Nhờ việc nghiên cứu không gian các hàm điều hòa, người ta thấy được vai trò của giải tích trên đa tạp trong các bài toán quan trọng liên quan đến topo, hình học.. Chính vì vậy, không gia[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NÔI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỖ THỊ HẠNH
ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN
Chuyên ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS NGUYỄN THẠC DŨNG
(2)Lời cám ơn
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Nguyễn Thạc Dũng, người tận tình giúp đỡ bảo tơi suốt q trình hồn thành luận văn thạc sỹ Qua xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo mơn Tốn giải tích, trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, người giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu trường
Tác giả xin gửi lời cám ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội tạo điều kiện cho tơi q trình học tập Cuối xin gửi lời cám ơn đến gia đình, bạn bè, người ln bên tơi, động viên khuyến khích tơi q trình thực luận văn
Do làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học cịn hạn chế thời gian thực nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn để luận văn hồn thiện
(3)Mục lục
Mở đầu
1 TOÁN TỬ LAPLACE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN
1.1 Đa tạp Riemann
1.1.1 Toán tử Laplace đa tạp Riemann
1.1.2 Liên thông Levi - Civita đa tạp Riemann 14
1.1.3 Tensor độ cong, độ cong Ricci 17
2 ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 21 2.1 Ước lượng Gradient cho phng trỡnh Schrăodinger vi hm th v h(x, t) 21 2.2 Một vài ứng dụng 36
Kết luận 40
(4)Mở đầu
Trong hình học vi phân, việc nghiên cứu hàm điều hịa đóng vai trị quan trọng khơng gian hàm điều hịa có liên hệ chặt chẽ tới hình học, topo đa tạp Các hàm điều hịa nghiệm phương trình elliptic ∆u= Nhờ việc nghiên cứu không gian hàm điều hòa, người ta thấy vai trò giải tích đa tạp tốn quan trọng liên quan đến topo, hình học Chính vậy, khơng gian hàm điều hòa quan tâm nghiên cứu nhiều nhà Toán học lớn Chẳng hạn, năm 1975, Cheng Yau thu ước lượng gradient cho hàm điều hòa (Xem tài liệu [8]) Nhờ ước lượng gradient người ta chứng minh tính chất Liouville, bất đẳng thức Harnack cho hàm điều hòa Bên cạnh việc nghiên cứu phương trình elliptic, người ta phát triển nghiên cứu phương trình parabolic đa tạp Phương pháp parabolic tỏ đặc biệt hữu dụng việc chứng minh tính chất hàm điều hòa Trong tài liệu [4], phương trình nhiệt parabolic ut = ∆u, (Ở số t bên ký hiệu phép lấy vi phân
riêng theo t, ∆ toán tử Laplace đa tạp M), Li Yau thu ước lượng gradient sau
Định lý 0.1 (Li - Yau) Cho M đa tạp đầy n chiều với độ cong Ricci bị chặn −K, K >0 Giả sử u nghiệm dương phương trình ut = ∆u B(x0,2R)×[t0−2T, t0], với ∀α >1, ta có
|∇u|2
u2 −α
ut
u C R2 +
nα2 2T +
nα2
√
2(α−1)K, (1)
trên B(x0,2R)×[t0−2T, t0] Ở ∇ toán tử gradient M số dương C phụ thuộc vào số chiều n
(5)metric g ban đầu Các gradient Ricci soliton trường hợp đặc biệt khơng gian độ đo metric trơn Toán tử Laplace mở rộng cách tự nhiên lên không gian thành toán tử ∆u+h∇φ,∇ui độ cong Ricci thay độ cong Bakry-Émery m chiều sau
f
Ric:=Ric− ∇2φ−
m−n∇φ⊗ ∇φ, m≥n,
trong m = n φ = Năm 2005, Li Xiangdong [9] nghiên cứu phương trình nhiệt tổng qt khơng gian đo metric trơn mở rộng kết Li-Yau lên khơng gian Li xét phương trình nhiệt
ut = ∆u+h∇φ,∇ui
Giả thiết độ cong Bakry-Émery m chiều bị chặn
f
Ric>−K, X D Li thu ước lượng gradient sau
|∇u|2
u2 −α
ut
u C R2 +
mα2 2T +
mα2
√
2(α−1)K (2) Bằng cách sử dụng (2), người ta nhận bất đẳng thức Harnack
u(x1, t1)6u(x2, t2)
t2
t1
(nα2 )
exp
αρ2(x1, x2)
4(t2−t1)
+√ nαK
2(α−1)(t2−t1)
,
với ∀x1, x2 ∈M, ρ(x1, x2) khoảng cách trắc địa giữax1 x2, 0< t1< t2 <+∞
Lưu ý từ dạng bất đẳng thức Harnack, người ta so sánh nghiệm thời điểm khác Tuy nhiên, tài liệu [7], Hamilton thu ước lượng gradient dạng elliptic đa tạp compac Với ước lượng đó, ta so sánh nghiệm hai điểm khác lúc Ước lượng gradient Hamilton phát biểu sau
Định lý 0.2 (Hamilton) Cho M đa tạp compact khơng có biên với điều kiện độ cong Ricci bị chặn - K, K > Giả sử u nghiệm dương phương trình ut= ∆u với u6 C ∀(x, t)∈M ×(0,+∞)
|∇u|2
u2
1 t + 2K
lnC
u (3)
(6)Định lý 0.3 (Souplet - Zhang) Cho M đa tạp đầy n chiều với độ cong Ricci bị chặn - K, K >0 Giả sử u nghiệm dương phương trình ut = ∆u Q2R,2T ≡B(x0,2R)×[t0−2T, t0] u6C Q2R,2T Khi
|∇u|
u 6C1
1 R +
1 T12
+√K +lnC u
, (4)
trong Q2R,2T Hằng số C1 phụ thuộc vào số chiều n, n→ ∞ C1 → ∞
Lưu ý ước lượng (4) ước lượng gradient địa phương Cho R → ∞, ta thu ước lượng gradient toàn cục sau
|∇u|
u 6C1
1 T12
+√K +lnC u
(5)
Trong ước lượng (5), số C1 phụ thuộc vào số chiều n, ngồi C1 dần tới vơ
cùng n dần tới vơ cùng, ước lượng gradient không áp dụng cho đa tạp vô hạn chiều Tuy nhiên, ước lượng gradient (3) Halminton khơng phụ thuộc vào số chiều n
Trong luận văn mình, chúng tơi nghiên cứu ước lượng gradient cho phương trình tổng quỏt hn ú l phng trỡnh Schrăodinger vi hm th vị h(x, t)
ut = ∆u+h∇φ,∇ui+hu
Chúng chứng minh ước lượng gradient cho nghiệm phương trình cho hai trường hợp h hàm không dương h hàm không âm Với ước lượng gradient thu chúng tơi chứng minh bất đẳng thức Harnark chứng minh tính chất Liouville cho hàm φ-điều hịa Các kết xem mở rộng kết cổ điển Li-Yau
(7)Chương 1
TOÁN TỬ LAPLACE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN
1.1 Đa tạp Riemann
1.1.1 Toán tử Laplace đa tạp Riemann A ĐA TẠP TRƠN
Định nghĩa 1.1 Giả sử M không gian tôpô Hausdorff có sở đếm M gọi đa tạp tôpô n - chiều với p ∈ M, tồn ba
{ϕ, U, V}, U lân cận mở p M, V tập mở Rn, và ϕ:U →V là đồng phôi Mỗi ba gọi bản đồ p
Hai đồ {ϕ1, U1, V1} {ϕ2, U2, V2} gọi tương thích phép chuyển
ϕ12 =ϕ2◦ϕ−11:ϕ1(U1∩U2)→ϕ2(U1∩U2),
là đồng phôi Lưu ý ϕ1(U1∩U2) ϕ2(U1∩U2) mở Rn
Định nghĩa 1.2 Một atlas A đa tạp M tập đồ {ϕα, Uα, Vα} tương thích với nhau, thỏa mãn S
αUα=M Hai atlas M gọi tương đương hợp chúng atlas M
Định nghĩa 1.3 Một đa tạp trơn n - chiều đa tạp tôpô M n - chiều trang bị lớp tương đương atlas cho hàm chuyển hàm trơn Lớp tương đương gọi cấu trúc trơn atlas
Ví dụ 1.1 Rn (hoặc không gian véctơ hữu hạn chiều) đa tạp trơn.
Ví dụ 1.2 Xét siêu cầu n chiều Rn+1
(8)Gọi N = (0,0, ,0,1)∈Rn+1 và S = (0,0, ,0,−1)∈
Rn+1 điểm cực
bắc điểm cực nam Sn Xét U1 =Sn−N U2 =Sn−S tập mở
Sn Xét phép chiếu ϕi :Ui→Rn định nghĩa
ϕ1(x) =
1 1−xn+1
(x1, , xn), ϕ2(x) =
1 +xn+1
(x1, , xn)
Khi {ϕ1, U1,Rn} {ϕ2, U2,Rn} tạo thành atlas Sn Siêu cầu Sn
một đa tạp trơn
B ÁNH XẠ TRƠN
Định nghĩa 1.4 Giả sử ta có ánh xạ f :M → N hai đa tạp trơn Ta nói ánh xạ trơn với đồ {ϕα, Uα, Vα} M
ϕβ, Uβ, Vβ N, ánh xạ
ψβ◦f ◦ϕ−α1:ϕα Uα∩f−1 Xβ→ψβ f(Uα)∩Xβ,
là trơn Ánh xạ f :M →N gọi vi phơi song ánh f, f−1
đều ánh xạ trơn
Chú ý
(1) Khi N = R, ta gọi f hàm trơn có giá trị thực Tập hàm trơn có giá trị thực M ký hiệu C∞(M)
(2) Mỗi ánh xạ trơn f :M →N tạo ánh xạ "kéo - lùi" f∗ :C∞(N)→C∞(M), g 7→g◦f C VÉCTƠ TIẾP XÚC
Cho M đa tạp trơn n chiều; C∞(M) tập hàm khả vi vô hạn M
Định nghĩa 1.5 Một véctơ tiếp xúc điểm p ∈ M ánh xạ tuyến tính
Xp :C∞(U)→R thỏa mãn quy tắc Leibnitz
Xp(f g) =f(p)Xp(g) +Xp(f)g(p)
Ở U lân cận p nói định nghĩa 1.1
(9)gian đối ngẫu gọi không gian đối tiếp xúc M p ký hiệu Tp∗M Cả TpM Tp∗M không gian véctơ n-chiều
Giả sử {ϕ, U, V} đồ p với ϕ(p) = Khi đó, ánh xạ ∂i :C∞(U)→R, f 7→ ∂f ◦ϕ
−1
∂xi (0), i= 1,2, , n
là véctơ tiếp xúc tạip Các véctơ độc lập tuyến tính tạo thành sở TpM
Định nghĩa 1.6 Cho ánh xạ trơn f :M →N, với p∈M, vi phân f ánh xạ tuyến tính dfp :TpM →Tf(p)N định nghĩa
dfp(Xp) (g) =Xp(g◦f) Với Xp ∈TpM g ∈C∞(N)
Trong trường hợp đặc biệt f :M →R hàm trơn, ta đồng Tf(p)R với R Ta
Xp(f) = dfp(Xp)
Ở dfp∈Tp∗M gọi véctơ đối tiếp xúc p
Cho {ϕ, U, V} đồ địa phương quanh p Ta kí hiệu ϕ = x1, , xnvớixk hàm tọa độ thứktrênU, ký hiệu đồ bởiU;x1, , xn Vậy sở đối ngẫu {∂1, , ∂n} Tp∗M
dx1p, , dxnp , dfp= (∂1f)dx1p+ .+ (∂nf)dxnp
D PHÂN THỚ TIẾP XÚC
Định nghĩa 1.7 Cho E M hai đa tạp trơn, π :E →M toàn ánh trơn Ta nói (π, E, M) phân thớ véctơ hạng k với p∈M,
1 Ep=π−1(p) không gian véctơ k chiều
2 Tồn lân cận mở U p vi phơi ΦU : π−1(U) → U ×Rk cho
ΦU(π−1(p)) = {p} ×Rk
3 Nếu U, V hai tập mở với p∈U ∩V, ΦU,ΦV vi phơi ánh xạ
(10)Ta gọiE không gian tổng,M sở, ΦU ánh xạ tầm thường địa phương Một phân thớ véctơ hạng thường gọi đường thẳng phân thớ
Ví dụ 1.3 Đặt T M =∪pTpM hợp rời không gian tiếp xúc M Khi đó, với ánh xạ chiếu
π :T M →M, (p, Xp)7→p
T M phân thớ véctơ hạng n M Ta gọi T M phân thớ tiếp xúc
M Một ánh xạ tầm thường địa phương T M cho
T ϕ= (π, dϕ) :π−1(U)→U ×Rn,
với {ϕ, U, V} đồ địa phương M
E CẤU TRÚC RIEMANN
Cho M đa tạp m chiều ta có định nghĩa cấu trúc metric Riemann định nghĩa đa tạp Riemann sau
Định nghĩa 1.8 Một cấu trúc metric Riemann M việc đặt tương ứng với p∈M tích vơ hướng gp(·,·) = h·,·ip TpM cho với hai trường véctơ X, Y tập mở U ∈ M, hàm số p → hXp, Ypi hàm khả vi Đa tạp
M với cấu trúc metric Riemann g xác định M gọi đa tạp Riemann ký hiệu (M, g)
Ta ý thân g metric M Tuy nhiên, g cảm sinh cấu trúc metric tự nhiên M
Ta mơ tả cấu trúc metric g sử dụng tọa độ địa phương sau Cho
U, x1, , xm hệ tọa độ địa phương, {∂1, , ∂m} trường véctơ tọa
độ tương ứng Ta ký hiệu
gij(p) =h∂i, ∂jip
Với véctơ trơn X =Xi∂i Y =Yj∂j U ta có
hXp, Ypip =Xi(p)Yj(p)h∂i, ∂jip =gij(p)Xi(p)Yj(p)
Ta viết g =gijdxi⊗dxj, gọn g =gijdxidxj
Dễ thấy, gij có tính chất sau
• gij(p) trơn với p∈M, với i, j
(11)Tài liệu tham khảo
[1] D Bakry, M Emery, "Diffusion hypercontractives", Séminaíre de Probabiliés XIX, Lecture Notes in Math 1123(1985), pp.177-206
[2] E Calabi, "An extension of E.Hopf’s maximum principle with an application to Riemannian geometry", Duke Math.J 25(157)(1958), pp.45-46
[3] P Li, "Harmonic functions and applications to complete manifolds", Preprint (available on the author’s homepage)
[4] P Li and S T Yau, "On the parabolic kernel of the Schrăodinger operator",Acta Math 156(1986), pp.153-201
[5] P Souplet and Qi S Zhang, "Sharp gradient estimate and Yau’s Liouville the-orem for the heat equation on noncompact manifolds", Bull London Math Soc
38(2006), pp.1045-1053
[6] Q H Ruan, "Elliptic-type gradient estimate for Schrăodinger equations on non-compact manifolds", Bull London Math Soc 39(6)(2007), pp.982-988
[7] R S Hamilton, "A matrix Harnack estimate for the heat equation", Comm Anual Geom 1(1993), No.1, pp.113-116
[8] S Y Cheng and S T Yau, "Differential equations on Riemannian manifolds and their geometric applications", Comm Pure Appl Math 28(1975), pp.335-354 [9] X D Li, "Liouville theorems for symmetric diffusion operators on complete
Riemannian manifolds", J Math Pures Appl 84(2005), pp.1295-1361