Luận văn thạc sĩ sử dụng phương pháp biến đổi để giải hệ phương trình hai ẩn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ HƯỜNG SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐỂ GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH HAI ẨN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – năm 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ HƯỜNG SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐỂ GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH HAI ẨN Chuyên ngành : Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số : 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - năm 201 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CÁCH GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN i.1 Hệ phương trình đối xứng loại I i.2 Hệ phương trình đối xứng loại II i.3 Hệ phương trình bậc hai tổng quát .5 1.2 GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC BA TỔNG QUÁT 1.3 GIẢI MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH BẬC BỐN .7 i.1 Giải phương trình trùng phương ax4  bx2  c  i.2 Giải phương trình có dạng  x  a  x  b  x  c  x  d   ex2 i.3 Giải phương trình có dạng  x  a  x  b  x  c  x  d   m .7 i.4 Giải phương trình dạng  x  a 4   x  b 4  c 1.4 CÁC BIỂU THỨC LIÊN HỢP 1.5 HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CHƢƠNG MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐỂ SÁNG TÁC VÀ GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH .10 GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI THÀNH HẰNG ĐẲNG THỨC 10 Bài tập tự luyện 18 2 GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH CỘNG ĐẠI SỐ 19 Bài tập tự luyện 30 GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI ĐƢA VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI CĨ DENTA LÀ BÌNH PHƢƠNG CỦA MỘT BIỂU THỨC 30 Bài tập tự luyện 39 GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI TẠO NHÂN TỬ CHUNG 40 Bài tập tự luyện 51 2.5 GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG LIÊN HỢP 52 Bài tập tự luyện 63 CHƢƠNG III MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI .65 KẾT LUẬN 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO 79 LỜI NĨI ĐẦU Hệ phƣơng trình nội dung lâu đời quan trọng Toán học Ngay từ đầu, đời phát triển hệ phƣơng trình có sức hút mạnh mẽ ngƣời u tốn, khơng vẻ đẹp hình thức mà bí ẩn mang đến ln thơi thúc ngƣời làm tốn phải tìm tịi, sáng tạo Ngày nay, hệ phƣơng trình ln chiếm vai trò quan trọng thƣờng xuất dày đặc kì thi quốc gia, quốc tế Giải hệ phƣơng trình hầu hết học sinh thƣờng biết sử dụng kinh nghiệm giả toán nhờ vào việc gặp hƣớng giải trƣớc mà quên thứ có nguyên Chúng ta bắt gặp nhiều tài liệu nói phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình nhƣng có tài liệu nguồn gốc vào hệ phƣơng trình ? Ai ngƣời nghĩ nghĩ nhƣ để có giải hệ phƣơng trình Chính lí tác giả lựa chọn đề tài “Sử dụng phƣơng pháp biến đổi để giải hệ phƣơng trình hai ẩn” Trong luận văn tác giả trình bày chi tiết cách biến đổi để sáng tạo giải hệ phƣơng trình với loại phƣơng pháp giải Từ đó, ta xây dựng đƣợc nhiều toán giải hệ phƣơng trình với mục đích khác Luận văn gồm chƣơng Chương Các kiến thức Trong chƣơng này, tác giả nhắc lại cách giải số hệ phƣơng trình nhƣ hệ phƣơng trình đối xứng loại I loại II, cách giải phƣơng trình bậc ba, bậc bốn mà ngƣời đọc cần nắm vững Chương Một số phương pháp biến đổi để sáng tác giải hệ phương trình Nội dung chƣơng gồm hai phần sáng tác giải hệ phƣơng trình cách biến đổi Với phần tác giả lấy toán minh họa phƣơng pháp sau ta vận dụng để sáng tác toán theo mong muốn Sau hiểu ý tƣởng sáng tác toán ta đứng góc nhìn ngƣời đề để dự đoán ý tƣởng đề tác tác giả khác để có lời giải tốn cách tự nhiên Chương Một số toán đề thi học sinh giỏi Trong chƣơng tác giả hệ thống lại số toán xuất đề thi học sinh giỏi tỉnh đề thi học sinh giỏi quốc gia Cuối chƣơng cịn có số tập để bạn đọc tự luyện Để hoàn thành đƣợc luận văn này, tác giả xin đƣợc gửi lời cảm ơn sâu sắc tới T.S Phạm Văn Quốc , thầy dành thời gian hƣớng dẫn, bảo, tận tình giúp đỡ trình xây dựng đề tài, giúp tác giả giải vấn đề nảy sinh trình làm luận văn hồn thành luận văn định hƣớng ban đầu Qua tác giả xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô đọc, kiểm tra, đánh giá cho ý kiến quý báu để luận văn đƣợc hoàn thiện phong phú Tác giả xin đƣợc gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phòng Sau Đại học, khoa Toán – Cơ – Tin trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trƣờng Cuối biết ơn sâu sắc tới gia đình, lời cảm ơn tới bạn bè thông cảm, động viên giúp đỡ cho tác giả có đủ nghị lực để hồn thành luận văn Tuy có nhiều cố gắng nhƣng thời gian trình độ cịn hạn chế nên vấn đề luận văn chƣa đƣợc trình bày sâu sắc khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận đƣợc bảo thầy bạn Tác giả xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, năm 2016 Nguyễn Thị Hƣờng CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CÁCH GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN i.1 Hệ phương trình đối xứng loại I Hệ phƣơng trình đối xứng hai ẩn loại I hệ phƣơng trình chứa hai ẩn x, y mà ta thay đổi vai trò x, y cho hệ phƣơng trình khơng đổi pháp giải tổng quát Ta cóthay phƣơng Tức  f  x; y    f  x; y f y; x ,     g  x; y  0   g  x; y   g  y; x  nhƣ sau Bƣớc 1: Đặt điều kiện biến ( có) Bƣớc 2: Đặt S  x  y ; P  xy ( với S  4P ) Khi , ta đƣa hệ phƣơng trình hệ chứa S, P Bƣớc : Giải hệ tìm S, P Chọn S, P thỏa mãn điều kiện S  4P Bƣớc : Với S, P tìm đƣợc x, y nghiệm phƣơng trình X  SX  P  i.2 Hệ phương trình đối xứng loại II Hệ phƣơng trình đối xứng loại II hệ chứa hai ẩn x, y mà đổi vị trí x, y cho  f  x; y   phƣơng trình trở thành phƣơng trình Tức hệ có dạng   f  y; x   Phương pháp giải: Trừ vế với vế hai phƣơng trình biến đổi dạng phƣơng trình tích số i.3 Hệ phương trình bậc hai tổng quát a x  b y  c xy  d x  e y  f Xét hệ phƣơng trình đối xứng bậc hai dạng   1 1 1 Một 2  a x 2b y 2 c xy  d x 2 e y2 f  phƣơng trình muốn có phân tích đƣợc nhân tử hay xem biệt thức denta theo biến x y có phải số phƣơng hay khơng Nếu hai biệt thức denta hai phƣơng trình số phƣơng trình cách giải đơn giản, ta cần tìm nghiệm phân tích nhân tử đƣợc mối liên hệ hai biến vào phƣơng trình cịn lại Thế nhƣng hai phƣơng trình cho denta khơng phƣơng ta cần phải sử dụng tới phƣơng pháp tìm hệ số bất định – UCT Ta lựa chọn số thích hợp nhân vào phƣơng trình cộng đại số với phƣơng trình cịn lại ép đƣợc cho biệt thức denta phƣơng Tức tìm số k cho PT 1  k.PT 2 Ta làm theo bƣớc sau Đặt a  a1  ka2 ; b  b1  kb2 ; c  c1  kc2 ; d  d1  kd2 ; e  e1  f  f1  kf2 ke2 ; Khi k nghiệm phƣơng trình sau cde 4abf  ae2  bd  fc2 với a  1.2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA TỔNG QUÁT Xét phƣơng trình bậc ba có dạng tổng qt x3  ax2  bx  c  1 Tác giả xin trình bày vắn tắt cách tìm nghiệm phƣơng trình phƣơng pháp Cardano a Đặt x  t  Khi phƣơng trình đƣợc biến đổi thành t3  pt  q  , 2 p  b  a q  c  2a  9ab 27 uv  p Ta tìm số u, v cho qua hệ u3  v3 q 3 Một nghiệm đƣợc tìm từ việc đặt t  v  u , kiểm tra trực tiếp thay giá trị t vào 2 Hệ 3 nhờ đẳng thức  v  u 3  3uv  v  u    u3  v3   v p giải từ phƣơng trình thứ hai cách rút Thay v  3u phƣơng trình thứ 3 ta có u  p3 27u với phƣơng trình bậc hai với u Khi ta u  u  q Phƣơng trình tƣơng đƣơng 3 vào p q  q2  2427 p3 4 Vì t  v  u a p a t  x  ta tìm đƣợc x   u  3u Chú ý có sau giá trị u tìm đƣợc từ   , có hai bậc ba ứng với  bậc ba có ba giá trị Tuy nhiên dấu phải chọn cho tính x , không gặp trƣờng hợp chia cho không Nếu p  , chọn dấu bậc hai cho u khác 0,i, e,u  Nếu q qp0 x a y  (x 1)   ... phƣơng trình ? Ai ngƣời nghĩ nghĩ nhƣ để có giải hệ phƣơng trình Chính lí tác giả lựa chọn đề tài ? ?Sử dụng phƣơng pháp biến đổi để giải hệ phƣơng trình hai ẩn? ?? Trong luận văn tác giả trình bày... SÁNG TÁC VÀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Biến đổi phƣơng trình phƣơng pháp quan trọng phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình Ta sử dụng biến đổi giúp ta đơn giản hệ phƣơng trình phức tạp qua lời giải tốn trở... CHUẨN BỊ 1.1 CÁCH GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN i.1 Hệ phương trình đối xứng loại I Hệ phƣơng trình đối xứng hai ẩn loại I hệ phƣơng trình chứa hai ẩn x, y mà ta thay đổi vai trò x, y cho hệ