các phương pháp tạo lưới tự động và ứng dụng trong tính toán cơ học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Thủy CÁC PHƯƠNG PHÁP TẠO LƯỚI TỰ ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG TÍNH TOÁN CƠ HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội – 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Thủy CÁC PHƯƠNG PHÁP TẠO LƯỚI TỰ ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG TÍNH TOÁN CƠ HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: Cơ học chất lỏng Mã số: 60 44 22 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Trần Văn Trản Hà Nội – 2011 Mục lục Lời cảm ơn 1 Lời mở đầu 4 1 Một số phương phá p chia lưới tự động không cấu trúc 6 1.1 Phương pháp chia lưới Delaunay Triangulation . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Cơ sở hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Thiết lập hệ tam giá c ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4 Thuật toán Bowyer - Watson . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5 Các phương pháp chèn điểm mới . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.6 Hạn chế hình dạng của hệ tam giác Delaunay . . . . . . 18 1.1.7 Phép chia lưới Delaunay triangulation trong không gian ba chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2 Phương pháp tịnh t i ến b i ên (Advancing Front) . . . . . . . . . . 21 1.2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.2 Điều khiển lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.3 Thuật toán AFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.2.4 Sự thích n ghi và không gian tham số . . . . . . . . . . . . 35 1.2.5 Cải th i ện chất lượng lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.3 Phương pháp tạo lưới không cấu trúc sử dụng thuật toán chèn điểm tự động và tái kết nối địa phương . . . . . . . . . . . . . . 37 1.3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.3.2 Phương pháp chia lưới AFLR . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.4 Các phương pháp chồn g tạo lưới tứ giác và lục giác . . . . . . . 45 1.4.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.4.2 Các phương pháp chồn g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.5 Một số phương pháp đang được phát triển . . . . . . . . . . . . 52 2 Áp dụng trong một số bài toán cơ học 54 2.1 Bài toán 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.2 Bài toán 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.3 Bài toán 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2 2.4 Bài toán 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.5 Bài toán 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3 Lời mở đầu Ngày nay phương pháp chia lưới tự động đã trở thành một công cụ khá phổ biến trong việc sử dụng nghiệm số của phương trình vi ph ân từng phần trên các miền có hình dạng bất kì. Trong những năm gần đây, phương pháp chia lưới tự động đang được phát triển rộng rãi, đầu tiên trong cơ học kết c ấ u và cơ học vật rắn, sau đó l à trong tính toán độn g lực học chất lỏng. Phương pháp chia lưới tự động đã cung cấp chìa khóa để giả i quyết các vấn đề về hình dạng biên từ phương pháp sai phân hữu hạn và được sử dụng trong việc xác định các điểm nút trong phương pháp phần tử hữu h ạn. Với m ạng lưới như vậy tất cả các thuật toán số, sai phân hữu hạn hay phần tử hữu hạn đều thực hiện được trên miền tính toán có hình dạng và đường biên bất kì. Các ph ươ ng pháp chia lưới tự động bao gồm hai loại: phương pháp chia lưới tự động có cấu trúc và phương pháp chia lưới tự động không cấu trúc. Một ví dụ đơ n giản nhất về lưới có cấu t rúc là lưới Đề-Các. Các n út lưới và ô lưới (hình chữ nhật) là giao của các đường lưới. Lưới này được tạo ra một cách dễ dàng và nhanh chóng. Tuy nhiên nếu miền tính toán có biên trong và biên n g o ài là các đường cong thì để giải trên lưới Đ ề-Các yêu cầu phải xác định sơ đồ số ở gần các biên. Điều này thường khá khó. Hình 1: (a) Lưới Đề-Các, (b) body-fitted grid Một loại khác của lưới có cấu tr úc là body-fitted (trùng khít với miền tính toán). Về cơ bản lưới này khá giống lưới Đề-Các nhưng các ô lưới tứ giác có hình dạng phù hợp với biên. C ác phương pháp t ính toán đã được phát triển cho lưới Đề-Các có thể được chỉnh sửa để áp dụng cho lưới body-fitted thông 4 qua các ánh xạ lưới mà kh ô ng l àm thay đổi bản chất của chương trình số. Khó khăn trong việc thực hiện phương pháp này nằm trong việc tạo ra các nút lưới nhất là khi có nhiều vật cản bên trong miền tính toán. Không giống như lưới có cấu trúc, các nút lưới và các ô lưới của lưới không cấu trúc không phải là giao của các đường thẳn g song song. M ột ưu điểm của lưới không cấu trúc là các điểm nút có thể đặt trên biên của miền tính toán vì vậy khi áp dụng các phương pháp số thì lưới không cấu trúc cho độ chính xác cao hơn. Hơn thế nữa, lưới không cấu trúc cho phép các phần tử có kích thước khác nhau vì vậy có th ể biểu diễn chính xác biên của miền tính toán mà không cần một số lượng quá lớn các nút lưới và ô lưới. Khi miền tính toán có hình dạng phức tạp thì so với lưới có cấu trúc , lưới không cấu trúc có thể giúp cải thiện độ chính xác của nghiệm tổng thể, lưới không cấu trúc cũng đã được chứng mi nh là có khả năng thích nghi cao hơn trong các bài toán biên chuyển dịch hoặc dòng nhất thời. Về nguyên tắc, lưới không cấu trúc có thể bao gồm các ô có hình dạng bất kỳ, đượ c xây dựng bằng cách kết nối một điểm cho trước đến một số tùy ý các điểm khác, nhưng nói chung là được hợp thành từ các tam giác và tứ giác trong không gian hai chiều, c ác t ứ diện và lục giác trong không gian ba chiều. Ưu điểm của các lưới này l à chúng có khả năng thích nghi bằng cách cho phép chèn thêm các điểm mới vào, do đó chúng có thể làm việc với các miền tính toán có hình dạng phức tạp. Ở thời điểm hiện tại phương pháp chia lưới không cấu trúc đã được áp dụng trong khôn g g i an ba chiều. Tuy nhiên phương pháp chia lưới không cấu trúc dựa trên tam giác Delaunay thường xuyên được sử dụng nhất và đã được chứng minh là có khả năng thích nghi cao, phù hợp với các miền tính toán phức tạp. Các lưới này cho phép bổ sung thêm các nút lưới mới vào hệ tam giác đã tồn tại chỉ ảnh hưởng đến cấu trúc lưới địa phương mà không ảnh hưởng đến cấu trúc lưới tổng thể. Trong luận văn này giới thiệu hai phương pháp chia lưới không cấu trúc hay được sử dụng: phương pháp chia lưới Delaunay Triangulation và phương pháp tịnh tiến biên (Advancing Front method). Ngoài ra hai phương pháp đang được phát triển: Phương pháp tạo lưới không cấu trúc sử dụng thuật toán chèn điểm tự động và tái kết nối địa phương và phương pháp chồng tạo lưới tứ giác và lục giác cũng được trình bày trong luận văn. * Nội dung luận văn gồm 2 chương: Chương 1: Một số phương pháp chia lưới tự động không cấu tr úc. Chương 2: Áp dụng tron g một số bài toán cơ học. 5 Chương 1 Một số phương pháp chia lưới tự động không cấu trúc 1.1 Phương pháp chia lưới Delaunay Triangulation 1.1.1 Giới thiệu Phương pháp Delaunay Triangulation là một trong các phương pháp chia lưới không cấu trúc đã được ph át triển từ rất sớm [8]. Phương pháp này dựa trên tiêu chuẩn Delaunay (hay còn gọi là tiêu chuẩn vòn g tròn ngoại tiếp trống): Siêu cầu của mỗi đơn hình trong kh ô ng gian n - chiều được xác định bởi n + 1 điểm trong đó không có bất kỳ điểm nút nào khác của lưới. Ví dụ trong không gian ba chiều, bốn đỉnh của một t ứ diện xác định một mặt cầu và mặt cầu này không chứa các điểm nút khác của lưới t ứ diện. Trong không gian hai chiều, hệ tam giác thu được dựa trên tiêu chuẩn Delaunay được gọi là hệ tam giác Delaunay. Hệ tam giác này được áp dụng rất phổ biến trong thực hà nh vì chúng có các đặc điểm tối ưu sau: • Các tam giác Delaunay là các tam giác xấp xỉ đều; • Góc lớn nhất của ta m giác được cực tiểu hóa; • Góc nhỏ nhất của tam giác được cực đại hóa. Với các đặc điểm này hệ tam giác D elaunay sẽ khô ng bị quá biến dạng hoặc quá méo mó. Tiêu chuẩn Delaunay không đưa ra bất kỳ một sự chỉ dẫn nào như là các điểm lưới nên được định nghĩa và liên kết với nhau như thế nào? Một hạn chế nữa của tiêu chuẩn Delaunay đó l à có khả năng không thể áp dụng tiêu chuẩn này trên toàn bộ miền t ính toán với các tam giác biên xác định t rước . Nhược điểm này đưa ra hai cách tiếp cận chia lưới t am giác có bảo toàn liên kết biên và vẫn áp dụng tiêu chuẩn Delaunay. Trong cách tiếp cận thứ nhất tiêu chuẩn Delaunay được bỏ qua tại các điểm gần biên và h ệ quả 6 là biên của lưới trước vẫn còn nguyên vẹn. Để kết hợp với kỹ thuật này, các điểm được thêm vào dưới dạng một sơ đồ để đảm bảo không xảy ra sự phá hủy biên. Cách tiếp cận thứ hai, áp dụng tiêu chuẩn Delaunay trên toàn miền tính toán, sau đó khôi phục lại biên ban đầu bằng cách bỏ đi các đơn hình nằm bên ngoài miền tính toán [1]. Có rất nhiều thuật toán tạo lưới không cấu trúc dựa trên tiêu chuẩn De- launay, chẳng hạn có m ột số thuật toán sử dụng phương pháp chia lưới có cấu trúc tạo ra sự phân bố các điểm nút lưới trước sau đó các điểm nút lưới này được kết nối để th u được các tam giác thỏa mãn các tiêu chuẩn hình h ọc nào đó (tương đương với tiêu chuẩn Delaunay). Tuy nhiên thuật toán chúng ta hay sử dụng là thuật toán Bowyer - Watson. Thuật toán này có thể áp dụng với không gian n - chiều bất kỳ. Thuật toán bắt đầu từ một hệ tam giác của một vài điểm, sau đó tiếp tục tại mỗi bước ta thêm các điểm mới vào hệ tam giác hiện tại và tái thiết lập hệ tam giác một cách địa phương. Quá trình này cho phép chúng ta cải thiện được chất lượng lưới trong khuôn khổ của tiêu chuẩn Delaunay. Điểm khác biệt của thuật toán này là vị trí các điểm và các liên kết được tính toán một cách đồng thời. 1.1.2 Cơ sở hình học • Định nghĩa ô lồi Một ô lồ i n - chiều S là một bao lồi của n + k điểm P 1 , , P n+k (k>1) m à các điểm này không cùng nằm trong một m ặt phẳng (n −1) - chiều. Như vậy S bao gồm các điểm x ∈ R n thỏa mãn x = n+k ∑ i=1 α i P i , n+k ∑ i=1 α i = 1, 1 ≥ α i ≥ 0. Gọi tất cả các điểm P l của tập P i , i = 1, , n + k nằm trên biên của S là các đỉnh của ô lồi S. Một mặt m - chiều của ô lồi n - chiều S (n > m) được gọi là bao lồi của m + 1 đỉnh P l , và bao lồi này không chứa bất kỳ một đỉnh nào khác của S. Ta nói ô S là lồi mạnh nếu nó không có hai mặt bất kỳ cùng nằm trong mặt phẳng m - chiều với mọi m < n Nếu P là một điểm nằm t ron g ô lồi mạnh S với các đỉnh P 1 , , P n+k thì P = n+k ∑ i=1 α i P i , n+k ∑ i=1 α i = 1, α i ≥ 0, i = 1, , n + k, 7 Hình 1.1: Ô lồi (bên trái) và ô tứ diện lồi mạnh (bên phải) • Đơn hình và các ô đơn hình Một phần tử đơn giản nhất n - chiều được sử dụng để rời rạc hóa miền tính toán được gọi là một ô n - chiều. Ô này là bao của n + 1 điểm x 1 , , x n+1 mà không cùng nằm trong bất kỳ m ặt phẳng (n − 1) - chiều nà o. Những ô như thế được gọi là các đơn hình. Như vậy một đơn hình được tạo nên bởi các điểm x ∈ R n thỏa mãn x = n+1 ∑ i=1 α i x i , i = 1, , n + 1, n+1 ∑ i=1 α i = 1, α i ≥ 0, Đơn hình này là một ô lồi mạnh có các đỉnh là x 1 , , x n+1 . Chẳng hạn một đơn hình ba chiều là một tứ diện có các đỉnh là x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , một đơn hình hai chiều là một tam giác, đơn hình một chiều là một đoạn thẳng. Mỗi mặt m - chiều của đơn hình là một đơn hình m - chiều được định nghĩa qua m + 1 đỉnh. Điểm x l à một điểm trong của đơn hình nếu α > 0 với mọi i = 1, , n + 1. Trong thực hành, để rời rạc hóa miền tính toán, ta hay sử dụng các ô lồi có các mặt biên là các đơn hình. Những ô như vậy được gọi là các ô đơn hình. Gọi N i , i = 1, , n, là số mặt đơn hình i - chiều của S, và N 0 là số đỉnh của S. Ta có n−1 ∑ i=k ( −1 ) i   i + 1 k + 1   N i = ( −1 ) n−1 N k , k = −1, , n −2, N −1 = 1,   l m   = l ( l −1 ) ( l −m + 1 ) m! , m ≥ 1,   l 0   = 1, 8 • Tính nhất quán của lưới Bằng một phép rời rạc phù hợp chúng ta thu được một tập hợp các điểm V ∈ R n và một tập các ô lồi mạnh T thỏa mãn các điều kiện sau: 1. Tập hợp các đỉnh của các ô của T trùng với V; 2. Nếu hai ô khác nhau S 1 và S 2 giao nha u, thì miền giao nhau đó là m ặt chung của cả hai ô. Hình 1.2: Các ô giao nhau chấp nhận được (a) và không chấp nh ận được (b, c, d) Tập hợp các ô của một phép rời rạc phù hợp tạo th ành một miền kết nối đơn giản n - chiều. Gọi N i , i > 0 là số lượng các m ặt biên i - chiều của miền rời rạc, N 0 là số đỉnh của biên, theo định lý Euler ta có: n−1 ∑ i=0 ( −1 ) i N i = 1 + ( −1 ) n−1 biểu thức trên được sử dụng để xác định tính nhất quán của lưới. • Lưới tổ ong Dirichlet Xét một tập tùy ý gồm các điểm P i , i = 1, 2, , N trong một mi ền xác định n - chiều. Với mỗi điểm P i chúng ta xác định một miền V(P i ) trong R n bao gồm các điểm có khoảng cách tới P i nhỏ hơn tới các điểm P j khác. V i =  x ∈ R n | d ( x, P i ) ≤ d  x, P j  , i = j, j = 1, , N  , trong đó d(a, b) là khoảng cách giữa hai điểm a, b. Các miền V i này được gọi là các khối đa diện Voronoi. Do các khối đa diện là giao của các bán không gian nên chúng là các đa diện lồi, nhưng không cần thiết là bị chặn. Mặt biên chung của hai Voronoi của hai điểm V(P i ) và V(P j ) là một đa giác (n − 1) - chiều. Cặp điểm P i và P j được gọi là cặp cấu hình nếu các khối đa diện Voronoi c ủa chúng có một mặ t chung. Bằng cách kết nối các điểm kề nhau ta sẽ thu được một lưới. Trong lưới này, tập hợp n + 1 điểm cùng kề với một điểm khác tạo thành một đơn hình n - chiều. Tâm của bất kỳ một đơn hình nào cũng sẽ là 9 [...]... vào một cách tuần tự, nên lưới ban đầu rất thô, số lượng các nút lưới ít và các phần tử lưới là các tam giác rất lớn Ví dụ trong không gian hai chiều chúng ta có thể tạo ra lưới ban đầu bằng cách chia một hình vuông nằm trong miền tính toán (hoặc chứa miền tính toán) thành hai tam giác Sau đó các điểm bên trong và các điểm biên được thêm vào một cách liên tiếp để xây dựng các tam giác liên tiếp cho... điểm lưới là nghiệm của phương trình vi phân từng phần 1.1.5 Các phương pháp chèn điểm mới Hệ tam giác Delaunay ban đầu dựa trên việc lựa chọn các điểm biên và áp dụng thuật toán Bowyer - Watson chèn các điểm một cách tuần tự vào bên trong miền tính toán tại các điểm được lựa chọn và xây dựng lại hệ tam giác bao gồm các điểm mới Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày hai cách tiếp cận để chèn các điểm vào... miền tính toán, nói cách khác là tính nguyên vẹn của biên không được bảo toàn và cần thiết phải thực hiện thêm một số bước nữa Phương pháp tịnh tiến biên (AFT) được George đưa ra lần đầu tiên năm 1971, là phương pháp tạo lưới không cấu trúc bảo toàn tính nguyên vẹn của biên và có thể tạo ra các tam giác có bán kính tỉ lệ cao ở các vùng lớp biên Khi sử dụng phương pháp này các đường biên ngoài và biên trong. .. rạc thành các đoạn thẳng bằng cách chọn phân bố các nút trên biên của miền tính toán [6] Tập hợp các cạnh biên này hợp thành một ’front’ ban đầu front sẽ di chuyển vào bên trong miền tính toán khi các điểm nút mới và các cạnh mới được tạo thành Các phần tử tam giác được tạo thành bằng cách xóa các cạnh cũ đi Các đỉnh của một phần tử tam giác mới bao gồm hai nút của một đoạn thẳng của một front và một... miền tính toán Trong trường hợp không có lưới nền được cung cấp thì một lưới nền mặc định sẽ được tạo ra dựa trên các quy tắc thực nghiệm bao gồm hai phần tử tam giác yêu cầu đồng nhất mật độ lưới Giá trị tham số kích thước δ được lấy bằng 5% chiều dài đường chéo của lưới nền và lưới đầu tiên được tạo ra sẽ là lưới nền cho lưới tiếp theo Để cải thiện phương pháp trong trường hợp biên của miền tính toán. .. trên các trục ox, oy Các giá trị của bốn tham số này cần được chỉ rõ tại mỗi nút của lưới nền Lưới nền ban đầu thường do người sử dụng tạo ra và có thể khá không mịn đặc biệt là đối với các miền tính toán phức tạp Ví dụ một lưới nền có thể chỉ gồm một 22 phần tử hoặc hai phần tử tam giác, tuy nhiên lưới nền cần phải thỏa mãn yêu cầu về sự biến đổi tuyến tính của các tham số trong miền tính toán Lưới. .. chính của thuật toán AFT đó là sự sinh ra đồng thời của các nút lưới và các ô lưới tam giác Mỗi một tam giác mới ngay khi vừa sinh ra sẽ được kiểm tra một cách địa phương Dưới đây là các bước của thuật toán AFT: 1 Thiết lập một ’front’ lưới ban đầu và một tập hợp các đoạn thẳng định hướng liên kết các điểm đã được chọn trên biên Nội suy các tham số lưới cho tất cả các nút trên front Tất cả các nút trên... phương pháp chia lưới nào ta cũng đều phải quan tâm đến kích thước và hình dạng của ô lưới Đối với phương pháp tịnh tiến biên (trong không gian 2 chiều) để thu được các ô lưới với các đặc điểm yêu cầu ta thực hiện lần lượt hai bước sau: • Định nghĩa các đặc điểm yêu cầu của ô lưới; • Tạo ra một lưới nền ban đầu Để thu được lưới với các đặc điểm yêu cầu, ta cần chỉ rõ sự phân bố không gian của các tham... cạnh biên Các tứ diện được biến đổi một cách địa phương thành các tứ diện mới có hiện diện các cạnh yêu cầu Để khôi phục lại các mặt biên ta cũng thực hiện quá trình tương tự 1.2 1.2.1 Phương pháp tịnh tiến biên (Advancing Front) Giới thiệu Trong một số bài toán, việc sử dụng phương pháp Delaunay Triangulation có thể thu được lưới không thỏa mãn Chẳng hạn như bài toán xác định dòng chảy nhớt Bài toán này... giao của các đoạn biên ban đầu, các tam giác này có thể được mở rộng vào bên trong miền tính toán Khi các lớp gần biên đã được phủ bằng các tam giác đã được kéo dãn (có bán kính tỉ lệ cao) thì phần còn lại của miền tính toán có thể được phủ theo thuật toán AFT đã được mô tả ở trên Chúng ta cũng có thể thu được các tam giác kéo dãn bằng phép biến đổi toán học: Trước hết chúng ta sẽ tạo ra lưới gồm các tam . ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Thủy CÁC PHƯƠNG PHÁP TẠO LƯỚI TỰ ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG TÍNH TOÁN CƠ HỌC LUẬN. được trên miền tính toán có hình dạng và đường biên bất kì. Các ph ươ ng pháp chia lưới tự động bao gồm hai loại: phương pháp chia lưới tự động có cấu trúc và phương pháp chia lưới tự động không. pháp chia lưới tự động đang được phát triển rộng rãi, đầu tiên trong cơ học kết c ấ u và cơ học vật rắn, sau đó l à trong tính toán độn g lực học chất lỏng. Phương pháp chia lưới tự động đã cung