (t, ) < }, t B,d (X) := { B,c,d (X) := Crd T ,X : sup (t) e d (t, ) < }, t Crd (T , X) | T : sup (t) e c (t, ) < , t sup (t) e d (t, ) < t l khụng gian tuyn tớnh cỏc ỏnh x c+ - ta b chn v d - ta b chn Cỏc khụng gian trờn l khụng gian Banach vi chun + ,c := sup (t) e c (t, ), ,c,d t := max{ |T+ + ,c , |T ,d := sup (t) e d (t, ), t ,d } ú ec (t, ) l hm m thc trờn T Cú th d dng thy rng (t) + ,c ec (t, ), t ( ) + ,c T+ , (t) ,c,d , ( ) ,d ed (t, ), t ,d ,c,d T , Mt s kớ hiu vit tt b a := inf {b(t) a(t)}, tT a b : < b a , a b : b a ú hai hm regressive a, b Crd R+ (T , R) c kớ hiu l bc tng nu sup à(t)a(t) < v sup à(t)b(t) < tT tT Khi ú ta thu c cỏc gii hn sau lim ea b (t, ) = 0, lim eb a (t, ) = t t vi bc tng a b khụng b chn trờn (tng ng di) trờn thang thi gian Khỏi nim kh vi delta trờn thang thi gian c gii thiu di õy Tng t f (s, X (s, , )) + ,c ec (s, ) f (., X (., , )) Mt khỏc, ,c,d f (., X (., , )) := max{ f (., X (., , )) |T+ + ,c, , f (., X (., , )) |T ,d, } Khi ú ta cú h(t, (, )) + ea (t, + (s))ed (s, )s + K2 K1 + + K2 eb (t, + (s))ec (s, )s t eb (t, + (s))ec (s, )s f (., X (., , )) t K1 K2 da ca C ( c) + K1 da ,c,d ea (t, ) + C1 (c)ec (t, ) ec (t, ) K2 ea (t, ) à, < t ca (2.12) Nhõn c hai v (2.12) vi e c (t, ) ta cú h(t, (, )) e c (t, ) C ( c) + K1 da K2 ea c (t, ) ca àC2 (c, d), < t (2.13) Tng t, xột (2.11) trờn T ta cú h(t, (, )) h(t, (, )) e d (t, ) C1 (d) + K2 bc ed (t, ) C1 (d) + K2 bc K1 eb (t, ) à, > t bd K1 eb bd àC2 (c, d), > t Chỳ ý rng (2.13) v (2.14) ỳng vi t = T (2.13) v (2.14) ly cn trờn ỳng ta cú h(., (, )) ,c,d àC2 (c, d), t T Mnh c chng minh 20 d (t, ) à, (2.14) Mnh 2.2 Gi s (, ) c nh Khi ú h z = A(t)z + f (t, Y (t, , ) + z ) (2.15) cú nht nghim (c, d) - ta b chn g (t, (, )) tha g (., (, )) ,c,d àC2 (c, d) Khi T = R Mnh 2.2 c phỏt biu nh sau H qu 2.3 Gi s (, ) c nh Khi ú h z = A(t)z + f (t, Y (t, , ) + z ) cú nht nghim g (t, (, )) tha g (., (, )) 3K Sau õy ta s chng minh Mnh 2.2 Chng minh t B = {z (t) | z (t) l nghim (c, d) ta b chn vi z ,c,d àC2 (c, d)} Vi z B , ta nh ngha ỏnh x T nh sau t T z (t) = A (t, + (s))P (+ (s))f (s, Y (s, , ) + z (s))s (2.16) + A (t, + (s)) [IX P (+ (s))] f (s, Y (s, , ) + z (s))s t Tng t chng minh Mnh 2.1 ta cú T (z ) l nghim (c, d) - ta b chn vi Tz ,c,d àC2 (c, d), t T Do ú T z B Xột ỏnh x T : B B Ta s chng minh T l ỏnh x co 21 Tht vy, vi mi z1 (t), z2 (t) B ta cú T z1 (t) T z2 (t) t = A (t, + (s))P (+ (s)) ì [f (s, Y (s, , ) + z1 (s)) f (s, Y (s, , ) + z2 (s))] s + A (t, + (s)) [IX P (+ (s))] t ì [f (s, Y (s, , ) + z1 (s)) f (s, Y (s, , ) + z1 (s))] s t ea (t, + (s)) f (s, Y (s, , ) + z1 (s)) f (s, Y (s, , ) + z2 (s)) s K1 + + K2 eb (t, + (s)) f (s, Y (s, , ) + z1 (s)) f (s, Y (s, , ) + z2 (s)) s t (do iu kin(H1 )) t ea (t, + (s)) z1 (s) z2 (s) s K1 + + K2 eb (t, + (s)) z1 (s) z2 (s) s (do iu kin(H2 )) (2.17) t Tng t nh chng minh Mnh 2.1 p dng cỏc phộp toỏn ca (2.13) v (2.14) cho (2.17) ta cú T z1 T z2 ,c,d C2 (c, d) z1 z2 ,c,d , t T Bi iu kin (H3 ) ta cú C2 (c, d) < Do ú T l ỏnh x co Theo nguyờn lớ ỏnh x co, T cú im bt ng nht Gi s nghim ú l z0 (t) Khi ú nghim z0 (t) tha t z0 (t) = A (t, + (s))P (+ (s))f (s, Y (s, , ) + z0 (s))s (2.18) + A (t, + (s)) [IX P (+ (s))] f (s, Y (s, , ) + z0 (s))s t Bng phộp ly o hm, ta d dng ch c z0 (t) l nghim ca (2.15) Hn na, z0 (t) l nghim (c, d) - ta b chn ca (2.15) tha z0 ,c,d àC2 (c, d) 22 Bõy gi ta s chng minh nghim (c, d) ta b chn z0 l nht Gi s cú nghim b chn z1 (t) ca (2.15) tha t z1 (t) = A (t, + (s))P (+ (s))f (s, Y (s, , ) + z1 (s))s (2.19) + A (t, + (s)) [IX P (+ (s))] f (s, Y (s, , ) + z1 (s))s t Tng t cỏch chng minh T l ỏnh x co ta cú t z1 (t) z0 (t) K1 ea (t, + (s)) + + K2 z1 (s) z0 (s) s eb (t, + (s)) z1 (s) z0 (s) s t Do ú, z1 z0 ,c,d C2 (c, d) z1 z0 ,c,d Do C2 (c, d) < nờn z1 (t) = z0 (t) Vy nghim (c, d) - ta b chn ca (2.15) l nht Nghim ny ph thuc vo (, ) Ta kớ hiu nghim ny l g (t, (, )) T chng minh trờn ta cú g (., (, )) ,c,d àC2 (c, d) Mnh c chng minh Mnh 2.3 Gi s x(t) l nghim ca h x = A(t)x + f (t, x) (2.20) z = A(t)z + f (t, x(t) + z ) f (t, x(t) (2.21) Khi ú h cú nht nghim (c, d) - ta b chn z Khi T = R Mnh 2.3 c phỏt biu nh sau H qu 2.4 Gi s x(t) l nghim ca h x = A(t)x + f (t, x) 23 Khi ú h z = A(t)z + f (t, x(t) + z ) f (t, x(t)) cú nht nghim b chn z Chng minh Hin nhiờn, z l nghim (c, d) - ta b chn ca (2.21) Bõy gi ta s ch nghim (c, d) - ta b chn ca (2.21) l nht Gi s (2.21)cú nghim (c, d) - ta b chn z1 (t) thỡ z1 (t) c cho bi t z1 (t) = A (t, + (s))P (+ (s)) [f (s, x(s) + z1 (s)) f (s, x(s))] s + A (t, + (s)) [IX P (+ (s))] [f (s, x(s) + z1 (s)) f (s, x(s))] s t Bi iu kin (H1 ) v (H2 ) ta cú t z1 (t) K1 ea (t, + (s)) + + K2 z1 (s) s (2.22) eb (t, + (s)) z1 (s) s t Tng t tớnh toỏn ca (2.13) v (2.14), ỏp dng cho (2.22) ta cú z1 ,c,d C2 (c, d) z1 ,c,d , t T Do C2 (c, d) < nờn z1 (t) Mnh c chng minh Ta gii thiu hai hm sau H (t, x) = x + h(t, (t, x)), (2.23) G(t, y ) = y + g (t, (t, y )) (2.24) Ta s ch H (t, x) l hm tng ng tụpụ cn tỡm Trong cỏc Mnh 2.4, 2.5, 2.6, 2.7 ta s ch H bin nghim ca (2.5) thnh nghim ca (2.6) G bin nghim ca (2.6) thnh nghim ca (2.5) v G l nghch nh ca H Mnh 2.4 Gi s (t0 , x0 ) c nh Khi ú H (t, X (t, t0 , x0 )) l nghim ca h tuyn tớnh (2.5) 24 Chng minh Thay th (, ) ca (2.9) bi (t, X (t, t0 , x0 )) Mnh 2.1.Do h (2.9) khụng i nờn h (2.9)cú nht nghim (c, d) - ta b chn Khi ú nghim h(t, (, )) = h(t, (t, X (t, t0 , x0 ))) = h(t, (t0 , x0 )) T (2.23) ta cú H (t, X (t, t0 , x0 )) = X (t, t0 , x0 ) + h(t, (t, X (t, t0 , x0 ))) = X (t, t0 , x0 ) + h(t, (t0 , x0 )) (2.25) Ly o hm hai v (2.25), v chỳ ý rng X (t, t0 , x0 ) l nghim ca (2.6) v h(t, (t0 , x0 )) l nghim ca (2.9) ta cú [H (t, X (t, t0 , x0 ))] = [X (t, t0 , x0 ) + h(t, (t0 , x0 ))] = [X (t, t0 , x0 )] + [h(t, (t0 , x0 ))] = A(t)X (t, (t0 , x0 )) + f (t, X (t, t0 , x0 )) + A(t)h(t, (t0 , x0 )) f (t, X (t, t0 , x0 )) = A(t) [X (t, t0 , x0 ) + h(t, (t0 , x0 ))] = A(t)H (t, X (t, t0 , x0 )) Do ú H (t, X (t, t0 , x0 )) l nghim ca h tuyn tớnh (2.5) Mnh c chng minh Mnh 2.5 Gi s (t0 , y0 ) c nh Khi ú G(t, Y (t, t0 , y0 )) l nghim ca h na tuyn tớnh (2.6) Chng minh Thay th (, ) ca (2.15) bi (t, Y (t, t0 , y0 )) Mnh 2.2 Do h (2.15) khụng i nờn h (2.15) cú nht nghim (c, d) - ta b chn Khi ú nghim g (t, (, )) = g (t, (t, Y (t, t0 , y0 ))) = g (t, (t0 , y0 )) T (2.24) ta cú G(t, Y (t, t0 , y0 )) = Y (t, t0 , y0 ) + g (t, (t, Y (t, t0 , y0 ))) = Y (t, t0 , y0 ) + g (t, (t0 , y0 )) 25 (2.26) Ly o hm hai v (2.26), v chỳ ý rng Y (t, t0 , y0 ) l nghim ca (2.5) v g (t, (t0 , y0 )) l nghim ca (2.15) ta cú [G(t, X (t, t0 , y0 ))] = [Y (t, t0 , y0 ) + g (t, (t0 , y0 ))] = [Y (t, t0 , y0 )] + [g (t, (t0 , y0 ))] = A(t)Y (t, t0 , y0 ) + A(t)g (t, (t0 , y0 )) + f (t, Y (t, t0 , y0 ) + g (t, (t0 , y0 ))) = A(t) [Y (t, t0 , y0 ) + g (t, (t0 , y0 ))] + f (t, G(t, Y (t, t0 , y0 ))) = A(t)G(t, Y (t, t0 , y0 )) + f (t, G(t, Y (t, t0 , y0 ))) Do ú G(t, Y (t, t0 , y0 )) l nghim ca h tuyn tớnh (2.6) Mnh c chng minh Mnh 2.6 Gi s t T c nh, y X Khi ú ta cú H (t, G(t, y )) = y Chng minh Cho y (t) l nghim ca h tuyn tớnh (2.5) T Mnh 2.5, ta cú G(t, y (t)) l nghim ca h na tuyn tớnh (2.6) Hn na, bi Mnh 2.4 ta cú H (t, G(t, y (t))) l nghim ca h tuyn tớnh (2.5) t y (t) = H (t, G(t, y (t))) Kớ hiu I (t) = y (t) y (t) Ly o hm I (t), ta cú I (t) = y (t) y = A(t)y (t) A(t)y (t) = A(t)I (t) Do ú, I (t) l nghim ca h tuyn tớnh (2.5) Bờn cnh ú, t (2.23), (2.24), Mnh 2.1 v Mnh 2.2, ta cú I (t) = y (t) y (t) = H (t, G(t, y (t))) y (t) H (t, G(t, y (t))) G(t, y (t)) = h(t, (t, G(t, y (t)))) + G(t, y (t)) y (t) + g (t, (t, y (t))) (bi (2.23) v (2.24)) Do ú, I ,c,d h(., (., G(., y (.)))) ,c,d + g (., (., y (.))) 2àC2 (c, d) + 2àC2 (c, d) ,c,d (bi Mnh 2.1 v Mnh 2.2) = 4àC2 (c, d) 26 Suy ra, I (t) l nghim (c, d) - ta b chn ca h tuyn tớnh x = A(t)x nhng h tuyn tớnh x = A(t)x khụng cú nghim khụng tm thng (c, d) - ta b chn trờn T (theo B 1.1) Do ú, I (t) 0, ngha l y (t) = y (t) hay H (t, G(t, y (t))) = y (t) Vỡ y (t) l nghim bt kỡ ca h tuyn tớnh (2.5) nờn Mnh 2.6 c chng minh Mnh 2.7 Gi s t T c nh, x X Khi ú ta cú G(t, H (t, x)) = x Chng minh Cho x(t) l nghim ca h tuyn tớnh (2.6) T Mnh 2.4, ta cú H (t, x(t)) l nghim ca h na tuyn tớnh (2.5) Hn na, bi Mnh 2.5 ta cú G(t, H (t, x(t))) l nghim ca h tuyn tớnh (2.6) t x(t) = G(t, H (t, x(t))) Kớ hiu J (t) = x(t) x(t) Ly o hm J (t), ta cú J (t) = x (t) x = A(t)x(t) + f (t, x(t)) (A(t)x(t) f (t, x(t))) = A(t)J (t) + f (t, x(t)) f (t, x(t)) = A(t)J (t) + f (t, x(t) + J (t)) f (t, x(t)) Do ú, J (t) l nghim ca h tuyn tớnh (2.21) Bờn cnh ú, t (2.23), (2.24), Mnh 2.1 v Mnh 2.2, ta cú J (t) = x(t) x(t) = G(t, H (t, x(t))) x(t) G(t, H (t, x(t))) H (t, x(t)) = g (t, (t, H (t, x(t)))) + H (t, x(t)) x(t) + h(t, (t, x(t))) (bi (2.23) v (2.24)) Do ú, J ,c,d g (., (., H (., x(.)))) ,c,d 2àC2 (c, d) + 2àC2 (c, d) + h(., (., x(.))) ,c,d (bi Mnh 2.1 v Mnh 2.2) = 4àC2 (c, d) Suy ra, J (t) l nghim (c, d) - ta b chn ca h (2.21) Mt khỏc, bi Mnh 1.3 ta cú h (2.21)cú nht nghim (c, d) - ta b 27 chn z (t) Do ú, J (t) 0, ngha l x(t) = x(t) hay G(t, H (t, x(t))) = x(t) Vỡ x(t) l nghim bt kỡ ca h tuyn tớnh (2.6) nờn Mnh 2.7 c chng minh Tip theo ta s chng minh nh lớ tuyn tớnh húa trờn thang thi gian v õy l nh lớ chớnh ca lun Chng minh Chng minh nh lớ 2.5 chng minh H (t, x) l hm tng ng ca h tuyn tớnh (2.5) v h na tuyn tớnh (2.6), ta ch rng H (t, x) tha bn iu kin ca nh ngha 2.8 i) C nh t T, t Mnh 2.6 v Mnh 2.7 ta cú H (t, ) l song ỏnh i t X X v H (t, ) = G(t, ) ii) Xột ,c,d H (t, x) x = h(t, (t, x)) ,c,d àC2 (c, d) Do ú, H (t, x) iii) T (2.24) ta cú ,c,d G(t, y ) y ,c,d = theo Mnh 2.1 x ,c,d g (t, (t, y )) ,c,d àC2 (c, d) theo(2.23) , t theo Mnh 2.2 Do ú, G(t, y ) y ,c,d ,c,d , t iv) T Mnh 2.4 v Mnh 2.5 ta d dng chng minh iu kin iv) l tha nh lớ c chng minh 28 Chng Tuyn tớnh húa h tun hon trờn thang thi gian 3.1 Thang thi gian tun hon Trong chng ny ta s chng minh hm tng ng H (t, x) cng l tun hon h l - tun hon Hilger cha xột n tớnh cht quan trng ny ca hm tng ng H (t, x) nh ngha 3.1 Gi s R Hm song ỏnh : T T c gi l phộp dch chuyn nu à( (t), t) , t T nh ngha 3.2 nh x : T X c gi l - tun hon nu ( (t)) (t), t T Xột h tun hon x = (t, x) (3.1) ú, ( (t), x) = (t, x) Cho X (t, t0 , x0 ) l nghim ca (3.1) vi iu kin ban u X (t0 ) = x0 Tớnh tun hon ca toỏn t gii c k tha t tớnh tun hon ca h trờn thang thi gian tun hon Ta cú mnh sau Mnh 3.1 Gi s t, s T, x X, nghim X (t, s, x) ca (3.1)cú tớnh cht: X ( (t), (s), x) = X (t, s, x) 29 Chng minh T t X (t, s, x) = x + (u, X (u, s, x))u, s ta cú (t) X ( (t), (s), x) = x + (u, X (u, (s), x))u (3.2) (s) t u = (u), s dng tớnh tun hon ca (t, x), ỏp dng cho (3.2)ta cú t X ( (t), (s), x) = x + ( (u1 ), X ( (u1 ), (s), x))u1 s t =x+ (u1 , X ( (u1 ), (s), x))u1 s Do ú, X ( (t), (s), x) cng l nghim ca (3.1) Hn na, X ( (s), (s), x) = x v X (s, s, x) = x Bi tớnh cht ny kt hp vi tớnh nht nghim ca bi toỏn giỏ tr ban u, ta cú ng nht thc X ( (t), (s), x) = X (t, s, x), t, s T, s t, x X Mnh c chng minh Di õy ta gii thiu nh lớ tuyn tớnh húa ca h tun hon trờn thang thi gian 3.2 Tuyn tớnh húa trng hp tun hon nh lý 3.1 Gi s A( (t)) = A(t), f ( (t), x) = f (t, x) h na tuyn tớnh (2.6) Khi ú, hm tng ng H (t, x) (trong nh lớ 2.5) cng l - tun hon theo t Mnh 3.2 Gi s h tuyn tớnh tun hon x = A(t)x (A( (t)) = A(t)) cú nh phõn m, ngha l toỏn t gii A (t, t0 ) tha A (t, s)P (s) K1 ea (t, s), s t, s, t T, A (t, s) [IX P (s)] K2 eb (t, s), s t, s, t T Khi ú vi t, s T bt kỡ, ta cú ng thc sau A ( (t), (s))P ( (s)) = A (t, s)P (s), A ( (t), (s)) [IX P ( (s))] = A (t, s) [IX P (s)] 30 Chng minh Ta cú th d dng kim tra A ( (t), t0 ) cng l ma trõn c bn Khi ú tn ti ma trn hng kh nghch C cho A ( (t), t0 ) = A (t, t0 )C Ly C = eB ( (t0 ), t0 ), B l ma trn hng t L(t) = A (t, t0 )eB (t, t0 ) hoc A (t, t0 ) = L(t)eB (t, t0 ) Khi ú ta cú L( (t)) = A ( (t), t0 )e1 B ( (t), t0 ) = A ( (t), t0 ) [eB ( (t), (t0 ))eB ( (t0 ), t0 )] = A (t, t0 )Ce1 B ( (t0 ), t0 )eB ( (t), (t0 )) = A (t, t0 )CC e1 B (t, t0 ) = A (t, t0 )e1 B (t, t0 ) = L(t) Tng t, ta cú L1 ( (t)) = L1 (t) Khi ú ta cú A ( (t), (s)) = A (t, s) Tht vy, A ( (t), (s)) = A ( (t), t0 )A (t0 , (s)) = L( (t))eB ( (t), t0 ) [A ( (s), t0 )] = L( (t))eB ( (t), t0 ) [L( (s))eB ( (s), t0 )] 1 = L( (t))eB ( (t), t0 )e1 B ( (s), t0 )L ( (s)) 1 = L(t)eB ( (t), (t0 ))eB ( (t0 ), t0 )e1 B ( (t0 ), t0 )eB ( (s), (t0 ))L (s) = L(t)eB (t, t0 )e1 B (s, t0 )L (s) = A (t, t0 )1 A (s, t0 ) = A (t, s) Do ú, theo cụng thc ca nh phõn m ta cú A ( (t), (s))P ( (s)) K1 ea ( (t), (s)), s t, s, t T Suy ra, A (t, s)P ( (s)) K1 ea (t, s), s t, s, t T iu ny kộo theo P ( (s)) cng l phộp chiu bt bin T Mnh 1.1 ta cú P ( (s)) = P (s) Vỡ vy, ta cú A ( (t), (s))P ( (s)) = A (t, s)P (s) ng thc th hai chng minh tng t 31 Bõy gi, ta s chng minh nh lớ tuyn tớnh ca h tun hon trờn thang thi gian Chng minh Chng minh nh lớ 3.1 T (2.23) v Mnh 2.1 ta cú H (t, x) = x + h(t, x) t =x A (t, + (s))P (+ (s))f (s, X (s, t, x))s + + A (t, + (s)) [IX P (+ (s))] f (s, X (s, t, x))s (3.3) t Khi ú, bi Mnh 3.1 v 3.2 v s dng tớnh tun hon ca hm f (t, x) thỡ (3.3) ch rng H ( (t), x) (t) =x A ( (t), + (s))P (+ (s))f (s, X (s, (t), x))s + + A ( (t), + (s)) [IX P (+ (s))] f (s, X (s, (t), x))s (t) t =x A ( (t), + ( (s1 )))P (+ ( (s1 )))f ( (s1 ), X ( (s1 ), (t), x))s1 + + A ( (t), + ( (s))) [IX P (+ ( (s)))] f ( (s1 ), X ( (s1 ), (t), x))s1 t t =x A (t, + (s))P (+ (s))f (s1 , X (s1 , t, x))s1 + + A (t, + (s)) [IX P (+ (s))] f (s, X (s, t, x))s1 t = H (t, x) iu ny chng t rng H (t, x) l - tun hon nh lớ c chng minh 32 Kt lun Trong lun ny, chỳng tụi s dng khỏi nim hm tng ng tụpụ chng minh s tng ng tụpụ gia h tuyn tớnh v h na tuyn tớnh Ngoi gi thit thụng thng v tớnh nh phõn m ca h phng trỡnh tuyn tớnh x = A(t)x v phn phi tuyn l Lipschitz chỳng ta t thờm iu kin v tớnh b chn m ca f (t, x) Chỳng ta cho phộp hng s Lipschitz cú th khụng nht thit nh nh lớ Hartman - Grobman cho phng trỡnh vi phõn, phng trỡnh sai phõn Phng phỏp chng minh ny khỏ mi, nú da theo vic chng minh s tn ti nht nghim (c, d) - ta b chn v vic xõy dng cỏc ng phụi 33 Ti liu tham kho [1] Martin Bohner, Allan Peterson, Dynamic Equations on Time Scales, May 4, 2001 [2] Martin Bohner, Allan Peterson, Advances in dynamic Equations on Time Scales, 2003 [3] Yonghui Xia, Jinde Cao, Maoan Han, A new analytical method for the linearization of dynamic equation on measure chains, Scince Direct, 235 (2007) 527 - 543 [4] C Potzsche, Exponential Dichotomies for Dynamic Equations on Measure Chains, Nonlinear Analysis 47 (2001) 873 - 884 [5] C Potzsche, Langsame Faserbundel Dynamischer Gleichungen auf MaBketten, PhD thesis, Logos Verlag, Berlin, 2002 [6] C Potzsche, Exponential dichotomies of linear dynamic equations on measure chain under slowly varying coefficients, J Math Anal Appl 289 (2004) 317 - 335 [7] C Potzsche, Exponential dichotomies for linear dynamic equations, Nonlinear Anal 47 (2001) 873 - 884 [8] K.J Palmer, A generalization of Hartmans linearization theorem, J Math Anal Appl 41 (1973) 753 - 758 [9] J Shi, J Zhang, Classification of the Differential Equations, Science Press, BeiJing, 2003 [10] Andrzej Granas, James Dugundji, Fixed point theory, Springer Press, 2003 34 [...]... quả trên cho lớp hệ tuyến tính không ôtônôm x = A(t)x + f (t, x) Bài toán tuyến tính hóa phát biểu rằng, nếu một hệ phương trình nửa tuyến tính là tương đương tôpô với hệ phương trình tuyến tính thì có nhiều tính chất của hệ phương trình nửa tuyến tính tương tự hoặc đồng nhất với tính chất của hệ phương trình tuyến tính Do đó, việc nghiên cứu sự tương đương tôpô của phương trình động lực trên thang thời. .. nghịch trên Im(IX − P (t)) và Φn,m khả nghịch trên Im(IX − Pn ) luôn được thỏa mãn khi X = Rd 2) U (t, s), Φn,m nói chung không khả nghịch trên toàn không gian X Trong trường hợp tổng quát, ta xét nhị phân mũ của phương trình động lực trên thang thời gian 9 Xét phương trình động lực tuyến tính x∆ = A(t)x, (1.4) với A ∈ Crd (Tκ , L(X)) và toán tử dịch chuyển ΦA (t, τ ) ∈ L(X) nghĩa là toán tử giải của. .. co Banach) Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và F : X −→ X là ánh xạ co Khi đó F có duy nhất điểm bất động u và F n (y ) → u với mọi y ∈ X Chứng minh Xem [ 8 ] 11 Chương 2 Tuyến tính hóa trên thang thời gian 2.1 Giới thiệu bài toán Định lí tuyến tính hóa của Hartman cho phương trình vi phân thường phát biểu rằng tồn tại tương ứng 1 : 1 giữa nghiệm của hệ tuyến tính ôtônôm x = Ax và các hệ bị... (d) = Định lí tuyến tính hóa với T = R được phát biểu như sau Hệ quả 2.1 (Tuyến tính hóa của hệ ôtônôm trên R) Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn i) Hệ phương trình x = Ax có nhị phân mũ trên R với số mũ α 17 f (x) ≤ µ, f (x) − f (y ) ≤ γ x − y 3K iii) γ < 1 α Khi đó hệ x = Ax và hệ x = Ax + f (x) là tương đương tôpô và ii) H (x) − x ≤µ 3K α Hệ quả 2.2 (Tuyến tính hóa của hệ không ôtônôm trên R) Giả... đề được chứng minh Dưới đây ta giới thiệu định lí tuyến tính hóa của hệ tuần hoàn trên thang thời gian 3.2 Tuyến tính hóa trong trường hợp tuần hoàn Định lý 3.1 Giả sử A(σω (t)) = A(t), f (σω (t), x) = f (t, x) trong hệ nửa tuyến tính (2.6) Khi đó, hàm tương đương H (t, x) (trong Định lí 2.5) cũng là ω - tuần hoàn theo t Mệnh đề 3.2 Giả sử hệ tuyến tính tuần hoàn x∆ = A(t)x (A(σω (t)) = A(t)) có nhị... mũ của phương trình vi phân, phương trình sai phân 7 1.2 Nhị phân mũ Xét phương trình x = Ax, x ∈ X, (1.1) với nghiệm x(t) = etA x(0) Định nghĩa 1.7 Phương trình (1.1) được gọi là hyperbolic (hay có nhị phân mũ) nếu tồn tại N ≥ 1, α > 0, X = E s ⊕ E u sao cho etA x ≤ N e−αt x , t ≥ 0, x ∈ E s , e−tA x ≤ N eαt x , t < 0, x ∈ E u Ví dụ 1.5 Xét hệ phương trình x =x y = −y Khi đó nghiệm của hệ phương trình. .. phương trình (1.2) có nhị phân mũ, ii) f thỏa mãn điều kiện Lipschitz f (t, x) − f (t, y ) ≤ L x − y Khi đó, nếu L đủ bé thì hai hệ phương trình trên là tương đương tôpô Tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng trên thang thời gian T, hai hệ phương trình x∆ (t) = A(t)x (2.5) x∆ (t) = A(t)x + f (t, x) (2.6) là tương đương tôpô nếu hệ phương trình (2.5) có nhị phân mũ và f (t, x): "nhỏ" Xét hai hệ phương trình x∆... ))) Do đó G(t, Y (t, t0 , y0 )) là nghiệm của hệ tuyến tính (2.6) Mệnh đề được chứng minh Mệnh đề 2.6 Giả sử t ∈ T cố định, y ∈ X Khi đó ta có H (t, G(t, y )) = y Chứng minh Cho y (t) là nghiệm của hệ tuyến tính (2.5) Từ Mệnh đề 2.5, ta có G(t, y (t)) là nghiệm của hệ nửa tuyến tính (2.6) Hơn nữa, bởi Mệnh đề 2.4 ta có H (t, G(t, y (t))) là nghiệm của hệ tuyến tính (2.5) Đặt y (t) = H (t, G(t, y (t)))... nghiệm (c, d) - tựa bị chặn của hệ (2.21) Mặt khác, bởi Mệnh đề 1.3 ta có hệ (2.21)có duy nhất nghiệm (c, d) - tựa bị 27 chặn z (t) ≡ 0 Do đó, J (t) ≡ 0, nghĩa là x(t) = x(t) hay G(t, H (t, x(t))) = x(t) Vì x(t) là nghiệm bất kì của hệ tuyến tính (2.6) nên Mệnh đề 2.7 được chứng minh Tiếp theo ta sẽ chứng minh định lí tuyến tính hóa trên thang thời gian và đây là định lí chính của luận văn Chứng minh Chứng... 2.5 ta dễ dàng chứng minh điều kiện iv) là thỏa mãn Định lí được chứng minh 28 Chương 3 Tuyến tính hóa hệ tuần hoàn trên thang thời gian 3.1 Thang thời gian tuần hoàn Trong chương này ta sẽ chứng minh hàm tương đương H (t, x) cũng là ω tuần hoàn khi hệ là ω - tuần hoàn Hilger chưa xét đến tính chất quan trọng này của hàm tương đương H (t, x) Định nghĩa 3.1 Giả sử ω ∈ R Hàm song ánh σ : T −→ T được gọi