Nghiệm kỳ dị của một lớp các phương trình elliptic bậc cao

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN LƯU PHƯƠNG LINH NGHI›M KỲ D± CÚA MđT LộP CC PHNG TRèNH ELLIPTIC BắC CAO LUắN VN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - Năm 2018 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN LƯU PHƯƠNG LINH NGHI›M KỲ D± CÚA M®T LéP CÁC PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC B¾C CAO Chun ngành: Tốn giãi tích Mã so: 8460101.02 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC TS NGÔ QUOC ANH LèI CÁM ƠN Bãn lu¾n văn đưac thnc hi¾n dưái sn hưáng dan t¾n tình cua TS Ngơ Quoc Anh Nhân d%p em xin bày tõ lòng biet ơn sâu sac tái Thay - ngưài dành nhieu thài gian công súc đe hưáng dan, kiem tra, giúp em vi¾c hồn thành bãn lu¾n văn Em xin gui lài cãm ơn đen thay cô giáo Khoa Toán - Cơ - Tin HQC, trưàng Đai HQC Khoa HQC Tn nhiên - ĐHQG Hà N®i ve kien thúc nhung đieu tot đep mang lai cho em thài gian em HQC t¾p tai trưàng Em xin cãm ơn phòng Sau đai HQC Ve nhung đieu ki¾n thu¾n lai vi¾c hồn thành thu tnc HQC t¾p bão v¾ lu¾n văn Em xin đưac bày tõ lịng biet ơn gia đình, ngưài thân chő dna ve tinh than v¾t chat cho em cuđc song v HQC Mắc dự ó có nhieu co gang bãn lu¾n văn khó tránh khõi nhung thieu sót Em mong nh¾n đưac sn góp ý cua quý thay cô ban đe bãn luắn ac hon thiắn hn! H Nđi, thỏng 12 năm 2018 Lưu Phương Linh Mnc lnc Má đau3 Má đau3 0.1 Phương pháp bão giác toán tu vi phân bão giác 0.2 0.3 Bài tốn xác đ%nh mê-tríc bão giác vái Q-đ® cong cho trưác Phép chieu női phương trình elliptic cap bon RN 0.4 Nghi¾m kì d% cau cua phương trình (0.1) van đe can nghiên cúu 0.5 Ket q m®t vài van đe mã M®t so ket chuan b%12 1.1 Toán tu Laplace hàm cau .12 1.2 Dang tương đương cua phương trình (0.1) 14 1.3 Công thúc bien thiên hang so cho nghi¾m cau cua phương trình (0.1) 17 1.4 Toc đ tng tróng cua nghiắm kỡ d% cau cua phương trình (0.1)22 1.4.1 Trưàng hap < p ≤ ho¾c N = p ∈ [3, +∞) 23 1.4.2 1.5 Trưàng hap p = ho¾c N = p = 25 1.4.3 Trưàng hap p > 29 Chúng minh Đ%nh lý0.1(i) 35 Nghi¾m kì d% cau cúa phương trình (0.1) trưàng hap N = p≥3 2.1 36 Trưàng hap N = p = 36 2.2 Trưàng hap N = p > 40 Phân loai nghi¾m kì d% cau cúa phương trình (0.1) trưàng hap N ≥ p = 44 3.1 Trưàng hap N > p = 44 3.2 Trưàng hap N = p = 47 Chương Mỏ au Nđi dung chớnh cua Luắn bao gom mđt so van e ve tớnh chat cua nghiắm khơng âm cua phương trình elliptic b¾c bon vái so mũ âm ∆2 u = − u − p , p > (0.1) N R \ {0} Trong mnc dưái ta se trình bày van tat lý nghiên cúu phương trình (0.1) 0.1 Phương pháp báo giác toán tú vi phân báo giác Đe nghiên cúu tính chat hình HQC CUA đa tap ngưài ta thưàng hay t¾p trung vào đ¾c trưng hình HQC CUA chúng đ® cong Gauss (cho siờu mắt), đ cong vụ hỏng, đ cong Ricci, v.v Do cỏc đ cong hỡnh HQC eu l cỏc ắc trưng n®i tai nên ngưài ta nghiên cúu chúng dna vào mê-tríc cua đa vào ( N Do + 1mê-tríc )/2 bien %nhten-x mờ-trớccap vỏi2 mđt ắcútrng hỡnhNtap cuaVỡavắy tapbi N tốn chieuxác m®t phn thu®c HQC thưàng tốn khó so ràng bu®c thưàng lưang thơng tin mà ta can xác đ%nh Đe có the khac phnc đưac han che ny mđt ky thuắt rat hay ac su dnng e nghiên cúu su dnng phương pháp bão giác Trong suot mnc ta giã thiet (M, g) đa tap Riemann đay vái so chieu N ≥ Ta nói rang M mê-tríc g bão giác vái mê-tríc g neu ton tai ^ m®t hàm trơn f cho ^ f g = ebão g Bang cách han che láp mê-tríc giác trên, ta chuyen tốn xác đ%nh mê-tríc bão giác g (vái N(N + 1)/2 bien) thành tốn xác đ%nh hàm dương f (và chi^cịn lai bien) mê-tríc g đưac GQI bão giác vái trQNG so (α, β) neu %nh nghĩa 0.1 (toán tu bão giác vái TRQNG so) Toán tu vi phân Lg liên ketĐvái Lg^(·) = e −β f Lg (· e αf ) ^ g = e2 f g Ví dn đơn giãn nhat m®t tốn tu vi phân bão giác toán tu Laplace N = (có lúctính nàychat đa tap M đưac GQI di¾n/m¾t Riemann ) Th¾t v¾y, tốn tu Laplace −2 f ∆g(·) ∆ g(·) ^ = e tốn tu Laplace toán tu bão giác TRQNG so (0, 2) Moi liên h¾ giua ∆ g ∆ g cũn ac the hiắn ó phng vỏi trỡnh đ cong Gauss ^ ^ ∆gu + Kg = Kge2 f , ú kớ hiắu Kg e chi đ cong Gauss cua mờ-trớc g Viắc nghiờn cỳu đ cong Gauss l m®t chu đe quan TRQNG đ® cong Gauss tham gia vào cơng thúc Gauss–Bonnet ∫ K gdµ g = 2πχ( M), (0.2) χ(M) đ¾c trưng Euler ve tơ-pơ cua m¾t M khơng biên Nói M cách khác, tích phân tồn phan cua đ® cong Gauss Kg m®t bat bien tơ-pơ hieu biet ve đ® cong Gauss se cung cap thơng tin huu ích ve m¾t tơ-pơ cua đa tap Tuy nhiên, tốn tu Laplace ∆g không phãi bão giác N > Trong trưàng hap toán tu Laplace đưac thay the bang toán tu Laplace bão giác, hay cịn GQI tốn tu Yamabe Đây m®t ví dn đ¾c bi¾t quan TRQNG hình HQC VI phân hình HQC bão giác suot th¾p ki qua Tốn tu kí hi¾u L g , đưac cho bãi 4(N − 1) Lgg ·đe = chi − đ® cong vơ ∆ghưáng · + scal ·, kí hi¾u scal cuagmê-tríc g Tốn tu Lg bão giác vái TRQNG so ( N N− vì− f f L (·) = e N+2 L g (· e N−2 ) g −2 2N +2 , ) 2 ^ Trong trưàng hap riêng scalg = N+ e f L g (1) Tốn tu L g có vai trị quan TRQNG 2 tốn xác đ%nh mê-tríc bão giác g^ = u4/(N−2) g vái đ® cong vơ hưáng scal^g = f cho trưác tương đương vái^vi¾c tìm nghi¾m u > cua phương trình tái han N+ 4(N − 1) u+ u=fu N−2 − g ∆N − scalg 0.2 Bài tốn xác đ%nh mê-tríc báo giác vái Q-đ® cong cho trưác Các nghiên cúu khỗng 20 năm trã lai cho thay Q-đ® cong đa tap chieu có the m®t đoi tưang hình HQC mái chúa đnng rat nhieu thơng tin thú v% mà ta chưa biet có vai trị tương tn đ® cong Gauss đa tap chieu, chang han Q-đ® cong tham gia công thúc Gauss– Bonnet–Chern, tương tn công thúc Gauss–Bonnet (0.2), g M |Wg|2 dµg ∫ M Q g dµ g + ∫ = 8π2 χ(M), ∫ (0.3) g ∫ cua (M, g) Do đai lưang M |Wg|2 dàg l mđt bat ú Wg l ten-x Weyl bien tơ-pơ nên đai lưang M Qg dµ g m®t bat bien tơ-pơ 1982, S Paneitz [1] cơng bo tốn tu bão giác vái TRQNG so (0, 4) cácNăm đa tap Riemann chieu g g P4 = ∆2 − divg( 3scalg g − Ricg)d, 3.2 Trưàng hap N = p = Trong trưàng hap N = ta tìm đưac ν1 = 0, ν2 = −4, ν3 = ν4 = −2 Co đ%nh t0 < 0, tù Bő đe1.2(ii) ta có v−1(τ) teν t ( ) v( t) = ∑ eνi + i ∫ t i τ+ α i ∑ t t − d α4 d eν i=1 i= (t−τ) + d4 ∫ tt(t − τ)eν4(t−τ)(−v−1(τ))dτ h¾ so αi di đưac xác đ%nh Bő đe1.2 Tính tốn trnc tiep ta thu đưac d1 = , d2 = − V¾y 1 , d3 = 0, d4 = − 16 v( ) = α t i ∑e ν it ∫ t − v−10 16 i =1 t (τ dτ + ) ∫t t te−2t (τ e −4 ( t −τ ) v−1 τ + ) α4 16 d + =∑ αi e i ∫ t( t − τ)e−2(t−τ)v−1(τ)dτ −2t t0 νt − + v−1 (τ)d t i =1 + ∫t ∫ t 16 e v−1(τ)dτ − e−4t 16 e4τv−1(τ)dτ 4τ e−4t ∫ t0 −∞ 16 −∞ 1 ∫ +t e−2t (t − τ)e2τv−1(τ)dτ − e−2t ∫ t0 (t − τ)e2τv−1(τ)dτ, −∞ −∞ ∫ − m®t so tích phân ∫ t t t đưac viet dưái dang ∫ t0 − Do tích hang so, ta có the viet ∞ v ( t) − t0 −∞ ∞ phân ∫ 2e−4t e−2t +α ^ =α +α + ∫ t e 4te−2t v−1(τ)dτ +1 ∫ t0 t e4τv−1(τ)dτ + −4t (t − τ)e2τv− 1(τ)dτ e−2t ∫ t 16 −∞ −∞ Ta có ket q phn sau đây, nhieu phn thu®c vào vi¾c v(r) +∞ r \ p = Bo đe 3.2 Ta có khang đ%nh sau t ∫ e−4t − ∞ ∫t e−2t − ∞ t \ −∞ e4τv−1(τ)dτ = o(1) e2τv−1(τ)dτ = o(1) ∫t (t − τ)e 2τv −1(τ)dτ = o(1) −∞ Chnng minh Chúng minh cua bő đe dna vào quy tac l’Hôpital tương tn chúng minh cua Bő đe2.1và ta bõ qua Su dnng bő đe tù công thúc bieu dien v ta suy ^= α2 = = α^3 α4 V¾y v(t) = + ∫ t0 v −1 (τ)dτ + R(t), (3.7) α 16 t R(t) = −2(t−τ) −1 v (τ)dτ e−4(t−τ)v−1(τ)dτ + (t − τ)e ∫t ∫t 16 −∞ −∞ De thay tù Bő đe3.2, R(t) → t \ −∞ Tính toán trnc tiep ta thu đưac 1 −1 RJ (t) =16 ∫ t −4e−4(t−τ ) v−1 (τ )dτ 1+ v (t) ∞ − + =− 14 ∫ t [e−2(t−τ) − 2(t − τ)e−2(t−τ)]v−1(τ)dτ −∞ ∫ e−4(t−τ)v−1(τ)dτ + (3.8) v−1(t) t + t ∫ 16 −∞ −2(t−τ) −1 v (τ)dτ e−∫2(t−τ)v−1(τ)dτ − (t − τ)e t −∞ −∞ tù Bő đe3.2ta thu đưac RJ (t) → t \ −∞ Tù (3.7) ta có v J ( t ) = − v −1 + R J 16 Do RJ (t), v−1 (t) → t \ −∞ nên tù công thúc ta suy vJ (t) → t \ −∞ Cũng tù công thúc cho vJ ta rút ta vJ v =− + RJ v 16 Trong bưác tiep theo ta se chúng minh RJ (t)v(t ) → (3.9) (3.10) t \ −∞ Th¾t v¾y, tù (3.8) ta rút RJ v = − v e−4(t−τ)v−1(τ)dτ + e−2(t−τ)v−1(τ)dτ ∫t ∫ t v −∞ −∞ 1 − v ∫ t (t − τ)e−2(t−τ)v−1(τ)dτ + −∞ 16 Su dnng quy tac l’Hôpital ta lan lưat tính đưac ∫ lim v(t t\ −∞ ) t e−4(t−τ)v−1(τ)dτ = lim − ∞ −∞ v ( t) ∫ t e4 τ v − ( τ ) d τ e t − ∞ = lim e4t + vJ (t) ∫t t\ −∞ = v( t lim ∫t t\ −∞ ) e−2(t−τ)v−1(τ)dτ = lim e4τ v−1(τ)dτ −∞ t\−∞ v(t ) ∫ t 4e4t = lim e2t e2τ v−1(τ)dτ − e2t ∫t ∞ + vJ ( t )− e2τ v−1 (τ )dτ ∞ 2t 2e t\ −∞ = Tiep tnc su dnng quy tac l’Hôpital hai lan ket hap vái Bő đe3.2đe thu đưac ∫ lim v(t) t (t − τ)e−2(t−τ)v−1(τ)dτ t\ −∞ − ∞ ∫ (t − τ)e2τ v−1(τ)dτ t\−∞ e2t t − (t − τ)e2τ v − (τ) dτ + ∞ ∫ v(t ) ∫ t J v (t) = lim v(t) e2τ v−1(τ)dτ t v(t) = lim t\−∞ = lim ∫ t e2τ v−1(τ)dτ 2e2t = t\− lim∞ −∞ −∞ −∞ 2e2t e2t + vJ (t) e2τ v−1(τ)dτ − ∞ ∫ t−\ 1∞ Như v¾y = t 4e2t lim RJ (t)v(t) = − + − + = t\−∞ 4 2 16 Tù công thúc (3.9) ta thay ( v2 ) J = − + 2RJ v v2(t) = 0) + ∫ t(− t + 2RJ v)dτ v2(t t t0 = v2(t ) − +8 + 2t ∫ t RJ (τ )v(τ )dτ Tiep tnc su dnng quy tac l’Hôpital ta thu đưac t v 2(t) lim \ −∞ v(t)(−t) = \ −∞ −t = √ 2 −1 lim t V¾y ta chúng minh xong (3.1) trưàng hap N = 4, túc lim r−2 u(r)(− log −2 = √ r) r \0 2 Đang thúc (3.2) trưàng hap N =−4 đưac chúng minh tương tn trưàng hap N > v(t) = r 2u(r) K€T LU¾N Lu¾n văn trình bày lai ket q nghiên cúu ve sn ton tai, khơng ton tai nghi¾m kì d% cau cua phương trình (0.1) đưac cơng bo cơng trình khoa HQC [3] Trong trưàng hap riêng nghiên cúu nghi¾m kì d% cau cua phương trình (0.1), chúng so neutính N= 3,tiên p= thỡ phng trỡnh nghiắm, cng nhtụi chiórachi mđt chat nghi¾m neu N = 4, khơng p = 1có Vi¾c tìm hieu nghi¾m kì d% trưàng hap < p ≤ se chu đe nghiên cúu tiep theo sau hồn thành lu¾n văn Tài li¾u tham kháo [1]S Paneitz, A quartic conformally convariant differential operator for arbitrary pseudo-Riemannian manifolds, bãn thão, 1983 [2]C.R Graham, Conformal powers of the Laplacian via stereographic projection, SIGMA (2007) Art 121 [3]B Lai, Radial singular solutions for a fourth order equation with negative expo- nents, J Differential Equations 263 (2017) 8467–8480 [4]B Lai, D Ye, Remarks on entire solutions for two fourth-order elliptic problems, Proc Edinb Math Soc 59 (2016) 777–786 [5]N.P Thao, Lu¾n văn thac sĩ khoa HQC, Trưàng Đai HQC Khoa HQC Tn nhiên, Đai HQC Quoc gia Hà N®i, 2016 [6]A Ferrero, H.C Grunau, The Dirichlet problem for supercritical biharmonic equations with powertype nonlinearity, J Differential Equations 234 (2007) 582–606 Phiên bãn: Ngày 18 tháng năm 2019 lúc 06:12:07 ... nghi¾m khơng âm cua phương trình elliptic b¾c bon vái so mũ âm ∆2 u = − u − p , p > (0.1) N R {0} Trong mnc dưái ta se trình bày van tat lý nghiên cúu phương trình (0.1) 0.1 Phương pháp báo giác... v −4 phương trình (0.6) N−4 N đưac viet thành PN(v ) = Q v N+4 (0.7) g g ^ N −4 Toán tu Paneitz đưac xem ví dn đau tiên ve tốn tu bão giác b¾c cao (b¾c 4) 0.3 Phép chieu noi phương trình elliptic. .. chieu női π, ta chieu phương trình (0.7) cho v SN xuong RN đe thu đưac phương trình ∆ 2u = N−4 ^ g◦ N− (Q π−1)u N+ (0.10) cho u, g mê-tríc bão giác vái gS ^ N Rõ ràng ã phương trình (0.10): N+4