Luận văn thạc sĩ một số phương pháp giải phương trình với toán tử đơn điệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI LÊ THỊ VÂN ANH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VỚI TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Khuất Văn Ninh HÀ NÔI - 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy suốt trình thực luận văn giúp em nhiều cách tiếp cận vấn đề Em xin bày tỏ lịng biết ơn, kính trọng sâu sắc thầy Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chun ngành Tốn Giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt q trình học tập nghiên cứu hồn thành luận văn H N ộ i , t h n g 11 n ă m Học viên Lê Thi Vân Anh LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn thầy PGS.TS Khuất Văn Ninh Trong trình nghiên cứu hồn thành luận văn, tơi kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn H N ộ i , t h n g 11 n ă m Học viên Lê Thị Vân Anh Mục lục MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lí thuyết phương trình với tốn tử đơn điệu nhà toán học quan tâm nghiên cứu từ năm sáu mươi kỷ 20 Có thể kể đến cơng trình nhà tốn học P.I.Kachurovski, M.M.Vainberg, M.I.Visik, M.A.Crasnoselski, F.E.Browder, G.J.Minty, J.L.Lions, R.T.Rockafellar, Phương pháp toán tử đơn điệu áp dụng phổ biến lí thuyết phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Những vấn đề quan tâm tồn nghiệm phương trình, phương pháp giải xấp xỉ phương trình ứng dụng vào lớp phương trình cụ thể Cho đến lí thuyết phương trình với toán tử đơn điệu thu kết phong phú Với mong muốn tìm hiểu sâu phương trình với tốn tử đơn điệu nên chọn đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình với tốn tử đơn điệu” làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu số phương pháp giải phương trình tốn tử đơn điệu, ứng dụng giải số phương trình tốn tử đơn điệu cụ thể Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp giải phương trình tốn tử đơn điệu Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Phương trình với tốn tử đơn điệu - Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tồn nghiệm phương trình, phương pháp giải xấp xỉ phương trình, ứng dụng giải số phương trình tốn tử đơn điệu cụ thể Phương pháp nghiên cứu - Vận dụng kiến thức, phương pháp Giải tích hàm, Giải tích số, Phương trình vi phân - Sưu tầm, nghiên cứu tài liệu liên quan - Phân tích tổng hợp hệ thống hóa Đóng góp luận văn Hệ thống hóa vấn đề nghiên cứu Áp dụng giải số phương trình tốn tử đơn điệu cụ thể Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương tác giả trình bày số khái niệm định lý Giải tích hàm khơng gian metric, khơng gian Banach, phép tính vi phân không gian Banach, không gian Hilbert Trong chương trình bày số khái niệm đơn điệu, số khái niệm liên tục số tính chất tốn tử Khơng gian metric, ngun lý ánh xạ co Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi không gian metric tập hợp X Ỷ với ánh xạ d : X X X —> M thỏa mãn tiên đề sau đây: 1) (Va;, y € X)d (X , y) > 0, d (x, y) = X = y, (tiên đề đồng nhất); 2) (Va;, y € X)d (X , y) = d (y, X ), (tiên đề đối xứng); 3) (Va;, y,z e X) d (X , y) < d (x, z) + d (z, y), (tiên đề tam giác) Ánh xạ d gọi metric X, số d(x,y) gọi khoảng cách hai phần tử X , y Các phần tử X gọi điểm Các tiên đề 1), 2), 3) gọi hệ tiên đề metric Không gian metric ký hiệu X = (x,d ) Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric X = (X,d) Một tập XQ Ỷ $ tập X với metric d X lập thành không gian metric Không gian metric Xo = (X0,d) gọi không gian metric không gian metric cho Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian metric X = (X, d), dãy điểm (x n) c X, điểm x G X Dãy điểm (x n) gọi hội tụ tới điểm X o không gian X n —> 00, Ve > 0, 3n0 G N *, Vn > n , d (x n , £0) < e, kí hiệu lim x n = X Q hay x n —> X o (n —> oo) n—>oo Điểm X Q gọi giới hạn dãy ( x n ) không gian X Định nghĩa 1.1.4 Cho không gian metric X = (x,d ) Dãy (x n ) c X gọi dãy Cauchy (hay dãy bản) Ve > 0,3n e G N* : d (x n , x m) < e, Vn, m > n e Nếu dãy Cauchy không gian metric X hội tụ X gọi khơng gian metric đầy .2 Nguyên lý ánh xạ co Định nghĩa 1.1.5 Cho X không gian metric Ánh xạ A : X —> X gọi ánh xạ co tồn số a, < a < cho d ( A x , Ay ) < a d ( x , y ) y x , y G X Định lý 1.1.1 (Nguyên lý Banach ánh xạ co) Mọi ánh xạ co A ánh xạ khơng gian metric đầy đủ (x,d ) vào có điểm bất động nhất, nghĩa tồn điểm X * G X thỏa mãn Ax* = X * , X * giới hạn dãy (x n), x n = A (æn_i), n = 1, 2, , x G X tùy ý • oo ta d (Ax*, X*) = hay Ax* = X*, nghĩa X* điểm bất động ánh xạ A Giả sử tồn điểm y * € X điểm bất động ánh xạ A d ( x * , y * ) = d (A x * , Ay * ) < a d (X * , y * ) =>■ (1 — a) d ( x * , y * ) < = > d ( x * , y * ) = 0, (0 < a < 1) => X* = y* Vậy X * điểm bất động ánh xạ A Từ bất đẳng thức chứng minh ta có d { x n + p , x n) < j ^ - ^ d ( A x , x ) ^(^n+pJ^n) — Cho p —> 00 ta d ( x n , X *) < (ỵ d (*^1) Xo) ■ —d i x iì £ (1 - a ) d { x n , X * ) < a d ( x n , x n - i ) = > d (x n , X *) < T- ^ — d ( x n , xn_i) 1—a (Định lý chứng minh) □ Không gian Banach Định nghĩa 1.2.1 ( Không gian định chuẩn) Một khơng gian định chuẩn (hay khơng gian tuyến tính định chuẩn) khơng gian tuyến tính X trường p ( p = M p = c ) với ánh xạ X —> M, gọi chuẩn ký hiệu ||.|| thỏa mãn tiên đề sau: ) (Va; € A) ||a;|| > 0, ||a;|| = X = ớ; ) ( \ / x € A) (Va € p ) ||aa;|| = |a| ||a:||; ) { V x , y e X ) \ \ x + y II < ||z|| + ||yII■ Chứng minh Theo bổ đề 2.6.12 toán tử A radian liên tục.5Theo nhận xét 2.6.1 có phiếm hàm 1 F ( v ) = J ( A t v, V ) d t Kết luận hệ suy từ bổ đề 2.6.11 (Hệ chứng minh) □ Sau ta toán tử chứng minh định lý toán tử đơn điệu (định lý Bowder-Minty) nhờ phương pháp biến phân có nghĩa chuyển việc xét phương trình cho tốn cực tiểu phiếm hàm Định lý 2.6.1 Nếu A € (X —> X*) toán tử đơn điệu, phương trình Au = /, V/ G X * ln có nghiệm Chứng minh Theo bổ đề 2.6.12 toán tử A radial liên tục Theo bổ đề phiếm hàm F ( x ) = J ( A t x , x ) d t — (/, x ) thỏa mãn giả thiết hệ 2.6.1 nên liên tục yếu Nhờ tính chất đơn điệu tính chấtb ức tốn tử A ta suy 11 F{x) = J (^Atx , x^j dt (y, (Atx /4.0, ix ) 0 > J ( A t x — AO, t x ) d t — ( f — AO, x ) > > > (y /40, x^j ^ Vì từ bổ đề 2.6.9 2.6.11 suy phương trình Au = /5có nghiệm (Định lý chứng minh) □ Hệ 2.6.3 Nếu A toán tử thế, đơn điệu phiếm hàm F (x) = f (Atx, x) dt phiếm hàm bị chặn Chứng minh Giả sử u nghiệm phương trình Au = Theo bổ đề 2.6.11 F (v) > F (u) ,Vv e X (Hệ chứng minh) □ Chương ứng dụng Trong chương tác giả trình bày số ví dụ ứng dụng định lý Browder - Minty Ví dụ 3.1 xét trường hợp đặc biệt định lý Browder - Minty toán tử tác động từ K vào K; Ví dụ 3.2 tốn tử thế; Ví dụ 3.3 phương trình đạo hàm riêng với tốn tử đơn điệu; Ví dụ 3.4, 3.5 trình bày tốn biên phương trình vi phân thường tuyến tính; Ví dụ 3.6, 3.7 trình bày tốn biên phương trình vi phân thường phi tuyến Ví dụ 3.1 Xét trường hợp đặc biệt định lý Browder-Minty áp dụng cho toán tử / : M —> M Theo định lý Browder-Minty / tốn tử đơn điệu, radian liên tục Vra € R phương trình / (s) = m có tập nghiệm lồi, đóng, khác rỗng Ta có tích vơ hướng M (a, b) = a.b, chuẩn M ||ri|| = M- 1) / đơn điệu: Vì / đơn điệu nên Vu,v e M, ri < u ta có (/ («) - / (v) ,u - v) = (/ (ti) - / (v)) ( u - v ) > = > f ( u ) < f ( v ) Vậy / đơn điệu tăng M 2) / radian liên tục: Vì / radian liên tục nên ta có với Vư, r G l , í ẽ [0,1] hàm (/ (u + tv ), v) = / (u + tv ) V liên tục [0,1] Ta chứng minh / liên tục K Thật vậy: Lấy X o G K bất kì, đặt X = x + h suy X — > X o ^ h —> 0, lim / (ỉ) = lim / (ỉo + h ) Ta xét hai trường hợp sau Trường hợp 1: h > xét lim / (æo + h ) h->0+ x-^xo h-¥ Vì h — > 0+ nên giả thiết h G (0,1], đặt h = t , lấy U = X 0, V = ta có V ( t ) = f { u + t v ) V = f ( X o + í.l) = / (z + t ) => H> (0) = / M ■ Vì (t ) liên tục [0,1] nên suy (t ) liên tục điểm t = suy lim 0~ Vì h —> 0“ nên giả thiết h G (—1,0], đặt h = —t, lấy u = X 0, h = —t, V = — ta có V { t ) = f { u + t v ) V = f [ x + { - t ) (-1)] (-1) = -/ (z0 + t ) =>0“ hlim -/ (x0 + t ) = - f (x0) =+ lim f { x Q + t ) = f (x0) Chứng tỏ / liên tục trái X Q Vậy / liên tục điểm X Q DO X O điểm tùy ý thuộc K nên suy / liên tục K 3) / thỏa mãn điều kiện bức: Vì / thỏa mãn điều kiện nên tồn hàm số xác định [0; +00) lim (s) = +00 cho s —> + 00 (/ {ù),u) > ( I M I ) IMI ,Vrx G X =+ f { u ) u > (M) MTa có lim (|rt|) = +00 lim (rí) =+00 lim (—Ít) =+00 «|-> + 00 «-> + 00 «->-00 Nếu u > từ / (rí) u > (|rt|) |rt| suy / { u ) u > ( u ) u = > / ( u ) > (rx) =+ lim / (rx) > lim (rí) = +00 «—>■ + 00 «—>+00 = > lim / (rí) = +00 hay lim / (z) = +00 «—> + 00 X —> + 00 Nếu u < từ / (ri) u > (|ri|) |ri| suy f {u)u> (—rí) (-ri) = > / ( « ) < -7 (-«) ==> lim / (ri) < — lim (—ri) = —00 lí— > — 00 lí—>• — 00 lim / (ri) = —00 hay lim / (s) = —00 lí—>• Lấy m e i? xét phương trình / (s) = Vì lim / (s) = +00 X—> + 00 nên 3b cho \ / x > b / (s) > r / r / (ồ) - m > Va; < a / (a;) < m => Ị (a) < m => Ị (a) — m < Vậy ta có (/ (a) — ra) (/ (ò) — ra) < Vì / liên tục K nên / liên tục [a, b ] nên theo định lý Bonxano-Cauchy ta suy 3c G [a, b ] cho / (c) — = => Ị (c) = Điều có nghĩa Vra G K phương trình f (x) = m ln có nghiệm tập nghiệm tập lồi, đóng Ví dụ 3.2 Xét toán tử gradient phiếm hàm f {x) = ||a;||y xác định không gian Hilbert V Với X Ỷ có X + f { x + t h ) - f (a;) t li = ||a;||ị + ( x , t h ) + ( tlim h , x ) + \ \ t h \ \tị - \ \ x \ \ ị m i^o t (||a; + t h ị ị y + ||a;||F) i-í-0 =t (||a; + t h \ \ y + ||a;||y) \\h\\2y r 2t(h,x) +t i^o t (||a; + th\\y + ||a;||F) lim ||a; + t h ị ị y + ||a;||F (grad||a;||y, x)y = \\x\\y v tử F cho công thức Ta xác định toán grad||a;||y X , llgrad (||a;|| )|| y V Khi với X \ , x G V có (x X ,FX - Fxi)y = = \\x2\\y + ịịxịịịy - (x2,FX1)y - (xUFX2)y > ^ ll^lly “ỉ” u g l i l y I I Fx\ I I y I I x I I y I I Fx I I y I I X I I y ll^lly F ll^llly ll^lly 11^1 lly cho thấy F tốn tử đơn điệu Ví dụ 3.3 Xét toán nghiên cứu tượng xoắn dẻo cho phương trình = a{x,y), ( * , » ) e í i Ị Ị u{x,y) = 0, (x,y) e dfỉ Q c R miền bị chặn, g G L (íì), ệ hàm cho trước xác định tính chất vật liệu tác động sức căng ^ = (fp2 + (s)2 Dạng yếu tương ứng toán (3.1) phải tìm u e HẶ (ÍÌ) cho Vu E HQ (fi), u| ỡn =0 (u>v) '■= Ề ) ~ Ề { ỷ ( Tu ) % ) i v ) = { g { x , y ) , v ) a / / { ~ Ể (Tu) Ề) - ị (Tu) §ĩ)) vdxdv = (3.2 J Ị g { x , y ) v d x d y n Đặ p = P' = -ị9 y*d ud u Q ệ ( T d xd y d _ =>■ V ệ(Tu du dv du V + ệ dv Áp dụng công thức Green: / f {Q' x — Pý) dxdy = f f Pdx + Qdy ta có dn ~ / I/m \ 9u\ i-Aệ(Tu)f\ ■« + *(!■«) I Ị Ỉ H££+ dudv n b { ệ ( Tu ì % ) v + ệ ( Tu ì W S \ % v /rri du í í , s du (3 3) ' = Ị J -ệ {Tu) vdx + ệ {Tu) vdy dn Vì u,v\ d n = nên vế phải (3.3) = 0, suy vế trái (3.3)= Vậy (3.2) trở thành / X f f \ / ỡu d v d u d v \ a ( u , v ) = J j ộ ( T u ) [^g + Wdy)dXdy n =J Ị gvdxdy, Vu € HQ (íì) n HQ (ÍÌ) khơng gian Sobolev bậc xác định íì, biên ỡíi Chú ý phía bên trái phương trình xác định tốn tử phi tuyến F : HQ (íì) —> [HQ (ÍÌ)]* nhờ cơng thức (u, Fu) = a{u,v), Vu € HQ (ÍÌ) phía bên phải phương trình phần tử Rg € [HQ (ÍÌ)]* nghĩa (v,Rg) = f f gvdxdy , Vu e Hị (íĩ) n Vì dạng yếu tốn (3.1) tương đương với việc giải phương trình tốn tử Fu = Rg Bây số điều kiện định ( Ví dụ ệ (t) hàm đơn điệu tăng (t) > Co > 0), toán tử F xác định toán tử đơn điệu Thật điều kiện này, với U i , ĩ i G H Q (ÍÌ) có Ví dụ 3.4 Bài tốn biên phương trình vi phân tuyến tính cấp hai (u - UI,FU - Fuỵ) = — u " + q (s) u = f (s) ' d ( u - Ui)_\ + í d { u - U i ) = \ J I [ ệ ( T U ỉ ) + ệ ( q > 0,Vx e [0, T] Ị Ị ịệ(Tu ) ệ(Tui)] (TU - Tui) dxdy > n + Đặt 2L (ri) = — u " + q (s) u => L (u) = — v " + q (s) V , ta có =-//[( ' d { u - i ) Ỵ + f d { u 2T L n (L U Ị—Ỵ L(v) ,u — v) = Ị (L (u) — L (u))dxdy (u) (u —> v) dx = dxd T =J {—u" + q (x) U + v" — q (æ) V) (ư — v) dx = T = J [— (u" — v") + q (æ) (ư — v)] (ư — v) dx = ta CÓ — T Đặ T Ị (u" — v") (u — v)dx = — J w" 0 Ma 12 wdx = — w'wln + / wjw\ dx w = U — V ^ w" = u" — v", U (0) = U (T) = => w (0) = w (T) = 0, nên ta CÓ — / (u" — v") (u — v) dx = f wl dx > 0 Vây (L (u) - L(v) ,u-v) > q \\u - v\\ , nghĩa L toán tử đơn điệu mạnh L đơn điệu Giả sử {¡fi (ỉ)} hệ độc lập tuyến tính đầy đủ L [0, T] Ta tìm nghiệm xấp xỉ toán dạng Un (x) = (p (x) + Ck