Nghiệm kỳ dị của một lớp các phương trình elliptic bậc cao

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LƯU PHƯƠNG LINH NGHIỆM KỲ DỊ CỦA MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC BẬC CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LƯU PHƯƠNG LINH NGHIỆM KỲ DỊ CỦA MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC BẬC CAO Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGÔ QUỐC ANH Hà Nội - Năm 2018 LỜI CẢM ƠN Bản luận văn thực hướng dẫn tận tình TS Ngơ Quốc Anh Nhân dịp em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy người dành nhiều thời gian công sức để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ em việc hoàn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo Khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội kiến thức điều tốt đẹp mang lại cho em thời gian em học tập trường Em xin cảm ơn phòng Sau đại học điều kiện thuận lợi việc hoàn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân chỗ dựa tinh thần vật chất cho em sống học tập Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý q thầy bạn để luận văn hoàn thiện hơn! Hà Nội, tháng 12 năm 2018 Lưu Phương Linh Mục lục Mở đầu Mở đầu 0.1 Phương pháp bảo giác v 0.2 Bài tốn xác định mê-tríc 0.3 0.4 Phép chiếu phươ Nghiệm kì dị cầu ph cứu 0.5 Kết và Một số kết chuẩn bị 1.1 Toán tử Laplace 1.2 Dạng tương đương 1.3 Công thức biến thiên hằ (0.1) 1.4 Tốc độ tăng trưởng 1.4.1 1.4.2 1.4.3 Trường hợp p > 1.5 Chứng minh Định lý 0.1( Nghiệm kì dị cầu phương trình (0.1) trường hợp N = v p 2.1 Trường hợp N = p = 2.2 Trường hợp N = p > Phân loại nghiệm kì dị cầu phương trình (0.1) trường hợp N p = 3.1 Trường hợp N > p = 3.2 Trường hợp N = p = Chương Mở đầu Nội dung Luận văn bao gồm số vấn đề tính chất nghiệm khơng âm phương trình elliptic bậc bốn với số mũ âm D u= u p , p>0 N R n f0g Trong mục ta trình bày vắn tắt lý nghiên cứu phương trình (0.1) 0.1 Phương pháp bảo giác tốn tử vi phân bảo giác Để nghiên cứu tính chất hình học đa tạp người ta thường hay tập trung vào đặc trưng hình học chúng độ cong Gauss (cho siêu mặt), độ cong vô hướng, độ cong Ricci, v.v Do độ cong hình học đặc trưng nội nên người ta nghiên cứu chúng dựa vào mê-tríc đa tạp Do mê-tríc đa tạp N chiều ten-xơ cấp phụ thuộc vào N(N + 1)/2 biến Vì tốn xác định mê-tríc với đặc trưng hình học thường tốn khó số ràng buộc thường lượng thơng tin mà ta cần xác định Để khắc phục hạn chế kỹ thuật hay sử dụng để nghiên cứu sử dụng phương pháp bảo giác Trong suốt mục ta giả thiết (M, g) đa tạp Riemann đầy với số chiều N Ta nói M mê-tríc gb bảo giác với mê-tríc g tồn hàm trơn f cho 2f gb = e g Bằng cách hạn chế lớp mê-tríc bảo giác trên, ta chuyển toán xác định mê-tríc bảo giác gb (với N(N + 1)/2 biến) thành toán xác định hàm dương f (và cịn lại biến) Định nghĩa 0.1 (tốn tử bảo giác với trọng số) Toán tử vi phân Lg liên kết với mê-tríc g gọi bảo giác với trọng số (a, b) Lgb( ) = e gb = e 2f bf Lg( e af ) g Ví dụ đơn giản tốn tử vi phân bảo giác toán tử Laplace N = ( lúc đa tạp M gọi diện/mặt Riemann ) Thật vậy, toán tử Laplace có tính chất Dgb( ) = e 2f Dg ( ) tốn tử Laplace tốn tử bảo giác với trọng số (0, 2) Mối liên hệ Dg Dg thể phương trình độ cong Gauss b 2f D gu + Kg = Kgbe , kí hiệu Kg để độ cong Gauss mê-tríc g Việc nghiên cứu độ cong Gauss chủ đề quan trọng độ cong Gauss tham gia vào công thức Gauss–Bonnet Z M Kgdmg = 2pc(M), c(M) đặc trưng Euler tơ-pơ mặt M khơng biên Nói cách khác, tích phân tồn phần độ cong Gauss K g bất biến tô-pô hiểu biết độ cong Gauss cung cấp thông tin hữu ích mặt tơ-pơ đa tạp Tuy nhiên, tốn tử Laplace Dg bảo giác N > Trong trường hợp toán tử Laplace thay toán tử Laplace bảo giác, hay cịn gọi tốn tử Yamabe Đây ví dụ đặc biệt quan trọng hình học vi phân hình học bảo giác suốt thập kỉ qua Tốn tử kí hiệu Lg, cho Lg = kí hiệu scalg để độ cong vơ hướng mê-tríc g Tốn tử L g N N +2 , ) bảo giác với trọng số ( N+2 f Lgb( ) = e N+2 f Trong trường hợp riêng scalg = e N 2f L g( e ) Lg(1) Tốn tử Lg có vai trị quan trọng b 4/(N 2) tốn xác định mê-tríc bảo giác gb = u g với độ cong vô hướng scalg = f cho trước tương đương với việc tìm nghiệm u > phương b trình tới hạn 4(N N 0.2 Bài tốn xác định mê-tríc bảo giác với Q-độ cong cho trước Các nghiên cứu khoảng 20 năm trở lại cho thấy Q-độ cong đa tạp chiều đối tượng hình học chứa đựng nhiều thơng tin thú vị mà ta chưa biết có vai trị tương tự độ cong Gauss đa tạp chiều, chẳng hạn Q-độ cong tham gia công thức Gauss– Bonnet–Chern, tương tự công thức Gauss–Bonnet (0.2), Z M Qgdmg + Wg ten-xơ Weyl (M, g) Do đại lượng R M jWgj g dmg bất R biến tô-pô nên đại lượng M Qgdmg bất biến tô-pô Năm 1982, S Paneitz [1] cơng bố tốn tử bảo giác với trọng số (0, 4) đa tạp Riemann chiều Pg = D g Ricg độ cong Ricci g Tính chất bảo giác Pg thể đẳng thức Pg ( ) = e 4f Pg ( ) Năm 1985, T Branson giới đa tạp với số chiều N Bằng cách thay đổi Pg thành N Pg = D g N Qg Branson chứng minh toán tử Pg N +4 ), tức N bảo giác với trọng số ( =2(N N , b Trong trường hợp riêng ta thu Đặt v (tức f = N log v) ta thu e viết thành =e 2f N f = v N4 phương trình (0.6) N P (v) = g Toán tử Paneitz xem ví dụ tốn tử bảo giác bậc cao (bậc 4) 0.3 Phép chiếu phương trình elliptic cấp bốn N R Việc nghiên cứu nghiệm dương phương trình (0.1) xuất phát từ tốn xác định mê-tríc bảo giác mặt cầu S N R N+1 với Q-độ cong cho 45 Dễ thấy từ Bổ đề 3.1 t & ¥ t & ¥ Từ (3.3) ta có Do R (t), v (t) ! t ! công thức cho v ta suy Bây ta chứng minh Thật vậy, từ công thức R (t) ta suy Mà t! ¥ lim nên ta có (3.5) Quay lại (3.4) dễ thấy 20 (v ) = 46 hay = v (t ) + Vậy ta vừa thu (3.1) trường hợp N > 4, tức r ur r&0 lim Tiếp theo ta chứng minh (3.2) trường hợp N > Thật vậy, nhắc lại v(t) = r u(r), từ ta suy v (t) = r u (r)r 2r0 r Do v (t) ! t ! u(r) = r 1u0(r) 2r u(r) ¥, ta viết r u (r) = 2r u(r) + o(1) r ! Do kết hợp với (3.1) chứng minh ta suy s lim u (r)r ( r & 3.2 Trường hợp N = p = Trong trường hợp N = ta tìm n1 = 0, Cố định t0 < 0, từ Bổ đề 1.2(ii) ta có nt v(t) = å aie i + å di 47 Zt + d4 t0 (t t)e n (t t ) ( v (t))dt hệ số di xác định Bổ đề 1.2 Tính tốn trực tiếp ta thu v(t) = å aie nt i i=1 ni t = å aie + a4te i=1 + 16 e 2t +4 số tích phân phân e 4t Rt viết t0 R t0 ¥ số, ta viết Z 4e dạng v(t) =a1 + ab2e 4t + 16 e + a3e 2t + a4te 4t 2t + t Z b e4tv ¥ Ta có kết phụ sau đây, nhiều phụ thuộc vào việc v(r) % +¥ r & p = Bổ đề 3.2 Ta có khẳng định sau Zt Z 4t e 4t ¥ e v (t)dt = o(1) 2t e Zt 2t ¥ e v (t)dt = o(1) Z t ¥ t & (t 2t t)e v (t)dt = o(1) ¥ 48 Chứng minh Chứng minh bổ đề dựa vào quy tắc l’Hôpital tương tự chứng minh Bổ đề 2.1 ta bỏ qua Sử dụng bổ đề từ công thức biểu diễn v ta suy ab2 = ab3 = a4 = Vậy R(t) = Dễ thấy từ Bổ đề 3.2, R(t) ! t & ¥ Tính tốn trực tiếp ta thu R (t) =16 = + từ Bổ đề 3.2 ta thu t & ¥ Từ (3.7) ta có Do R (t), v (t) ! t & t & ¥ Cũng từ cơng thức cho v ta rút ta Trong bước ta chứng minh 49 t & ¥ Thật vậy, từ (3.8) ta rút R v= Sử dụng quy tắc l’Hơpital ta tính t& ¥ lim lim t& ¥ Tiếp tục sử dụng quy tắc l’Hơpital hai lần kết hợp với Bổ đề 3.2 để thu t& ¥ lim = lim t& = ¥ = t& ) t t R lim t& ( v ¥ v (t) lim ¥ Rt 2t ¥(t t)e v (t2)ed2tt v(t) t R 2t e + v (t) = = Như lim R (t)v(t) = t & 50 Từ công thức (3.9) ta thấy 20 (v ) = Z 2 v (t) = v (t0) + t0 ( = v (t ) Tiếp tục sử dụng quy tắc l’Hôpital ta thu t lim¥ v(t)( t) & Vậy ta chứng minh xong (3.1) trường hợp N = 4, tức lim r & Đẳng thức (3.2) trường hợp N = chứng minh tương tự trường hợp N > v(t) = r u(r) 51 KẾT LUẬN Luận văn trình bày lại kết nghiên cứu tồn tại, khơng tồn nghiệm kì dị cầu phương trình (0.1) cơng bố cơng trình khoa học [3] Trong trường hợp riêng nghiên cứu nghiệm kì dị cầu phương trình (0.1), chúng tơi N = 3, p = phương trình khơng có nghiệm, số tính chất tiên nghiệm N = 4, p = Việc tìm hiểu nghiệm kì dị trường hợp < p chủ đề nghiên cứu sau hoàn thành luận văn 52 Tài liệu tham khảo [1] S Paneitz, A quartic conformally convariant differential operator for arbitrary pseudo-Riemannian manifolds, thảo, 1983 [2] C.R Graham, Conformal powers of the Laplacian via stereographic projection, SIGMA (2007) Art 121 [3] B Lai, Radial singular solutions for a fourth order equation with negative expo-nents, J Differential Equations 263 (2017) 8467–8480 [4] B Lai, D Ye, Remarks on entire solutions for two fourth-order elliptic problems, Proc Edinb Math Soc 59 (2016) 777–786 [5] N.P Thao, Luận văn thạc sĩ khoa học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, 2016 [6] A Ferrero, H.C Grunau, The Dirichlet problem for supercritical biharmonic equations with powertype nonlinearity, J Differential Equations 234 (2007) 582–606 53 Phiên bản: Ngày 18 tháng năm 2019 lúc 06:12:07 ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LƯU PHƯƠNG LINH NGHIỆM KỲ DỊ CỦA MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC BẬC CAO Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC... ln xét phương trình (0.1) với N Trong luận văn này, mục tiêu nghiên cứu lớp nghiệm kì dị cầu phương trình (0.1) Trước tiên ta trình bày định nghĩa nghiệm kì dị cầu phương trình (0.1) cách phân... p nghiệm kì dị cầu phương trình (0.1) thỏa mãn u (r) = o(r p+1 ) r ! 1.4 Tốc độ tăng trưởng nghiệm kì dị cầu phương trình (0.1) Các kết tiên nghiệm tốc độ tăng trưởng tất nghiệm kì dị cầu phương