Các phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN TH± KIM THAO CÁC PHƯƠNG PHÁP GIAI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BAT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TY Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CAP Mã so: 60460113 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: PGS TS NGUYEN ĐÌNH SANG HÀ N®I - NĂM 2015 Mnc lnc Me ĐAU KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 Cách giai phương trình b¾c ba 1.1.1 Phương pháp đao hàm 1.1.2 Phương pháp bien đői thơng thưịng 1.2 Cách giai phương trình b¾c bon 1.2.1 Phương trình b¾c bon tőng qt 1.2.2 Phương trình x4 + cx2 + dx + e = 1.3 M®t so bat thúc 1.3.1 Bat thúc AM - GM 1.3.2 Bat thúc Cauchy 1.4 Tính chat cna hàm đơn đi¾u, kha vi úng dung 1.4.1 Tính đơn đi¾u cna hàm so 1.4.2 Đ%nh lý Rolle 1.4.3 Đ%nh lý Lagrange áp dung 1.4.4 Đ%nh lý Cauchy áp dung 1.5 Giá tr% lón nhat (GTLN), giá tr% nho nhat (GTNN) cna m®t hàm so cna m®t t¾p hop 1.5.1 Đ%nh nghĩa 1.5.2 Các đieu ki¾n đn 5 8 10 10 11 11 11 12 12 13 15 15 15 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIAI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TY 17 ii 2.1 Phương pháp bien đői tương đương ho¾c bien đői h¾ qua 17 2.1.1 Nâng lũy thùa b¾c chan hai ve cna phương trình 17 2.1.2 L¾p phương hai ve cna phương trình 21 2.2 2.3 2.4 2.5 2.1.3 Nhân liên hop 23 2.1.4 Bien đői đưa ve phương trình tích 33 Phương pháp đ¾t an phu 36 2.2.1 Đ¾t an phu ban 37 2.2.2 Đ¾t an phu khơng hồn tồn 41 2.2.3 mđt hoắc nhieu an phu a ve phng trình cap 46 2.2.4 Đ¾t an phu đưa ve tích 51 2.2.5 mđt hoắc nhieu an phu đưa ve h¾ phương trình54 2.2.5.1 Đ¾t an phu đưa ve h¾ thơng thưịng 54 2.2.5.2 Đ¾t an phu đưa ve h¾ đoi xúng loai II 58 2.2.5.3 Đ¾t an phu đưa ve h¾ gan đoi xúng 66 Phương pháp đánh giá 69 2.3.1 Su dung hang thúc 69 2.3.2 Su dung bat thúc 70 2.3.3 Su dung tính chat hình HQc phang 77 Phương pháp hàm so 84 2.4.1 Su dung tính chat hàm liên tuc đơn đi¾u 84 2.4.2 Phương pháp đ%nh lý ban ve hàm kha vi 91 Phương pháp lưong giác hóa 94 GIAI BAT PHƯƠNG TRÌNH THƠNG QUA GIAI PHƯƠNG TRÌNH 103 3.1 Cơ so lý thuyet 103 3.2 Bài t¾p áp dung 104 KET LU¾N 110 Tài li¾u tham khao 111 iii Me ĐAU Phương trình bat phương trình vơ ty loai tốn có v% trí đ¾c bi¾t quan TRQng chương trình tốn HQc b¾c phő thơng Nó xuat hi¾n nhieu kì thi HQc sinh gioi kì thi tuyen sinh vào đai HQc HQc sinh phai đoi m¾t vói rat nhieu dang tốn ve phương trình bat phương trình vô ty mà phương pháp giai chúng lai chưa đưoc li¾t kê sách giáo khoa Vi¾c tìm phương pháp giai phương trình bat phương trình vơ ty niem say mê cna khơng ngưịi, đ¾c bi¾t nhung ngưịi trnc tiep day tốn Chính v¾y, đe đáp úng nhu cau giang day HQc t¾p, tác gia cHQN đe tài "Các Phương Pháp Giai Phương Trình Và Bat Phương Trình Vơ Ty" làm đe tài nghiên cúu cna lu¾n văn Muc đích cna lu¾n văn h¾ thong hóa phương pháp giai phương trình bat phương trình vơ ty, giúp nh¾n dang toán, đe xuat phương pháp giai v cHQN phng phỏp toi u Nđi dung cna luắn văn đưoc chia làm chương: Chương 1: Trình bày kien thúc chuan b% Gom m®t so cách giai phng trỡnh bắc ba, phng trỡnh bắc bon, mđt so tính chat cna hàm so đơn đi¾u, kha vi úng dung đe giai m®t so phương trình đong thịi nhac lai m®t so bat thúc đưoc su dung ve sau Chương 2: Trình bày phương pháp giai phương trình vơ ty pham vi chương trình phő thông Moi phương pháp, tác gia co gang tőng quát hóa dang mà có the su dung phương pháp này, nh¾n xét ve cách giai cna tốn, tőng hop hóa dang tốn, nêu cách giai khác cna tốn neu có, cách sáng tao tốn khác, đong thịi cho m®t so ví du minh HQA vói m®t so tốn tham khao Chương 3: Trình bày ve phương pháp giai bat phương trình vơ ty thơng qua giai phương trình vơ ty tương úng Trong chương trình bày cách giai phương tình tương úng l¾p bang xét dau đe ket lu¾n nghi¾m so tính liên tuc cna hàm sơ cap Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan trnc tiep cna PGS.TS Nguyen Đình Sang Em xin đưoc bày to lòng biet ơn chân thành sâu sac đoi vói ngưịi Thay cna mình, ngưịi nhi¾t tình hưóng dan, chi bao em suot q trình làm lu¾n văn Em xin chân thành cam ơn q thay Ban giám hi¾u, Phịng đào tao Đai HQc sau Đai hQc Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i, q thay tham gia giang day khóa HQc tao MQI đieu ki¾n, giúp đõ em suot q trình HQc t¾p đe em hồn thành khóa HQc hồn thành ban lu¾n văn Trong q trình làm, đe tài khơng tránh khoi nhung thieu sót Kính mong q thay ban góp ý xây dnng Em xin chân thành cam ơn! Hà n®i, ngày 12 tháng năm 2015 HQc viên Nguyen Th% Kim Thao Chương KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 1.1.1 Cách giai phương trình b¾c ba Phương pháp đao hàm Xét phương trình: f (x) = x3 + ax2 + bx + c = (1.1) Phương trình ln ln cú ớt nhat mđt nghiắm Ta cú: J 2 23b ≤ f (x) = 3x 2ax + b Neu a (1.1) cú ỳng mđt nghiắm Neu a > 3b nghi¾m fmax fmin ≤ Dùng khai trien Taylor tai + x =f α(α) f (α) f (x) = f (α) + j (x − α) + jj (x − α)2 + (x − α)3 1! 2! (1.2) Jj − Σ x =α Neu f (α) = f (x) =0⇔ (α) = 0(x α) + f J (α) (x − α)2 f + Neu f JJ (α) = đưa (1.2) ve dang: t3 + pt + q = Đe giai (1.3) ta tìm nghi¾m dưói dang t = u + v dan đen h¾:  u3 v p3 (1.3) = − 27  u3 + v3 = −q Xét phương trình + qX = có ∆ 2= 4p3 q + −p 27 27 X2 √ Neu ∆ ≥ tìm nghi¾m t = u + v −q − ∆ = 3 + Neu ∆ < 0: √ u i = v3 = −q + √ ∆ −q − |∆| = r(cosϕ + isinϕ) √ = r(cosϕ − isinϕ) −q +|∆| i Khi nghi¾m thnc: √3 t =2 ϕ rcos √3 2π , t2 √3 ϕ+ rcos , t3 = ϕ + 4π rcos =2 Đ%nh lí 1.1 Đieu ki¾n can đn đe đo th% hàm so (1.1) nh¾n điem (α; f (α)) làm tâm đoi xúng f JJ (α) = ChÚng minh: Đieu ki¾n đn: Gia su f JJ (α) = Tù khai trien Taylor ta có: J Y = α) y− (α) f (α) (x − Xyf − = x −= α (x − α) + f (α) Ta đưa hàm so y = x3 + ax2 + bx + c ve dang: Đ¾t Y = X + f J (α)X Đây hàm le nên tâm đoi xúng là: tâm đoi xúng Đieu ki¾n can: X = hay (x = α; y = f (α)) Y = y − f (α) = f J (α)(x − α) 2+ Đ¾t f (α) jj (x − α)2 − + (x − α)3 X = x α Y = y− f (α) Ta đưoc: Y = X3 + f (α) jj X + f J (α)X Hàm so nh¾n (X = 0; Y = 0) tâm đoi xúng nên F (−X) + F (X) = ⇔ f JJ (α) = Đ%nh lí 1.2 Đieu ki¾n can đn đe đo th% hàm so (1.1) cat truc f (α) JJ honh tai iem cú honh đ lắp thnh m®t cap so c®ng f (α) = 1.1.2 Phương pháp bien đoi thơng thưàng Nh¾n thay MQI phương trình b¾c ba có dang: a1x3 + b1x2 + c1x + d = 0, a đeu đưa đưoc ve dang: x3 + ax2 + bx + c = (1.4) Cách 1: Nham nghi¾m roi phân tích đa thúc: Neu x = l mđt nghiắm cna phng trỡnh f (x) = ta ln có sn phân tích f (x) = (x − α)g(x) a Cách 2: Bang phép đ¾t y = x − phương trình (1.4) tro thành : y3 − py = q a3 2a3 ab vói p = − b, q = − + − c 27 Xét phương trình (1.5): • Neu p = phương trình (1.5) có nghiắm nhat x = ã Neu p > 0, đ¾t y = 2t p (1.5) √3 q 3.2 Bài t¾p áp dnng Bài Giai bat phương trình: √ x − x √ 1− 2(x2 − x + 1) (Đe thi đai Giai: Đieu ki¾n: x ≥ x − Trưóc tiên ta giai phương trình: ≥1 1− √ HQ c Khoi A - 2010) x √ =1 2(x2 − x + 1) Bien đői phương trình ve dang: 2(x2 − x + 1) = − x + Cách 1: Bình phương hai ve ta đưoc: √ −x + x √ x (1) − x + 1) = (1 √ ≥ 2(x x)   0≤x≤ ⇔+ √   0≤x≤ √  x + + (x − 1)2 = (1 − x)2 + 2(1 − x) x + x + √ √ + = 2(1 ⇔ x − x) x + x  (x −   2+ + 5 √ ⇔ ≤ x ≤ √  ≤ x ≤ √ 2x + 1) − 2(1 x + x√ − x) √  ⇔ ≤x (x0 − 1)≤ 2( − x) x + x 3− ⇔+ − =0 √ √  − (1 − x x) = ⇔x = Cách 2: Đ¾t t = √ x, (t ≥ 0) Khi đó, phương trình (1) có dang: 2(t4 − t2 + 1) = − t2 + t 2(t4 − 2 − t + t ≥  ⇔  ≤ t ≤ 12 + ⇔ √5 + − t2 − 2t + = 0(∗) t 2t3 Nh¾n thay t = khơng nghi¾m cna phương trình (∗) nên chia hai ve (∗) cho t ta đưoc: t2 Đ¾t y = t − t 1 + t Σ + t − t Σ − = √ 3− ta đưoc: y2 + 2y + = ⇔ y = −1 √ 5−1 Tù = ket hop vói đieu ki¾n cna t ta suy t ⇒x = 2 Cách 3: Nh¾n xét rang x = khơng nghi¾m cna (1) nên ta có bien đői: x − + 1 √ x+1 (∗∗) √ √ Σ= x x − Đ¾t x Khi đó, (∗∗) có dang: = t − √ x 2(t2 ⇔ + 1) = t +1 t ≥ −1 t − 2t + =0 ⇔t=1⇒x= 3− √ √ Cách 4: Áp dung BĐT Cauchy cho b® so (1; 1) (1 − x; x) ta có: √ V P = 1.(1−x)+1 x ≤ (12 + 12 )[(1 − x)2 + x] = 2(x2 − x + 1) = V T √ 3− Như v¾y V T = V P ⇔ − x = x ⇔ x = √ Cách 5: Viet lai phương trình (1) dưói dang: √ + 1.(1 − x)2 + x = (1 − x) + √ x Trong mắt phang TQA đ xột cỏc vect: u = (1; 1), ˙v = (1 √ Ta có: − x; x) |˙u|.|˙v| = 2(x2 − x + 1), ˙u.˙v = Khi trình tro thành: − xđó, + phương x √ |˙u|.|˙v| = ˙u.˙v Đieu xay chi ˙u ˙v hưóng, túc ton tai k > = ⇔ x cho: 3− √kx ˙u = k˙v x = − √ ⇔ = k 23 − Tiep đe giai bat ta l¾p bang Như theo v¾y nghi¾m cnaphương phươngtrình trìnhtrên x√= √ xét dau cna hàm so: x − x f (x) = √ −1 − 2(x2 − x + 1) Nh¾n xéΣt rang f (xΣ) liên tuc tr ên [0; +∞Σ ) khơng có √ √ 5 3 nghi¾m ; − 0; − +∞ khoang v nên f (x) giu nguyên dau 2 khoang Ta có: f (0) = −1 < 0, f (1) = −1 < Khi đó, ta có bang xét dau sau: x f (x) − √5 +∞ − − 3− Tù bang xét dau suy bat phương trình có nghi¾m x = √ Bài Giai bat phương trình: √ x+1 +x2 √ − 4x + ≥ x (Đe thi Đai HQc khoi B - 2012) Giai: √ √ Đieu ki¾n:x ∈ [0; − 3] ∪ [2 + 3; +∞) √ √ Trưóc het√ta giai phương trình: x + + x2 − 4x + = x Đ¾t t = x, (t ≥ 0) Phương trình tro thành: √ t4 − 4t2 + = −t2 + 3t − −t15t +2 + 3t 6t − 1= ≥ 6t3 − Σ Σ t= x =4 ⇔ t = ⇒ x =1 ⇔ √ √ − 4x + − 31 x liên tuc trê Xét hàm so f (x) = x + + x ; Σ2− √3 Σ , n [2 + √3; +∞) nghi¾m 0; , 4 Σ Σ ∞ khoang√ [0; − 3Σ] ∪ √ nguyên dau trên√ tùng khoang + √3; 4, (4; + ) nên f (x) giu Ta có: f (0) = > 0, f (2 − 3) < 0, f (2 + 3) < 0, f (5) > Khi đó, ta có bang xét dau sau: x f (x) − √3 + √3 +0− +∞ − + Tù suy bat phương trình có nghi¾m: x ∈ Σ0; Σ ∪ [4; +∞) Bài Giai bat phương trình: √ √4 1−x+ 1+x≥1 Giai: Đieu ki¾n: −1 ≤ x ≤ Xét hàm so f (x) = Ta có: √ √ 1−x + 1+x−1 -Vói −1 ≤ x < f (x) > -Vói < x ≤ f (x) > -Vói x = f (x) = > V¾y bat phương trình có nghi¾m: −1 ≤ x ≤ Su dnng phương pháp hàm so ta có the de dang giai bat phương trình có chúa tham so sau: Bài Cho bat phương trình: √ mx + x − + 4m − > Tìm m đe: 1) Bat phương trình có nghi¾m 2) Bat phương trình có nghi¾m đúng∀x ≥ 3)Bat phương trình có nghi¾m ∀x ∈ [2; 37] 4)Bat phương trình có nghi¾m [2; 37] thuđc Giai: ieu kiắn: x Phng trình cho tương đương: √ m(x − 1) + x − + 5m − > √ Đ¾t t = x − (t ≥ 0) Phương trình tro thành: 2−t mt2 + t + 5m > f (t) = < m có nghi¾m t≥0 ⇔ − f (t) < 10 2) Bat phương trình cho có nghi¾m ∀x ≥ ⇔ f (t) < m có nghi¾m ∀t ≥ ⇔ max f (t) < m ⇔2m > t≥0 3) Bat phương trình cho có nghi¾m đúng∀x ∈ [2; 37] ⇔ f (t) < m có nghi¾m t [1; 6] max f (t) < m m > ∀ ∈ ⇔ ⇔ [1;6] 4) Bat phương trình cho cú nghiắm thuđc [2; 37] f (t) < m cú nghiắm thuđc [1; 6] f (t) < m m 1> ⇔ ⇔ − [1;6] 10 Bài t¾p thêm √ √ √ 5x − − x − > 2x − (Đe thi Đai HQc Khoi A - 2005) √ 2(x2 16) √x − 7− x √ (Đe thi Đai HQc Khoi A - 2004) − √ > x−3 x−3 t≥0 + √ x3 + (3x62 − 4x − 4) x + ≤ (Thi thu ĐT - 2012) Hưáng dan đáp so x ∈ [2; 10] √ x > 10 − 34 √ 3 3.Đ¾t y = x − ta đưoc: x + 3x y − 4y ≤ ĐS: x ∈ Σ−1; + √ Σ Ket Lu¾n Lu¾n văn "Các Phương Pháp Giai Phương Trình Và Bat Phương Trình Vơ Ty" giai quyet đưoc nhung van đe sau: Trình bày đưoc phương pháp giai phương trình vơ ty pham vi chương trình phő thơng Tőng qt hóa đưoc m®t so dang ve phương trình vơ ty 3.Bang cách đơn gian ta có the sáng tao m®t phương trình vơ ty 4.Trình bày đưoc phương pháp giai bat phương trình vơ ty thơng qua vi¾c giai phương trình tương úng Do khn khő cna đe tài nghiên cúu có giói han đieu ki¾n thịi gian khơng cho phép nên cịn nhieu hưóng mà tác gia khơng thnc hi¾n đưoc như: Phương pháp sáng tác phương trình, bat phương trình vơ ty Úng dung phương pháp vào đe giai phương trình, h¾ phương trình nói chung Đe tài đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan cna PGS.TS Nguyen Đình Sang sn nghiên cúu, làm vi¾c nghiêm túc cna ban thân M®t lan nua, em xin bày to lịng biet ơn sâu sac đen sn quan tâm hưóng dan đay nhi¾t tình cna Thay Em xin chân thành cam ơn Ban giám hi¾u, Phịng đào tao Đai HQc sau Đai HQc Trưòng Đai HQ c Khoa HQ c Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i, thay cô giang day, giúp đõ em suot q trình HQc t¾p Tài li¾u tham khao [1]Ban Tő Chúc Kỳ Thi (2012), Tőng t¾p đe thi Olympic 30 tháng Toán HQc 10, NXB Đai HQc Sư pham [2]Tran Đúc Long, Nguyen Đình Sang, Hồng Quoc Tồn (2000), Giáo trình giai tích t¾p 1, NXB Đai HQc Quoc gia H Nđi [3]Nguyen Vn Mắu (2010), Phng pháp giai phương trình bat phương trình, NXB Giáo duc [4]Nguyen Vn Mắu, Nguyen Vn Tien (2010), Mđt so chuyên đe Đai so boi dưãng HQc sinh giói, NXB Giáo duc [5]Đồn Quỳnh, Dỗn Minh Cưịng, Tran Nam Dũng, Đ¾ng Hùng Thang (2010), Tài li¾u chun tốn Đai so 10, NXB Giáo duc ... cHQN đe tài "Các Phương Pháp Giai Phương Trình Và Bat Phương Trình Vơ Ty" làm đe tài nghiên cúu cna lu¾n văn Muc đích cna lu¾n văn h¾ thong hóa phương pháp giai phương trình bat phương trình vơ ty,... rat nhieu dang tốn ve phương trình bat phương trình vô ty mà phương pháp giai chúng lai chưa đưoc li¾t kê sách giáo khoa Vi¾c tìm phương pháp giai phương trình bat phương trình vơ ty niem say... 1.1 Cách giai phương trình b¾c ba 1.1.1 Phương pháp đao hàm 1.1.2 Phương pháp bien đői thơng thưịng 1.2 Cách giai phương trình b¾c bon 1.2.1 Phương