Môt số tích chập suy rộng với hàm trọng hermite của các biến đổi tích phân dạng fourier và ứng dụng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN −−−−−−−−− NGUYEN TH± THU HUYEN M®T SO TCH CHắP SUY RđNG VộI HM TRONG HERMITE CUA CC BIEN ĐOI TÍCH PHÂN DANG FOURIER VÀ ÚNG DUNG Chuyên ngành: Tốn giai tích Mã so: 62 46 01 01 TểM TAT LUắN N TIEN S TON HOC H Nđi - 2012 Cơng trình đưoc hồn thành tai: Trưịng Đai hoc Khoa hoc Tu nhiên, Đai hoc Quoc gia Hà N®i Ngưịi hưóng dan khoa hoc: PGS TS Nguyen Minh Tuan Phan bi¾n 1: GS.TSKH Lê Hùng Sơn Trưàng Đai HQc Bỏch khoa H Nđi Phan biắn 2: PGS.TS H Tien Ngoan Vi¾n Tốn HQc, Vi¾n KH&CN Vi¾t Nam Phan bi¾n 3: TS Cung The Anh Trưàng Đai HQc Sư pham H Nđi LuÔn ỏn se oc bao vắ trúc Hđi ong cap nh núc cham luÔn ỏn tien s hop tai Trưòng Đai hoc Khoa hoc Tu nhiên, Đai hoc Quoc gia Hà N®i vào hoi giị ngày tháng nm Cú the tỡm hieu luÔn ỏn tai th viắn: - Thư vi¾n Quoc gia Vi¾t Nam - Trung tâm Thụng tin th viắn, hoc Quoc gia H Nđi MUC LUC LèI CAM ĐOAN LèI CAM ƠN MUC LUC .4 CÁC KÝ HIfiU DÙNG TRONG LU¾N ÁN Me ĐAU Chương BIEN ĐOI FOURIER, FOURIER-SINE, FOURIER-COSINE VÀ HARTLEY 15 1.1 Bien đői tích phân Fourier 15 1.1.1 Đ%nh nghĩa tính chat ban 15 1.1.2 Tích ch¾p 22 1.2 Bien đői tích phân Fourier-sine, Fourier-cosine 28 1.3 Bien đői Hartley 38 Chng TCH CHắP SUY RđNG OI VộI MđT SO PHÉP BIEN ĐOI TÍCH PHÂN DANG FOURIER 49 2.1 Tích chắp suy rđng oi vúi cỏc bien i Fourier v Fourier ngưoc 49 2.2 Tớch chắp suy rđng liờn ket giua bien đői Fourier Hartley 55 2.3 Tích chắp suy rđng oi vúi cỏc bien i Fourier-sine v Fouriercosine 81 2.4 Tớch chắp suy rđng vúi hm TRQNG m®t tő hop tuyen tính huu han hàm Hermite 95 Chương ÚNG DUNG 97 d 3.1 Cau trúc vành đ%nh chuan L (R ) 97 3.2 Giai phương trình tích phân dang ch¾p vói nhân Hermite 104 3.3 Đánh giá bán kính phő cna m®t so tốn tu tích phân 131 KET LU¾N 141 DANH MUC CƠNG TRÌNH KHOA HOC CUA TÁC GIA LIÊN QUAN ĐEN LU¾N ÁN 142 TÀI LIfiU THAM KHAO 143 CÁC Kí HIfiU DNG TRONG LUắN N ã d l mđt so ngun dương cho trưóc • x, y ∈ Rd : x = (x1, x2, , xd), y = (y1, y2, , yd), −x = (−x1, −x2, , −xd), x + y = (x1 + y1, x2 + y2, ∫ , xd + yd) • L1 (Rd ) := {f : Rd → C : theo đ® đo Lebesgue • L2 (Rd ) := {f : Rd → C : theo đ® đo Lebesgue Rd ∫ Rd d • Vói f (x) ∈ L (R ), ǁf ǁ = (2π) |f (x)|dx < +∞}, tích phân lay |f (x)|2 dx < +∞}, tích phân lay ∫ d R |f (x)|dx • fˇ(x) := f (−x) • xy := (x, y) = x1y1 +x2y2 +· · ·+xdyd tích vơ hưóng cna x, y ∈ Rd, 2 2 |x| := (x, x) = x1 + x2 + · · · + xd • cas xy := cos xy + sin xy • α = (α1, , αd) ∈ Nd m®t đa chi so, |α| := α1 + · · · + αd • S = {f ∈ C ∞ (Rd ) : sup sup (1 + |x|2 )N |(Dα f )(x)| < ∞, ∀ N = |α|≤N x∈Rd 0, 1, 2, } không gian Schwartz (không gian hàm giam nhanh tai vơ cùng) • |α| |x| Φα(x) := (−1) e Dx e−|x| hàm Hermite đa chieu, Dα = ∂|α| x α α α ∂x 11 ···∂xd d • C ∞ (Rd ) = {f : Rd → C : D α f ∈ C(Rd ), ∀α mđt a chi so} ã C0(Rd) l khụng gian hàm liên tuc Rd, tri¾t tiêu tai vơ lay giá tr% C vói chuan ||f ||∞ = sup |f (x)| ∈ x Rd ∫ α ã Cho l mđt hm Hermite N :=d d α |Φ (x)| (2π) dx ràng,RõNRα > Các chuan (0), (1) cna f ∈ L1(Rd) lan lưot đưoc đ%nh nghĩa sau: ǁfǁ0 := ∫ |f (x)|dx, (0) Nα (2π) d R |f (x)|dx (1) d ∫R ǁfǁ1 d := 2Nα d (2π) • γ(x) = Φ0(x) = e1 − (hàm dang Gauss) |x| Me ĐAU L%ch sE van đe lý lEa cHQN đe tài Lý thuyet tích ch¾p đoi vói bien đői tích phân đưoc nghiên cúu m®t thịi gian dài, đưoc áp dung nhieu lĩnh vnc cna tốn HQc, v¾t lý, y HQc, sinh HQ c Cho đen nua đau cna the ky 20, tích ch¾p đưoc tìm thay nhung tích chắp khụng cú hm TRQNG cho mđt bien i tớch phân, đoi vói nhieu bien đői tích phân quen biet van chưa tìm đưoc tích ch¾p cho Sang nua sau cna the ky 20, rat nhieu tích ch¾p suy r®ng đoi vói bien đői tích phân úng dung cna chúng đưoc nghiên cúu thành công boi nhieu tác gia Đ¾c bi¾t, I N Sneddon (xem [24]) ngưịi đau tiên xây dnng thành cơng tích chắp suy rđng cho phộp bien i tớch phõn v xem xét úng dung cna chúng Đó tích chắp suy rđng cna hai hm f v g xỏc đ%nh (0, +∞) đoi vói bien đői tích phân Fourier-sine Fourier-cosine (f ∗ g) ∫ (x) = +∞ √ 2π f (y)[g(|x − y|) − g(x + y)]dy, x > 0 Tích ch¾p thoa mãn thúc nhân tu hóa Fs (f ∗ g)(x) = (Fs f )(x)(Fc g)(x), ∀ x > 0, phép bien đői Fourier-sine (Fs), bien đői Fourier-cosine (Fc) cna hàm f xác đ%nh (0, +∞) lan lưot cho boi công thúc sau (xem [8]) π (Fsf )(x) ∫ +∞ = π (Fcf )(x) = ∫ +∞ f (y) sin(xy)dy, f (y) cos(xy)dy, x > Ý tưong xây dnng tích ch¾p sau đưoc Y Ya Vilenkin phát trien vào năm 1958, lan đau tiên xây dnng đưoc tích ch¾p vói hàm TRQNG đoi vói bien đői tích phân Mehler Fox (xem [55]) ǁ n ... Tốn Tin ĐHBK Hà N®i CHƯƠNG BIEN ĐOI FOURIER, FOURIER- SINE, FOURIER- COSINE VÀ HARTLEY Các bien đői tích phân Fourier, Fourier- sine, Fourier- cosine, Hartley tích ch¾p đoi vói chúng đưoc nghiên... ĐOI TÍCH PHÂN DANG FOURIER 49 2.1 Tích ch¾p suy r®ng đoi vói bien đői Fourier Fourier ngưoc 49 2.2 Tớch chắp suy rđng liờn ket giua cỏc bien đői Fourier Hartley 55 2.3 Tích. .. đői tích phân, kĩ thu¾t đánh giá tích phân L1(Rd) đe chúng minh sn ton tai cna tích ch¾p Bên canh đó, lu¾n án cịn su dung kĩ thu¾t phép bien đői Fourier, Fouriersine, Fourier- cosine Hartley vào