Tinh giai duoc cua mot lop he phuong trinh elliptic khong tuyenh tinh

Tinh giai duoc cua mot lop he phuong trinh elliptic khong tuyenh tinh

Đại học Quốc gia Hà Nội Tr-ờng Đại học Khoa học Tự nhiên Ngô Quốc Anh Tính giải đ-ợc lớp hệ ph-ơng trình elliptic không tuyến tính Luận văn Thạc sĩ Khoa học Hà Nội - 2007 Tóm tắt Lý thuyết ph-ơng trình vi phân đạo hàm riêng đ-ợc nghiên cứu công trình Euler, d'Alembert, Lagrange Laplace nhlà công cụ để mô tả học nh- mô hình giải tích vật lý Vào kỷ XIX với xuất công trình Riemann, lý thuyết ph-ơng trình vi phân đạo hàm riêng đà chứng tỏ công cụ thiết yếu nhiều ngành toán học Cuối kỷ này, H Poincaré đà mối quan hệ biện chứng lý thuyết ph-ơng trình vi phân đạo hàm riêng ngành toán học khác Sang kỷ XX, lý thuyết ph-ơng trình vi phân đạo hàm riêng phát triển vô mạnh mẽ nhờ có công cụ giải tích hàm đặc biệt lµ tõ xt hiƯn lý thut hµm suy réng S.L Sobolev L Schwartz xây dựng Không dừng lại việc nghiên cứu định tính định l-ợng toán ph-ơng trình vi phân đạo hàm riêng cụ thể, lý thuyết ph-ơng trình vi phân đạo hàm riêng nghiên cứu ph-ơng diện giải tích mô hình sinh học, kinh tế, hoá học vật lý thiên văn mà ví dụ tiêu biểu mô hình khuyếch tán sinh học hoá học Khi xét toán ph-ơng trình đạo hàm riêng (có thể toán biên, toán điều kiện ban đầu, toán điều kiện hỗn hợp, ) ta th-ờng gặp khả khác nghiệm nh-ng nhìn chung vấn đề đặt nghiệm toán tồn nghiệm toán; tính nghiệm; tính trơn nghiệm Mô hình đơn giản toán khuyếch tán có dạng u = D∆u + f (x, u) ∂t x ∈ Ω ⊂ RN , , t > 0, (1) u RN , D ma trận N ì N f hàm trơn Khi nghiệm bền vững (không phụ thuộc vào thời gian) toán tr-êng hỵp hai chiỊu víi ma trËn D= 0 dẫn đến việc nghiên cứu toán ph-ơng trình đạo hàm riêng cho hệ elliptic nửa tuyến tính với phần toán tử Laplace sau u = u + v + f (u, v) Ω, −∆v = θu + γv + g (u, v) Ω, (2) u = v = , RN (N 1) miền bị chặn với biên trơn Vì vậy, Luận văn tập trung nghiên cứu tồn nghiệm toán Luận văn bao gồm ch-ơng sau Ch-ơng Ch-ơng dành để trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian Sobolev, tính chất định tính toán tử Laplace, nguyên lý cực đại mạnh, Ch-ơng Mục đích ch-ơng chứng minh tồn tính nghiệm toán (2) với điều kiện f, g : ì R R hàm Lipschitz theo u, v; nghÜa lµ |f (u, v) − f (u, v)| ≤ k1 (|u − u| + |v − v|), |g(u, v) − g(u, v)| ≤ k2 (|u − u| + |v − v|), ®óng víi mäi u, u, v, v R Ph-ơng pháp sử dụng ph-ơng pháp Lyapunov-Schmidt ý t-ởng sử dụng ph©n tÝch tỉng trùc tiÕp H0 (Ω) = X Y X không gian chiều sinh hàm riêng ứng với giá trị riêng toán tử Với phân tích ta quy xét tính giải đ-ợc hệ u0 = P (−∆)−1[λ(u0 + z) + δ(v0 + w) + f (u0 + z, v0 + w)], (3) v0 = P (−∆)−1[θ(u0 + z) + γ(v0 + w) + g(u0 + z, v0 + w)], vµ cđa hƯ z = Q(−∆)−1 [λ(u0 + z) + δ(v0 + w) + f (u0 + z, v0 + w)], w = Q(−∆)−1 [θ(u0 + z) + γ(v0 + w) + g(u0 + z, v0 + w)] (4) Trong P Q lần l-ợt phép chiếu từ H () lên X Y Với (u0, v0 ) X ì X cố định, ta giải toán (4) giả sử nghiệm nhận đ-ợc (z0, w0 ) ∈ Y × Y Thay nghiƯm võa t×m đ-ợc vào toán (3) để giải giả sử nghiệm tìm đ-ợc toán (3) (u0 , v0 ) Khi nghiệm toán (2) lµ (u + z0 , v0 + w0) KÕt hợp với nguyên lý ánh xạ co, đ-ợc với (u0 , v0 ) X ì X cố định, hệ (4) có nghiệm nhÊt nÕu (|λ| + k1 )2 + (|δ| + k1 )2 + (|θ| + k2 )2 + (|γ| + k2 )2 ≤ λ2 NÕu λ2 (|λ| + k1 ) + (|δ| + k1 ) + (|θ| + k2 ) + (|γ| + k2 ) ≤ 2 2 2 vµ 2 2 4(k1 + k2 )((λ1 − λ)2 + (λ1 − γ)2 + θ2 + δ ) 4(k1 + k2 ) 1+ 0, số với N +2 , nÕu N ≥ 3, N −2 ≤σ  < +, N = 1, Khác với ch-ơng 2, không giả thiết tính Lipschitz f g nhiên lại cần tồn hàm F cho ∂F (x, u, v) , ∂u ∂F g (x, u, v) = (x, u, v) ∂v f (x, u, v) = vµ lim |U|→+∞ F (x, U) =0 , |U| ∀U ∈ R2 (7) ®óng víi x Với điều kiện (6), phiếm hàm liªn kÕt | u(x)|2 + | v(x)|2 − λu(x)2 − 2δu(x)v(x) − γv(x)2 dx Ω − F (x, U) dx Ω thc líp C NghiƯm cđa toán (theo nghĩa yếu) điểm tới hạn phiếm hàm liên kết Với điều kiện (7) λ+γ ± λ−γ + δ = λj , ∀j ®ã λj (j ≥ 1) tất giá trị riêng toán tử miền , chứng minh đ-ợc phiếm hàm liên kết thỏa mÃn điều kiện Palais-Smale Bằng cách áp dụng trực tiếp định lý điểm yên ngựa đ-ợc tồn nghiệm yếu toán (5) Ngoài hai ch-ơng đà nói trên, Luận văn bao gồm phần phụ nh- Mở đầu, Lời cảm ơn, Danh mục ký hiệu, Mục lục, Luận văn đ-ợc thực hoàn thành Khoa Toán-Cơ-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội d-ới sù h-íng dÉn trùc tiÕp cđa PGS.TS Hoµng Qc Toµn Một số tính chất định tính toán tử Laplace miền bị chặn 1.1 Các không gian Sobolev 1.2 Kh«ng gian H −1 (Ω) 1.3 Mét sè bÊt ®¼ng thøc 1.3.1 Bất đẳng thức Poincaré 1.3.2 Bất đẳng thức Hălder o 1.4 Toán tử tính chất nã 1.5 Nguyªn lý cực đại 10 Trong ch-ơng này, xét tính chất phổ toán tử miền bị chặn 1.1 Các không gian Sobolev Giả thiết RN miền mở bị chặn với biên trơn Ta định nghĩa không gian Sobolev W k,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) |D αu ∈ Lp (Ω) , ∀α : |α| ≤ k } với chuẩn t-ơng ứng u p W k,p = ||k |D u|p p Đặc biệt, H 1(Ω) = W 1,2 (Ω), tøc lµ, H (Ω) = {u ∈ L2 (Ω) D u ∈ L2 ()} Không gian H () đ-ợc trang bị tích vô h-ớng 1.1 Các không gian Sobolev (u, v) = (u, v)L2 + 1≤k≤N ∂u ∂v , ∂xk ∂xk L2 chuẩn t-ơng ứng u H1 = | u(x)|2 + u(x)2 dx Từ định nghĩa ta thấy H () không gian Hilbert Xét C0 () không gian hàm khả vi vô hạn với giá compắc k,p Ký hiệu W0 (), H0 () lần l-ợt bổ sung ®đ cđa C (Ω) W k,p () H () Không gian H0 () đ-ợc trang bị chuẩn cảm sinh từ không gian H () Ngoài H0 () không gian Hilbert tích vô h-ớng H () Cũng cần phải phân biệt ⊂ RN th× nãi chung H0 (Ω) = H () Tuy nhiên, RN \ đủ mỏng N > th× H0 (Ω) = H (Ω) Các hàm thuộc H0 () hàm thuộc H () triệt tiêu biên , để minh họa cho đặc tr-ng hàm thuộc H () ta phát biểu định lý sau Định lý 1.1 Ta giả thiết thuộc lớp C Gi¶ sư u ∈ H0 (Ω) ∩ C() Khi tính chất sau t-ơng đ-ơng • u = trªn ∂Ω • u ∈ H0 () Chứng minh định lý xem [6, Định lý IX.17] Từ định lý ta thấy vai trò không gian H () toán biên với điều kiện biên Dirichlet Để đơn giản ta sử dụng ký hiệu sau L2 () := L2 (Ω) × L2 (Ω) , 1 H1 (Ω) := H0 () ì H0 () Trong không gian L2 (Ω) ta sư dơng chn |U|2 = |u|2 + |v|2 2 1.2 Kh«ng gian H −1 (Ω) víi U = (u, v) ®ã ký hiƯu | · |2 ®Ĩ chØ chn L2 (Ω) Ta thÊy to¸n tư T : H0 (Ω) → L2 () u (u, u) đẳng cự, nh- T (H0 ()) không gian đóng không gian phản xạ L2 () nên T (H0 ()) không gian phản xạ H0 () không gian phản xạ 1.2 Không gian H () Không gian đối ngẫu H0 () đ-ợc ký hiệu H (), nói cách khác, H () không gian phiếm hàm tuyến tính liên tục H (Ω) V× H0 (Ω) ⊂ L2 (Ω) nên L2 () H () Hơn nữa, với f ∈ H −1 (Ω) th× f H −1 (Ω) = sup |f (u)|, u ≤1 ®ã ta ký hiệu f (u) để giá trị f ∈ H −1 (Ω) trªn u ∈ H0 (Ω) Ta ®ång nhÊt L2 (Ω) víi kh«ng gian ®èi ngÉu cđa có sơ đồ sau H0 (Ω) ⊂ L2 (Ω) ⊂ H −1 (Ω) víi c¸c phép nhúng liên tục chứa trù mật Định lý sau nêu bật lên đặc tr-ng phần tử H () Định lý 1.2 Nếu f H () tồn f0, f1 , , fN ∈ L2 (Ω) cho N f, u = f0 (x)u(x) dx + Ω fk (x) k=1 Ω ∂u (x) dx , ∂xk ∀u ∈ H0 (Ω) vµ max |fk |2 = f 0≤k≤N H −1 Chứng minh định lý xem [6, Định lý IX.20] 1.4 Toán tử c¸c tÝnh chÊt cđa nã 1.3 Mét sè bÊt đẳng thức Sau ta liệt kê số bất đẳng thức quan trọng dùng chứng minh sau 1.3.1 Bất đẳng thức Poincaré Giả sử RN miền bị chặn Khi tồn số c > cho bất đẳng thức sau Ω u(x)2 dx ≤ c Ω | u(x)|2 dx (1.1) ®óng víi mäi u ∈ H0 (Ω) 1.3.2 Bất đẳng thức Hălder o Giả sử p + q số mũ liên hợp p, tøc lµ -íc ∞ p + = (quy q = 0) Gi¶ thiÕt Ω ⊂ RN miền bị chặn Khi ta có |f (x)g(x)| dx ≤ p p Ω |f (x)| dx q q Ω |g(x)| dx (1.2) 1.4 Toán tử tính chất Ta ký hiệu toán tử : H0 () H () (1.3) xác định theo công thøc (−∆u, v) = ( u, v) ∀u, v ∈ H0 (Ω) , (1.4) ∞ Ta chó ý r»ng, víi mäi u, v ∈ C0 (Ω) th× (−∆u, v) = u vdx Ω n = i=1 Ω ∂u ∂v dx = ∂xi ∂xi n i=1 Ω ∂ ∂xi ∂u v ∂xi ∂ 2u − v dx ∂xi 3.3 Sự tồn nghiệm toán (3.1) 38 tiến đến n + Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Hălder ta thu o đ-ợc ≤ (f (x, Un ) − f (x, U)) u dx + Ω Ω (g (x, Un ) − g (x, U)) v dx (f (x, Un ) − f (x, U)) u dx + 2N Ω (g (x, Un ) − g (x, U)) u dx 2N 2N 2N ≤ |f (·, Un) − f (·, U)| N+2 |u| N−2 + |g (·, Un ) − g (·, U)| N+2 |v| N−2 2N 2N 2N 2N N+2 N−2 N+2 N2 Để ý rằng, từ định lý nhúng Sobolev, tích phân sau hội tụ 2N |u(x)| N−2 dx < +∞ , 2N Ω |v(x)| N−2 dx < + bị chặn theo U (do U 1) T-ơng tự nh- (3.5) (3.6) nhận đ-ợc |f (Ã, Un ) f (·, U)| 2N → , N+2 |g (·, Un ) − g (·, U)| 2N → N+2 Un U H1 () Bổ đề đ-ợc chứng minh Từ kết bổ đề ta ®i ®Õn Bỉ ®Ị 3.8 PhiÕm hµm J thc líp C (H1 (Ω)) Víi U = (u, v) vµ Φ = (φ, ψ) ta cã  ( u φ + λuφ + δuφ) dx − dJ(U) (Φ) =  Ω Ω ( v ψ + λvψ + δvψ) dx − Ω f (x, U) φ dx Ω g (x, U) ψ dx   CỈp (u, v) ∈ H1 () đ-ợc gọi nghiệm yếu toán đẳng thức sau ( u + λuφ + δuφ) dx − Ω Ω ( v ψ + λvψ + δvψ) dx − Ω f (x, u, v) φ dx = g (x, u, v) ψ dx = ®óng víi mäi φ, ψ H0 () Từ lập luận ta thấy nghiệm yếu U H () toán xét điểm tới hạn phiếm hàm J Tức U phải thỏa mÃn 3.3 Sự tồn nghiệm toán (3.1) dJ(U)() = , 39 H1 () Đối với hàm F , ta giả thiết lim |U|+ theo x F (x, U) =0 , |U| ∀U ∈ R2 (F1 ) Ta nhớ lại rằng, toán tử có dÃy giá trị riêng < < t-ơng ứng với dÃy hàm riêng {i}i1 Với U = (u, v) H1 () u = uj j v = vj ϕj , ta gäi zj = (uj , vj ) R2 tọa độ zj j Víi ký hiƯu nh- trªn, thø j cđa U, nh- vËy ta cã thÓ viÕt U = nÕu wj tọa độ thứ j , tức = U, Φ = wj ϕj , th× ta hiĨu zj à wj Đối với toán xét, hÖ −∆U = AU , U ∈ H1 (Ω) đ-ợc gọi hệ tuyến tính hóa toán Bổ đề 3.9 Nếu j giá trị riêng ma trận A t-ơng ứng với véc tơ riêng (x1 , x2 ) = (0, 0) th× U = (x1 φj , x2 ψj ) = (0, 0) lµ mét nghiƯm cđa hƯ tun tÝnh hãa Chøng minh Gi¶ sư zj = (uj , vj ) tọa độ U H () Khi U nghiƯm cđa hƯ tun tÝnh hãa vµ chØ j zj = Azj với j Từ ta có điều phải chứng minh Hệ 3.6 Nếu j giá trị riêng ma trËn A th× hƯ tun tÝnh hãa chØ cã nghiƯm tÇm th-êng U = (0, 0) 3.3 Sù tån nghiệm toán (3.1) 40 Giả sử k : R2 R2 ánh xạ tuyến tính Khi ta xác định ánh xạ tuyến tÝnh i : H1 (Ω) → H1 (Ω) nh- sau 0 i wj ϕj = (kwj ) ϕj Rõ ràng k đẳng cấu từ R2 vào R2 i : H1 () H1 () 0 đẳng cấu Hơn nữa, k ánh xạ unita i toán tử unita Giả sử dạng ma trận k x1 M = x2 y1 y2 Khi nÕu zj = kwj th×  = x y zj = (x1 φj + y1 ψj , x2 φj + y2j ) = xj + yj i (φ, ψ) = (x1 φ + y1ψ, x2 φ + y2ψ) = xφ + yψ Bỉ ®Ị 3.10 Tån đẳng cấu i : H1 () H1 (), số > 0 không gian V , M , W cña H1 (Ω) trùc víi cho H1 (Ω) = 0 V ⊕ M ⊕ W vµ (Q ◦ i) (Φ) ≤ −µ Φ (Q ◦ i) (Φ) = 0, (Q ◦ i) (Φ) ≥ µ Φ 2 ∀Φ ∈ V, , ∀Φ ∈ M, , ∀Φ ∈ W Hơn nữa, M = {(0, 0)} tồn j giá trị riêng A + Chøng minh Víi α ∈ R ta ký hiệu H , H , H lần l-ợt không gian H0 () cho dạng toàn ph-ơng u u |u|2 lần l-ợt xác định âm, đồng không xác định d-ơng Giả sử giá trị riêng ma trận A, tức 3.3 Sự tồn nghiệm toán (3.1) + = 41 λ−γ + δ2 , λ−γ λ+γ + η= + δ2 Gi¶ sư x = (x1 , x2 ) vµ y = (y1, y2) cho Ax = ξx vµ Ay = ηy ë ta chọn x y cho x à y = vµ |x| = |y| = Víi cách chọn toán tử i : H1 () H1 () xác định 0 (3.7) i (, ) = x + y đẳng cấu Ngoài i (φ, ψ) = xφ + yψ = x1 φ + y1 ψ + x2 φ + y2 ψ = φ + ψ nên i toán tử unita Hơn nữa, với = (φ, ψ) th× (Q ◦ i)(Φ) = ψ − ξ |ψ|2 + 2 φ − η |φ|2 VËy ta chän − − V = Hξ × Hη , 0 M = Hξ × Hη , + + W = Hξ ì H Ta kiểm tra khẳng định bổ đề Thật vậy, ã V H H Điều có nghĩa dạng toàn ph-ơng u→ u − ξ |u|2 , u→ u |u|2 xác định âm Khi tồn số à1 > cho φ − ξ |φ|2 ≤ µ1 φ 2 , ψ − η |ψ|2 ≤ µ1 ψ 2 VËy (Q ◦ i) (Φ) ≤ −µ1 Φ , ∀Φ ∈ V 0 • NÕu M H H Điều có nghĩa dạng toàn ph-ơng u u đồng Khi ξ |u|2 , u→ u − η |u|2 3.3 Sự tồn nghiệm toán (3.1) φ 42 − ξ |φ|2 = = ψ 2 − η |ψ|2 VËy (Q ◦ i) (Φ) = , ∀Φ ∈ M + + ã W H H Điều có nghĩa dạng toàn ph-ơng u u |u|2 , u u |u|2 xác định đ-ơng Khi tồn số à2 > cho ||2 µ2 φ 2 , ψ − η |ψ|2 ≥ µ2 ψ 2 VËy (Q ◦ i) (Φ) ≥ −µ2 Φ , ∀Φ ∈ W KÕt hợp lại ta chọn = min{à , à2 } Bổ đề 3.11 Không gian V hữu hạn chiều Chứng minh Từ cách xây dựng không gian V Bổ đề 3.10 bất đẳng thức Poincaré ta cần không gian H hữu hạn chiều với > 0, tức hình cầu đơn vị H tập compắc − XÐt d·y {un }n ⊂ Hα n»m hình cầu đơn vị Do H H0 nên 1 {un }n bị chặn H0 Vì H0 phản xạ nên ta suy tồn dÃy 1 {unm }m héi tơ u ®Õn u ∈ H0 Vì phép nhúng H0 L2 compắc nên dÃy {unm }m hội tụ mạnh đến u L2 Vì dạng toàn ph-ơng u u |u|2 xác định âm H α nªn √ − | u|2 ≤ α |u|2 , ∀u ∈ Hα VËy d·y { unm }m bị chặn H0 , t-ơng tự nh- ta suy tån t¹i d·y { unmk }k hội tụ mạnh đến v L2 L2 Từ ta suy u = v u H Ta có điều phải chứng minh Bổ đề 3.12 ánh xạ i thuộc líp C (H1 (Ω) ; H1 (Ω)) 0 3.3 Sự tồn nghiệm toán (3.1) 43 Chøng minh XÐt Φ = (φ, ψ) vµ Φ = (φ, ψ) Tõ (3.7) ta suy i(Φ + Φ) − i(Φ) = i(φ + φ, ψ + ψ) − i(φ, ψ) = i(φ, ψ) + i(φ, ψ) + i(φ, ) Do i tuyến tính nên i liên tục (0, 0), ®iỊu ®ã dÉn ®Õn i(φ, ψ) ≤ const à Vậy i khả vi di()() = i(, ) + i(, ) Hơn nữa, di() liên tục 3.3.3 Sự tồn nghiƯm Gi¶ sư λ−γ λ+γ ± 2 + δ = λj , ∀j (NR) Bỉ ®Ị 3.13 Với giả thiết (F1 ) (NR), phiếm hàm J thỏa mÃn điều kiện Palais-Smale Chứng minh Giả sử {Un } ⊂ H1 (Ω) lµ mét d·y (PS), tøc J (Un) bị chặn J (Un) kh«ng gian H1 (Ω) Do lim |U|→+∞ F (x, U) =0 , |U| F tháa m·n ®iỊu kiện U R2 theo x nên {U n} chứa dÃy bị chặn Thật giả sử ng-ợc lại, tức Un + Khi dÃy Un := Un Un 1 tháa m·n Un = Do H0 () phản xạ phép nhúng H () L2 () compắc nên (chính xác đến dÃy con) Un U H1 () 3.3 Sự tồn nghiệm toán (3.1) 44 vµ Un → U L2(Ω) víi U ∈ H1 () Mặt khác J (Un) = Q Un − Un Un = 1− Ω F (x, Un ) dx Ω AUn · Un dx − Un F (x, Un ) dx nên chuyển qua giới hạn ta đ-ợc 0= 1− Ω AU · U dx VËy U = Mặt khác ta lại có J (Un) H = Q (Un )H − Un Un Ω F (x, Un ) à H dx H ∈ H1 (Ω) tïy ý B»ng c¸ch chun qua giíi hạn đ-ợc Q (U)H = , H H1 (Ω) tøc lµ U lµ mét nghiƯm cđa toán tuyến tính hóa Điều mâu thuẫn với kiện U = toán tuyến tính hóa có nghiệm tầm th-ờng (Hệ 3.6) Mâu thuẫn chứng tỏ phiếm hàm J thỏa mÃn điều kiện (PS) Sau trình bày kết ch-ơng Định lý 3.17 Giả sử điều kiện (NR) (F1 ) đ-ợc thỏa mÃn Khi toán (3.1) có nghiệm U H1 () Chứng minh Nghiệm U toán điểm tới hạn phiếm hàm J (U) = Q (U) − F (x, U) dx Ω 3.3 Sự tồn nghiệm toán (3.1) 45 Rõ việc tìm điểm tới hạn J t-ơng đ-ơng với việc tìm điểm tới hạn phiếm hàm I = J i i đẳng cấu đ-ợc xác định i (, ) = x + y, x, y đ-ợc chọn nh- chứng minh Bổ đề 3.10 Một cách chi tiết, ta cã I (Φ) = (Q ◦ i) (Φ) − F (x, Φ) dx , Ω ∀Φ = (φ, ψ) H1 () F : ì R ì R R xác định nh- sau F (x, φ, ψ) = F (x, xφ + yψ) Ta thÊy F (x, s, t) F (x, xs + yt) = = |xs + yt| |xs + yt| nªn tõ ®iỊu kiƯn (F0 ) ta suy lim |(s,t)|→+∞ §iỊu nµy cã nghÜa lµ lim |U|→+∞ F (x, s, t) |(s, t)| , ∀s, t ∈ R F (x, s, t) = |(s, t)| F (x, U) =0 , |U| ∀U ∈ R2 (F1 ) B-íc cuèi ta kiểm tra điều kiện định lý điểm yên ngựa cho phiếm hàm I Thật ã Từ Bổ đề 3.8, Bổ đề 3.12 tính khả vi liên tục hàm hợp ta suy I ∈ C (H1 (Ω), R) • Theo Bổ đề 3.11 dim V < + ã Theo Bổ đề 3.13 điều kiện (F1 ) ta suy phiếm hàm I thỏa mÃn điều kiện (PS) ã Vì A không nhận j làm giá trị riêng nên theo Bổ đề 3.10 ta có M = ∅, tøc lµ H1 (Ω) = V ⊕ W Hơn nữa, tồn > cho 3.4 Ph-ơng trình Biharmonic 46 (Q i) (Φ) ≥ µ Φ ∀Φ ∈ W, , vµ (Q ◦ i) (Φ) ≤ −µ Φ , ∀Φ ∈ N Tõ ®iỊu kiƯn (F0 ) ta suy với > đủ bé tồn t¹i Cε cho |F (x, U) | ≤ ε |U|2 + Cε , ∀x ∈ Ω , ∀U ∈ R2 Do ®ã I (Φ) = (Q ◦ i) (Φ) − ≥ −ε Ω F (x, Φ) dx Ω |Φ|2 dx − Cε |Ω| víi bÊt kú Φ ∈ W Hơn nữa, V I () Từ ta thÊy inf I (Φ) ≥ W max V Φ ®đ lớn I () Cuối tồn điểm tới hạn phiếm hàm I đ-ợc suy từ định lý điểm yên ngựa Và ta kết thúc chứng minh định lý 3.4 Ph-ơng trình Biharmonic Trong mục nêu ví dụ áp dụng Xét ph-ơng trình Biharmonic với điều kiện biên Navier sau 2u = u + f (x, u) Ω, u = ∆u = trªn ∂Ω (3.8) Nếu ký hiệu v = u (3.8) đ-ợc viết thµnh −∆u = v Ω, −∆v = δu + f (x, −v) Ω, u = v = (3.9) 3.4 Ph-ơng trình Biharmonic 47 Do víi ký hiƯu U = (u, v) th× (3.9) trë thành U = AU + A= F (x, U) δ  F (x, U) =    f (x, −v)   Ta thÊy nÕu δ > vµ δ = với j điều kiện (NR) Ta j đến kết sau Định lý 3.18 Giả thiết > Đặt t F (x, s, t) = f (x, −τ ) dτ NÕu F tháa mÃn điều kiện (F1 ) = với j toán (3.8) có j 1 nghiƯm u ∈ H (Ω) ∩ H0 (Ω) víi u H0 () Kết luận Bài toán thực Luận văn tìm điều kiện cho sù tån nghiƯm cđa hƯ ellipic nưa tun tÝnh miền bị chặn với biên trơn u = u + δv + f (u, v) Ω, −∆v = θu + γv + g (u, v) Ω, u = v = , cách áp dụng ph-ơng pháp Lyapunov-Schmidt ph-ơng pháp biến phân Các kết Luận văn Xây dựng điều kiện tồn nghiệm toán tr-ờng hợp giá trị riêng ma trận hệ số A Ph-ơng pháp đ-ợc sử dụng ph-ơng pháp Lyapunov-Schmidt Đây kết đà đ-ợc tác giả công bố Chứng minh lại tồn nghiệm toán tr-ờng hợp giá trị riêng ma trận hệ số A với giả thiết khác Ph-ơng pháp đ-ợc sử dụng ph-ơng pháp biến phân mà cụ thể sử dụng định lý điểm yên ngựa Đây kết đà có đà đ-ợc trình bày [16] Sau hoàn thành Luận văn này, tiếp tục mở rộng toán với điều kiện tổng quát Chẳng hạn miền vô hạn f g không thoả mÃn điều kiện Lipschitz, chí tr-ờng hợp f g hàm gián đoạn số điểm Hi vọng toán đ-ợc giải thời gian tới Các công trình tác giả đà công bố có liên quan Q A Ngô, An application of the Lyapunov-Schmidt method to semilinear elliptic problems, Electron J Diff Eqns., 129 (2005), 1-11 Tài liệu tham khảo R.A Adams, Sobolev spaces, Academic Press, 1975 A Ambrosetti and G Mancini, Existence and multiplicity of nonlinear elliptic problem with linear part at resonance-the case of the simple eigenvalue, J of Diff Eqns., 28 (1978), 220-245 A Ambrosetti and A Malchiodi, Nonlinear analysis and semiliear elliptic problems, Cambridge, 2007 S Ahmad and A Lazer and J Paul, Elementary critical point theory and perturbation of elliptic boundary value problems at resonance, Indiana Univ Math J 25 (1976), 933-944 A Ambrosetti and G Prodi, A primer of nonlinear analysis, Cambridge, 1993 H BrÐzis, Analyse fonctionnelle thÐorie et applications, Massion, Paris, 1992 K.J Brown, Spatially inhomogeneous steady-state solutions for systems of equations describing interacting populations, J Math Anal Appl 95 (1983), 251-264 P Bartolo and V Benci and D Fortunato, Abstract critical point theorems and applications to some nonlinear problems with strong resonance, Nonlinear Analysis T.M.A (1983), no 9, 981-1012 H Berestycki and D De Figueiredo, Double resonance in semilinear elliptic problems, Comm Partial Diff Equations (1981), 91-120 Tài liệu tham khảo 51 10 V Benci and P.H Rabinowitz, Critical point theorems for indefinite functionals, Invent Math., 52 (1979), 241-273 11 D.G Costa, On a class of elliptic systems in RN , Electron J Diff Eqns., 07 (1994), 01-14 12 D.G Costa, An invitation to variational methods in differential equations, Birkhauser, 2007 13 A Capozzi and D Lupo and S Solimini, On the existence of a nontrivial solution to nonlinear problem at resonance, Nonlinear Analysis T.M.A 13 (1989), no 2, 151-163 14 L Cesari and R Kannan, Qualitative study of a class of nonlinear boundary value problems at resonance, J Diff Equations 56 (1985), 63-81 15 D.G Costa and C.A Magalh·es, Variational elliptic problems which are nonquadratic at infinity, Nonl Anal TMA, 23 (1994), 1401-1412 16 D.G Costa and C.A Magalh·es, A variational approach to subquadratic perturbations of elliptic system, J Diff Eqns., 111 (1994), 103-122 17 D.G Costa and C.A Magalh·es, A variational approach to noncooperative elliptic systems, Nonl Anal TMA, 25 (1995), 699-715 18 D.G Costa and C.A Magalh·es, A unified approach to a class of strongly indefinite functionals, J Diff Eqns., 125 (1996), 521-547 19 P Dr¸bek and J Milota, Methods of nonlinear analysis: applications to differential equations, Birkhauser, 2007 20 D de Figueiredo and R Chiappinelli, Bifurcation from infinity and multiple solutions for an elliptic system, Differential and Integral Equations (1993), no 4, 757-771 21 D de Figueiredo and J Gossez, Resonance below the first eigenvalue for a semilinear elliptic problem, Math Ann 281 (1988), 589-610 Tài liệu tham khảo 52 22 D de Figueiredo and E Mitidieri, A maximum principle for an elliptic system and applications to semilinear problems, Siam J Math Anal 17 (1986), 836-849 23 J Gossez, Some nonlinear differential equations at resonance at first eigenvalue, Conf Sem Mat Univ Bari 167 (1979), 355-389 24 P Rabinowitz, Minimax methods in critical point theory with applications to differential equations, CBMS 65 Regional Conference Series in Math, A.M.S., 1986 25 J Smoller, Shock waves and reaction-diffusion equations, SpringerVerlag, 1983 26 M.E Taylor, Partial differential equations - volume I: basic theory, Springer-Verlag, 1996 27 M Struwe, Variational methods, Springer-Verlag, 1996 28 C Vargas and M Zuluaga, On a nonlinear dirichlet problem type at resonance and birfucation, PDEs, Pitmat research, Notes in Mathematics, 273 (1992), 248-252 29 M Zuluaga, On a nonlinear elliptic system: resonance and birfucation cases, Comment Math Univ Caroliae, 40, (1999), 701-711 30 M Zuluaga, Nonzero solutions of a nonlinear elliptic system at resonance, Nonlinear Analysis T.M.A 31 (1996), 445-454 31 M Willem, Minimax theorems, Birkhauser, 1996 ... nghĩa 3.6 Hàm f (x, u) đ-ợc gọi Carathéodory (i) x f (x, u) đo đ-ợc theo x với u (ii) u f (x, u) liên tục theo u hầu khắp nơi theo x Giả thiết tồn số c > cho p |f (x, u)| ≤ c + c |u| q Định lý... suy I C (H1 (), R) ã Theo Bổ đề 3.11 dim V < + ã Theo Bổ đề 3.13 điều kiện (F1 ) ta suy phiếm hàm I thỏa mÃn điều kiện (PS) ã Vì A không nhận j làm giá trị riêng nên theo Bổ đề 3.10 ta có M... 8   2π = 1 + = π 25π − 61 π (π )2 = 1+ 39 1+ < Vậy theo Định lý 2.10 toán (2.21) có nghiệm 39 Ph-ơng pháp biến phân hệ ph-ơng trình elliptic cấp hai nửa tuyến tính với phần toán tử Laplace