Các phương trình hàm dạng abel trong lớp hàm liên tục

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KIM TH± HƯèNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM DANG ABEL TRONG LéP HÀM LIÊN TUC LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC HÀ N®I - NĂM 2016 KIM TH± HƯèNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM DANG ABEL TRONG LéP HÀM LIÊN TUC LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP Mã so: 60.46.01.13 Ngưài hưáng dan khoa HQC GS TSKH NGUYEN VN MắU H NđI - NĂM 2016 Mnc lnc Ma đau M®t so kien thÉc ban 1.1 Hàm chan, le .5 1.2 Hàm tuan hoàn, phan tuan hoàn .6 1.2.1 Hàm tuan hồn c®ng tính, phan tuan hồn c®ng tính 1.2.2 Hàm tuan hồn nhân tính, phan tuan hồn nhân tính7 Hàm mũ 1.3 1.4 Phép l¾p 15 1.5 Đ¾c trưng cna m®t so hàm sơ cap 15 1.6 T¾p trù m¾t 18 1.7 Hàm chuyen đői phép tính so hQc 18 Các phương trình hàm dang Abel 20 2.1 Phương trình hàm dang mũ .21 2.1.1 Nghi¾m thnc cna phương trình hàm dang mũ 21 2.1.2 Nghi¾m phúc cna phương trình hàm dang mũ 21 2.2 Phương trình hàm vói hàm arctan 23 2.3 Phương trình hàm sinh boi hàm lưong giác 24 2.4 M®t so dang phương trình hàm khác 26 2.4.1 Phương trình l¾p .26 2.4.2 Phương trình dang Pexider vói phép tính so HQc 26 2.4.3 Ve nghiắm cna mđt so hắ phng trỡnh 33 M®t so láp phương trình đa an hàm 35 3.1 Phương trình hàm Pexider dang tốn liên quan .35 3.2 Phương trình D’Alembert lóp hàm so liên tuc 39 M®t so dang tốn ve phương trình hàm tÈ đe thi Olympic 48 4.1 Phương trình hàm vói c¾p bien tn 48 4.1.1 Các đe thi HQc sinh gioi Vi¾t Nam 48 4.1.2 Các thi Olympic nưóc khu vnc 53 4.1.3 Đe thi toán Olympic quoc te (IMO) 72 4.2 Phương trình hàm m®t bien .73 4.2.1 Các đe thi HQc sinh gioi Vi¾t Nam 73 4.2.2 Các đe thi Olympic nưóc khu vnc .74 4.3 Phương trình hàm t¾p rịi rac 75 Ket lu¾n 80 Tài li¾u tham khao 81 Ma đau Hi¾n nay, o m®t so trưịng phő thơng, phương trình hàm van chưa đưoc đe c¾p nhieu Phan lón HQc sinh tiep c¾n vói phương trình hàm HQc sinh lóp chun tốn, đoi vói HQc sinh đai trà phương trình hàm m®t dang tốn xa la Các HQc sinh tìm hieu ve phương trình hàm đeu cam thay khó boi HQc giai phương trình hàm khơng nhung địi hoi ngưịi HQc phai v¾n dung nhieu kien thúc mà cịn phai có kha tư tot, kha khái qt, nh¾n dang tìm cách giai hop lí Trong kỳ thi HQc sinh gioi quoc gia, olympic tốn khu vnc quoc te, thưịng xuat hi¾n dang tốn liên quan đen phương trình hàm Xuat phát tù thnc te đó, tơi cHQN đe tài: "Các phương trình hàm dang Abel lóp hàm liên tuc" làm đe tài lu¾n văn thac sĩ Vói muc tiêu cna lu¾n văn cung cap thêm cho em HQc sinh - sinh viên đ¾c bi¾t em HQc sinh- sinh viên khá, gioi, có khieu u thích mơn tốn tài li¾u tham khao Ngồi nhung kien thúc lý thuyet ban lu¾n văn cịn nghiên cúu thêm m®t so phương trình hàm dang Abel lóp hàm liên tuc; phương trình hàm Pexider dang tốn liên quan; phương tình D’Alembert lóp hàm liên tuc; m®t so dang tốn ve phương trình hàm tù đe thi Olympic Đe hồn thành lu¾n văn này, tác gia thu th¾p, phân tích, nghiên cúu tài li¾u ve phương trình hàm đ¾c bi¾t phương trình hàm dang Abel lóp hàm liên tuc thơng qua tài li¾u tham khao sách, Internet, trao đői, thao lu¾n, tham khao ý kien cna thay hưóng dan, cna chuyên gia đong nghi¾p roi tőng hop, h¾ thong lai Cau trúc cna lu¾n văn gom ba phan: phan mo đau, phan nđi dung v phan ket luắn Nđi dung luắn văn gom bon chương: - Chương M®t so kien thúc ban Trong chương trình bày đ%nh nghĩa ve hàm chan, hàm le, hàm tuan hoàn, hàm phan tuan hoàn; đ%nh nghĩa đ%nh lý, tính chat đen hàm mũ; đ%nh nghĩa ve phép l¾p; trng cna mđt so hm s cap; hm chuyen đői phép tính so HQc Chương M®t so dang phương trình hàm Abel Trong chương trình bày m®t so phương trình hàm dang Abel lóp hàm liên tuc: Phương trình mũ; phương trình l¾p; Phương trình hàm sinh boi hàm arctan; phương trình hàm sinh boi hàm lưong giác; phương trình hàm dang khác Chương Các lóp phương trình hàm liên quan Trong chương trình bày m®t so lóp phương trình hàm liên quan như: Phương trình hàm Pexider dang tốn liên quan; phương trình D’Alembert lóp hàm liên tuc Chương M®t so dang tốn ve phương trình hàm tù đe thi Olympic N®i dung chn yeu cna chương trình bày m®t so dang tốn tù đe thi hQc sinh gioi Vi¾t Nam, Olympic nưóc khu vnc, Olympic quoc te (IMO) Trong thơì gian thnc hi¾n lu¾n văn, tác gia nh¾n đưoc sn hưóng dan chi bao t¾n tình cna GS.TSKH Nguyen Văn M¾u Qua đây, tác gia xin đưoc bày to lòng biet ơn sâu sac trân TRQNG nhung công lao, sn quan tõm, đng viờn v sn tắn tỡnh chi bao cna thay Nguyen Văn M¾u Tác gia chân thành cam ơn thay giáo, giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQ c day bao t¾n tình, chân thành cam ơn thay Ban giám hi¾u, phịng Đào tao, văn phịng khoa Tốn - Cơ - Tin trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc quoc gia H Nđi ó tao ieu kiắn thuắn loi suot thịi gian tác gia HQc t¾p thnc hi¾n lu¾n văn Tác gia xin chân thành cam ơn Ban Giám hi¾u t¾p the giáo viên trưịng Cao ang Nụng nghiắp v PTNT Bac bđ ó tao ieu kiắn cho tỏc gia cú c hđi HQc nghiên cúu M¾c dù tác gia rat co gang HQc t¾p, nghiên cúu, thao lu¾n đe thnc hi¾n lu¾n văn Tuy nhiên, đieu ki¾n ve thịi gian khn khő cna lu¾n văn nên tác gia chưa sâu nghiên cúu đưoc tat ca phương trình Abel khơng tránh khoi nhung thieu xót Tác gia lu¾n văn mong muon nh¾n đưoc sn góp ý kien cna q thay đong nghi¾p đe lu¾n văn oc hon thiắn hn H Nđi, thỏng 12 nm 2016 Ngũi thnc hiắn Kim Th% Hũng Chng Mđt so kien thÉc ban Trong chương này, trình bày m®t so lý thuyet ban thưòng đưoc su dung nghiên cúu ve phương trình hàm Các kien thúc chương đưoc tham khao tài li¾u [1, 3] 1.1 Hàm chan, le Xét hàm so f (x) vói t¾p xác đ%nh D(f ) ⊂ R t¾p giá tr% R(f ) ⊂ R Đ%nh nghĩa 1.1 Hàm f (x) đưoc GQI hàm so chan tai x = M , M ⊂ D(f ) (GQI tat hàm chan M ) neu ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M f (−x) = −f (x), ∀x ∈ M Bài toán 1.1 Cho x0 ∈ R Xác đ%nh hàm so f (x) cho f (x0 − x) = f (x), ∀x ∈ R x0 x0 Lài giai Đ¾t x = − t ⇔ t = − xΣ Khi x0 − x + t (1.11) có dang x0 = x0 + tΣ = f − tΣ , ∀t ∈ R 2 x0 x0 x0 Đ¾t g(t) = f + tΣ g(−t) = f − tΣ , f (t) = g t − Σ f x0 (1.1) (1.2) Khi (1.2) có dang g(−t) = g(t), t R Vắy g(t)2 l mđt hm chan R Ket lu¾n: x0 f (x) = g x − Σ, g(x) hàm chan tùy ý R Đ%nh nghĩa 1.2 Hàm f (x) đưoc GQI hàm so le tai x = M , M ⊂ D(f ) (GQI tat hàm le M ) neu ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M f (−x) = −f (x), ∀x ∈ M Bài toán 1.2 Cho a, b ∈ R Xác đ%nh hàm so f (x) cho f (a − x) + f (x) = b, ∀x ∈ R a a a Lài giai Đ¾t − x = t , x = − t) a − x = + t 2 (1.3) Thay vào (1.3), ta đưoc f a Đ¾t f + tΣ − b a a + tΣ + f − tΣ = b 2 (1.4) = g(t) 2 Khi (1.4) có dang g(−t) + g(t) = 0, ∀t ∈ R hay g(−t) = −g(t), ∀t R Vắy g(t) l mđt hm le trờn R Ket lu¾n: f (x) = g x − a Σ+ b , g(x) hàm le tùy ý R 1.2 1.2.1 Hàm tuan hoàn, phan tuan hồn Hàm tuan hồn c®ng tính, phan tuan hồn c®ng tính Đ%nh nghĩa 1.3 Hàm f (x) đưoc GQI hàm tuan hồn (c®ng tính) chu kỳ a(a > 0) M neu M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M, f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M, (1.5) so a dương nho nhat thoa mãn (1.5) đưoc GQI chu kỳ so cna hàm tuan hoàn f (x) Bài tốn 1.3 Cho c¾p hàm f (x), g(x) tuan hồn M có chu kỳ lan lưot a a b vói ∈ Q Chúng minh rang F (x) := f (x) + g(x) G(x) := f (x)g(x) b hàm tuan hoàn M Lài giai Theo gia thiet ∃m, n ∈ N+, (m, n) = cho Đ¾t T = na = mb Khi b a n = m F (x + T ) = f (x + na) + g(x + mb) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ M G(x + T ) = f (x + na)g(x + mb) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M Hơn nua, de thay ∀x ∈ M x ± T ∈ M V¾y F (x), G(x) nhung hàm tuan hồn M Đ%nh nghĩa 1.4 Hàm f (x) đưoc GQI hàm so phan tuan hồn (c®ng tính) chu kỳ b(b > 0)trên t¾p M neu M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M, (1.6) f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M, so b dương nho nhat thoa mãn (1.6) đưoc GQI chu kỳ so cna hàm phan tuan hồn f (x) Bài tốn 1.4 Chúng minh rang MQI hàm phan tuan hoàn M hàm tuan hoàn M Lài giai Theo gia thiet, ∃b > cho ∀x ∈ M x ± b ∈ M f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M Suy ∀x ∈ M x ± 2b ∈ M f (x + 2b) = f (x + b + b) = −f (x + b) = −(−f (x)) = f (x), ∀x ∈ M V¾y f (x) hàm tuan hồn vói chu kỳ 2b M 1.2.2 Hàm tuan hồn nhân tính, phan tuan hồn nhân tính Đ%nh nghĩa 1.5 Hàm f (x) đưoc GQI hàm tuan hồn nhân tính chu kỳ α (α > 1) M neu M ⊂ D(f ) ±1 ∀x ∈ M ⇒ α x M, f (αx) = f (x), ∀x ∈ M ; ∈ (1.7) so α > nho nhat thoa mãn (1.7) đưoc GQI chu kỳ so cna hàm tuan hồn nhân tính f (x) Bài tốn 1.5 Cho f (x), g(x) hai hàm tuan hoàn nhân tính M có chu kỳ lan lưot a b ln |a| = ln |b| m , m, n ∈ N+ n Chúng minh rang F (x) := f (x) + g(x) G(x) = f (x)g(x) nhung hàm nhân tính M n m Lài giai Tù gia thiet, suy |a| = |b| Ta chúng minh T := a2n = b2m chu kỳ cna F (x) G(x) Th¾t v¾y, ta có F (Tx) = f (a2nx) + g(b2mx) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ M G(Tx) = f (a2nx)g(b2mx) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M Hơn nua, ∀x ∈ M T±1x ∈ M Do F (x) G(x) nhung hàm tuan hồn nhân tính M Đ%nh nghĩa 1.6 Hàm f (x) đưoc GQI hàm phan tuan hoàn nhân tính chu kỳ β (β > 1) M neu M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ β±1x R, f (βx) = −f (x), ∀x ∈ ∈ R; (1.8) so β > nho nhat thoa mãn (1.8) đưoc GQI chu kỳ so cna hàm phan tuan hồn nhân tính Bài tốn 1.6 Chúng minh rang f (x) hàm phan tuan hồn nhân tính chu kỳ b (b > 1) M chi f (x) có dang: f (x) = −(g(bx) (1.9) g(x)), g(x) hàm tuan hồn nhân tính vói chu kỳ b2 M Lài giai Th¾t v¾y, neu f (x) có dang (1.9) f (bx) = (g(b x) g(bx)) − −2 = (g(x) g(bx)) = − (g(bx) −1g(x)) = −f (x), ∀x ∈ M Hơn nua, ∀x ∈ M b±1x ∈ M Do f (x) hàm tuan hồn nhân tính chu kỳ b M Tính chat 1.6 MQI hàm f : R → C thoa mãn f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), ∀x, y ∈ R (DE) đeu hàm chan R ChÚng minh De kiem tra thay f ≡ thoa mãn (DE) hàm f ≡ hàm chan t¾p R Neu f ƒ≡ , thay y bang −y vào phương trình (DE) ta có f (x − y) + f (x + y) = 2f (x)f (−y) ⇒ 2f (x)f (y) = 2f (x)f (−y) ⇒ f (y) = f (−y), ∀y ∈ R Hay hàm f hàm chan R Đ%nh lý 1.1 MQI hàm f : R → C thoa mãn f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), ∀x, y ∈ R (DE) hàm f ≡ ho¾c f (x) = E(x) + E∗(x) Trong E : R → C∗ hàm mũ đ%nh nghĩa o ChÚng minh De thay f ≡ thoa mãn (DE) Xét f ƒ≡ Thay x = y = vào phương trình (DE), ta đưoc f (0)[1 − f (0)] = ⇒ f (0) = ho¾c f (0) = Neu f (0) = 0, đ¾t u = x + y, v = x − y (DE) tro thành f (u) + f (v) = 2f u +v Σf u 2+ v Cho u = v suy 2f (u) = 2f f ƒ≡ 0) Suy f (0) = Cho y = x thay vào (DE), ta có u −v Σ, ∀u, v ∈ R Σf (0) = 0, ∀u ∈ R (trái gia thiet f (2x) + f (0) = 2[f (x)]2 nên f (2x) = 2f (x)2 − 1 Thay x bang x + y y bang x − y vào phương trình (DE) ta có f (x + y + x − y) + f (x + y − x + y) = 2f (x + y)f (x − y) ⇒ f (2x) + f (2y) = 2f (x + y)f (x − y), ∀x, y ∈ R Ta có Σf (x + y) − f (x − y)Σ − 4f (x + y)f (x − y) 2= Σf (x + y) + f (x − y)Σ Σ Σ2 − 4f (x + y)f (x − y) = 4f (x)2 f (y)2 − 2Σf (2x) + f (2y)Σ = 4f (x)2 f (y)2 − 2Σf (x)2 − + f (y)2 − 1Σ = 4Σf (x)2 − 1ΣΣf (y)2 − 1Σ nên f (x + y) − f (x − y) = ±2.Σf (x)2 − 1ΣΣf (y)2 − 1Σ, ∀x, y ∈ R C®ng hai ve phương trình vói phương trình (DE) ta thu đưoc f (x + y) = f (x)f (y) ± √ [f (x)2 − 1][f (y)2 − 1] suy [f (x + y) − f (x)f (y)]2 = [f (x)2 − 1][f (y)2 − 1] (1.10) Ta xét hai trưòng hop f (x) ∈ {−1; 1}, ∀x ∈ R f (x) ƒ∈ {−1; 1} vói m®t vài giá tr% x ∈ R Trưịng hop Xét f (x) ∈ {−1; 1}, ∀x ∈ R Ket hop vói (1.10), ta có f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R e õy f (x) nhắn mđt hai giỏ tr% ho¾c −1 nên ta có f (x) = f∗(x) f (x) = E(x) + E (x) f (x) + f (x) ∗ , ∀x ∈ R Khi f (x) = ∗ , ∀x ∈ R vói E(x) ∈ {−1; 1} Trưòng hop Xét f (x) ƒ∈ {−1; 1}, vói m®t vài giá tr% x ∈ R Do ton tai x0 ∈ R cho f (x0)2 − ƒ= Đ¾t α = f (x0) ⇒ α2 − ƒ= 0, đ¾t β2 = α2 − 1 Đe đơn gian ký hi¾u tù ta hieu f (x)2 = [f (x)]2 Ta đ¾t E(x) =f (x) + [f (x + x0) − f (x)f (x0)] Σ β Σ = f (x + x ) + (β − α)f (x) , ∀x ∈ R β Ta se chúng minh bieu thúc E(x) xác đ%nh m®t hàm so Th¾t v¾y x1 = x2 xét f + ) + (β − α)f Σ E(x1 ) = ) x0 (x1 (x Σ β1 = Σ f (x β Σ + ) + (β − α)f x0 (x2 ) = E(x2) Tù suy E(x) xác đ%nh m®t hàm so xác đ%nh R Ta có [E(x) f (x)]2 = +x − [f (x β2 ) − f (x)f )]2 (x0 = [f (x)−2 1][f ) − 1]theo (1.10) (x β2 α2 − = [f (x) − 1]vì β (β = α2 − 1) =f (x)2 − Suy E(x)2 − 2E(x)f (x) + f (x)2 = f (x)2 − ⇒ E(x)2 − 2E(x)f (x) + = 0, ∀x ∈ R Neu E(x) = = vơ lý, suy E(x) ƒ= f (x) = E(x)2 + 2E(x) = E(x) + E∗(x) , ∀x ∈R Ta se chúng minh E(x) thoa mãn tính chat E(x + y) = E(x)E(y), ∀x, y ∈ R Th¾t v¾y, ta có 2[f (x0 + x)f (y) + f (x0 + y)f (x)] =f (x0 + x + y) + f (x0 + x − y) + f (x0 + y + x) + f (x0 + y − x) (theo (DE)) =2f (x0 + x + y) + f (x0 + x − y) + f (x0 + y − x) =2f (x0 + x + y) + 2f (x0 )f (x − y) =2{f (x0 + x + y) + f (x0 )[2f (x)f (y) − f (x + y)]} Σ Σ =2{f (x0 + x + y) + α 2f (x)f (y) − f (x + y) } M¾t khác ta có 2f (x0 + x)f (x0 + y) =f (x0 + x + x0 + y) + f (x0 + x − x0 − y) (theo (DE)) =f (x0 + (x0 + x + y)) + f (x − y) =[2f (x0 )f (x0 + x + y) − f (x0 + x + y − x0 )] + [2f (x)f (y) − f (x + y)] (theo (DE)) =2f (x0 )f (x0 + x + y) − f (x + y) + 2f (x)f (y) − f (x + y) =2[f (x)f (y) + αf (x0 + x + y) − f (x + y)] Ta lai có E(x)E(y) = [f (x + x0) + (β − α)f (x)][f (y + x0) + (β − α)f β (y)] = {f (x + x0 )f (y + x0 ) + (β − α)[f (x)f (x0 + y) + f (y)f (x0 + x)β + f (y)f (x0 + x)] + (β − α)2 f (x)f (y)} = {f (x)f (y) + αf (x0 + x + y) − f (x + y) β + (β − α)[f (x0 + x + y) + 2αf (x)f (y) − αf (x + y)] = + (β − α)2 f (x)f (y)} {[(β − α)2 + 2α(β − α) + 1]f (x)f (y) + βf (x + x + y) β − [1 + (β − α)α]f (x + y)} = { (β2 α2 + 1)f (x)f (y) + + x + y) − (βα − β )f (x)f (y)} βf (x β2 = β2 [βf (x0 + x + y) + β(β − α)f (x + y)] = E(x + y) Suy E(x) hàm mũ Thu lai, ta có f (x + y) + f (x − y) = y) = = E(x + y) + E∗(x + y) + E(x − y) + E ∗(x − E(x)E(y) + E∗(x)E∗(y) + E(x)E(−y) + E∗(x)E∗(−y) E(x)E(y) + E∗(x)E∗(y) + E(x)E∗(y) + E∗(x)E(y) E(x)[E(y) + E∗(y)] + E∗(x)[E∗(y) + E(y)] = E(x) + E∗(x) =2 V¾y nên f (x) = E(x) + E(y) + E∗(y) = 2f (x)f (y) E(x) hàm mũ E (x) ∗ 1.4 Phép l¾p Đ%nh nghĩa 1.8 (Phép l¾p) Phép l¾p fn(x) cna hàm f (x) đưoc xác đ%nh sau: f (x) = x, fn+1(x) = f(fn(x)), x ∈ R, n = 0, 1, 2, (Các hàm fn(x)(n = 0, 1, 2, ) đưoc xác đ%nh R.) x Bài toán 1.7 Cho hàm so f (x)√= Hãy xác đ%nh hàm so x2 1+ fn(x) = f [f [f [ [f (x)] ]]] Lài giai Ta giai tốn bang phương pháp quy nap Ta có √ x x =√ + 2x2 1+x f (x) (x) = f [f (x)] + (f (x)) = + x f = Gia su ta chúng minh đưoc f k (x) = √ k Σ Σ f k+1 (x) = f f k (x) = suy x 1+ kx2 f (x) k (x))2 (f+ k+1 1+ x2 Khi đó, √ x = 1+kx2 x2 x 1+ f V¾y (x) = √ 1)x2 + (k + x f (x) = √ + nx2 + kx2 n 1.5 ắc trng cua mđt so hm sơ cap Hàm b¾c nhat: Σ , f (x) = ax + b(a ƒ= 0, b ƒ= 0) có tính chat x +y f Σ= [f (x) + f (y)] , ∀x, y ∈ R 2 Hàm tuyen tính: f (x) = ax(a ƒ= 0) có tính chat f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R Hàm mũ: f (x) = ax(a > 0, a ƒ= 1) có tính chat f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R Hàm logarit: f (x) = loga |x| (a > 0, a ƒ= 1) có tính chat f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R \{0} Hàm lũy thÈa α f (x) = |x| có tính chat f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R \{0} Hàm lưang giác a) Hàm f (x) = sin x có tính chat f (x + y)f (x − y) = [f (x)]2 − [f (y)]2, vói ∀x, y ∈ R f (3x) = 3f (x) − 4[f (x)]3, vói ∀x ∈ R b) Hàm f (x) = cos x có tính chat f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), vói ∀x, y ∈ R f (2x) = 2[f (x)]2 − 1, vói ∀x ∈ R c) C¾p hàm f (x) = sin x g(x) = cos x có tính chat f (x + y) = f (x)g(y) + f (y)g(x), ∀x, y ∈ R, g(x + y) = g(x)g(y) − f (x)f (y), ∀x, y ∈ R d) Hàm f (x) = tan x có tính chat f (x) + f (y) R y∈ f (x + y) = , ∀x, 1x, −f y,(x)f x +(y) y =ƒ , (2k + 1)π (k ∈Z) e) Hàm f (x) = cot x có tính chat f (x)f (y)∀− 1∈ R f (x + y) x, = y, x + y = ,(kx,+yf (y) ƒ ).kπ f (x) ∈ , Z Hàm lưang giác ngưac a) Hàm f (x) = arcsin x có tính chat √ √ f (x) + f (y) = f (x − y2 + y − x2), vói ∀x, y ∈ [−1; 1] b) Hàm g(x) = arccos x có tính chat √ √ − x2 − y2), vói ∀x, y ∈ [−1, 1] g(x) + g(y) = g(xy − c) Hàm h(x) = arctan x có tính chat h(x) + h(y) = h x+y 1− xy Σ, vói ∀x, y ∈ R, xy ƒ= d) Hàm p(x) = arccot x có tính chat p(x) + p(y) = p xy − x+ y Σ, vói ∀x, y ∈ R, x + y ƒ= Hàm hyperbolic a) Hàm sin hyperbolic f (x) = sinh x := − (ex e−x) có tính chat f (3x) = 3f (x) + 4[f (x)]3, ∀x ∈ R b) Hàm cosin hyperbolic g(x) = cosh x := (ex + e−x) có tính chat g(x + y) + g(x − y) = 2g(x)g(y), ∀x, y ∈ R x − −x c) Hàm tan hyperbolic h(x) = xe:= e x h(x) + h(y) e + e−x có tính chat , ∀x, yR∈ + h(x)h(y) ex + e−x d) Hàm cotan hyperbolic q(x) = coth x := x có tính chat −x e − e + q(x)q(y) h(x + y) = q(x + y) = y ∈ R, x + y ƒ= q(x) ,+∀x, q(y) 1.6 T¾p trù m¾t Đ%nh nghĩa 1.9 T¾p A ⊂ R đưoc GQI trù m¾t B ⊆ R ký hi¾u [A] =B neu vói MQI x, y ∈ B; x < y ton tai α ∈ A, cho x < α < y Đ%nh nghĩa 1.10 T¾p A ⊂ R đưoc GQI trù m¾t R ký hi¾u [A] = R neu vói MQI x ∈ R ton tai dãy so (an ) ⊂ A, cho an → x n → ∞ Đ%nh nghĩa 1.11 Cho A ⊂ B ⊂ R neu vói MQI x ∈ B , vói MQI ε > ton tai y ∈ A, cho |x − y| < ε A đưoc GQi t¾p trù m¾t B , ký hi¾u [A] = B Nh¾n xét 1.1 Đ%nh nghĩa 1.9 đ%nh nghĩa 1.10 tương đương vói Đ%nh nghĩa 1.12 Neu hai hàm so f (x), g(x) hai hàm liên tuc R thoa mãn đieu ki¾n f (x) = g(x) vói MQI x ∈ A [A] = R f (x) = g(x) vói MQI x R Ta thng su dnng mđt so trự m¾t R sau Vói Q := t¾p so huu ty, ta có [Q] = R Vói s = t¾p so vơ ty, ta có [s] = R Vói [A] = R t¾p {α + r | α ∈ A, r = const, r ∈ R} trù m¾t R Vói [A] = R t¾p {αr | α ∈ A, r = const, r ƒ= 0, r ∈ R} trù m¾t R m T¾p { | n ∈ Z+; m ∈ Z} trù m¾t R 2n T¾p {mα − n | a ∈ s; m, n ∈ N} trù m¾t R 1.7 Hàm chuyen đoi phép tính so HQC Bài tốn 1.8 (Phương trình hàm Cauchy) Tìm hàm f (x) liên tuc R thoa mãn đieu ki¾n sau f (x) + f (y) = f (x + y), ∀x, y ∈ R, (1.11) Lài giai Gia su ton tai hàm so f (x) thoa mãn yêu cau Thay x = y = vào (1.11), ta đưoc f (0) = f (0) + f (0) ⇔ f (0) = Thay y = −x vào (1.11),ta đưoc f (0) = f (x) + f (−x) ⇒ f (x) = −f (x), ∀x ∈ R V¾y hàm f (x) hàm so le nên ta chi can xác đ%nh bieu thúc cna f (x) vói x > Thay y = x vào (1.11), ta đưoc f (2x) = 2f (x) Gia su f (kx) = kf (x), (k ∈ N∗) Khi f ((k + 1)x) = f (kx + x) = f (kx) + f (x) = kf (x) + f (x) = (k + 1)f (x) Theo nguyên lý quy nap, ta có f (nx) = nf (x), ∀x ∈ R, n ∈ N∗ Vói n ∈ Z− suy −n ∈ N∗, ta có f (nx) = f ((−n)(−x)) = −nf (−x) = (−n)(−f (x)) = nf (x) (do f (x)là hàm so le) Suy f (nx) = nf (x), ∀n ∈ Z− Ket hop vói f (0x) = f (0) = = 0f (x) ta đưoc f (nx) = nf (x), ∀x ∈ R; n ∈ Z Vói m ∈ Z∗, ta có f (x) = f m m x Σ = mf x m x Σ= f (x) m Σ⇒ f m n Vói r ∈ Q, ton tai n ∈ Z; m ∈ Z cho r = Tù ket qua trên, ta có m x n xΣ = nf Σ = f (x) = rf (x), ∀r ∈ Q m m m Thay x = vào (1.11), ta đưoc f (r) = rf (1) = αr, ∀r ∈ Q Vói ∀m ∈ R, f (rx) = f n ta có f (x) = f (x + x0 − m + m − x0) = f (x − m + x0) + f (m) − f (x0) Tù gia thiet hàm so liên tuc tai x = x0 ta có lim x→m f (x) = [f (x − m + x0) + f (m) lim − f (x0)] f (x − m + x0) x→m = lim + f (m) − f (x0) x→m =f (x0) + f (m) − f (x0) = f (m) V¾y f (x) liên tuc tai MQI điem m ∈ R Nói cách khác f (x) liên tuc R Vói ∀x ∈ R, ton tai dãy so (rn) ⊂ Q, cho rn → x n → +∞ Khi đó, f (x) liên tuc R nên ta có f (x) =lim f (rn) =lim αrn = αx n→+∞ n→+∞ Thu lai, de thay hàm so f (x) = αx thoa mãn yêu cau cna đe 24 Tài li¾u tham khao [A] Tieng Vi¾t Nguyen Văn M¾u (1997), Phương trình hàm, NXB [1] Giáo duc Nguyen Văn Mắu (2006), Cỏc bi toỏn nđi suy v [2] ỏp dnng, NXB Giáo duc [3]Nguyen Văn M¾u (2014), Phương trình hàm ban vái đoi so bien đői, NXB ĐHQGHN [4]Nguyen Văn M¾u, Lê NGQc Lăng, Pham The Long, Nguyen Minh Tuan (2006), Các đe thi Olympic Toán sinh viên toàn quoc , NXB Giáo duc [B] Tieng Anh [5]N.H Abel, Methode générale pour trouver des fonctions d’une seule quantite variable lorsque une properieté des fonctions est exprimee pur une equation entre deux variables (Norwegian), Mag Naturwidenskab, 1, 1–10 (1823) (Oeuvres complètes, tome 1, Grundahl & Son, Christiania, 1–10 (1881).) [6]N.H Abel, Détermination d’une fonction au moyen d’une équation qui ne contient qu’une seule variable, Manuscript, Christiania, c 1824 (Oeuvres complètes, tome II Grundahl & Son, Christiania, 36–39 (1881).) [7]N.H Abel, Untersuchung der Functionen zweier unabh aăngigen veraănderlichen Groăssen x und y , wie f (x, y), welche die Eigenschaft haben, daβ f [z, f (x, y)] eine symmetrische Function von x, y und z ist, J Reine Angew Math., 1, 11–15 (1826) (Oeuvres complètes, tome I Grundahl & Son, Christiania, 6165 (1881).) [8]N.H Abel, Unterschuchung uăber die Reihe + x2 + m x + m(m − 1) 1.2 25 m(m−1)(m−2) 1.2 x + , J Reine Angew Math., 1, 311–339 (1826) (Oeuvres com3 plètes, tome I Grundahl & Son, Christiania, 219–250 (1881).) [9]N.H Abel, Note sur la fonction ψ(x) = x + x 2 +···+ + , x n2 Manuscript, Freiberg (1826) (Oeuvres complètes, tome II Grundahl & Son, Christiania, 189–193 (1881).) [10]N.H Abel, Uă ber die Functionen, die der Gleichung ϕ(x) + ϕ(y) = ψ(xf y + yf x) genug thun, J Reine Angew Math., 2, 386–394 (1827) (Oeuvres complètes, tome I Grundahl & Son, Christiania, 389–398 (1881).) [11]N.H Abel, Manuscript, Christiania, c 1828 (Oeuvres complètes, tome II Grundahl & Son, Christiania, pp 287, 318–319 (1881).) [12]M Bonk, On the second part of Hilbert’s fifth problem, Math Z., 210, 475–493 (1992) [13]E Hille and R.S Phillips, Functional analysis and semigroups, Am.Math Soc Colloq., 31 (1957) MR:19 664 (1958) [14]Pl.Kannappan, 2000, Functional Equations and Inequalities with Applications, Springer Monogaphs in Mathematics, 2000 [15]M Kuczma, A survey of the theory of functional equations, Univ Beograd, Publ Elektrotehn Fak Ser Mat Fiz., 130, 1–64 (1964) MR:30 5073 (1965) [16]M Kuczma, B Choczewski, R Ger, 1990, Interative hàm al Equations, Cambridge University Press, Cambridge/New York/Port Chester/Melbourne/Sydney [17]S Paganoni Marzegalli, One-parameter system of functional equations, Aeq Math., 47, 50–59 (1994) [18]M Sablik, The continuous solutions of a functional equation of Abel, Aeq Math., 39, 19–39 (1990) MR91a:39006 [19]Teodora-Liliana T.R., Vicentiu D.R., Titu Andreescu (2009), Problems in real analysis: Advanced calculus on real axis, Springer ... dang phương trình hàm Abel Trong chương trình bày m®t so phương trình hàm dang Abel lóp hàm liên tuc: Phương trình mũ; phương trình l¾p; Phương trình hàm sinh boi hàm arctan; phương trình hàm. .. boi hàm lưong giác; phương trình hàm dang khác Chương Các lóp phương trình hàm liên quan Trong chương trình bày m®t so lóp phương trình hàm liên quan như: Phương trình hàm Pexider dang tốn liên. .. thờm mđt so phng trình hàm dang Abel lóp hàm liên tuc; phương trình hàm Pexider dang tốn liên quan; phương tình D’Alembert lóp hàm liên tuc; m®t so dang tốn ve phương trình hàm tù đe thi Olympic