ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
HÀ N®I - 2015
TRƯèN̟G ĐAI H̟0C K̟H̟0A H̟0C TU N̟H̟IÊN̟
-M̟ AI TH̟± TH̟U N̟H̟ÀN̟
M̟ ®T S0 PH̟ƯƠN̟G PH̟ÁP GIAI
PH̟ƯƠN̟G TRÌN̟H̟ CH̟ÚA AN̟ DƯéI DAU CĂN̟
Trang 2ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
Hà N®i – Năm 2015
TRƯèN̟G ĐAI H̟0C K̟H̟0A H̟0C TU N̟H̟IÊN̟
-M̟ AI TH̟± TH̟U N̟H̟ÀN̟
M̟ ®T S0 PH̟ƯƠN̟G PH̟ÁP GIAI
PH̟ƯƠN̟G TRÌN̟H̟ CH̟ÚA AN̟ DƯéI DAU CĂN̟
Ch̟uyên̟ n̟gàn̟h̟: Ph̟ươn̟g ph̟áp t0án̟ sơ cap M̟ã s0:60460113
LU¾N̟ VĂN̟ TH̟AC SY K̟H̟0A H̟0C
N̟GƯèI H̟ƯéN̟G DAN̟ K̟H̟0A H̟0C
Trang 31M̟ n̟c ln̟cM̟a đau 31 M̟®t s0 k̟ien̟ th̟Éc ch̟uan̟ b%1.1 M̟®t s0 cơn̟g th̟úc can̟ n̟h̟ó 551.2 Ví du m̟0 đau 8
2 M̟®t s0 ph̟ươn̟g ph̟áp giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ ch̟Éa an̟ dưái dau căn̟112.1 Ph̟ươn̟g ph̟áp 1: Bien̟ đői tươn̟g đươn̟g 11
2.2 Ph̟ươn̟g ph̟áp 2: N̟h̟ân̟ liên̟ h̟0p 13
2.3 Ph̟ươn̟g ph̟áp 3: Đ¾t an̟ ph̟u 20
2.3.1 Đ¾t an̟ ph̟u đưa ve ph̟ươn̟g trìn̟h̟ th̟e0 an̟ ph̟u m̟ói
2.3.2 Đ¾t an̟ ph̟u đưa ve ph̟ươn̟g trìn̟h̟ tích̟, ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đan̟g cap b¾c h̟ai, b¾c ba .
21.282.3.3 "An̟ ph̟u k̟h̟ôn̟g h̟0àn̟ t0àn̟" 32
2.3.4 Đ¾t an̟ ph̟u đưa ve h̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ .37
2.3.5 Ph̟ươn̟g ph̟áp lư0n̟g giác h̟óa .43
2.4 Ph̟ươn̟g ph̟áp 4 : Su dun̟g tín̟h̟ đơn̟ đi¾u cn̟a h̟àm̟ s0 .46
2.5 Ph̟ươn̟g ph̟áp 5: Su dun̟g bat đan̟g th̟úc 51
2.5.1 Su dun̟g bat đan̟g th̟úc lũy th̟ùa
2.5.2 Su dun̟g m̟®t s0 bat đan̟g th̟úc quen̟ th̟u®c s0 sán̟h̟ các ve cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ .
.51.553 M̟®t s0 cách̟ xây dEn̟g ph̟ươn̟g trìn̟h̟ ch̟Éa an̟ dưái dau căn̟593.1 Xây dn̟n̟g th̟e0 ph̟ươn̟g ph̟áp bien̟ đői tươn̟g đươn̟g 59
3.2 Xây dn̟n̟g tù các n̟gh̟i¾m̟ cH̟QN̟ san̟ và ph̟ươn̟g ph̟áp n̟h̟ân̟ liên̟ h̟0p603.3 Xây dn̟n̟g tù ph̟ươn̟g trìn̟h̟ b¾c h̟ai 62
3.43.5Xây dn̟n̟g tù ph̟ươn̟g trìn̟h̟ tích̟, các đan̟g th̟úc 64
3.4.1 Xây dn̟n̟g tù ph̟ươn̟g trìn̟h̟ tích̟ .64
3.4.2 Xây dn̟n̟g tù các đan̟g th̟úc 64
Xây dn̟n̟g tù ph̟ép "đ¾t an̟ ph̟u k̟h̟ơn̟g h̟0àn̟ t0àn̟" .66
3.6 Xây dn̟n̟g tù h̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ 67
3.7 Xây dn̟n̟g dn̟a và0 h̟àm̟ s0 lư0n̟g giác và ph̟ươn̟g trìn̟h̟ lư0n̟g giác.693.8 Xây dn̟n̟g dn̟a th̟e0 h̟àm̟ đơn̟ đi¾u 71
Trang 42M̟UC LUC
3.8.2 Dn̟a và0 các ưóc lư0n̟g cn̟a h̟àm̟ đơn̟ đi¾u 72K̟et lu¾n̟ 76
Trang 53
M̟ a đau
Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ ch̟úa an̟ dưói dau căn̟ là m̟®t lóp các bài t0án̟ có v% tríđ¾c bi¾t quan̟ TRQN̟G tr0n̟g ch̟ươn̟g trìn̟h̟ t0án̟ H̟Qc b¾c ph̟ő th̟ơn̟g N̟ó xuat h̟i¾n̟n̟h̟ieu tr0n̟g các đe th̟i H̟Qc sin̟h̟ gi0i cũn̟g n̟h̟ư k̟ỳ th̟i tuyen̟ sin̟h̟ và0 đai H̟Qc.H̟Qc sin̟h̟ ph̟ai đ0i m̟¾t vói rat n̟h̟eu dan̟g t0án̟ ve ph̟ươn̟g trìn̟h̟ ch̟úa an̟ dưóidau căn̟ m̟à ph̟ươn̟g ph̟áp giai ch̟ún̟g lai ch̟ưa đư0c li¾t k̟ê tr0n̟g sách̟ giá0k̟h̟0a Đó là các dan̟g t0án̟ ve ph̟ươn̟g trìn̟h̟ ch̟úa an̟ dưói dau căn̟ giai ban̟gph̟ươn̟g ph̟áp đ¾t an̟ ph̟u k̟h̟ơn̟g h̟0àn̟ t0àn̟, dan̟g an̟ ph̟u lư0n̟g giác h̟óa, Vi¾c tìm̟ ph̟ươn̟g ph̟áp giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ ch̟úa an̟ dưói dau căn̟ là n̟iem̟ say m̟êcn̟a k̟h̟ơn̟g ít n̟gưịi, đ¾c bi¾t là n̟h̟un̟g n̟gưịi đan̟g trn̟c tiep day t0án̟ Ch̟ín̟h̟ vìv¾y, đe đáp ún̟g n̟h̟u cau gian̟g day và H̟Qc t¾p, tác gia đã cH̟QN̟ đe tài
"M̟®t s0 ph̟ươn̟g ph̟áp giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ ch̟Éa an̟ dưái dau căn̟"
Đe tài n̟h̟am̟ m̟®t ph̟an̟ n̟à0 đáp ún̟g n̟h̟u cau m̟0n̟g m̟u0n̟ cn̟a ban̟ th̟ân̟ vem̟®t đe tài ph̟ù h̟0p m̟à sau n̟ày có th̟e ph̟uc vu th̟iet th̟n̟c ch̟0 vi¾c gian̟g day cn̟am̟ìn̟h̟ tr0n̟g n̟h̟à trưịn̟g ph̟ő th̟ơn̟g Lu¾n̟ văn̟ đư0c h̟0an̟ th̟àn̟h̟ dưói sn̟ h̟ưón̟gdan̟ trn̟c tiep cn̟a TS Ph̟am̟ Văn̟ Qu0c.Tác gia xin̟ đư0c bày t0 lòn̟g biet ơn̟ch̟ân̟ th̟àn̟h̟ và sâu sac đen̟ n̟gưịi th̟ay cn̟a m̟ìn̟h̟, n̟gưịi đã n̟h̟i¾t tìn̟h̟ h̟ưón̟gdan̟, ch̟i ba0 và m̟0n̟g m̟u0n̟ đư0c H̟Qc h̟0i th̟ay n̟h̟ieu h̟ơn̟ n̟ua.
Tác gia xin̟ ch̟ân̟ th̟àn̟h̟ cam̟ ơn̟ quý th̟ay cơ tr0n̟g Ban̟ giám̟ h̟i¾u, Ph̟ịn̟g đà0ta0 Đai HQ̟ c và sau Đai H̟Qc Trưòn̟g Đai HQ̟ c K̟h̟0a H̟Qc Tn̟ N̟h̟iên̟, Đai H̟Qc Qu0cGia H̟à N̟®i, q th̟ay cơ th̟am̟ gia gian̟g day k̟h̟óa H̟Qc, cùn̟g t0àn̟ th̟e các H̟Qcviên̟ k̟h̟óa 2013-1015 đã ta0 M̟QI đieu k̟i¾n̟, giúp đõ tác gia tr0n̟g su0t q trìn̟h̟
HQ̟ c t¾p và n̟gh̟iên̟ cúu đe tác gia h̟0àn̟ th̟àn̟h̟ k̟h̟óa H̟Qc và h̟0àn̟ th̟àn̟h̟ ban̟ lu¾n̟văn̟ n̟ày.
Lu¾n̟ văn̟ g0m̟ ph̟an̟ m̟0 đau, ba ch̟ươn̟g, ph̟an̟ k̟et lu¾n̟ và dan̟h̟ m̟uc tàili¾u th̟am̟ k̟h̟a0.
Trang 64
Trang 74M̟UC LUC
M̟¾c dù đã c0 gan̟g rat n̟h̟ieu và n̟gh̟iêm̟ túc tr0n̟g quá trìn̟h̟ n̟gh̟iên̟cúu, n̟h̟ưn̟g d0 th̟ịi gian̟ và trìn̟h̟ đ® còn̟ h̟an̟ ch̟e n̟ên̟ k̟et qua đat đư0c tr0n̟glu¾n̟ văn̟ cịn̟ rat k̟h̟iêm̟ t0n̟ và k̟h̟ơn̟g trán̟h̟ k̟h̟0i th̟ieu xót Vì v¾y tác gia m̟0n̟gn̟h̟¾n̟ đư0c n̟h̟ieu ý k̟ien̟ đón̟g góp, ch̟i ba0 quý báu cn̟a quý th̟ay cơ, các ban̟
HQ̟ c viên̟ đe lu¾n̟ văn̟ 0c h0n thiắn hn.
H Nđi, thỏng 08 nm 2015 HQc viên̟ th̟n̟c h̟i¾n̟
Trang 85√ √| || |∈≥.√n +am anmn.3√mCh̟ươn̟g 1M̟®t s0 k̟ien̟ th̟Éc ch̟uan̟ b%1.1M̟ ®t s0 cơn̟g th̟Éc can̟ n̟h̟á
1 Căn̟ b¾c h̟ai v cn bắc ba cna mđt tớch
ab =ab vói a, b R, ab 0√3
ab = √3 a√3
b vói a, b ∈ R.
2 Căn̟ b¾c h̟ai và cn bắc ba cna mđt thng
a = | a| b|b|vói a, b ∈ R, ab ≥ 0, b ƒ= 0a√3 ab = √3 bvói a, b ∈ R, b ƒ= 0.3 Căn̟ cn̟a m̟®t lũy th̟ùa
√n̟ am̟ = am̟ = ( √n̟ a)m̟, vói a ∈ R∗ ; m̟, n̟ ∈ N̟∗, n̟ ≥ 2.4 Căn̟ n̟h̟ieu lóp.n̟ √m̟ a = √m̟ √n̟ a = n̟√m̟ a vói a ∈ R∗ ; m̟, n̟ ∈ N̟∗; m̟, n̟ ≥ 2.+
5 a mđt thựa s0 ra ng0i dau cn bắc h̟ai
√
a2b = |a| √b, vói a ∈ R, b ∈ R+.
6 Đưa m̟®t th̟ùa s0 và0 tr0n̟g dau căn̟ b¾c h̟ai
a√b = √
a2.b k̟h̟i a, b ≥ 0; a, b ∈ R
a√
b = −√a2.b k̟h̟i a ≤ 0, b ≥ 0; a, b ∈ R.7 Tích̟ cn̟a h̟ai căn̟
√m̟ a √n̟a =1 1= a 1 + 1 m ̟ + n ̟ = a = m̟√n̟ am̟+n̟ = ( m̟√n̟ a)m̟+n̟vói a ∈ R∗+; m̟, n̟ ∈ N̟∗; m̟, n̟ ≥ 2.
8 Th̟ươn̟g cn̟a h̟ai căn̟
Trang 10Chương 1 M®t so kien thúc chuan b%6A = B.A = Bvói a ∈ R∗+; m̟, n̟ ∈ N̟∗; m̟, n̟ ≥ 2.9 √A = B ⇔ B ≥ 0 210 √A = √B ⇔ A ≥ 011 √3 A = √3 B ⇔ A = B.12 √3 A = B ⇔ A = B3.
13 Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ tươn̟g đươn̟g
H̟ai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ (cùn̟g an̟) đư0c GQI là tươn̟g đươn̟g n̟eu ch̟ún̟g cú cựngmđt tắp nghiắm Neu ph̟ươn̟g trìn̟h̟ f1(x) = g1(x) tươn̟g đươn̟g vói ph̟ươn̟gtrìn̟h̟ f2(x) = g2(x) th̟ì ta viet
f1(x) = g1(x) ⇔ f2(x) = g2(x).
K̟h̟i m̟u0n̟ n̟h̟an̟ m̟an̟h̟ h̟ai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ có cùn̟g t¾p xác đ%n̟h̟ D (h̟aycó cùn̟g đieu k̟i¾n̟ xác đ%n̟h̟ m̟à ta cũn̟g k̟í h̟i¾u là D) và tươn̟g đươn̟gvói n̟h̟au, ta n̟ói
- H̟ai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ tươn̟g đươn̟g vói n̟h̟au trên̟ D, h̟0¾c- Vói đieu k̟i¾n̟ D, h̟ai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ tươn̟g đươn̟g vói n̟h̟au.
Ch̟an̟g h̟an̟ vói x > 0, h̟ai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ x2 = 1 và x = 1 tươn̟g đươn̟g vóin̟h̟au.
Tr0n̟g các ph̟ép bien̟ đői ph̟ươn̟g trìn̟h̟, đán̟g ch̟ú ý n̟h̟at là các ph̟ép bien̟đői k̟h̟ôn̟g làm̟ th̟ay đői t¾p n̟gh̟i¾m̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ Ta GQI ch̟ún̟g là cácph̟ép bien̟ đői tươn̟g đươn̟g N̟h̟ư v¾y, ph̟ép bien̟ đői tươn̟g đươn̟g bien̟ m̟®tph̟ươn̟g trìn̟h̟ th̟àn̟h̟ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ tươn̟g đươn̟g vói n̟ó.Ch̟an̟g h̟an̟, vi¾c th̟n̟ch̟i¾n̟ các ph̟ép bien̟ đői đ0n̟g n̟h̟at 0 m̟0i ve cn̟a m̟®t ph̟ươn̟g trìn̟h̟ và khụngthay i tắp xỏc %nh cna nú l mđt phộp bien̟ đői tươn̟g đươn̟g.
14 H̟àm̟ s0 đ0n̟g bien̟, h̟àm̟ s0 n̟gh̟%ch̟ bien̟.
H̟àm̟ s0 y = f (x) đư0c GQI đ0n̟g bien̟ (tăn̟g) tr0n̟g k̟h̟0an̟g (a,b) n̟eu vói
∀x1,x2∈ (a, b) m̟à x1 < x2th̟ì f (x1) < f (x2).
H̟àm̟ s0 y = f (x) đư0c GQI n̟gh̟%ch̟ bien̟ (giam̟) tr0n̟g k̟h̟0an̟g (a,b) n̟eu vói
∀x1,x2∈ (a, b) m̟à x1 < x2th̟ì f (x1) > f (x2).
H̟àm̟ s0 y = f (x) đ0n̟g bien̟ h̟0¾c n̟gh̟%ch̟ bien̟ trên̟ (a,b), ta n̟ói h̟àm̟ s0
y = f (x) đơn̟ đi¾u trên̟ (a,b).
Đ%n̟h̟ lý Gia su h̟àm̟ s0 y = f (x) có đa0 h̟àm̟ tr0n̟g (a,b) K̟h̟i đó :
Trang 11.Bien đői ve tőng, tích và đ¾t.−g(x, y) = 0.x = y.∨
- H̟àm̟ s0 y = f (x) đ0n̟g bien̟ tr0n̟g (a,b) ⇔ f,(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) và f,(x) = 0
ch̟i xay ra tai m̟®t s0 h̟uu h̟ãn̟ điem̟ tr0n̟g (a,b).
- H̟àm̟ s0 y = f (x) đ0n̟g bien̟ tr0n̟g (a,b) ⇔ f,(x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, b) và f,(x) = 0
ch̟i xay ra tai m̟®t s0 h̟uu h̟ãn̟ điem̟ tr0n̟g (a,b).
- N̟eu f,(x) > 0, ∀x ∈ (a, b) và f liên̟ tuc trên̟ [a, b] th̟ì y = f (x) đ0n̟g bien̟ trên̟
[a, b].
- N̟eu f,(x) < 0, ∀x ∈ (a, b) và f liên̟ tuc trên̟ [a, b] th̟ì y = f (x) n̟gh̟%ch̟ bien̟ trên̟ [a, b].
15 H̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đ0i xún̟g l0ai I
f (x, y) = 0
g(x, y) = 0 (I) vói f (x, y) = f (y, x) và g(x, y) = g(y, x)
Ph̟ươn̟g ph̟áp giai.
S = x + y P = xy
đưa h̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ m̟ói vói an̟S,P Giai h̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ m̟ói tìm̟ đư0c S, P và đieu k̟i¾n̟ có n̟gh̟i¾m̟ (x, y)
là S2≥ 4P.
Tìm̟ n̟gh̟i¾m̟ (x, y) ban̟g cách̟ giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ X2−SX + P = 0 h̟0¾c n̟h̟am̟ n̟gh̟i¾m̟ vói S, P đơn̟ gian̟.
16 H̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đ0i xún̟g l0ai II
f (x, y) = 0 (1)
f (y, x) = 0 (2)Ph̟ươn̟g ph̟áp giai.
Trù (1) và (2) ve ch̟0 ve ta đư0c h̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ m̟ói
f (x, y) f (y, x) = 0 (3)
f (x, y) = 0 (1)
Bien̟ đői (3) ve ph̟ươn̟g trìn̟h̟ tích̟ (x − y).g(x, y) = 0 ⇔ Σ x = y
K̟h̟i đó giai h̟ai trưịn̟g h̟0p f (x, y) =
0
f (x, y) = 0g(x, y) = 0
Giai các h̟¾ trên̟ ta tìm̟ đư0c n̟gh̟i¾m̟ cn̟a hắ ó ch0.17 Mđt s0 cụng thỳc l0ng giỏc hay dùn̟g.
c0s 2x = c0s2 x − sin̟2 x = 2 c0s2 x − 1 = 1 − 2 sin̟2 x
.
Trang 1333Σ2√− .√√ Σ √2x − x = 0√⇔√−x − x2 − 8 = 0⇔ 1 + 4 √x − x2 + 9 .x − x2Σ = 1 + 2√x − x2⇔ x = 1 (tho√a m ãn) x +54√√√√√−c0s 3x = 4 c0s3 x − 3 c0s x
sin̟ 3x = 3 sin̟ x − 4 sin̟3 x
c0s2 x = 1 + c0s 2x2sin̟2 x = 1 − c 0 s 2 x 21.2Ví dn̟ m̟a đauVí dn̟ 1.1 Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟1 + 2 √x − x2 = √x + √1 − x.
N̟h̟¾n̟ xét Trưóc h̟et có đieu k̟i¾n̟ 0 ≤ x ≤ 1 Đe giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ n̟àyth̟ì rõ ràn̟g ta se tìm̟ cách̟ làm̟ m̟at căn̟ th̟úc Có n̟h̟ieu cách̟ đe làm̟ m̟atcăn̟ th̟úc.
Cách̟ 1 Đau tiên̟ ta n̟gh̟ĩ tói đó là lũy th̟ùa h̟ai ve Vì h̟ai ve cn̟a ph̟ươn̟g
trìn̟h̟ đã ch̟0 ln̟ k̟h̟ơn̟g âm̟ vói đieu k̟i¾n̟ xác đ%n̟h̟ n̟ên̟ ta có th̟e bìn̟h̟ ph̟ươn̟g h̟ai ve đe th̟u đư0c ph̟ươn̟g trìn̟h̟ tươn̟g đươn̟g sau
21 + x − x2 = x + 1 − x⇔ .1 + 2xx2 =3 1 − xΣ23⇔ 27( x − x2 4) − 8 x − x2 = 0⇔ √x − x2 .27√x − x2 − 8Σ = 027x = 0 (th̟0a m̟ãn̟)x = 27 ±54473 (th̟0a m̟ãn̟)27 ± √473V¾y ph̟ươn̟g trìn̟h̟ có n̟gh̟i¾m̟ là x = 0, x = 1, x =
Cách̟ 2 Ta th̟ay .√x + √1 − x2Σ2 = 1 + 2√x − x2.D0 đó n̟eu đ¾t y = √x + 1 − x2 Suy ra, ta se tín̟h̟ đư0c x − x2 = y2 2 1.
Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0 tr0 th̟àn̟h̟ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ b¾c h̟ai an̟ y là
Trang 14√x + √1 − 2x = 2Σx − x = 0√.Σ2y − 3 2y = 1.Σ Σ∈⇔ √x .2√1 − x − 3Σ = 3√1 − x − 3si√n t = 1⇔Suy ra Σ √x + √1 − x2 = 1√2⇔2√x − x2 − 3 = 0.
Tù đó ta đư0c n̟gh̟i¾m̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0.
Vói cách̟ giai th̟ú 2 là ta đ¾t an̟ ph̟u h̟0p lý đe làm̟ m̟at căn̟ th̟úc Đ¾t bieuth̟úc ch̟úa căn̟ th̟úc n̟à0 đó ban̟g m̟®t bieu th̟úc an̟ m̟ói sa0 ch̟0 ph̟ươn̟gtrìn̟h̟ an̟ m̟ói có k̟et cau đơn̟ gian̟ h̟ơn̟ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ ban̟ đau là bưóc quan̟
TRQN̟G N̟ó quyet đ%n̟h̟ đen̟ vi¾c ta có lịi giai h̟ay k̟h̟ơn̟g và lịi giai đó t0th̟ay d0 Đe cH̟QN̟ đư0c cách̟ đ¾t an̟ th̟ích̟ h̟0p th̟ì ta can̟ ph̟ai tìm̟ đư0c m̟0iquan̟ h̟¾ cn̟a các bieu th̟úc th̟am̟ gia tr0n̟g ph̟ươn̟g trìn̟h̟ Có n̟h̟ieu cách̟ta0 ra m̟0i quan̟ h̟¾ giua các đ0i tư0n̟g th̟am̟ gia tr0n̟g ph̟ươn̟g trìn̟h̟ Ví dun̟g0ài cách̟ đ¾t an̟ n̟h̟ư cách̟ 2, ta còn̟ có m̟0i quan̟ h̟¾ giua các bieu th̟úctr0n̟g ph̟ươn̟g trìn̟h̟ 0 cách̟ 3 sau.Cách̟ 3 Ta có1 + 2 √x − x2 = √x + √1 − x3⇔ 3 + 2√x − x2= 3√ x + 3 1 − x√ 3√1 − x − 3⇔x = 2√1 − x − 3 .M̟¾t k̟h̟ác ta có (√x)2 + √1 − x 2 = 1.Đ¾t y = √1 − x th̟ì √x = 3y − 3 K̟h̟i đó (√x)2 + .√1 − xΣ2 = 1⇔ y(y − 1)(2y2− 4y + 3) = 0 ⇔ Σ y = 0
Tù đó ta tìm̟ đư0c n̟gh̟i¾m̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0.
Cách̟ 4 Ta cũn̟g có th̟e đ¾t y.= √x, z = √1 − x vói y ≥ 0, z ≥ 0.K̟h̟i đó ta có h̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟1 + yz = y + z3y2 + z2 = 1
Đây là h̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đ0i xún̟g l0ai I Ta giai tìm̟ ra y, z và tìm̟ đư0c n̟gh̟i¾m̟ x cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0.
Cách̟ 5 Vói đieu k̟i¾n̟ cn̟a x đe ph̟ươn̟g trìn̟h̟ xác đ%n̟h̟, ta có th̟e n̟gh̟ĩ đen̟ cách̟ giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ ban̟g cách̟ đ¾t x = sin̟2 t, t 0; π .
2K̟h̟i đó ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0 tr0 th̟àn̟h̟
2
1 + sin̟ t c0s t = sin̟ t + c0s t3
⇔ Σ3(1 − sin̟ t)√(1 − sin̟ t) (1 + sin̟ t) (2 sin̟ t − 3) = 0√
3 1 − sin t = (3 − 2
Trang 15Σ .⇔
x = 1
sin̟ t 4sin̟2 t − 6 sin̟ t +
8Σ
= 0.
Tù đó ta có n̟gh̟i¾m̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0.
Trang 1611 .⇔⇔ −3 ≤ x ≤ 4 Σ x = −3 + √31 (thoa mãn)(4 − x)(12 + x) ≥ 0.(28 − x)(x + 3) > 0⇔ Σ(x2 + 6x − 22)(x2 + 8x − 16) =0 −⇔Ch̟ươn̟g 2
M̟®t s0 ph̟ươn̟g ph̟áp giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ ch̟Éa an̟ dưái dau căn̟
2.1Ph̟ươn̟g ph̟áp 1: Bien̟ đ0i tươn̟g đươn̟g
N̟®i dun̟g ch̟ín̟h̟ cn̟a ph̟ươn̟g ph̟áp n̟ày là lũy th̟ùa h̟ai ve vói s0 m̟ũ ph̟ù h̟0p.M̟®t s0 ph̟ép bien̟ đői tươn̟g đươn̟g th̟ưịn̟g g¾p
√ √fΣ(x) = g(x)1. 2n̟f (x) = 2n̟g(x) f (x) ≥ 0g(x) ≥ 0.2 2√n̟f (x) = g(x)f (x) = gg(x) ≥ 0.2n̟(x)3 2n̟+√1 f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g2n̟+1(x).
Ví dn̟ 2.1 (Đe dn̟ tuyen̟ cH̟QN̟ H̟SG K̟h̟0i lóp 10, 0lym̟pic 30/4,n̟ăm̟ 2009) Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟
(x + 3)√(4 − x)(12 + x) = 28 − x.
Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0 tươn̟g đươn̟g
(x + 3)2(4 − x)(12 + x) = (28 − x)2⇔ x4 + 14x3 + 10x2− 272x + 352 = 0x2 + 6x 22 = 0⇔x2 + 8x − 16 = 0 Σ x = −3 − √31 (l0ai)⇔ x = −4 + 4√2 (th̟0a m̟ãn̟)x = −4 − 4√2 (l0ai) .√
Trang 1712
Trang 18Chương 2 M®t so phương pháp giai phương trình chúa an dưái dau căn12≤ ≤√⇔ −−−−Σ≥√⇔−− ≤⇔x = 0x2− 4 ≥ 0x ≤ 12(x + 3)(x − 2) = (12 −x)⇔x− 8x + 16 = 4(−x2+ 19x − 84)⇔ 2Ví dn̟ 2.2 Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟√x + 1 − √x − 7 = √12 − x.
Giai Đieu k̟i¾n̟ 7 x 12 Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0 tươn̟g đươn̟g
√x + 1 = √12 − x + √x − 7 x + 1 = 12 x + x7 + 2 (12 x)(x 7)⇔ .x − 4 = 2√(12 − x)(x − 7)x ≥ 4x = 8 44(th̟0a m̟ãn̟) x = (th̟0a m̟ãn̟).5
V¾y ph̟ươn̟g trìn̟h̟ có 2 n̟gh̟i¾m̟ là x = 8, x = 44 .
5
Ví dn̟ 2.3 (Tuyen̟ sin̟h̟ và0 lóp 10 ch̟uyên̟ T0án̟ - Tin̟ TH̟PT Ch̟uyên̟ Bac Gian̟g
n̟ăm̟ H̟Qc 2005-2006)Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟
√
x + 3 = 5 − √x − 2.
Giai Đieu k̟i¾n̟ x 2 Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0 tươn̟g đươn̟g
√x + 3 + √x − 2 = 5 x + 3 + x2 + 2 (x + 3)(x 2) = 25⇔ .√(x + 3)(x − 2) = 12 − xx 12x = 6.
V¾y ph̟ươn̟g trìn̟h̟ có n̟gh̟i¾m̟ là x = 6.
Ví dn̟ 2.4 Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟
√3
3x − 1 − √3 2x − 1 = √3 5x + 1.
Giai Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0 tươn̟g đươn̟g
3x − 1 + 2x − 1 + √3 (3x − 1)(2x − 1)(√3 3x − 1 + √3 2x − 1) = 5x + 1⇔ √3 (3x − 1)(2x − 1)(5x + 1) = 1⇔ (3x − 1)(2x − 1)(5xΣ+ 1) = 1⇔ 30x3− 19x2 = 0 ⇔x = 19.30
Th̟ay x = 0 và0 ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0 ⇒ −2 = 1 (vô lý)
Trang 19√ √⇔3x(x + 1) = (2x + 3)(2x − 2)≥⇔ Σ −−√√√
Giai Đieu ki¾n.x ≥ − 1 . Phương trình đã cho tương đươngx = 1 −√ 3 ⇔⇔x = 1 + 3.(loai )Th̟ay x = 1930và0 ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0 th̟0a m̟ãn̟.V¾y ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0 có n̟gh̟i¾m̟ là x = 19 .
30
Ví dn̟ 2.5 (Th̟i cH̟QN̟ H̟SG lóp 9 Bac Gian̟g, n̟ăm̟ 2009) Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟√x + 1 + √2x + 3 = √3x + √2x − 2.
Giai Đieu k̟i¾n̟ √x 1 Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0 tươn̟g đươn̟g
3x − √x + 1 = √2x + 3 − √2x − 2⇔ 3x + x + 1 − 2√3x(x + 1) = 2x + 3 + 2x− 2 − 2√(2x − 2)(2x + 3)⇔ 3x(x + 1) = (2x + 3)(2x − 2)x2 x 6 = 0x = 3 (th̟0a m̟ãn̟)⇔x = −2 (l0ai) .
V¾y ph̟ươn̟g trìn̟h̟ có n̟gh̟i¾m̟ duy n̟h̟at x = 3.
Ví dn̟ 2.6 Giai h̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟x3 + 1+x + 3x + 1 =√x2 − x + 1 + x + 3.x3 + 1x + 3 −x3 + 1 x + 3 =2 x2 − x + 1 −x + 1= xx + 3− x − 1⇔ x3 + 1 = (x2− x − 1)(x + 3)⇔ 2Σx2− 4x −√4 = 0
V¾y ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0 vơ n̟gh̟i¾m̟.
2.2Ph̟ươn̟g ph̟áp 2: N̟h̟ân̟ liên̟ h̟ap
Trang 213−−√ √3 1⇔ √3x + 1.+ 4 + 1 + √6 − x + (3x + 1)(x − 5) = 0 ΣΣ x = 5 (thoa mãn)an̟ − bn̟ = (a − b)(an̟−1 + an̟−2b + + abn̟−2 + bn̟−1).
Ta đã biet n̟eu x = x0 là n̟gh̟i¾m̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ f (x) = 0 th̟ì đieu đó cón̟gh̟ĩa là x0∈ Df và f (x0) = 0.
N̟eu x = a là n̟gh̟i¾m̟ cn̟a đa th̟úc P (x) th̟ì P (x) = (x − a)P1(x), tr0n̟g đó P1(x)
là đa th̟úc vói degP1 = degP − 1.
N̟eu x0là m̟®t n̟gh̟i¾m̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ f (x) = 0 th̟ì ta có th̟e đưa ph̟ươn̟gtrìn̟h̟ f (x) = 0 ve dan̟g (x − x0)f1(x) = 0 và k̟h̟i đó vi¾c giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ f (x)
= 0 quy ve giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ f1(x) = 0.
Ví dn̟ 2.7 (Đe th̟i Đai H̟Qc K̟h̟0i B, n̟ăm̟ 2010) Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟
√
3x + 1 − √6 − x + 3x2− 14x − 8 = 0.
Giai Đieu k̟i¾n̟ − 1 ≤ x ≤ 6.
N̟h̟¾n̟ thay x = 5 l nghắm mđt cna phng trỡnh D0 đó, ta can̟ tách̟ gh̟épđe n̟h̟ân̟ liên̟ h̟0p sa0 ch̟0 xuat h̟i¾n̟ n̟h̟ân̟ tu ch̟un̟g (x − 5) h̟0¾c bđi cna nú.Vỡ vắy, ta can tỡm hai s0 a, b > 0 sa0 ch̟0 th̟0a m̟ãn̟ đ0n̟g n̟h̟at
(3x + 1) − a2 3( x − 5) 2√3x + 1 + a = √3x + 1 + a ⇔ 3x + 1− a= 3x − 15 ⇔ a = 4.b2− (6 − x ) x − 5 2b + √6 x = b + √6 x ⇔ b
N̟ên̟ ta có lịi giai sau.
= 6 + x = x − 5 ⇔ b = 1.
Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0 tươn̟g đươn̟g(√3x + 1 − 4) + (1 − √6 − x) + 3x2− 14x − 5 = 0 3 x + 1 − 14 1 − 6 + x ⇔ (x − 5) √3x + 1 + 4 + 1 + √6 − x + 3x + 1 = 0⇔√ 3 1 Ta có 3x + 1 + 4 + 1 + √6 − x + 3x + 1 = 03 1 1√3x + 1 + 4 + 1 + √6 x + 3x + 1 > 0, ∀x ∈ [− 3 ; 6].V¾y ph̟ươn̟g trìn̟h̟ có n̟gh̟i¾m̟ duy n̟h̟at x = 5.
Ví dn̟ 2.8 (Đe n̟gh̟% 0lym̟pic 30-4)
Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟
x2 + 12 + 5 = 3x + x2 + 5.
Trang 22(√
Trang 23−−−− − ≥Σ x = 2 (thoa mãn)x = 3 (thoa mãn)√x2 + 12 − 16x2 + 5 − 9⇔ √x2 + 12 + 4 = 3(x − 2) + √x2 + 5 + 3( x 2)( x + 2) ⇔ √x2 + 12 + 4 = 3(x − 2) +( x √ 2)( x + 2) x2 + 5 + 3⇔ (x − 2) .√x + 2x2 + 12 + 4x + 2− √x2 + 5 + 3 − 3Σ = 0Ta có⇔x + 2x2 + 12 + 4x + 2− √x2 + 5 + 3 − 3 = 0.x + 2x + 2√x2 + 12 + 4 − √x2 + 5 + 3 = 3 vơ n̟gh̟i¾m̟. (2.1)Vì tù ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0 ta có√x2 + 12 − √x2 + 5 = 3x − 5. (2.2)Ve trái cn̟a (2.2) >0 Suy ra
5 x + 2 > 03x − 5 > 0 ⇔ x > 3 ⇔√ 1x2 + 12 +41− √x2 + 5 + 3< 0.
Suy ra, ve trái cn̟a (2.1) < 0 ⇒ (2.1) vơ n̟gh̟i¾m̟.V¾y ph̟ươn̟g trìn̟h̟ có n̟gh̟i¾m̟ duy n̟h̟at x = 2.
Ví dn̟ 2.9 (Đe th̟i Đai H̟Qc K̟h̟0i A, n̟ăm̟ 2007) Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ √
2x − 3 − √x = 2x − 6.
Trang 241
2x − 3 + √x
< 1.
Suy ra √
2x − 3 + √x − 2 = 0 vơ n̟gh̟i¾m̟.
Trang 25≤Σ √ √√− −⇔ 8(2 (2 x + 4)( 2 − 2x ) −x) = 9x − 32√12 − x + 3 x + 24 − ( 3 x + 24)2− 4 3 x + 24 − 6 = 0( 3 x + 24)2 + 4 3 x + 24 − 6 = 08(2 (2x + 4)(2 − x) − x)(2 (2x + 4)(2 − x) +x)√√2(4 − x32 2) + x + 8 = 0.Ví dn̟ 2.10 Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟√3 x + 24 + √12 − x = 6.
Giai Đieu k̟i¾n̟ x 12 Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0 tươn̟g đươn̟g(√3 x + 24 − 3) + (√12 − x − 3) = 0⇔ √x + 24 −√27 12 − x − 9 ( 3 x + 24)2 + 3 3 x + 24 + 9 + √12 − x + 3 = 0⇔ (x − 3) Σ √ 1 √ − √ 1 Σ = 0( 3 x + 24)2 + 3 3 x + 24 + 9 12 − x + 3Σ x = 31 1 ⇔ (√3 x + 24)2 + 3√3 x + 24 + 9 − √12 − x + 3 = 0⇔ Σ x√= 3 √ √ √ ⇔ Σ x√= 3√ x = 3 ⇔x + 24 = 0⇔x + 24 = −4x = 3 (th̟0a m̟ãn̟)x = −24 (th̟0a m̟ãn̟)x = −88 (th̟0a m̟ãn̟).
V¾y ph̟ươn̟g trìn̟h̟ có 3 n̟gh̟i¾m̟ là x = 3, x = −24, x = −88.
Ví dn̟ 2.11 Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟
2√
2x + 4 + 4√
2 − x = √9x2 + 16.
Giai Đieu k̟i¾n̟ −2 ≤ x ≤ 2 Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0 tươn̟g đươn̟g
4(2x + 4) + 16(2 x ) + 16 (2x + 4)(2 x) = 9x2 + 16⇔ 16√(2 x + 4)( 2 − x ) − 8x = 9x2− 32⇔2√(2x + 4)(2 − x) + x) = 9x− 32⇔ (9x2− 32) .1 + x = 4√2 8 2√2(4 − x2) + xΣ = 0 3 √⇔ x = − 4 2Ta có −2 ≤ x ≤ 2, suy ra 2√2(4 − x2) + x + 8√> 0.V¾y ph̟ươn̟g trìn̟h̟ có n̟gh̟i¾m̟ duy n̟h̟at x = 4 2 .
3
2
Trang 26− ≤..Σ2√⇔ .√Do ∀x ∈ [−2; 3] nên≥√ .⇔√3 − x + |x + 1|+ √2 + x + |x| − (x + 2)− x − 2⇔ √3 − x + |x + 1| + √2 + x + |x| + (x + 2)−x+ x + 2x = −1 (thoa mãn)x = 2 (thoa mãn).x = 0⇔Ví dn̟ 2.12 Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟√3 − x + √2 + x = x3 + x2− 4x − 4 + |x| + |x − 1|
Giai Đieu k̟i¾n̟ 2 x3 Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0 tươn̟g đươn̟g.√3 − x − |x − 1|Σ + .√2 + x − |x|Σ = (x + 2) .x2− x − 2Σ(3 − x ) − x2 + 2x − 1 2 + x − x2 2 Σ−x2 + x + 2−x2 + x + 2 . 2 Σ1 3 − x + |x + 1|1+2 + x + |x|+ (x + 2)Σ = 0⇔ Σ−x2 + x + 2 = 01 3 − x + |x + 1|1+2 + x + |x|+ (x + 2)Σ > 0.
V¾y ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0 có 2 n̟gh̟i¾m̟ là x = −1, x = 2.
Ví dn̟ 2.13 (T0án̟ H̟Qc Tuői tre s0 454, th̟án̟g 4 n̟ăm̟ 2015) Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ √
3x + 1 + √
5x + 4 = 3x2− x + 3.
Giai Đieu k̟i¾n̟ x−1
Ta th̟ay x = 0, x = 1 la n̟gh̟i¾m̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ trên̟.3
M̟à x = 0, x = 1 la n̟gh̟i¾m̟ cn̟a đa th̟úc x2− x = 0 h̟0¾c −x2 + x = 0.
Cách̟ 1 Ta can̟ xác đ%n̟h̟ a, b sa0 ch̟03x − 1−(ax+b) = 0 có n̟gh̟i¾m̟ x = 0, x = 1.
Th̟ay x = 0, x = 1 và0 ta đư0c h̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟1 − b = 0
2 − (a + b) =
0
a = 1b = 1.
Tươn̟g tn̟, tìm̟ đư0c c = 1, d = 2 sa0 ch̟0 √5x + 4 − (cx + d) = 0 có 2 n̟gh̟i¾m̟ là
Trang 27Tươn̟g tn̟
√ 5x + 4 − (cx + d)2
5x + 4 − (cx + d) = √
Trang 283x + 1 + (x + 1)Σ⇔−.Σx2 −x2− 2x − 1 = 0⇔√x = 1±Σ−x2 + x−x2 + x 2√
N̟ên̟ ta có lịi giai sau.√
3x + 1 + √5x + 4 = 3x2− x + 3⇔ Σ√3x + 1 − (x + 1)] + [√5x + 4 − (x + 2)Σ = 3(x − 1)x⇔ √3x + 1 + (x + 1) + √5x + 4 + (x + 2) = 3(x − x)⇔ (−x2 + x) .√ 1Σ −x2 + x = 0√11x+5x + 4 + (x + 2)+ 3Σ = 0⇔ 3x + 1 + (x + 1) 1x+ 5x + 4 + (x + 2)+ 3 = 0x = 0 (th̟0a m̟ãn̟)x = 1 (th̟0a m̟ãn̟).
V¾y ph̟ươn̟g trìn̟h̟ có 2 n̟gh̟i¾m̟ là x = 0, x = 1.
Ví dn̟ 2.14 Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟
(x + 1)√x2 − 2x + 3 = x2 + 1
Giai Vì x = −1 k̟h̟ơn̟g là n̟gh̟i¾m̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ n̟ên̟ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0tươn̟g đươn̟g x2 − 2x + 3 =√ x2 + 1x + 1x2− 2x − 1⇔x2 − 2x + 3 − 2=x2− 2x − 1x + 1x2− 2x − 1⇔ √x2 − 2x + 3 + 2 =x + 1⇔ .x2− 2x − 1ΣΣ1√x2 − 2x + 3 +2 1 − x + 1 = 0⇔√ 1Σ x2 − 2√x + 3 + 2 1 − x + 1 = 0x2 2x + 3 + 2 = x + 1 (vơ n̟gh̟i¾m̟ ).
V¾y ph̟ươn̟g trìn̟h̟ có n̟gh̟i¾m̟ x = ±√2.
N̟h̟¾n̟ xét Vì sa0 ta n̟h̟¾n̟ ra đư0c n̟h̟ân̟ tu ch̟un̟g x2− 2x − 1 đe đien̟ th̟êm̟
−2 và0 h̟ai ve Xuat ph̟át tù vi¾c tìm̟ α sa0 ch̟0
Trang 29x2 + 1 −α(x + 1)x + 1x2− αx + (1 − α)⇔x2 − 2x + 3 + α =.x + 1
Đen̟ đây, ta ch̟i vi¾c xác đ%n̟h̟ α sa0 ch̟0
x2− 2x + .3 − α2Σ
Trang 30≤Σ√ 2 −√ .Σ2 2.−
Ví dn̟ 2.15 (T0án̟ H̟Qc Tuői tre s0 454, th̟án̟g 4 n̟ăm̟ 2015)Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟
2x2− x − 3 = √2 − x.
Giai Đieu k̟i¾n̟ x 2 Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0 tươn̟g đươn̟g2 .x2− x − 1Σ + .x − 1 − √2 − xΣ = 0⇔ 2 .x2− x − 1Σx2 x 1+ x − 1 + √2 − x = 0⇔ (x2− x − 1) 1 1 + x − 1 + √2 − x = 0⇔ x2− x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ± √51 ±(th̟0a m̟ãn̟).
V¾y ph̟ươn̟g trìn̟h̟ có n̟gh̟i¾m̟ là x = 5 .2
N̟h̟¾n̟ xét Tai sa0 ch̟ún̟g ta lai n̟h̟¾n̟ ra x2− x − 1 là n̟h̟ân̟ tu ch̟un̟g.
Đau tiên̟ ta dùn̟g m̟√áy tín̟h̟ b0 túi đ√e th̟u n̟gh̟i¾m̟, ta th̟ay ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0 có n̟gh̟i¾m̟ là x = 1 + 5 M̟à x = 1 + 5 là n̟gh̟i¾m̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ x2− x− 1 = 0
h̟0¾c −x2 + x + 1 = 0 N̟h̟ư v¾y, ch̟ún̟g ta can̟ làm̟ xuat h̟i¾n̟ đai lư0n̟g x2− x − 1
h̟0¾c x2 + x + 1 đe làm̟ n̟h̟ân̟ tu ch̟un̟g.
K̟h̟i đó, ta ph̟ai th̟êm̟ bót m̟®t đai lư0n̟g α, n̟gh̟ĩa là ta bien̟ đői √2 − x th̟àn̟h̟
√
2 − x− α sa0 ch̟0 sau k̟h̟i n̟h̟ân̟ liên̟ h̟0p th̟ì xuat h̟i¾n̟ bieu th̟úc x2− x− 1 h̟0¾c
−x2 + x + 1.
Lưu ý là bieu th̟úc can̟ xuat h̟i¾n̟ là b¾c h̟ai n̟ên̟ α k̟h̟ơn̟g ph̟ai là m̟®t s0 m̟à ph̟ai có dan̟g α = ax + b.
V¾y ta có
√ 2 − x − (ax + b)2
2 − x − (ax + b) = √
2 − x + (ax + b).
Sau k̟h̟i n̟h̟ân̟ liên̟ h̟0p x0n̟g xuat h̟i¾n̟ −ax2n̟ên̟ ta se ch̟02 − x − (ax + b)2 = −x2 + x + 1
⇔ (ax + b)2 = x2− 2x + 1⇔ ax + b = x + 1.
N̟h̟ư v¾y ta ph̟ai th̟êm̟ đai lư0n̟g x + 1 và0 ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0.
Ví dn̟ 2.16 Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟
3x2 − 6x − 5 = .(2 − x)5 + √
Trang 31≤
Giai Đieu k̟i¾n̟ x 3 − 2
√6
.
Trang 32.Σ.Σ Σ−−−− −√3x2 −.6x − 5 −Σ α√2 − x = √2 − x .3x2− 5x − 6 − α√3xΣ2 − 6x − 5 + α√2 − x = 2 x− 3x− 5x − 6 − αΣ 3x2− 5x − 7 = 0x = 5 −1092−
N̟h̟¾n̟ xét Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0 tươn̟g đươn̟g
√
3x2 − 6x − 5 = √2 − x 3x2− 5x − 6
Dún̟g m̟áy tín̟h̟ bam̟ n̟gh̟i¾m̟, ta th̟ay ph̟ươn̟g trìn̟h̟ ra n̟gh̟i¾m̟ xau Ch̟ín̟h̟ vì th̟e, ta se th̟êm̟ bót an̟ sa0 ch̟0 ph̟ù h̟0p đe có th̟e n̟h̟ân̟ liên̟ h̟0p D0 gia th̟iet 0
ph̟ươn̟g trìn̟h̟ n̟ày có √2 − x n̟ên̟ ta se th̟êm̟ bót α√
2 − x và0 ph̟ươn̟g trìn̟h̟
3x2− x 6 − α2 − 5 − 2 α 2 √ ΣĐe có n̟h̟ân̟ tu ch̟un̟g, ta can̟ có
3x2− x 6 − α2− 5 − 2α2 = 3x2− 5x − 6 − α
Đ0n̟g n̟h̟at h̟¾ s0 cn̟a h̟ai ve ta đư0c α =
1 K̟h̟i đó, ta có lịi giai sau.
Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0 tươn̟g đươn̟g√
3x2 6x 5 = √2 x 3x2 5 x 6⇔ √3x2 − 6x − 5 − √2 − x = √2 − x .3x2− 5x − 7Σ3x2 5x 7 ⇔ √3x2 − 6x − 5 + √2 − x=√2 − x .3x2 − 5x − 7Σ⇔√ 1 3x2 − 6√x − 5 +√2 − x= √2 − x (vơ n̟gh̟i¾m̟)⇔5 + √6 109 x = (l0ai).6
V¾y ph̟ươn̟g trìn̟h̟ có n̟gh̟i¾m̟ duy n̟h̟at x
= 5 − √109
.
6
2.3Ph̟ươn̟g ph̟áp 3: ắt an phn
Nđi dung cna phng phỏp ny l ắt mđt bieu thỳc chỳa cn thỳc bang mđtbieu th̟úc th̟e0 an̟ m̟ói m̟à ta GQI là an̟ ph̟u, r0i ch̟uyen̟ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0 veph̟ươn̟g trìn̟h̟ vói an̟ ph̟u vùa đ¾t Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ th̟e0 an̟ ph̟u đe tìm̟ n̟gh̟i¾m̟r0i th̟ay và0 bieu th̟úc vùa đ¾t đe tìm̟ n̟gh̟i¾m̟ th̟e0 an̟ ban̟ đau Vói ph̟ươn̟gph̟áp n̟ày ta tien̟ h̟àn̟h̟ th̟e0 các bưóc sau.
Bưóc 1 CH̟QN̟ an̟ ph̟u và tìm̟ đieu k̟i¾n̟ xác đ%n̟h̟ cn̟a an̟ ph̟u.
⇔
Trang 34t√ √√ √ √•v√Chia ca 2 ve cho v ta đưoc
a (uvu .v−
bieu th̟úc có m̟¾t tr0n̟g ph̟ươn̟g trìn̟h̟ Cu th̟e là, ph̟ai xác đ%n̟h̟ đư0c sn̟bieu dien̟ tưịn̟g m̟in̟h̟ cn̟a m̟®t bieu th̟úc qua m̟®t bieu th̟úc k̟h̟ác tr0n̟gph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0.
Bưóc 2 Ch̟uyen̟ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ ban̟ đau ve ph̟ươn̟g trìn̟h̟ (h̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟)th̟e0 an̟ ph̟u vùa đ¾t và giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ (h̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ ) n̟ày.
Th̟ơn̟g th̟ưịn̟g sau k̟h̟i đ¾t an̟ ph̟u th̟ì n̟h̟un̟g ph̟ươn̟g trìn̟h̟ th̟u đư0c làn̟h̟un̟g ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đơn̟ gian̟ h̟ơn̟ m̟à ta đã biet cách̟ giai.
Bưóc 3 Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ (h̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟) vói an̟ ph̟u đã biet đe xác đ%n̟h̟ n̟gh̟i¾m̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0.
2.3.1Đ¾t an̟ ph̟n̟ đưa ve ph̟ươn̟g trìn̟h̟ th̟e0 an̟ ph̟n̟ m̟ái
Ph̟ươn̟g ph̟áp n̟ày su dun̟g an̟ ph̟u đe ch̟uyen̟ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ ban̟ đauth̟àn̟h̟ m̟®t ph̟ươn̟g trìn̟h̟ vói an̟ ph̟u m̟ói Ta lưu ý cỏc phộp ắt an phuthũng gắp.
ã N̟eu bài t0án̟ có ch̟úa f (x) và f (x) có th̟e đ¾t f (x) = t; t ≥ 0⇒ f (x) = t2.
N̟eu bài t0àn̟ có ch̟úa f (x),g(x) và f (x).g(x) = c vói c là h̟an̟g s0 Có th̟e đ¾t √f (x) = t, t ≥ 0 k̟h̟i đó √g(x) = c .
• N̟eu bài t0án̟ có ch̟úa Có th̟e đ¾t t √f (x) ± √g(x) , √f (x).g(x) = c vói c là h̟an̟g s0.
= √±f (x) √g(x), k̟h̟i đó √=f (x).g(x) t2
c.
2
• N̟eu có dan̟g au + bv = c√
uv vói u = u(x.) ≥ 0, v = v(x) > 0; a, b, c là h̟an̟g s0.
Đ¾t t = .u
⇒ at2− ct + b = 0.
Ví dn̟ 2.17 (Tuyen̟ sin̟h̟ lóp 10 Ph̟ő th̟ôn̟g N̟ăn̟g K̟h̟ieu ĐH̟K̟H̟TN̟-ĐH̟QGH̟CM̟,
Trang 35⇔ Σ −−xΣt = − 3 (loai).xx =⇔ x2 − x − 2√= 411 x(2.4) ⇔ x + 2 xxĐ¾t y = √x2 − x − 2; y ≥ 0 Suy ra(2.3) ⇔ y2 + 2 = 3y⇔ y2− 3y + 2 = 0 ⇔TH̟1 y = 1Suy ra, √x2 − x − 2 = 1x2 x 2 = 1x = 3 (th̟0a m̟ãn̟)⇔x = −2 (th̟0a m̟ãn̟).y = 1y = 2.TH̟2 y = 2Suy ra, √x2 − x − 2 = 21 + 13⇔ x =1 −2√132(th̟0a m̟ãn̟).
V¾y ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0 có 4 n̟gh̟i¾m̟
x = 3; x = 2; x = 1 + √13
; x = 1 −
√13
.
2 2
Ví dn̟ 2.18 (Đe th̟i H̟SG tin̟h̟ Đ0n̟g Th̟áp n̟ăm̟ 2011)
Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟
x2 + 2x.x − 1 = 3x + 1. (2.4)
Giai.Đieu k̟i¾n̟ −1 ≤ x < 0
x ≥ 1.
Ch̟ia h̟ai ve ph̟ươn̟g trìn̟h̟ ch̟0 x ƒ= 0,.ta đư 0 c
Trang 37√ ≥− 10 (x + 2)(x2 − 2x +.4) = 3( x + 2 ) + 3(x2− 2x + 4)Σ t = 311 + 17⇔x = (thoa mãn)V¾y ph̟ươn̟g trìn̟h̟ có 2 n̟gh̟¾m̟ là x = 1 + √5 ; x = 1 − √5 .2 2Ví dn̟ 2.19 Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟10√x3 + 8 = 3(x2− x + 6).
Giai Đieu k̟i¾n̟ x ≥ −2 Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0 tươn̟g đươn̟g
Trang 38√−−⇔ t2 = 5 + 2√(x + 1)(4 − x)x =−2 (th̟0a m̟ãn̟).11 + √1711 − √17V¾y ph̟ươn̟g trìn̟h̟ có 2 n̟gh̟i¾m̟ là
x = 2 , x = 2
Ví dn̟ 2.20 (Th̟i cH̟QN̟ H̟SG lóp 12 tin̟h̟ Bac Gian̟g, n̟ăm̟ H̟Qc 2007) Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟
√
x + 1 + √
4 − x + √(x + 1)(4 − x) = 5. (2.6)
Trang 39⇔ Σ −√⇔(x + 1)(4− x) = 2√.√ Σ−⇔⇔ 2.x2 + 5x − 1 = βx2 + (α + β)x + (β −α)⇔ 3(x − 1) + 2(x2 + x +.1) = 7√(x − 1)(x2 + x + 1)⇔ x2− 8x + 10 = 0 ⇔x = 4 −√ 6 (thoa mãn).⇔ x + 1 + 4 − x + 2√(x + 1)(4 − x) = 9x2 3x = 0x = 3 (th̟0a m̟ãn̟)⇔x = 0 (th̟0a m̟ãn̟).
V¾y ph̟ươn̟g trìn̟h̟ có 2 n̟gh̟i¾m̟ là x = 3, x = 0.
Ví dn̟ 2.21 (Đe n̟gh̟% 0lym̟pic 30-4, n̟ăm̟ 2007)
Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟
2x2 + 5x − 1 = 7 x3 − 1.
N̟h̟¾n̟ xét Đe ý ran̟g x3− 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) mđt cỏch tn nhiờn ta suy ngh en viắc ph̟ân̟ tích̟ 2x2 + 5x − 1 sa0 ch̟0
2x2 + 5x − 1 = α(x − 1) + β(x2 + x + 1)⇔V¾y ta có lịi giai.β = 2α + β = 5 ⇔β − α = −1α = 3β = 2
Giai Đieu k̟i¾n̟ x ≥ 1.
Trang 40V¾y ph̟ươn̟g trìn̟h̟ có 2 n̟gh̟i¾m̟ : x = 4 − √6, x = 4 + √