Phương trình vi phân tuyến tính và phương pháp tuyến tính hóa hệ phương trình vi phân

Mục lục Ph-ơng trình vi phân tuyến tính ph-ơng pháp tuyến tính hóa hệ ph-ơng trình vi phân 1.1 Sự tồn nghiệm hệ ph-ơng trình vi phân 1.1.1 Định lý tồn nghiệm 1.1.2 Công thức biểu diễn nghiệm hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính 1.2 Tính ổn định hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính 1.2.1 Các khái niệm ổn định 1.2.2 Sự ổn định hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính 10 1.2.3 Sự ổn định hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính với ma trận 13 1.3 Bài toán tuyến tính hóa ổn định hệ ôtônôm ví dụ ổn định vị trí cân lắc đơn 15 1.4 Ph-ơng pháp biến phân hệ phi tuyến 18 1.5 Tính ổn định ngặt hệ ph-ơng trình vi phân 21 1.6 Ph-ơng pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định ph-ơng trình vi phân hàm 29 1.6.1 Các khái niệm ổn định ph-ơng trình vi phân hàm 29 1.6.2 Ph-ơng pháp hàm Lyapunov 30 Sự ổn định ph-ơng trình vi phân có xung ứng dụng mạng Nơron thần kinh 35 2.1 Ph-ơng trình vi phân có xung tính tồn nghiệm hệ ph-ơng trình vi phân có xung 35 2.1.1 Ph-ơng trình vi phân có xung dạng tổng quát 36 2.1.2 Sự tồn nghiệm ph-ơng trình vi phân có xung 36 2.2 Tiêu chuẩn so sánh nghiệm ph-ơng trình vi phân có xung 39 2.3 Tính ổn định ph-ơng trình vi phân hàm có xung 41 2.4 áp dụng cho mạng nơron thần kinh với xung hữu hạn có chậm thay đổi 44 2.4.1 Sự ổn định nơron thần kinh 44 2.4.2 Sự ổn định mạng nơron thần kinh 46 Lời cảm ơn Luận văn đ-ợc thực hoàn thành d-ới h-ớng dẫn tận tình PGS TS Đặng Đình Châu.Tôi muốn bày tỏ cảm ơn chân thành đến ban chủ nhiệm Khoa Thầy giáo, Cô giáo Khoa Toán-Cơ-Tin học, tr-ờng Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐH Quốc gia Hà Nội động viên, khuyến khích, chia sẻ kinh nghiệm h-ớng dẫn suốt trình học vừa qua Trong trình làm luận văn chắn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận đ-ợc bảo tận tình thầy cô bạn bè đồng nghiệp Lời mở đầu Các ph-ơng pháp nghiên cứu tính ổn định hệ ph-ơng trình vi phân đ-ợc xây dựng hoàn thiện nhà toán học Nga A.Lyapunov từ đầu kỷ XIX Trong luận văn tiến sĩ đ-ợc công bố năm 1882, Lyapunov trình bày ph-ơng pháp khác để nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính phi tuyến Các ph-ơng pháp đ-ợc ứng dụng rộng rãi khoa học kỹ thuật đặc biệt ph-ơng pháp hàm Lyapunov ph-ơng pháp xấp xỉ thứ Nhờ trình tuyến tính hóa ( ph-ơng pháp biến phân ), nhiều tr-ờng hợp đ-a việc xét tính ổn định hệ phi tuyến việc nghiên cứu tính ổn định hệ tựa tuyến tính Trong luận văn trình bày tính chất ổn định hệ tuyến tính, tựa tuyến tính hệ tuyến tính hóa đ-ợc nhờ ph-ơng pháp biến phân Ngoài tiêu chuẩn ổn định theo Lyapunov, luận văn đề cập đến khái niệm ổn định ngặt định lý t-ơng ứng điều kiện đủ để hệ tuyến tính không ôtônôm có nhiễu ổn định tiệm cận nội dung ch-ơng Trong ch-ơng tiếp tục trình bày kết ph-ơng pháp hàm Lyapunov ph-ơng pháp xấp xỉ thứ Lyapunov cho ph-ơng trình vi phân hàm có xung Ph-ơng trình vi phân hàm có xung có nhiều ứng dụng thực tế H-ớng nghiên cứu bắt đầu đ-ợc quan tâm từ năm 2002 đ-ợc nhiều nhà khoa học giới quan tâm Xin phép đ-ợc liệt kê số tác giả tiêu biểu nh- M.Benchora[12][13], J.Henderson[12], G.T Stamov I.M Stamov[11], X Liu[10], V Lakshmikantham[3], Phần cuối luận văn trình bày ứng dụng ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng trình mô tả trình hoạt động mạng nơron thần kinh có nhiễu Ngoài việc xây dựng ví dụ minh họa trình bày số kết nghiên cứu tính ổn định hệ ph-ơng trình vi phân có xung ch-ơng Danh mục ký hiệu N Tập hợp số nguyên không âm R Tập hợp số thực R+ Tập hợp số thực d-ơng Rn Không gian n chiều Rn+ Không gian mà phần tử có n thành phần toạ độ thực d-ơng sup E(sup x) Cận E xE inf E( inf x) Cận d-ới E lim sup Giới hạn xE n lim inf Giới hạn d-ới K Tập hàm f : R+ R+ liên tục, tăng ngặt f (0) = Tập hàm f : R+ R+ liên tục f (s) s Tập hàm f : R+ R+ liên tục f (s) > s Tập hàm f : R+ R+ liên tục, f (0) = f (s) > với s > n Ch-ơng Ph-ơng trình vi phân tuyến tính ph-ơng pháp tuyến tính hóa hệ ph-ơng trình vi phân Trong ch-ơng trình bày kiến thức sở hệ ph-ơng trình vi phân Nội dung ch-ơng bao gồm định nghĩa, khái niệm định lý hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính , giới thiệu lý thuyết ổn định tính ổn định hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính toán tuyến tính hóa ổn định 1.1 Sự tồn nghiệm hệ ph-ơng trình vi phân 1.1.1 Định lý tồn nghiệm Hệ ph-ơng trình vi phân tổng quát có dạng: x(t) = f (x(t)) t I = (b, ), x(t ) = x , t > b 0 (1.1.1) f : I ì D Rn , D tập mở Rn Hệ đ-ợc gọi ôtônôm biểu thức vế phải hệ không phụ thuộc vào t hay là: x(t) x(t ) = f (t, x(t)) t I = (b, ), = x0 , t0 > b Định nghĩa 1.1.1 Hàm x(t) = x(t, t0, x0) đ-ợc gọi nghiệm (1.1.1.) x(t) khả vi liên tục thoả mãn: (i) (t, x(t)) I ì D, (ii) x(t) thỏa mãn (1.1.1.) Nghiệm (1.1.1.) phải thỏa mãn ph-ơng trình tích phân: t x(t) = x0 + (1.1.2) f (s, x(s))ds t0 Các định lý sau cho ta điều kiện đủ để tồn kéo dài nghiệm vô hạn Định lý 1.1.1 (Định lý Picard - Lindeloff) Xét hệ ph-ơng trình vi phân (1.1.1.) giả sử D = {x Rn : ||x x0|| < a, a > 0}, f : I ì D Rn liên tục theo t thỏa mãn điều kiện Lipschitzian địa ph-ơng theo biến x tức : K > : ||f (t, x) f (t, y)|| K||x y||, t0 Khi với (t0, x0) I ì D ta tìm đ-ợc số d > cho hệ ph-ơng trình vi phân (1.1.1.) có nghiệm khoảng [t0 d, t0 + d] (Chứng minh xem [1]) Định lý 1.1.1 tiếp tục thác triển nghiệm khoảng Định lý sau đảm bảo tính kéo dài nghiệm khoảng thời gian vô hạn Định lý 1.1.2 Nếu miền ||x x0|| a < , t t0 thỏa mãn điều kiện sau: (i) f : I ì D Rn liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitzian địa ph-ơng theo biến x tức là: K > : ||f (t, x) f (t, y)|| K||x y||, t0 (ii) ||f (t, x0)|| N < quỹ đạo không v-ợt miền ||x x0|| a1 < a kéo dài đ-ợc khoảng thời gian vô hạn (Chứng minh xem [1]) Định lý 1.1.3 Giả sử ||x|| < , t t0 thỏa mãn ||f (t, x(t))|| L(||x||) L(t) hàm liên tục có tính chất r r0 dr L(r) r Khi nghiệm ph-ơng trình (1.1.1.) kéo dài đ-ợc khoảng thời gian vô hạn (Chứng minh xem [1]) 1.1.2 Công thức biểu diễn nghiệm hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính Xét hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính dạng: x(t) = Ax(t) + g(t), t x(t ) = x , t 0, 0 A = (aij )nìn ma trận hàm g : [0, +) Rn hàm khả tích Ký hiệu T (t) = eAt ma trận mũ nghiệm hệ xác định [0, +) đ-ợc xác định công thức: (Xem [1]) t A(tt0 ) x(t) = e eA(ts) g(s)ds x0 + t0 Đối với hệ vi phân tuyến tính không ôtônôm dạng: x(t) = A(t)x(t) + g(t), t x(t ) = x , t 0, 0 A(t) = (aij (t))nìn hàm liên tục R+ g : [0, +) Rn hàm liên tục Nếu A(t) hàm liên tục ||A(t)|| m(t), m(t) hàm khả tích hệ vi phân tuyến tính có nghiệm [0, +) Nghiệm đ-ợc biểu diễn d-ới dạng: t x(t) = (t, t0)x0 + (t, s)g(s)ds t0 (t, s) ma trận nghiệm hệ: x(t) = A(t)x(t) Ma trận (t, s) thỏa mãn ph-ơng trình ma trận d (t, s) = A(t)(t, s), dt t s 0, (t, t ) = I Chú ý ma trận (t, s) tìm đ-ợc ph-ơng pháp xấp xỉ liên tiếp họ ma trận (t, s) thỏa mãn tính chất sau đây: (t, t) = E, (t, ) = (t, s).(s, ), ts (t, s) = [(t, s)]1 1.2 Tính ổn định hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính 1.2.1 Các khái niệm ổn định Định nghĩa 1.2.2 Nghiệm tầm th-ờng x = ph-ơng trình vi phân (1.1.1.) đ-ợc gọi ổn định theo Lyapunov t + nếu: > 0, t0 R+ , = (t0, ) > 0, cho : x0 < x(t) < , t t0 Định nghĩa 1.2.3 Nghiệm tầm th-ờng x = ph-ơng trình (1.1.1.) đ-ợc gọi ổn định t + số định nghĩa (1.2.2) không phụ thuộc vào t0 Định nghĩa 1.2.4 Nghiệm tầm th-ờng x = ph-ơng trình vi phân (1.1.1.) đ-ợc gọi ổn định tiệm cận theo Lyapunov t + nếu: Nghiệm tầm th-ờng x = ổn định = (t0) > 0, x0 < lim t+ x(t) = Định nghĩa 1.2.5 Nghiệm tầm th-ờng x = ph-ơng trình vi phân (1.1.1.) đ-ợc gọi ổn định tiệm cận theo Lyapunov t + nếu: Nghiệm tầm th-ờng x = ổn định > 0( không phụ thuộc vào t0 ), x0 < lim t+ x(t) = 10 1.2.2 Sự ổn định hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính Xét hệ vi phân tuyến tính nhất: dx = A(t)x dt (1.2.3) Định lý 1.2.4 Giả sử = (t) ma trận nghiệm (1.2.3) Khi đó: (1) x(t) ổn định (2) x(t) ổn định tiệm cận (3) x(t) ổn định (4) x(t) ổn định tiệm cận K > 0, > cho (t)1(s) < Ke(ts), t, s : t0 s t < K > : (t) < K, t [t0, +) (t) = lim t+ (t) (s) M, t0 s t < + Chứng minh (1) Giả sử (t0) = I () t t0 Giả sử tồn K > : (t) K, Với > cho tr-ớc chọn = với x0 < ta có: 2K x0 K x0 K = x(t) = (t)x0 (t) () x(t) ổn định Giả sử x(t) ổn định Chọn = K1 > với x0 < Khi x(t) K1 , t t0 (t)x0 K1 Nếu x0 < sup (t)x0 K1 x0 < Nếu < x0 chọn x0 = Khi x0 < , sup < x0 = x0 x0 (t)x0 = sup < x0 x0 sup < x0 (t)x0 Chọn K = max{K1 , K2 } (t) = sup Suy (1) đ-ợc chứng minh xong (2) x(t) ổn định tiệm cận () (t) x0 x0 K1 (t)x0 K x0 lim t+ (t) = Giả sử nghiệm tầm th-ờng x(t) ổn định tiệm cận với nghiệm y(t) thỏa mãn y(t0) ; > ta có: lim t+ y(t) = lim y(t) = t+ 40 Dễ thấy rằng: |u0| e k |u(t)| Mặt khác k + t + Do đó: lim |u(t)| = + t+ Hay nghiệm u = hệ không ổn định Do để xét tính ổn định hệ ph-ơng trình vi phân có xung ta th-ờng so sánh với ph-ơng trình vi phân đơn giản Bổ đề 2.2.2 Xét ph-ơng trình vi phân có xung sau: = g(t, u); t = k u u(t+ = u0 , t 0) u( + ) = (u( )) k k (2.2.3) k g C[R2, R], k : R+ R hàm không giảm theo biến u Nếu tồn hàm m : R+ R+ liên tục điểm t = k liên tục trái t = k thỏa mãn Dm(t) g(t, m(t)), t = k , t > t0 m(k+ ) (m(k )) Gọi r(t) nghiệm cực đại (2.2.3) xác định [t0, ) m(t+ ) u0 ta có m(t) r(t), t > t0 Chứng minh áp dụng định lý so sánh ph-ơng trình vi phân th-ờng xung ( Xem [3]) ta có:m(t) r(t), t (t0, ) m(1) r(1 ) Mặt khác m(1+ ) (1 )) 1(r(1 )) = r(1+ ), hàm không giảm Điều rằng: m(t) r(t), t (k , k+1 ] [t0, ) k = 1, 2, Bằng truy hồi ta đ-ợc điều phải chứng minh Định lý 2.2.17 Giả sử V C[R+ ì S(), Rn ] Lipschitzian địa ph-ơng theo biến x thỏa mãn điều kiện sau D+ V (t, x) g(t, V (t, x)), t = k , (t, x) R+ ì S() 41 V (t, x + Ik (x)) k (V (t, x)) với t = k , x S() g C[R2+ , R] k K Nếu r(t) = r(t, t0, u0 ) nghiệm cực đại (2.2.3) xác định trên[t0, ) với nghiệm x(t) (2.1.1) xác định [t0, ) V (t0, x0) u0 ta có: V (t, x(t)) r(t), t t0 Chứng minh Nếu m(t) = V (t, x(t)), x(t) nghiệm (2.1.1) xác định [t0, ) ta thấy m(t) liên tục t = k liên tục trái t = k thỏa mãn: D+ m(t) g(t, m(t)); t = k , m(t+ ) u0 m(k+ ) k (m(k )), k = 1, 2, Từ bổ đề 2.2.2 suy điều phải chứng minh Định lý 2.2.18 Nếu điều kiện định lý (2.4.23) đ-ợc giữ tức là: V C[R+ ì S(), Rn ], V (t, x) Lipschitzian địa ph-ơng theo biến x, D+ V (t, x) g(t, V (t, x)), t = k , (t, x) R+ ì S() V (t, x + Ik (x)) k (V (t, x)) với t = k , x S() g C[R2+ , R] k K ta thêm vào điều kiện a(||x||) V (t, x) b(||x||) Thì tính ổn định ph-ơng trình (2.2.3) kéo theo tính ổn định (2.1.1) 2.3 Tính ổn định ph-ơng trình vi phân hàm có xung Cho t0 R+ ; = const, xét ph-ơng trình vi phân hàm có xung dạng x(t) = f (t, xt), t = tk (2.3.4) x(t ) = J (x(t )), k = 1, 2, k k k 42 n n n f : [t0, ) R , P C = P C([, 0], R ) = { : [, 0] R , (t) liên tục hầu khắp nơi trừ hữu hạn điểm t mà (t + ), (t ) tồn (t + ) = (t )} Jk (x) : S() Rn , k = 1, 2, ; t1 < t2 < < tk < tk k , x(t) đạo hàm bên phải hàm x(t) Với t t0 , xt P C ta xác định xt(s) = x(t + s), s Với P C chuẩn đ-ợc xác định |||| = sup ||(s)|| s0 Ký hiệu x(t) = x(t, t0, ) nghiệm (2.3.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t, t0, ) = (t t0 ), t = t0 x(t , t , ) = (0) 0 (2.3.5) Định nghĩa 2.3.13 Nghiệm tầm th-ờng (2.3.4) đ-ợc gọi là: (S6) ổn định với > tồn = () cho P C(), thỏa mãn ||x(t, t0, )|| < với t t0 (S7) ổn định tiệm cận ổn định tồn > cho với > có T = T () > cho P C(), thỏa mãn ||x(t, t0, )|| < với t t0 + T (S8) ổn định mũ với P C(), tồn > 0, M > cho ||x(t, t0, )|| M|||| e(tt0) , t t0 Định lý 2.3.19 Giả sử V C[R+ ì S(), R+ ], V (t, x) Lipschitzian địa ph-ơng theo biến x thỏa mãn: (i) V (t, x) a(||x||), V (tk , x(tk )), (ii) V (t, x) 0, V (t, 0) = 0, a K, + (t, x) R+ ìS(), V (t+ k , x(tk )) t = tk Thì nghiệm tầm th-ờng x (2.3.4) ổn định Chứng minh Với > theo tính chất hàm V tồn = (t0, ) > cho x , ||x|| < sup V (t0 , x) < a() Với x(t) = x(t, t0, x0) nghiệm ||x||< (2.3.4) ta có: a(||x||) V (t, x(t)) V (t0, x) < a() Vậy ||x(t)|| < Sau áp dụng hệ 1.25 [11] suy điều phải chứng minh Định lý 2.3.20 Giả sử V C[R+ ì S(), R+ ], V (t, x) Lipschitzian địa ph-ơng theo biến x thỏa mãn: 43 (i) a(||x||) V (t, x) b(||x||), V (t, 0) = 0, a K, (t, x) R+ ì S(), + V (t+ k , x(tk )) V (tk , x(tk )), (ii) V (t, x) 0, t = tk Thì nghiệm tầm th-ờng x (2.3.4) ổn định Chứng minh Với > theo tính chất hàm V tồn = (t0, ) > cho b() < a(), ||x(t0)|| < .Với x(t) = x(t, t0, x0 ) nghiệm (2.3.4) ta có: a(||x||) V (t, x(t)) V (t0, x) < b() < a() Vậy ||x(t)|| < với t t0 Định lý 2.3.21 Giả sử V C[R+ ì S(), R+ ], V (t, x) Lipschitzian địa ph-ơng theo biến x thỏa mãn: (i) a(||x||) V (t, x) b(||x||), + V (t+ k , x(tk )) V (tk , x(tk )), (ii) V (t, x) c(||x||), t = tk , V (t, 0) = 0, a K, (t, x) R+ ì S(), c K Thì nghiệm tầm th-ờng x (2.3.4) ổn định tiệm cận Chứng minh Cho = const > cho {x Rn : ||x|| < } Với t [t0, ) đặt Vt, = {x : V (t + 0, x) a()} Từ điều kiện (i) định lý ta có: Vt, {x Rn : ||x|| < } Từ điều kiện (ii) định lý ta có với t0 R P C[[r, 0], ] : (0) x(t, t0, ) Vt, , t t0 Vt1 , Với > chọn = () > cho b() < a() chọn T > b() c() Giả sử với t [t0, t0 + T ] nghiệm ||x(t, t0, )|| từ (ii) ta có: t V (t, x(t, t0, )) V (t0 + 0, (0)) c(||x(s, t0, )||ds b() c()T < t0 Suy vô lý Điều tồn t [t0, t0 + T ] cho ||x(t, t0 , 0)|| Khi với t t ta có: a(||x(t, t0, )|| V (t, x(t, t0, 0)) V (t, x(t, t0 , 0)) b(||x(t; t0, )||) < b() < a() Do đó: ||x(t, t0, )|| < với t t0 + T Tính ổn định đ-ợc suy từ định lý 2.3.20 44 2.4 áp dụng cho mạng nơron thần kinh với xung hữu hạn có chậm thay đổi Mạng nơron thần kinh đ-ợc biết đến với nhiều tên khác nh- mô hình liên t-ởng, ký ức, nhận biết Mô hình sinh học mạng nơron thần kinh đ-ợc xây dựng Harvey (1994) Tiếp đ-ợc nhiều nhà nghiên cứu quan tâm tiếp tục hoàn thiện nó, số kể đến Pupves, Augustine, Fitzpatine Một nghiên cứu nhiều mạng nơron thần kinh là nghiên cứu ổn định tiệm cận toàn thể mạng điểm cân Nếu điểm cân mạng ổn định tiệm cận toàn thể điều có nghĩa phạm vi ảnh h-ởng nơron tác động lên toàn mạng khoảng thời gian định.Trong thực tế mạng nơron thần kinh ổn định tiệm cận toàn thể bảo đảm cho việc tính toán, gợi ý, nhận biết, đ-a h-ớng giải quyết, đánh giá vấn đề Mô hình mạng nơron thần kinh dạng tổng quát có xung đ-ợc nghiên cứu Zhou Cao (2002) đ-ợc phát triển tiếp đến Sự tác động xung lên hệ làm cho hệ không ổn định, xung tác động vật lý, hóa học, sinh học Bằng ph-ơng pháp hàm Lyapunov điều kiện đủ để hệ ổn định tiệm cận ta áp dụng vào nghiên cứu tính ổn định tiệm cận mạng nơron thần kinh với xung hữu hạn có chậm thay đổi 2.4.1 Sự ổn định nơron thần kinh Ph-ơng trình trạng thái nơron thần kinh với tham gia xung hữu hạn có chậm thay đổi có dạng tổng quát nh- sau: x(t) = x(t) + af (x(t) bx(t (t)) c), t = tk , t x(t ) = x(t + 0) x(t ) = I (x(t )), k = 1, 2, k k k k k (2.4.6) a > 0; b c số không âm; f : R R; (t) ( = const); t (t) t ; Ik : R R, k = 1, 2, ; t1 < t2 < < tk < tk+1 < ; lim tk = k Cho J R khoảng Ta xét lớp hàm bị chặn J P CB[J, R] = { P C[J, R] : (t) bị chặn J } 45 Giả sử P BC [, 0], R Ký hiệu x(t) = x(t, 0, ) nghiệm (2.4.6)thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t, 0, ) = (t), t x(0+, 0, ) = (0) (2.4.7) || = sup |(s)| chuẩn P BC [, 0], R s[,0] Để nghiên cứu tính ổn định đòi hỏi điều kiện sau đây: (H1) Tồn L > cho |f (u) f (v)| L|u v| với u, v R (H2) Tồn số M > cho với u R |f (u)| M (H3) a > 0, b 0, a(1 b) < (H4) Với k = 1, 2, Ik liên tục R (H5) < t1 < t2 < < tk < tk+1 < tk k Đặt y(t) = x(t) bx(t (t)) c ph-ơng trình (2.4.6) biến đổi thành y(t) = y(t) c + af (y(t)) abf(y(t (t))), t = tk , t y(t ) = J (x(t )), k = 1, 2, k k (2.4.8) k Jk (y(tk )) = Ik (y(tk )) + bx(tk (k)) + c) Ik (bx(tk (k)) + c) Bổ đề 2.4.3 Nếu điều kiện (H1)-(H5) đ-ợc thỏa mãn thì: (i) Ph-ơng trình (2.4.6) tồn nghiệm điểm cân x xác định tập [0, ) (ii) lim x(t) = x lim y(t) = y , y điểm cân (2.4.8) t t Nếu ta đặt u(t) = y(t) y ph-ơng trình biến đổi thành u(t) = u(t) + a[f (u(t) + y ) f (y )] ab[f (u(t (t)) + y ) f (y )], u(t ) = P (u(t )) k k k t = tk , k = 1, 2, (2.4.9) Pk (u) = Jk (u + y ) Jk (y ) Định lý 2.4.22 Giả sử (i) Các điều kiện (H1)-(H5) đ-ợc thỏa mãn (ii) Tồn số d > cho < d La(1 + b) t0 46 (iii) Hàm Pk hàm thỏa mãn Pk (u(tk )) = k u(tk ), < k < 2; k = 1, 2, Thì điểm cân x (2.4.6) ổn định tiệm cận Chứng minh Xét hàm Lyapunov V (t, u) = 12 u2 Tại điểm t = tk , từ điều kiện (iii) định lý ta nhận đ-ợc V (tk + 0, u(tk ) + Pk (u(tk ))) = (u(tk ) + Pk (u(tk )))2 = (1 k )2 u2(tk ) < V (tk , u(tk )), k = 1, 2, + Cho t t = tk Khi đạo hàm bên phải D(2.4.9) V (t, u(t)) V đ-ợc xác định + V (t, u(t)) = u(t)u(t) D(2.4.9) = u(t) u(t) + a[f (u(t) + y ) f (y )] ab[f (u(t (t)) + y ) f (y )] = u2(t) + au(t)[f (u(t) + y ) f (y )] abu(t)[f (u(t (t)) + y ) f (y )] Từ (H1) ta có: f (u(t) + y ) f (y ) = u(t)f (1 (t)), f (u(t (t)) + y ) f (y ) = u(t (t))f (2 (t)) (t) nằm y u(t) + y , (t) nằm y u(t (t)) + y Do + V (t, u(t)) u2(t) + aLu2(t) + abLu(t)u(t (t)), D(2.4.9) t = tk Ta có: + D(2.4.9) V (t, u(t)) (1 + aL(1 + b))V (t, u(t)) dV (t, u(t)), Do điểm cân x ổn định tiệm cận 2.4.2 Sự ổn định mạng nơron thần kinh n Cho t0 R+ ||x|| = |xi| chuẩn x Rn Ta xét mạng nơron thần i=1 kinh có xung với chậm thay đổi nh- sau: n x i(t) = ci xi (t) + aij fj (xj (t)) + j=1 x (t ) = P (x (t )) i k ik i k n bij fj (xj (t j (t))) + Ii , t = tk j=1 k = 1, 2, (2.4.10) 47 i = 1, 2, , n; n số nơron thần kinh; xi (t) đ-ợc coi trạng thái nơron thứ i; fj (xj (t)) tác động nơron thứ j thời điểm t; aij ; bij ; Ii ; ci số Với aij trạng thái sức khỏe phần tử j với phần tử i thời điểm t; bij trạng thái sức khỏe phần tử j với phần tử i thời điểm t (t); Ii ảnh h-ởng bên tác động vào phần tử thứ i; ci t-ợng tr-ng cho tốc độ hồi phục khả phần tử thứ i xi (tk ) = xi (tk 0) xi (tk + 0) trạng thái phần tử thứ i tr-ớc sau tác động xung thời điểm tk , Pik (xi (tk )) t-ợng tr-ng cho thay đổi trạng thái xi (t) thời điểm tk Cho BC [, 0], R Ký hiệu x(t) = x(t, t0, ) nghiệm (2.4.10) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t, t0, ) = (t t0), x(t + 0, t , ) = (0) || = t (2.4.11) max ||(t t0 )|| chuẩn BC [, 0], R t[t0 ,t0 ] Để nghiên cứu tính ổn định mạng nơron thần kinh ta đòi hỏi thêm điều kiện sau: (H6) Tồn Li > cho |fi (u)fi(v)| Li |uv| với u, v R, i = 1, 2, , n (H7) Tồn số Mi > cho với u R i = 1, 2, , n |fi (u)| Mi (H8) Hàm Pik liên tục R, i = 1, 2, , n, k = 1, 2, , n (H9) < t1 < t2 < < tk < tk+1 < tk k (H10) Tồn điểm cân x = col(x1 , x2, , xn) (2.4.11) thỏa mãn n ci xi = n aij fj (xj ) + j=1 Pik (xi ) = 0, bij fj (xj ) + Ii , j=1 i = 1, 2, , n, k = 1, 2, , n 48 Bằng phép biến đổi yi (t) = xi (t) xi hệ chuyển n (t) = c y (t) + aij [fj (xj (t) + yj (t)) fj (xj )] y i i i j=1 n bij [fj (xj + y(t j (t))) fj (xj )], t = tk , + j=1 y (t ) = Q (y (t )) k = 1, 2, i k ik i k Qik (yi (tk )) = Pik (yi (tk ) + xi ), i = 1, 2, , n, t t0 (2.4.12) k = 1, 2, , n Định lý 2.4.23 Giả sử rằng: (i) Các điều kiện (H5)-(H10) đ-ợc thỏa mãn (ii) Các hệ số ci , aij , bij thỏa mãn bất đẳng thức n 1in ci Li n |aij | > max Li j=1 |bij | > j=1 (iii) Các hàm Pik (xi (tk )) = ik (xi(tk ) xi ), < ik < 2, i = 1, 2, , n, k = 1, 2, , n Thì điểm cân x (2.4.11) ổn định mũ Chứng minh Xét hàm Lyapunov n V (t, y) = |yi (t)| i=1 Tại điểm t = tk điều kiện (iii) định lý ta nhận đ-ợc n V (tk + 0, y(tk ) + (tk )) = |yi (tk ) + Qik (yi(tk ))| i=1 n |xi (tk ) xi ik (xi(tk ) xi )| = i=1 n = (2.4.13) |1 ik |.|xi(tk ) xi | i=1 n |xi (tk ) xi | = V (tk , y(tk )), < i=1 k = 1, 2, 49 Cho t t0,t = tk đạo hàm bên phải dọc theo hệ (2.4.12) n + V D(2.4.12) n ci |yi (t)| + (t, y(t)) i=1 n ci i=1 Lj |aij | |yj (t)| + j=1 1tn Lj |bij ||yj (t (t))| j=1 Lj |bij ||yj (t (t))| j=1 i=1 n Lj |aij ||yj (t)| + j=1 n n n n n ci |yi (t)| + max Li Lj |aij | j=1 k1 V (t, y(t) + k2 1tn i=1 sup n n |bij | |yj (t (t))| j=1 i=1 V (s, y(s)) t (t)st (2.4.14) n k1 = ci 1tn Lj |aij | > j=1 n k2 = max Li 1tn |bij | > j=1 Từ đánh giá nghiệm y(t) (2.4.12) phải thỏa mãn V (s, y(s)) V (t, y(t)), t s t, Ta có: + D(2.4.12) V (t, y(t)) (k1 k2 )V (t, y(t)), t = tk , k = 1, 2, Từ điều kiện (ii) định lý tồn số > cho k1 k2 , Điều + D(2.4.12) V (t, y(t)) V (t, y(t)), t = tk , k = 1, 2, Từ (2.4.13) (2.4.14) ta nhận đ-ợc V (t, y(t)) e(tt0 )V (t0 + 0, y(t0 + 0)), t t0 Do n n |xi (t) xi | (tt0 ) |xi (t0 + 0) xi | e i=1 i=1 n e(tt0 ) |xi(s) xi | , max s[t0 ,t0 ] Từ suy điều phải chứng minh i=1 t t0 , 50 Ví dụ 2.4.14 Xét mạng nơron thần kinh có xung với chậm thay đổi n x i (t) = ci xi (t) + n aij fj (xj (t)) + j=1 bij fj (xj (t j (t)) + Ii t = tk , t0 j=1 (2.4.15) n = 2; I1 = I2 = 1; c1 = c2 = 3; fj (xi ) = |xi + 1| |xi 1| ; (t) ( = 1); i = 1, (aij )2ì2 = (bij )2ì2 = Với xung cho công thức x1 (tk + 0) = x (t + 0) = k a11 a12 a21 a22 b11 b12 = b21 b22 = 1 0.9 0.8 0.05 0.15 1.8262806+x1(tk ) , k = 1, 2, 0.0668151+x2(tk ) , k = 1, 2, t1 < t2 < lim tk = k Qua định lý 2.4.23 ta xác định đ-ợc L1 = L2 = 1, k1 = 1, k2 = 0.95 điều kiện (ii) định lý đ-ợc thỏa mãn Ta có: < 2, theo định lý 2.4.23 điểm cân < 1k = < 2k = [...]... r1 (t)) 0 Vậy ta có nghiệm tầm th-ờng của hệ là ổn định đều Ch-ơng 2 Sự ổn định của ph-ơng trình vi phân có xung và ứng dụng trong mạng Nơron thần kinh 2.1 Ph-ơng trình vi phân có xung và tính tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ ph-ơng trình vi phân có xung Ph-ơng trình vi phân có xung đ-ợc nghiên cứu từ những năm 1960 bởi các nhà toán học Nga V.D.Milman và A.D.Myshkis ( xem [11]).Sau đó đ-ợc rất nhiều... xem tính ổn định của hệ (1.3.7) nh- tính ổn định của hệ tuyến tính y = Fx (t, x(t))y, (1.3.8) Trong tr-ờng hợp hệ (1.3.6) là hệ ôtônôm ta có: x = f (x) (1.3.9) Để nghiên cứu tính ổn định của điểm cân bằng x0 = 0 giả sử f (0) = 0 ta có: f (x) = Df (0)x + D2 f (0) 2 x + 2 Khi đó vi c nghiên cứu tính ổn định của hệ (1.3.9) tại điểm cân bằng x0 = 0 sẽ đ-a về vi c nghiên cứu tính ổn định của hệ tuyến tính. .. của hệ trên là ổn định tiệm cận 1.6 Ph-ơng pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của ph-ơng trình vi phân hàm Để nghiên cứu sự ổn định của nghiệm của ph-ơng trình hàm thông th-ờng chúng ta th-ờng áp dụng ph-ơng pháp hàm Lyapunov Sau đây, tôi xin trình các khái niệm về sự ổn định của nghiệm của ph-ơng trình vi phân có chậm 1.6.1 Các khái niệm về ổn định của ph-ơng trình vi phân hàm Xét ph-ơng trình. .. không ổn định tiệm cận khi x 1+ t + 1.2.3 Sự ổn định của hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính với ma trận hằng Xét hệ: trong đó A = [ajk ]nìn dx = Ax (1.2.5) dt là ma trận hằng T-ơng tự nh- đối với ph-ơng trình vi phân tuyến tính không ôtônôm thuần nhất, ta kí hiệu T (t) = eAt là ma trận nghiệm cơ bản của (1.2.3) khi đó ta sẽ có hệ quả sau 14 Hệ quả 1.2.1 Nghiệm x(t) 0 của (1.2.5) là (i) ổn định đều... quan hệ (1.4.14) và (1.4.15) cộng với điều kiện (i) và (ii) thì t ||y(t, t0, x0 )|| K||x0|| + K 2 g(s, K||y(s, t0, x0||)ds, t t0 t0 Sử dụng bổ đề suy ra ||y(t, t0, x0)|| r(t, t0, K||x0||), t t0 Do đó tính ổn định của (1.4.12) sẽ đ-ợc suy ra từ (iii) 1.5 Tính ổn định ngặt của hệ ph-ơng trình vi phân Xét hệ ph-ơng trình vi phân: x = F (t, x), x(t0) = x0 (1.5.20) y = f (t, y), y(t0) = x0 (1.5.21) và. .. dt x1 = x 18 Khi đó ta sẽ xét tính ổn định tại điểm (0, 0) của hệ mới Các giá trị riêng của A đ-ợc xác định từ ph-ơng trình 1 1 2h = 2 + 2h 1 = 0 Dễ dàng thấy rằng tích hai nghiệm là âm Do đó hai nghiệm của ph-ơng trình trên là trái dấu Suy ra hệ không ổn định Vậy tại điểm (, 0) là không ổn định 1.4 Ph-ơng pháp biến phân đối với hệ phi tuyến Xét hệ ph-ơng trình vi phân dx = f (t, x); dt x(t0) =... thiệu một số kết quả b-ớc đầu trong vi c nghiên cứu tính chất nghiệm của ph-ơng trình vi phân có xung 35 36 2.1.1 Ph-ơng trình vi phân có xung dạng tổng quát Ph-ơng trình vi phân có xung x x(t+ 0) x( + ) k dạng tổng quát cho bởi = f (t, x); = x0 , t = k t0 0 (2.1.1) = x(k ) + Ik (x(k )) trong đó (i) 0 < 1 < 2 < < k < và k khi k (ii) f C[R+ ì S(), Rn ] và f (t, 0) = 0 (iii) Ik C[S(), Rn... Df (0) Hàm Ax = Df (0)x đ-ợc gọi là phần tuyến tính của f tại x0 = 0 Hệ (1.3.10) đ-ợc gọi là sự tuyến tính hóa của hệ (1.3.9) tại điểm x0 = 0 Hàm tuyến tính Df (0)x là xấp xỉ tốt nhất của hàm không tuyến tính f (x) tại điểm x = 0 Ví dụ 1.3.5 Xét bài toán ổn định tại điểm cân bằng của con lắc đơn có sự tham gia của ma sát Con lắc bao gồm quả nặng khối l-ợng m và thanh cứng có khối l-ợng không đáng kể... của ph-ơng trình trên có phần thực âm Ví dụ 1.2.4 Xét hệ: x = x + y y = x y + z z = y z 15 Ph-ơng trình đặc tr-ng có dạng +1 0 x +1 z 0 +1 =0 Hay là ( + 1)[2 + 2 + (1 2)] = 0 Do đó hệ sẽ ổn định tiệm cận nếu 1 2 > 0 < 1.3 1 2 Bài toán tuyến tính hóa ổn định của hệ ôtônôm và ví dụ về sự ổn định của vị trí cân bằng của con lắc đơn Giả sử x(t) là nghiệm của ph-ơng trình vi phân (1.3.6)... định bởi các ph-ơng trình: y = 0; sin x + 2hy = 0 x = n; y = 0; n = 0, 1, 2, Trong vế phải của ph-ơng trình trên là hàm tuần hoàn đối với biến x Do đó ta sẽ nghiên cứu tính ổn định tại hai nghiệm (x = 0, y = 0) và (x = , y = 0) Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm (x = 0, y = 0) Ta tuyến tính hóa tại lân cận của (0, 0) Bằng cách sử dụng khai triển sin x = x x3 + 3! Ph-ơng trình tuyến tính xấp xỉ là: