Một số phương pháp giải phương trình siêu việt (luận văn thạc sĩ chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp)

MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG I: HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LƠGARIT VÀ CÁC KIẾN THỨC CĨ LIÊN QUAN .5 Vài nét sơ lƣợc lịch sử xuất khái niệm lôgarit 1.1 HÀM SỐ MŨ 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tính chất hàm số mũ 1.1.3 Một số tính chất lũy thừa 1.2 HÀM SỐ LÔGARIT 10 1.2.1 Định nghĩa 10 1.2.2 Tính chất hàm số lôgarit 10 1.2.3 Một số tính chất lơgarit 11 1.3 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ BỔ TRỢ 12 1.3.1 Định lý Fermat 12 1.3.2 Định lý Lagrange 12 1.3.3 Định lý Rolle 12 CHƢƠNG II: PHƢƠNG TRÌNH MŨ 13 2.1 PHƢƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN 13 2.2 MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH MŨ 13 2.2.1 Phƣơng pháp đƣa số 13 2.2.2 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ 17 2.2.3 Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 33 2.2.4 Phƣơng pháp lơgarit hóa 34 2.2.5 Phƣơng pháp sử dụng định lý Lagrange 35 2.2.6 Phƣơng pháp đánh giá 36 2.2.7 Phƣơng pháp đặt nhân tử 38 2.3 XÂY DỰNG PHƢƠNG TRÌNH MŨ 40 2.3.1 Xây dựng phƣơng trình mũ dựa vào phƣơng pháp đặt ẩn phụ 40 2.3.2 Xây dựng phƣơng trình mũ dựa vào tính đơn điệu hàm số 42 2.4 MỘT SỐ BÀI TẬP LIÊN QUAN 44 2.4.1 Phƣơng trình mũ có ẩn số 44 2.4.2 Bài tốn phƣơng trình mũ chứa tham số chứng minh 45 CHƢƠNG III: PHƢƠNG TRÌNH LƠGARIT .49 3.1 PHƢƠNG TRÌNH LƠGARIT CƠ BẢN .49 3.2 MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƠGARIT 49 3.2.1 Phƣơng pháp đƣa số 49 3.2.2 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ 51 3.2.3 Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 61 3.2.4 Phƣơng pháp sử dụng định lý Lagrange 63 3.2.5 Phƣơng pháp đánh giá 64 3.3 XÂY DỰNG PHƢƠNG TRÌNH LƠGARIT 66 3.3.1 Xây dựng phƣơng trình lơgarit dựa vào phƣơng pháp đặt ẩn phụ 66 3.3.2 Xây dựng phƣơng trình lơgarit dựa vào tính đơn điệu hàm số.68 3.4 CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN 70 3.4.1 Phƣơng trình lơgarit có hai số 70 3.4.2 Phƣơng trình lơgarit có ẩn số 72 3.4.3 Phƣơng trình lơgarit có chứa tham số 74 KẾT LUẬN 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO .79 Thư viện Đại học Thăng Long MỞ ĐẦU Phƣơng trình nội dung quan trọng chƣơng trình Tốn học Bậc trung học phổ thông Đây nội dung rộng, chứa đựng nhiều dạng tốn hay khó Trong hệ thống phƣơng trình đƣợc học bậc trung học phổ thơng, phƣơng trình siêu việt (phƣơng trình mũ phƣơng trình lơgarit) chiếm vị trí quan trọng Đƣợc đƣa vào giảng dạy thức chƣơng trình lớp 12, với thời lƣợng dài Đặc biệt dạng toán phƣơng trình mũ phƣơng trình lơgarit ln đƣợc quan tâm khai thác triệt để đƣa vào đề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông, Đại học, thi học sinh giỏi Quốc gia Khi nghiên cứu giải phƣơng trình mũ phƣơng trình lơgarit, địi hỏi ngƣời giải phải nắm vững kiến thức hàm số mũ, hàm số lôgarit, phƣơng pháp giải phƣơng trình mũ, phƣơng trình lơgarit bản, với kiến thức liên quan, qua nhận dạng phƣơng trình, phân tích đƣa phƣơng pháp giải hợp lý Nội dung luận văn “ Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình siêu việt ” tơi trình bày số phƣơng pháp giải xây dựng phƣơng trình mũ, phƣơng trình lơgarit Mục đích luận văn khơng dừng lại việc trình bày phƣơng pháp giải mà tơi muốn hƣớng tới việc xây dựng số tập, ví dụ phục vụ cho công tác giảng dạy, kiểm tra đánh giá Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm chƣơng  Chƣơng I: Tính chất hàm số mũ, hàm số lôgarit kiến thức có liên quan  Chƣơng II: Phƣơng trình mũ  Chƣơng III: Phƣơng trình lơgarit Luận văn đƣợc hồn thành với hƣớng dẫn bảo tận tình TS Nhâm Ngọc Tần – Đại học Thăng Long – Hà Nội Tác giả xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viện bảo hƣớng dẫn tận tình thầy Nhâm Ngọc Tần Tác giả xin chân thành gửi tới Ban giám hiệu, thầy cô giáo – Trƣờng Đại học Thăng Long – Hà Nội, lời cảm ơn sâu sắc Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học toán K3A – Trƣờng Đại học Thăng Long động viên, giúp đỡ tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Do thời gian khuôn khổ luận văn thạc sĩ nên trình nghiên cứu hồn thiện, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong đƣợc dạy đóng góp ý kiến quý thầy cô độc giả quan tâm tới luận văn Hà Nội, ngày 25 tháng 05 năm 2016 Tác giả Kiều Hải Châu Thư viện Đại học Thăng Long CHƢƠNG I: HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LÔGARIT VÀ CÁC KIẾN THỨC CÓ LIÊN QUAN Vài nét sơ lƣợc lịch sử xuất khái niệm lôgarit Nhiều ngƣời sử dụng lôgarit, ghi nhớ quy tắc, mà khơng hiểu hết khái niệm Các khái niệm lơgarit đƣợc thể nhƣ phép tính tắt Phép nhân phép tính tắt, ví dụ: x có nghĩa + + +5 Số mũ phép tính tắt cho phép nhân: 43 có nghĩa x x Lơgarit phép tính tắt cho số mũ: 104 = 10000 Từ lâu, trƣớc máy tính xuất hiện, lơgarit cơng cụ tiết kiệm lao động toán học tuyệt vời! Mặc dù có chứng lơgarit đƣợc biết đến kỷ thứ XIII Ấn Độ, phát minh họ nhƣ trợ giúp để tính tốn phát minh lơgarit ngƣời Scotland tên John Napier (1550-1617) Lôgarit đƣợc John Napier giới thiệu lần tác phẩm “Mirifici logarithmorum canonis descriptio” vào năm 1614, sau 20 năm nghiên cứu Dựa ý tƣởng “ nhân hai số theo cộng trừ” phƣơng pháp prosthaphaeresis Tuy nhiên phƣơng pháp prosthaphaeresis chứa đựng nhiều bất lợi thực phép chia khai Tuy nhiên, phƣơng pháp prosthaphaeresis cịn tồn nhiều thiếu sót thực phép chia khai Chính điều thơi thúc John Napier sáng tạo phƣơng pháp tính: nhân, chia, bậc hai, bậc ba dựa lôgarit John Napier quan niệm ông lôgarit khuôn khổ động học Những động lực đằng sau phƣơng pháp chƣa đƣợc hiểu rõ nhà sử học toán học Napier tƣởng tƣợng hai hạt dịch chuyển dọc theo hai đƣờng thẳng song song Đƣờng thứ dài vô hạn đƣờng thứ hai có chiều dài cố định (xem hình 1.1 hình 1.2) Napier tƣởng tƣợng nhƣ hai hạt bắt đầu dịch chuyển từ vị trí tƣơng đƣơng (ngang) lúc với vận tốc Hạt ông đặt chuyển động thẳng đƣờng dài vơ hạn để dịch chuyển đƣợc khoảng cách thời gian Hạt thứ hai, ông thiết lập chuyển động đoạn đƣờng hữu hạn vận tốc tỷ lệ thuận với khoảng cách lại từ hạt đến điểm đầu cuối cố định đoạn thẳng Hình 1.1: Hai đƣờng thẳng song song Napier với hạt chuyển động Chúng ta tóm tắt lời giải thích Napier nhƣ sau: Napier tƣởng tƣợng hai hạt B b chuyển động hai đƣờng thẳng song song (Hình 1.1 hình 1.2), hạt B chuyển động theo chiều định đƣờng thẳng dài vô hạn với tốc độ không đổi, A hạt b chuyển động từ a đoạn thẳng az với tốc độ giảm dần Ở khoảng thời gian hạt B vạch điểm C, D, E tƣơng ứng với thời điểm 1, 2, hạt b vẽ điểm c, d, e thỏa RQ cz dz ez     với đoạn thẳng SQ điểm R thuộc đoạn SQ cho SQ az cz dz trƣớc Napier định nghĩa: AC=lognap(cz) với cz = sinθ1 AD=lognap(dz) với dz = sinθ2 AE=lognap(ez) với ez = sinθ3 Tƣơng tự cho hạt khác mà B b vạch hai đƣờng thẳng theo khoảng thời gian Napier chọn độ dài az = 10.000.000 tạo bảng tính lơgarit cần thiết cho tính tốn Thư viện Đại học Thăng Long Hình 1.2: Mối quan hệ hai đƣờng thẳng ghi sin Nhƣ vậy, khái niệm lôgarit Napier xây dựng dƣờng nhƣ khác biệt so với khái niệm lơgarit biết ngày nay, liên hệ phần tử cấp số cộng (CSC) phần tử cấp số nhân (CSN) Lôgarit biến đổi phần tử CSN thành phần tử CSC tƣơng ứng Tuy nhiên, định nghĩa lơgarit số thực dƣơng cho trƣớc, nhƣ khơng có mối liên hệ với lũy thừa mũ số thực định nghĩa ban đầu Thêm nữa, khơng có định nghĩa tƣờng minh cho số lôgarit Lôgarit Napier tạo nhằm mục đích để đơn giản hóa phép tính nhân, chia, bậc hai, bậc ba theo phép tính đơn giản nhƣ cộng, trừ, chia hai chia ba Dù tính tốn đƣợc cải thiện nhƣng số lôgarit chƣa thực tiện lợi, lý thuyết toán đại ngƣời ta chứng minh đƣợc  x  log nap x  107.log   Song với ƣu điểm vƣợt trội, lôgarit tạo e  10  hứng thú cho nhiều nhà toán học nhƣ Henry Briggs (1561–1630), Nicolaus Mercator (1620–1687), Leonhard Euler (1707–1783)…nghiên cứu sâu rộng lôgarit Cùng với phát triển khoa học, Toán học phát triển nhanh lơgarit khơng phải ngoại lệ Vai trị lôgarit thực “tiến xa” vai trị lịch sử Khơng đƣợc ứng dụng rộng rãi Tốn học mà lơgarit cịn xuất cơng thức tính mơn khoa học khác 1.1 HÀM SỐ MŨ 1.1.1 Định nghĩa Hàm số xác định công thức y  a x (a  0, a  1) đƣợc gọi hàm số mũ số a 1.1.2 Tính chất hàm số mũ a Miền xác định:  (tức khoảng (-∞; +∞)) b Miền giá trị: * (tức khoảng (0; +∞)) c  Nếu a  hàm số y  a x đồng biến  Nếu  a  hàm số y  a x nghịch biến d Hàm số y  a x liên tục  e Bảng biến thiên: a>1 x -∞ +∞ +∞ y  ax 0