Các phương pháp tạo lưới tự động và ứng dụng trong tính toán cơ học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Thủy CÁC PHƯƠNG PHÁP TẠO LƯỚI TỰ ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG TÍNH TỐN CƠ HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội – 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Thủy CÁC PHƯƠNG PHÁP TẠO LƯỚI TỰ ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG TÍNH TỐN CƠ HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: Cơ học chất lỏng Mã số: 60 44 22 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Văn Trản Hà Nội – 2011 Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Một số phương pháp chia lưới tự động không cấu trúc 1.1 Phương pháp chia lưới Delaunay 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.1.6 1.1.7 1.2 Phương pháp tịnh tiến biên (Adva 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.3 Phương pháp tạo lưới khơng cấu trúc sử dụng thuật tốn chèn điểm tự động tái kết nối địa ph 1.3.1 1.3.2 1.4 Các phương pháp chồng tạo lưới 1.4.1 1.4.2 1.5 Một số phương pháp Áp dụng số toán học 2.1 Bài toán 2.2 Bài toán 2.3 Bài toán 2.4 Bài toán 2.5 Bài toán Tài liệu tham khảo Lời mở đầu Ngày phương pháp chia lưới tự động trở thành công cụ phổ biến việc sử dụng nghiệm số phương trình vi phân phần miền có hình dạng Trong năm gần đây, phương pháp chia lưới tự động phát triển rộng rãi, học kết cấu học vật rắn, sau tính tốn động lực học chất lỏng Phương pháp chia lưới tự động cung cấp chìa khóa để giải vấn đề hình dạng biên từ phương pháp sai phân hữu hạn sử dụng việc xác định điểm nút phương pháp phần tử hữu hạn Với mạng lưới tất thuật toán số, sai phân hữu hạn hay phần tử hữu hạn thực miền tính tốn có hình dạng đường biên Các phương pháp chia lưới tự động bao gồm hai loại: phương pháp chia lưới tự động có cấu trúc phương pháp chia lưới tự động khơng cấu trúc Một ví dụ đơn giản lưới có cấu trúc lưới ĐềCác Các nú t lưới lưới (hình chữ nhật) giao đường lưới Lưới tạo cách dễ dàng nhanh chóng Tuy nhiên miền tính tốn có biên biên ngồi đường cong để giải lưới ĐềCác yêu cầ u phải xác định sơ đồ số gần biên Điều thường khó Hình 1: (a) Lưới ĐềCác, (b) bodyfitted grid Một loại khác lưới có cấu trúc bodyfitted (trùng khít v ới miền tính tốn) Về lưới giống lưới ĐềCác lưới tứ giác có hình dạng phù hợp với biên Các phương pháp tính tốn phát triển cho lưới ĐềCác chỉnh sửa để áp dụng cho lưới bodyf itted thông qua ánh xạ lưới mà không làm thay đổi chất chương trình số Khó khăn việc thực phương pháp nằm việc tạo nút lưới có nhiều vật cản bên miền tính tốn Khơng giống lưới có cấu trúc, nút lưới ô lưới lưới không cấu trúc giao đường thẳng song song Một ưu điểm lưới không cấu trúc điểm nút đặt biên miền tính tốn áp dụng phương pháp số lưới khơng cấu trúc cho độ xác cao Hơn nữa, lưới không cấu trúc cho phép phần tử có kích thước khác biểu diễn xác biên miền tính tốn mà khơng cần số lượng q lớn nút lưới lưới Khi miền tính tốn có hình dạng phức tạp so với lưới có cấu trúc, lưới khơng cấu trúc giúp cải thiện độ xác nghiệm tổng thể, lưới khơng cấu trúc chứng minh có khả thích nghi cao tốn biên chuyển dịch dòng thời Về nguyên tắc, lưới khơng cấu trúc bao gồm có hình dạng bất kỳ, xây dựng cách kết nối điểm cho trước đến số tùy ý điểm khác, nói chung hợp thành từ tam giác tứ giác không gian hai chiều, tứ diện lục giác không gian ba chiều Ưu điểm lưới chúng có khả thích nghi cách cho phép chèn thêm điểm vào, chúng làm việc với miền tính tốn có hình dạng phức tạp Ở thời điểm phương pháp chia lưới không cấu trúc áp dụng không gian ba chiều Tuy nhiên phương pháp chia lưới không cấu trúc dựa tam giác Delaunay thường xuyên sử dụng chứng minh có khả thích nghi cao, phù hợp với miền tính tốn phức tạp Các lưới cho phép bổ sung thêm nút lưới vào hệ tam giác tồn ảnh hưởng đến cấu trúc lưới địa phương mà không ảnh hưởng đến cấu trúc lưới tổng thể Trong luận văn giới thiệu hai phương pháp chia lưới không cấu trúc hay sử dụng: phương pháp chia lưới Delaunay Triangulation phương pháp tịnh tiến biên (Advancing Front method) Ngoài hai phương pháp phát triển: Phương pháp tạo lưới khơng cấu trúc sử dụng thuật tốn chèn điểm tự động tái kết nối địa phương phương pháp chồng tạo lưới tứ giác lục giác trình bày luận văn * Nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: Một số phương pháp chia lưới tự động không cấu trúc Chương 2: Áp dụng số toán học Chương Một số phương pháp chia lưới tự động không cấu trúc 1.1 Phương pháp chia lưới Delaunay Triangulation 1.1.1 Giới thiệu Phương pháp Delaunay Triangulation phương pháp chia lưới không cấu trúc phát triển từ sớm [8] Phương pháp dựa tiêu chuẩn Delaunay (hay gọi tiêu chuẩn vòng tròn ngoại tiếp trống): Siêu cầu đơn hình không gian n chiều xác định n + điểm khơng có điểm nút khác lưới Ví dụ khơng gian ba chiều, bốn đỉnh tứ diện xác định mặt cầu mặt cầu không chứa điểm nút khác lưới tứ diện Trong không gian hai chiều, hệ tam giác thu dựa tiêu chuẩn Delaunay gọi hệ tam giác Delaunay Hệ tam giác áp dụng phổ biến thực hành chúng có đặc điểm tối ưu sau: • Các tam giác Delaunay tam giác xấp xỉ đều; • Góc lớn tam giác cực tiểu hóa; • Góc nhỏ tam giác cực đại hóa Với đặc điểm hệ tam giác Delaunay không bị biến dạng q méo mó Tiêu chuẩn Delaunay khơng đưa dẫn điểm lưới nên định nghĩa liên kết với nào? Một hạn chế tiêu chuẩn Delaunay có khả khơng thể áp dụng tiêu chuẩn tồn miền tính tốn với tam giác biên xác định trước Nhược điểm đưa hai cách tiếp cận chia lưới tam giác có bảo tồn liên kết biên áp dụng tiêu chuẩn Delaunay Trong cách tiếp cận thứ tiêu chuẩn Delaunay bỏ qua điểm gần biên hệ biên lưới trước nguyên vẹn Để kết hợp với kỹ thuật này, điểm thêm vào dạng sơ đồ để đảm bảo không xảy phá hủy biên Cách tiếp cận thứ hai, áp dụng tiêu chuẩn Delaunay tồn miền tính tốn, sau khơi phục lại biên ban đầu cách bỏ đơn hình nằm bên ngồi miền tính tốn [1] Có nhiều thuật tốn tạo lưới khơng cấu trúc dựa tiêu chuẩn De launay, chẳng hạn có số thuật tốn sử dụng phương pháp chia lưới có cấu trúc tạo phân bố điểm nút lưới trước sau điểm nút lưới kết nối để thu tam giác thỏa mãn tiêu chuẩn hình học (tương đương với tiêu chuẩn Delaunay) Tuy nhiên thuật toán hay sử dụng thuật tốn Bowyer Watson Thuật tốn có t hể áp dụng với không gian n chiều Thuật toán hệ tam giác vài điểm, sau tiếp tục bước ta thêm điểm vào hệ tam giác tái thiết lập hệ tam giác cách địa phương Quá trình cho phép cải thiện chất lượng lưới khuôn khổ tiêu chuẩn Delaunay Điểm khác biệt thuật toán vị trí điểm liên kết tính tốn cách đồng thời 1.1.2 Cơ sở hình học • Định nghĩa ô lồi Một ô lồi n chiều S bao lồi n + k điểm P1 , , Pn+k (k>1) mà điểm không nằm mặt phẳng (n − 1) chiều Như n S bao gồm điểm x ∈ R thỏa mãn n+k x = ∑ α i Pi , i=1 n+k i=1 Gọi tất điểm Pl tập Pi , i = 1, ., n + k nằm biên S đỉnh ô lồi S Một mặt m chiều ô lồi n chiều m + đỉnh Pl , bao lồi không chứa đỉnh khác S Ta nói S lồi mạnh khơng có hai mặt nằm mặt phẳng m chiều với m < n Nếu P điểm nằm ô lồi mạnh S với đỉnh P1 , , Pn+k n+k i P = ∑ α Pi , i=1 Hình 1.1: Ơ lồi (bên trái) ô tứ diện lồi mạnh (bên phải) • Đơn hình đơn hình Một phần tử đơn giản n chiều sử dụng để rời rạc hóa miền tính tốn gọi n chiều Ơ bao n + điểm x1, ., xn+1 mà không nằm mặt phẳng (n − 1) chiều Những gọi đơn hình Như đơn hình tạo nên điểm n x ∈ R thỏa mãn n+1 i=1 Đơn hình lồi mạnh có đỉnh x1, ., xn+1 Chẳng hạn đơn hình ba chiều tứ diện có đỉnh x1, x , x3 , x4 , đơn hình hai chiều tam giác, đơn hình chiều đoạn thẳng Mỗi mặt m chiều đơn hình đơn hình m chiều định nghĩa qua m + đỉnh Điểm x điểm đơn hình α > với i = 1, , n + Trong thực hành, để rời rạc hóa miền tính tốn, ta hay sử dụng lồi có mặt biên đơn hình Những gọi đơn hình Gọi Ni , i = 1, , n, số mặt đơn hình i chiều S, N0 số đỉnh S Ta có n−1 1) ∑( − i=k k = −1, , n − 2, l m i • Trường hợp 3: chia lưới dày nguồn nhiệt, cửa hút cửa xả File input: 10 0.0 4.0 6.0 10 10 10 10 10 0.0 10 30 0.0 0.0 0 0.0 10 0.0 6.0 10 0.0 0.0 0 0.0 0.0 57 2.2 Bài tốn 2: Miền tính tốn hình chữ nhật có hình chữ nhật nhỏ File input: 11 0.0 6.0 6.0 4.0 4.0 4.0 2.0 2.0 4.0 4.0 0.0 58 2.3 Bài toán 3: Miền tính tốn hình chữ nhật có trụ trịn 59 • Trường hợp 1: chia lưới dày nửa vòng tròn bên File input: 0.0 14 14 8.0 6.0 8.0 14 14 0.0 60 • Trường hợp 2: chia lưới dày nửa vòng tròn bên File input: 0.0 14 14 8.0 6.0 8.0 14 14 0.0 61 • Trường hợp 3: chia lưới dày xung quanh vòng tròn File input: 0.0 14 14 8.0 6.0 8.0 14 14 0.0 62 2.4 Bài tốn 4: Miền tính tốn hình chữ nhật có hai trụ trịn nằm ngang • Trường hợp 1: chia lưới dày xung quanh hình trụ thứ File input: 13 0.0 19 19 14 12 7.0 5.0 7.0 12 14 19 19 0.0 63 • Trường hợp 2: chia lưới dày xung quanh hình trụ thứ hai File input: 13 0.0 19 19 14 12 7.0 5.0 7.0 12 14 19 19 0.0 64 • Trường hợp 3: chia lưới dày xung quanh hai hình trụ File input: 13 0.0 19 19 14 12 7.0 5.0 7.0 12 14 19 19 0.0 65 2.5 Bài tốn 5: Miền tính tốn hình chữ nhật có hai trụ trịn thẳng đứng • Trường hợp 1: chia lưới dày xung quanh hình trụ thứ 66 File input: 13 0.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 12 12 0.0 67 • Trường hợp 2: chia lưới dày xung quanh hình trụ thứ hai File input: 13 0.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 12 12 0.0 68 • Trường hợp 3: chia lưới dày xung quanh hai hình trụ File input: 13 0.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 12 12 0.0 69 Kết Luận Luận văn trình bày số phương pháp chia lưới không cấu trúc tự động, hai phương pháp hay sử dụng phương pháp chia lưới Delaunay Triangulation phương pháp tịnh tiến biên (Advancing Front method) Áp dụng vào số toán học cho kết tốt Tuy dừng trường hợp hai chiều thời gian có hạn kết luận văn sử dụng thực tế giải toán học phương pháp phần tử hữu hạn thể tích hữu hạn Hướng phát triển luận văn: Tiếp tục mở rộng sang tốn ba chiều tìm hiểu thêm số phương pháp chia lưới tự động phát triển 70 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tất Thắng, 2005, "Mơ hình số giải hệ phương trình nước nơng hai chiều lưới không cấu trúc, số kiểm nghiệm ứng dụng", Luận văn Thạc sĩ Cơ học, Trường Đại học Công nghệ Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Benzley, S et al (1995), "Hexahedral mesh generation via the dual", of the 11th Symposium on Computational Geometry, C4C5, Vancouver, ACM Press [3] Blacker, T.D and Stephenson, M.B (1991) "Paving: a new approach to au tomated quadrilateral mesh generation", International Journal for Numeri cal Methods in Engineering, 32, pp 811847 [4] HoLe, K (1988), "Finite element mesh generation metho ds: a review and classification", Aided Design, 20, pp 2738 [5] Mavriplis, D.J (1995) "Unstructured mesh generation adaptivity",ICASE Report No 9526, NASA [6] M Farrash Khalvat and J.P Miles (2003), "Basic Structured Grid Genera tion With an introduction to unstructured grid generation", Elsivier Science [7] Joe F Thompson, Bharat K Soni, Nigel P Weatherill (1999), "Handbook Of Grid Generation", CRC press LLC [8] Vladimir D Liseikin (2010), "Grid Generation Methods", Second Edition, Springer Science + Business Media B.V [9] Olga V Ushakova (2007), "Advances In Grid Generation", Nova Science Publishers, Inc 71 ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Thủy CÁC PHƯƠNG PHÁP TẠO LƯỚI TỰ ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG TÍNH TỐN CƠ HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: Cơ học chất... biên Các phương pháp chia lưới tự động bao gồm hai loại: phương pháp chia lưới tự động có cấu trúc phương pháp chia lưới tự động không cấu trúc Một ví dụ đơn giản lưới có cấu trúc lưới Đ? ?Các Các... Dưới phương pháp hay sử dụng thực hành 1.4.2 Các phương pháp chồng Các phương pháp chồng từ viết tắt dùng để lớp thuật toán chia lưới sử dụng chiến lược Các phương pháp bắt đầu với lưới tạo cách