Các phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ KIM THẢO CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN ĐÌNH SANG HÀ NỘI - NĂM 2015 Mục lục MỞ ĐẦU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Cách giải phương trình bậc ba 1.1.1 Phương pháp đạo hàm 1.1.2 Phương pháp biến đổi thông thường 1.2 Cách giải phương trình bậc bốn 1.2.1 Phương trình bậc bốn tổng quát 1.2.2 Phương trình x4 + cx2 + dx + e = 1.3 Một số bất đẳng thức 1.3.1 Bất đẳng thức AM - GM 1.3.2 Bất đẳng thức Cauchy 1.4 Tính chất hàm đơn điệu, khả vi ứng dụng 1.4.1 Tính đơn điệu hàm số 1.4.2 Định lý Rolle 1.4.3 Định lý Lagrange áp dụng 1.4.4 Định lý Cauchy áp dụng 1.5 Giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) hàm số tập hợp 1.5.1 Định nghĩa 1.5.2 Các điều kiện đủ 15 15 15 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 2.1 Phương pháp biến đổi tương đương biến đổi hệ 2.1.1 Nâng lũy thừa bậc chẵn hai vế phương trình 2.1.2 Lập phương hai vế phương trình i 5 8 10 10 11 11 11 12 12 13 17 17 17 21 2.2 2.3 2.4 2.5 2.1.3 Nhân liên hợp 2.1.4 Biến đổi đưa phương trình tích Phương pháp đặt ẩn phụ 2.2.1 Đặt ẩn phụ 2.2.2 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn 2.2.3 Đặt nhiều ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp 2.2.4 Đặt ẩn phụ đưa tích 2.2.5 Đặt nhiều ẩn phụ đưa hệ phương trình 2.2.5.1 Đặt ẩn phụ đưa hệ thông thường 2.2.5.2 Đặt ẩn phụ đưa hệ đối xứng loại II 2.2.5.3 Đặt ẩn phụ đưa hệ gần đối xứng Phương pháp đánh giá 2.3.1 Sử dụng đẳng thức 2.3.2 Sử dụng bất đẳng thức 2.3.3 Sử dụng tính chất hình học phẳng Phương pháp hàm số 2.4.1 Sử dụng tính chất hàm liên tục đơn điệu 2.4.2 Phương pháp định lý hàm khả vi Phương pháp lượng giác hóa 23 33 36 37 41 46 51 54 54 58 66 69 69 70 77 84 84 91 94 GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH THÔNG QUA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 103 3.1 Cơ sở lý thuyết 103 3.2 Bài tập áp dụng 104 KẾT LUẬN 110 Tài liệu tham khảo 111 ii MỞ ĐẦU Phương trình bất phương trình vô tỷ loại toán có vị trí đặc biệt quan trọng chương trình toán học bậc phổ thông Nó xuất nhiều kì thi học sinh giỏi kì thi tuyển sinh vào đại học Học sinh phải đối mặt với nhiều dạng toán phương trình bất phương trình vô tỷ mà phương pháp giải chúng lại chưa liệt kê sách giáo khoa Việc tìm phương pháp giải phương trình bất phương trình vô tỷ niềm say mê không người, đặc biệt người trực tiếp dạy toán Chính vậy, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy học tập, tác giả chọn đề tài "Các Phương Pháp Giải Phương Trình Và Bất Phương Trình Vô Tỷ" làm đề tài nghiên cứu luận văn Mục đích luận văn hệ thống hóa phương pháp giải phương trình bất phương trình vô tỷ, giúp nhận dạng toán, đề xuất phương pháp giải chọn phương pháp tối ưu Nội dung luận văn chia làm chương: Chương 1: Trình bày kiến thức chuẩn bị Gồm số cách giải phương trình bậc ba, phương trình bậc bốn, số tính chất hàm số đơn điệu, khả vi ứng dụng để giải số phương trình đồng thời nhắc lại số bất đẳng thức sử dụng sau Chương 2: Trình bày phương pháp giải phương trình vô tỷ phạm vi chương trình phổ thông Mỗi phương pháp, tác giả cố gắng tổng quát hóa dạng mà sử dụng phương pháp này, nhận xét cách giải toán, tổng hợp hóa dạng toán, nêu cách giải khác toán có, cách sáng tạo toán khác, đồng thời cho số ví dụ minh họa với số toán tham khảo Chương 3: Trình bày phương pháp giải bất phương trình vô tỷ thông qua giải phương trình vô tỷ tương ứng Trong chương trình bày cách giải phương tình tương ứng lập bảng xét dấu để kết luận nghiệm sở tính liên tục hàm sơ cấp Luận văn hoàn thành hướng dẫn trực tiếp PGS.TS Nguyễn Đình Sang Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc người Thầy mình, người nhiệt tình hướng dẫn, bảo em suốt trình làm luận văn Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Ban giám hiệu, Phòng đào tạo Đại học sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, quý thầy cô tham gia giảng dạy khóa học tạo điều kiện, giúp đỡ em suốt trình học tập để em hoàn thành khóa học hoàn thành luận văn Trong trình làm, đề tài không tránh khỏi thiếu sót Kính mong quý thầy cô bạn góp ý xây dựng Em xin chân thành cảm ơn! Hà nội, ngày 12 tháng năm 2015 Học viên Nguyễn Thị Kim Thảo Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Cách giải phương trình bậc ba 1.1.1 Phương pháp đạo hàm Xét phương trình: f (x) = x3 + ax2 + bx + c = (1.1) Phương trình luôn có nghiệm Ta có: f (x) = 3x2 + 2ax + b Nếu a2 − 3b ≤ (1.1) có nghiệm Nếu a2 > 3b (1.1) có nghiệm fmax fmin ≤ Dùng khai triển Taylor x = α f (α) f (α) (x − α) + (x − α)2 + (x − α)3 (1.2) 1! 2! x=α f (α) Nếu f (α) = f (x) = ⇔ (x − α)2 + (x − α) + f (α) = Nếu f (α) = đưa (1.2) dạng: f (x) = f (α) + t3 + pt + q = Để giải (1.3) ta tìm nghiệm dạng t = u + v dẫn đến hệ:   3 p3 uv = − 27 u3 + v = −q (1.3) 4p3 p3 = có ∆ = q + Xét phương trình X + qX − 27 27 √ √ ∆ ∆ −q − −q + Nếu ∆ ≥ tìm nghiệm t = u + v = + 2 Nếu ∆ < 0: −q − |∆|i u3 = = r(cosϕ + isinϕ) 2 v3 = −q + |∆|i = r(cosϕ − isinϕ) Khi nghiệm thực: √ √ √ ϕ ϕ + 2π ϕ + 4π t1 = rcos , t2 = rcos , t3 = rcos 3 Định lí 1.1 Điều kiện cần đủ để đồ thị hàm số (1.1) nhận điểm (α; f (α)) làm tâm đối xứng f (α) = Chứng minh: Điều kiện đủ: Giả sử f (α) = Từ khai triển Taylor ta có: y − f (α) = (x − α)3 + f (α)(x − α) X = x−α Y = y − f (α) Ta đưa hàm số y = x3 + ax2 + bx + c dạng: Đặt Y = X + f (α)X X = Y = hay (x = α; y = f (α)) Đây hàm lẻ nên tâm đối xứng là: tâm đối xứng Điều kiện cần: y − f (α) = f (α)(x − α) + f (α) (x − α)2 + (x − α)3 X = x−α Y = y − f (α) Ta được: Đặt Y = X3 + f (α) X + f (α)X Hàm số nhận (X = 0; Y = 0) tâm đối xứng nên F (−X) + F (X) = ⇔ f (α) = Định lí 1.2 Điều kiện cần đủ để đồ thị hàm số (1.1) cắt trục hoành f (α) = điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng f (α) = 1.1.2 Phương pháp biến đổi thông thường Nhận thấy phương trình bậc ba có dạng: a1 x3 + b1 x2 + c1 x + d = 0, a = đưa dạng: x3 + ax2 + bx + c = (1.4) Cách 1: Nhẩm nghiệm phân tích đa thức: Nếu x = α nghiệm phương trình f (x) = ta có phân tích f (x) = (x − α)g(x) Cách 2: Bằng phép đặt y = x − a phương trình (1.4) trở thành : y − py = q (1.5) a3 2a3 ab − b, q = − + − c 27 Xét phương trình (1.5): với p = • Nếu p = phương trình (1.5) có nghiệm x = √ p phương trình (1.5) trở thành: √ 3q 4t3 − 3t = m với m = √ 2p p q • Nếu p > 0, đặt y = 2t (1.6) - Nếu m = phương trình (1.6) có nghiệm đơn t = nghiệm kép t = − - Nếu m = −1 phương trình (1.6) có nghiệm đơn t = −1 nghiệm kép t = - Nếu |m| < 1, đặt m = cosα, phương trình (1.6) có ba nghiệm α α ± 2π t = cos , t = cos 3 1 - Nếu |m| > 1, đặt m = (d3 + )(∗), với d xác định d √ nghiệm phương trình (∗), tức d3 = m + m2 − (hoặc d3 = √ m − m2 − 1) Khi phương trình có nghiệm nhất: 1 t = (d − ) d 1.2 1.2.1 Cách giải phương trình bậc bốn Phương trình bậc bốn tổng quát Xét phương trình: x4 + bx3 + cx2 + dx + e = (1.7) Đặt f (x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e Hướng giải đưa phương trình tích Cách 1: Nhẩm nghiệm phân tích đa thức: Nếu x = α nghiệm phương trình f (x) = ta có phân tích f (x) = (x − α)g(x) Để dự đoán nghiệm ta dựa vào ý sau: • Nếu đa thức f (x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e có nghiệm nghiệm phải ước e, với điều kiện b, c, d, e ∈ Z • Nếu đa thức f (x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e có tổng hệ số đa thức có nghiệm x = • Nếu đa thức f (x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e có tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ đa thức có nghiệm x = −1 Cách 2: Đưa phương trình (1.7) phương trình đặc biệt: Một số dạng đặc biệt phương trình (1.7): Xét khai triển Taylor x = x0 đa thức f (x): 1 f (x) = f (x0 )+f (x0 )(x−x0 )+ f (x0 )(x−x0 )2 + f (x0 )(x−x0 )3 +(x−x0 )4 • Phương trình dạng: x4 + bx2 + c = (1.8) f (x) = f (x) = có nghiệm x = x0 Bằng phép đặt x − x0 = t đưa phương trình (1.7) dạng (1.8) Hệ phương trình • Phương trình dạng: x4 + cx2 + dx + e = (1.9) b Phương trình f (x) = có nghiệm x0 = − , phép đặt x−x0 = t đưa phương trình (1.7) phương trình (1.9) • Phương trình dạng đối xứng: x4 + ax3 + bx2 ± ax + = Đặt t = x ± 1.2.2 (1.10) đưa phương trình (1.7) dạng t2 + at + b = x Phương trình x4 + cx2 + dx + e = Xét phương trình: x4 + cx2 + dx + e = (1.11) Cách 1: Biến đổi phương trình (1.11) dạng: x4 = −cx2 − dx − e ⇔ x4 + 2mx2 + m2 = (2m − c)x2 − dx + (m2 − e) ⇔ (x2 + m)2 = (2m − c)x2 − dx + (m2 − e) Chọn m cho VP(∗) bình phương nhị thức, tức là: ∆ = d2 − 4(2m − c)(m2 − e) = (∗) Tài liệu tham khảo [1] Ban Tổ Chức Kỳ Thi (2012), Tổng tập đề thi Olympic 30 tháng Toán học 10, NXB Đại học Sư phạm [2] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2000), Giáo trình giải tích tập 1, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Mậu (2010), Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Văn Tiến (2010), Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi, NXB Giáo dục [5] Đoàn Quỳnh, Doãn Minh Cường, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng (2010), Tài liệu chuyên toán Đại số 10, NXB Giáo dục 111 [...]... (2012), Tổng tập đề thi Olympic 30 tháng 4 Toán học 10, NXB Đại học Sư phạm [2] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2000), Giáo trình giải tích tập 1, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Mậu (2010), Phương pháp giải phương trình và bất phương trình, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Văn Tiến (2010), Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi, NXB Giáo dục [5] Đoàn Quỳnh,