Các phương pháp tạo lưới tự động và ứng dụng trong tính toán cơ học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Thủy CÁC PHƯƠNG PHÁP TẠO LƯỚI TỰ ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG TÍNH TỐN CƠ HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội – 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Thủy CÁC PHƯƠNG PHÁP TẠO LƯỚI TỰ ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG TÍNH TỐN CƠ HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: Cơ học chất lỏng Mã số: 60 44 22 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Văn Trản Hà Nội – 2011 Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Một số phương pháp chia lưới tự động không cấu trúc 1.1 Phương pháp chia lưới Delaunay Triangulation 1.1.1 Giới thiệu 1.1.2 Cơ sở hình học 1.1.3 Thiết lập hệ tam giác ban đầu 10 1.1.4 Thuật toán Bowyer - Watson 10 1.1.5 Các phương pháp chèn điểm 13 1.1.6 Hạn chế hình dạng hệ tam giác Delaunay .18 1.1.7 Phép chia lưới Delaunay triangulation không gian ba chiều 20 1.2 Phương pháp tịnh tiến biên (Advancing Front) 21 1.2.1 Giới thiệu 21 1.2.2 Điều khiển lưới 22 1.2.3 Thuật toán AFT 25 1.2.4 Sự thích nghi không gian tham số 35 1.2.5 Cải thiện chất lượng lưới 36 1.3 Phương pháp tạo lưới không cấu trúc sử dụng thuật toán chèn điểm tự động tái kết nối địa phương 37 1.3.1 Giới thiệu 37 1.3.2 Phương pháp chia lưới AFLR 38 1.4 Các phương pháp chồng tạo lưới tứ giác lục giác 45 1.4.1 Giới thiệu 45 1.4.2 Các phương pháp chồng 46 1.5 Một số phương pháp phát triển .52 Áp dụng số toán học 54 2.1 Bài toán 54 2.2 Bài toán 58 2.3 Bài toán 59 Bài toán 63 Tài Bài toán 66 liệu tham khảo 71 Lời mở đầu Ngày phương pháp chia lưới tự động trở thành công cụ phổ biến việc sử dụng nghiệm số phương trình vi phân phần miền có hình dạng Trong năm gần đây, phương pháp chia lưới tự động phát triển rộng rãi, học kết cấu học vật rắn, sau tính tốn động lực học chất lỏng Phương pháp chia lưới tự động cung cấp chìa khóa để giải vấn đề hình dạng biên từ phương pháp sai phân hữu hạn sử dụng việc xác định điểm nút phương pháp phần tử hữu hạn Với mạng lưới tất thuật toán số, sai phân hữu hạn hay phần tử hữu hạn thực miền tính tốn có hình dạng đường biên Các phương pháp chia lưới tự động bao gồm hai loại: phương pháp chia lưới tự động có cấu trúc phương pháp chia lưới tự động không cấu trúc Một ví dụ đơn giản lưới có cấu trúc lưới Đề-Các Các nút lưới ô lưới (hình chữ nhật) giao đường lưới Lưới tạo cách dễ dàng nhanh chóng Tuy nhiên miền tính tốn có biên biên ngồi đường cong để giải lưới Đề-Các yêu cầu phải xác định sơ đồ số gần biên Điều thường khó Hình 1: (a) Lưới Đề-Các, (b) body-fitted grid Một loại khác lưới có cấu trúc body-fitted (trùng khít với miền tính tốn) Về lưới giống lưới Đề-Các lưới tứ giác có hình dạng phù hợp với biên Các phương pháp tính tốn phát triển cho lưới Đề-Các chỉnh sửa để áp dụng cho lưới body-fitted thông qua ánh xạ lưới mà không làm thay đổi chất chương trình số Khó khăn việc thực phương pháp nằm việc tạo nút lưới có nhiều vật cản bên miền tính tốn Khơng giống lưới có cấu trúc, nút lưới ô lưới lưới không cấu trúc giao đường thẳng song song Một ưu điểm lưới không cấu trúc điểm nút đặt biên miền tính tốn áp dụng phương pháp số lưới khơng cấu trúc cho độ xác cao Hơn nữa, lưới khơng cấu trúc cho phép phần tử có kích thước khác biểu diễn xác biên miền tính tốn mà khơng cần số lượng lớn nút lưới ô lưới Khi miền tính tốn có hình dạng phức tạp so với lưới có cấu trúc, lưới khơng cấu trúc giúp cải thiện độ xác nghiệm tổng thể, lưới không cấu trúc chứng minh có khả thích nghi cao tốn biên chuyển dịch dịng thời Về ngun tắc, lưới khơng cấu trúc bao gồm có hình dạng bất kỳ, xây dựng cách kết nối điểm cho trước đến số tùy ý điểm khác, nói chung hợp thành từ tam giác tứ giác không gian hai chiều, tứ diện lục giác không gian ba chiều Ưu điểm lưới chúng có khả thích nghi cách cho phép chèn thêm điểm vào, chúng làm việc với miền tính tốn có hình dạng phức tạp Ở thời điểm phương pháp chia lưới không cấu trúc áp dụng không gian ba chiều Tuy nhiên phương pháp chia lưới không cấu trúc dựa tam giác Delaunay thường xuyên sử dụng chứng minh có khả thích nghi cao, phù hợp với miền tính tốn phức tạp Các lưới cho phép bổ sung thêm nút lưới vào hệ tam giác tồn ảnh hưởng đến cấu trúc lưới địa phương mà không ảnh hưởng đến cấu trúc lưới tổng thể Trong luận văn giới thiệu hai phương pháp chia lưới không cấu trúc hay sử dụng: phương pháp chia lưới Delaunay Triangulation phương pháp tịnh tiến biên (Advancing Front method) Ngoài hai phương pháp phát triển: Phương pháp tạo lưới khơng cấu trúc sử dụng thuật tốn chèn điểm tự động tái kết nối địa phương phương pháp chồng tạo lưới tứ giác lục giác trình bày luận văn * Nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: Một số phương pháp chia lưới tự động không cấu trúc Chương 2: Áp dụng số toán học Chương Một số phương pháp chia lưới tự động không cấu trúc 1.1 Phương pháp chia lưới Delaunay Triangulation 1.1.1 Giới thiệu Phương pháp Delaunay Triangulation phương pháp chia lưới không cấu trúc phát triển từ sớm [8] Phương pháp dựa tiêu chuẩn Delaunay (hay gọi tiêu chuẩn vịng trịn ngoại tiếp nVí+ điểm có điểm nútkhơng lưới dụ trống): Siêu cầukhơng đơn hình gianmột n chiều xác định không gian ba chiều, bốn đỉnhkhác tứ diện xác định mặt cầu mặt cầu không chứa điểm nút khác lưới tứ diện Trong không gian hai chiều, hệ tam giác thu dựa tiêu chuẩn Delaunay gọi hệ tam giác Delaunay Hệ tam giác áp dụng phổ biến thực hành chúng có đặc điểm tối ưu sau: • Các tam giác Delaunay tam giác xấp xỉ đều; • Góc lớn tam giác cực tiểu hóa; • Góc nhỏ tam giác cực đại hóa Với đặc điểm hệ tam giác Delaunay khơng bị q biến dạng q méo mó Tiêu chuẩn Delaunay không đưa dẫn điểm lưới nên định nghĩa liên kết với nào? Một hạn chế tiêu chuẩn Delaunay có khả áp dụng tiêu chuẩn tồn miền tính tốn với tam giác biên xác định trước Nhược điểm đưa hai cách tiếp cận chia lưới tam giác có bảo tồn liên kết biên áp dụng tiêu chuẩn Delaunay Trong cách tiếp cận thứ tiêu chuẩn Delaunay bỏ qua điểm gần biên hệ biên lưới trước nguyên vẹn Để kết hợp với kỹ thuật này, điểm thêm vào dạng sơ đồ để đảm bảo không xảy phá hủy biên Cách tiếp cận thứ hai, áp dụng tiêu chuẩn Delaunay tồn miền tính tốn, sau khơi phục lại biên ban đầu cách bỏ đơn hình nằm bên ngồi miền tính tốn [1] Có nhiều thuật tốn tạo lưới khơng cấu trúc dựa tiêu chuẩn De- launay, chẳng hạn có số thuật tốn sử dụng phương pháp chia lưới có cấu trúc tạo phân bố điểm nút lưới trước sau điểm nút lưới kết nối để thu tam giác thỏa mãn tiêu chuẩn hình học (tương đương với tiêu chuẩn Delaunay) Tuy nhiên thuật toán hay sử dụng thuật toán Bowyer - Watson Thuật tốn áp dụng với khơng gian n - chiều Thuật toán hệ tam giác vài điểm, sau tiếp tục bước ta thêm điểm vào hệ tam giác tái thiết lập hệ tam giác cách địa phương Quá trình cho phép cải thiện chất lượng lưới khuôn khổ tiêu chuẩn Delaunay Điểm khác biệt thuật tốn vị trí điểm liên kết tính tốn cách đồng thời 1.1.2 Cơ sở hình học • Định nghĩa lồi ô lồi nđiểm -vậy chiều S không làgồm mộtcác baođiểm lồi k điểm P1phẳng , , P (k>1) mà nằm mặt (nn+− k 1) - Một chiều Như Snày bao x ∈n R+n thỏa mãn x= n +k ∑ αi Pi, i =1 n+k ∑ αi = 1, i =1 ≥ αi Gọi tất điểm Pl tập i = 1,S , n+ nằm biên mcác - chiều n P- i,chiều (n > m)k gọi bao Một S mặt cáccả đỉnh ô lồi S.ô lồi lồi m + đỉnh Pl , bao lồi không chứa đỉnh khác S m - khơng chiều có hai vớimặt bất mọikỳ m < n Ta nóiphẳng S lồi mạnh nằmmặt Nếu P điểm nằm ô lồi mạnh S với đỉnh P1, , Pn+k n +k n +k P = ∑ αi αi 0, i = 1, ., n + k, ∑ αi = 1, ≥ P i, i =1 i =1 Hình 1.1: Ơ lồi (bên trái) tứ diện lồi mạnh (bên phải) • Đơn hình đơn hình tốn gọi nphần -tính chiều Ô bao +được xnên ., xNhững mà nằm mặt phẳng (n11điểm )được -tạo chiều gọi làlà đơn hình Như đơn 1, ôkhông Một tử đơn giản nhình - nchiều sử n +1rời dụng để rạc hóa miền − điểm x ∈ Rn thỏa mãn n+1 ∑ αixi, x i = 1, ., n + 1, i =1 = n+ ∑ αi = 1, αi ≥ 0, i =1 Đơn hình lồi mạnh có đỉnh x1, , xn+1 Chẳng hạn đơn hình ba chiều tứđơn diện có hai đỉnh x1, x2, x3, x4, hình chiều đơn hình đơn m -của chiều định nghĩa qua m 1= đỉnh xlà điểm đơn hình αchiều > với hành, để rời rạc hóa miền tính tốn, ta hay sử0dụng mọi+Trong iđoạn 1,thực , nĐiểm + chiều tam giác, đơn hình một thẳng Mỗi mặt m - hình lồi = 1,., số đơn hình i Những - chiều ơcủa S,vậy N S TaGọi có Ncó i, icác số đỉnh mặtn,biên làmặt đơn gọi đơn hình  n−1  n− N , k ( 1) i + i ∑  Ni = i =k k+ (−1) k = −1, , n − 2, N−1 = 1,     l l l (l − 1) (l − m + 1)  ,m ≥ 1,   =  = 1, m m! • Trường hợp 3: chia lưới dày xung quanh vòng tròn File input: 0.0 0 14 0 14 8.0 14 0.0 0.0 0.0 0 14 6.0 1 0.0 0.0 8.0 6.0 0.0 0.0 0 0 6.0 6.0 7.0 6.0 −180 0 6.0 8.0 6.0 7.0 6.0 −180 0 8.0 14 6.0 0.0 0.0 14 14 12 1 0.0 0.0 14 12 0.0 12 0.0 0.0 0 0.0 12 0.0 0.0 0.0 0.0 0 2.4 Bài tốn 4: Miền tính tốn hình chữ nhật có hai trụ trịn nằm ngang • Trường hợp 1: chia lưới dày xung quanh hình trụ thứ File input: 13 0.0 0 19 0 19 14 12 7.0 5.0 7.0 12 14 19 0.0 0.0 0.0 19 6.0 1 0.0 0.0 14 6.0 0.0 0.0 0 0 12 6.0 13 6.0 −180 0 7.0 6.0 0.0 0.0 0 5.0 6.0 6.0 6.0 −180 0 7.0 6.0 6.0 6.0 −180 0 12 6.0 0.0 0.0 6 14 6.0 13 6.0 −180 0 19 6.0 0.0 0.0 19 19 12 1 0.0 0.0 0 19 12 0.0 12 0.0 0.0 0.0 12 0.0 0.0 0.0 0.0 0 • Trường hợp 2: chia lưới dày xung quanh hình trụ thứ hai File input: 13 0.0 0 19 0 19 14 19 0.0 0.0 0.0 19 6.0 1 0.0 0.0 14 6.0 0.0 0.0 0 0 12 6.0 13 6.0 −180 0 12 7.0 6.0 0.0 0.0 0 7.0 5.0 6.0 6.0 6.0 −180 0 5.0 7.0 6.0 6.0 6.0 −180 0 7.0 12 6.0 0.0 0.0 0 12 14 6.0 13 6.0 −180 0 14 19 6.0 0.0 0.0 0 19 19 12 1 0.0 0.0 0 19 12 0.0 12 0.0 0.0 0.0 12 0.0 0.0 0.0 0.0 0 • Trường hợp 3: chia lưới dày xung quanh hai hình trụ File input: 13 0.0 0 19 0 19 14 12 7.0 5.0 7.0 12 14 19 19 0.0 19 0.0 0.0 0.0 19 6.0 1 0.0 0.0 14 6.0 0.0 0.0 0 0 12 6.0 13 6.0 −180 0 7.0 6.0 0.0 0.0 0 5.0 6.0 6.0 6.0 −180 0 7.0 6.0 6.0 6.0 −180 0 12 6.0 0.0 0.0 6 14 6.0 13 6.0 −180 0 19 6.0 0.0 0.0 19 12 1 0.0 0.0 12 0.0 12 0.0 0.0 0 12 0.0 0.0 0.0 0.0 0 2.5 Bài tốn 5: Miền tính tốn hình chữ nhật có hai trụ trịn thẳng đứng • Trường hợp 1: chia lưới dày xung quanh hình trụ thứ File input: 13 0.0 6.0 0.0 1 0.0 0.0 0 6.0 6.0 5.0 0.0 0.0 0 6.0 6.0 7.0 6.0 6.0 −180 0 6.0 6.0 12 0.0 0.0 0 6.0 12 6.0 14 6.0 13 −180 6.0 14 6.0 12 6.0 13 −180 6.0 12 6.0 7.0 0.0 0.0 6.0 6.0 5.0 6.0 6.0 −180 0 6.0 6.0 0.0 0.0 0.0 0 6.0 12 0.0 1 0.0 0.0 0 12 12 19 0.0 0.0 0 12 19 0.0 19 0.0 0.0 0.0 19 0.0 0.0 0.0 0.0 0 0 0 0 • Trường hợp 2: chia lưới dày xung quanh hình trụ thứ hai File input: 13 0.0 6.0 0.0 1 0.0 0.0 0 6.0 6.0 5.0 0.0 0.0 0 6.0 6.0 7.0 6.0 6.0 −180 0 6.0 6.0 12 0.0 0.0 0 6.0 12 6.0 14 6.0 13 −180 6.0 14 6.0 12 6.0 13 −180 6.0 12 6.0 7.0 0.0 0.0 6.0 6.0 5.0 6.0 6.0 −180 0 6.0 6.0 0.0 0.0 0.0 0 6.0 12 0.0 1 0.0 0.0 0 12 12 19 0.0 0.0 0 12 19 0.0 19 0.0 0.0 0.0 19 0.0 0.0 0.0 0.0 0 0 0 0 • Trường hợp 3: chia lưới dày xung quanh hai hình trụ File input: 13 0.0 6.0 0.0 1 0.0 0.0 0 6.0 6.0 5.0 0.0 0.0 0 6.0 6.0 7.0 6.0 6.0 −180 0 6.0 6.0 12 0.0 0.0 0 6.0 12 6.0 14 6.0 13 −180 6.0 14 6.0 12 6.0 13 −180 6.0 12 6.0 7.0 0.0 0.0 6.0 6.0 5.0 6.0 6.0 −180 0 6.0 6.0 0.0 0.0 0.0 0 6.0 12 0.0 1 0.0 0.0 0 12 12 19 0.0 0.0 0 12 19 0.0 19 0.0 0.0 0.0 19 0.0 0.0 0.0 0.0 0 0 0 0 Kết Luận 1.Luận văn trình bày số phương pháp chia lưới khơng cấu trúc tự động, hai phương pháp hay sử dụng phương pháp chia lưới Delaunay Triangulation phương pháp tịnh tiến biên (Advancing Front method) 2.Áp dụng vào số toán học cho kết tốt 3.Tuy dừng trường hợp hai chiều thời gian có hạn kết luận văn sử dụng thực tế giải toán học phương pháp phần tử hữu hạn thể tích hữu hạn 4.Hướng phát triển luận văn: Tiếp tục mở rộng sang toán ba chiều tìm hiểu thêm số phương pháp chia lưới tự động phát triển Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tất Thắng, 2005, "Mơ hình số giải hệ phương trình nước nơng hai chiều lưới khơng cấu trúc, số kiểm nghiệm ứng dụng", Luận văn Thạc sĩ Cơ học, Trường Đại học Công nghệ - Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Benzley, S et al (1995), "Hexahedral mesh generation via the dual", of the 11th Symposium on Computational Geometry, C4C5, Vancouver, ACM Press [3] Blacker, T.D and Stephenson, M.B (1991) "Paving: a new approach to au- tomated quadrilateral mesh generation", International Journal for Numeri- cal Methods in Engineering, 32, pp 811-847 [4] Ho-Le, K (1988), "Finite element mesh generation methods: a review and classification", Aided Design, 20, pp 27-38 [5] Mavriplis, D.J (1995) "Unstructured adaptivity",ICASE Report No 9526, NASA mesh generation [6] M Farrash Khalvat and J.P Miles (2003), "Basic Structured Grid Genera- tion With an introduction to unstructured grid generation", Elsivier Science [7] Joe F Thompson, Bharat K Soni, Nigel P Weatherill (1999), "Handbook Of Grid Generation", CRC press LLC [8] Vladimir D Liseikin (2010), "Grid Generation Methods", Second Edition, Springer Science + Business Media B.V [9] Olga V Ushakova (2007), "Advances In Grid Generation", Nova Science Publishers, Inc ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Thủy CÁC PHƯƠNG PHÁP TẠO LƯỚI TỰ ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG TÍNH TỐN CƠ HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: Cơ học chất... phương pháp chia lưới tự động có cấu trúc phương pháp chia lưới tự động không cấu trúc Một ví dụ đơn giản lưới có cấu trúc lưới Đề -Các Các nút lưới lưới (hình chữ nhật) giao đường lưới Lưới tạo. .. Chương 1: Một số phương pháp chia lưới tự động không cấu trúc Chương 2: Áp dụng số toán học Chương Một số phương pháp chia lưới tự động không cấu trúc 1.1 Phương pháp chia lưới Delaunay Triangulation