Một số kinh nghiệm vận dụng MTCT giải một lớp các phương trình vô tỷ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM VẬN DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ GIẢI MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Người thực hiện: Trần Văn Long Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán THANH HÓA NĂM 2016 MỤC LỤC Trang I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề Giải pháp tổ chức thực Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 20 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận 21 Kiến nghị 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO 23 I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình nội dung quan trọng chương trình giảng dạy môn Toán cấp Trung học phổ thông nói chung đánh giá lực học sinh kỳ thi nói riêng Các toán thuộc dạng đòi hỏi học sinh cần tư theo nhiều hướng khác nhau, sử dụng phương pháp khác để tìm mấu chốt vấn đề, hướng hướng tiếp cận toán máy tính cầm tay (MTCT) Với kết đạt được, đặc biệt khóa 2012 - 2015 vừa tốt nghiệp thấy tiếp cận toán giải phương trình vô tỷ MTCT đảm bảo tính đại, ứng dụng khoa học công nghệ, phát tiển lực tư học sinh đạt hiệu rõ rệt Với kinh nghiệm đúc kết từ thực tiễn giảng dạy học hỏi đồng nghiệp mạnh dạn chọn đề tài: "Một số kinh nghiệm vận dụng máy tính cầm tay để giải lớp phương trình vô tỷ" làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015 - 2016 Điểm đề tài sáng kiến kinh nghiệm lần là: Quan điểm tiếp cận toán giải phương trình MTCT kinh nghiệm vận dụng MTCT để tách nhân tử đặc biệt hệ thống tập đầy đủ, đa dạng phân theo số nghiệm tính chất nghiệm phương trình Với mục đích chia sẻ bớt khó khăn với học trò Rất mong nhận nhiều ý kiến đóng góp, sẻ chia thầy cô, bạn đồng nghiệp độc giả để đề tài áp dụng có hiệu dạy học giải phương trình vô tỷ Mục đích nghiên cứu Trong giới hạn sáng kiến kinh nghiệm xin trình bày kinh nghiệm đúc kết trình giảng dạy cho học sinh chuẩn bị thi THPT Quốc Gia giải vướng mắc em vướng phải trình tiếp cận toán giải phương trình Tôi tham vọng giúp học sinh giải tất phương trình mà mong muốn trang bị thêm cho em cách nhìn, phương pháp, hướng tư từ để em tự tin tiếp cận toán giải phương trình vô tỷ Hy vọng tài liệu hữu ích cho em học tập thầy cô tham khảo Đối tượng nghiên cứu Trong kỳ thi học sinh giỏi kỳ thi trung học phổ thông giai đoạn phương trình, bất phương trình hệ phương trình có vị trí đặc biệt quan trọng, thường câu tổng hợp nhiều kiến thức, phân loại đối tượng Chìa khóa giải tốt toán giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình giải tốt toán phương trình vô tỷ Mặt khác phương trình lúc có nghiệm, MTCT công cụ hữu ích để tìm nghiệm phương trình Vì vậy, MTCT có vai trò quan trọng việc tìm nghiệm, định hướng giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình Trong giai đoạn MTCT công cụ, phương tiện hữu ích cho nhiều học sinh học sinh trung học có máy tính cầm tay Vì để khai thác mạnh MTCT vào việc giải toán phát triển lực tư nhiệm vụ quan trọng thầy, cô mà đặc biệt thầy cô giảng dạy môn Toán Bên cạnh nghiên cứu SKKN tiếp cận toán giải phương trình vô tỷ MTCT chia sẻ số kinh nghiệm vận dụng MTCT nhằm tháo gỡ phần khó khăn cho thầy cô em học sinh tiếp cận toán giải phương trình Phương pháp nghiên cứu Xây dựng sở lý luận, tóm lược kiến thức bản, xây dựng hệ thống tập tổ chức triển khai thực Kiểm tra, đánh giá đúc rút kinh nghiệm thu từ thực tiễn giảng dạy, báo cáo chuyên môn tổ, tranh thủ ý kiến đóng góp tổ chuyên môn, tổ chuyên môn đánh giá cao từ bổ sung để có sở lý luận hoàn thiện tổ chức triển khai áp dụng II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Mục tiêu giáo dục phải lấy người học làm trung tâm, khơi dậy đam mê, hứng thú khát vọng học sinh Phải đào tạo người lao động tự chủ, sáng tạo, có lực giải vấn đề thường gặp Phải đổi phương pháp giáo dục, áp dụng thành tựu khoa học công nghệ khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp tư sáng tạo người học Trong mục tiêu môn Toán, mục tiêu phát triển lực tư đặt lên hàng đầu Để làm mục tiêu vai trò người thầy, người cô vô quan trọng Mỗi thầy giáo, cô giáo phải không ngừng học hỏi để nâng cao trình độ chuyên môn, thực tận tụy, tâm huyết với học trò, không ngừng đổi phương pháp tìm tòi phương pháp Thực trạng vấn đề Phương trình nội dung quan trọng đa dạng chương trình Toán THPT em tiếp cận lớp 10 với thời lượng khoảng 10 tiết Với thời lượng giáo viên truyền tải hết cho em học sinh kĩ phương pháp giải dạng phương trình đặc biệt phương trình vô tỷ Trong kì thi học sinh giỏi THPT câu giải phương trình, giải hệ phương trình, giải bất phương trình câu thuộc diện phân loại thí sinh Vì câu hỏi mang tính tổng hợp gây nhiều khó khăn cho học sinh học sinh có học lực giỏi Một thực tế đa số học sinh lo sợ toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đề thi nói chung đề thi THPT Quốc gia nói riêng Theo thống kê có tới 90% em bỏ câu phương trình, bất phương trình hệ đề thi thử THPT Quốc gia đề thi thức THPT Quốc Gia thực tế có khoảng 5% em làm tốt câu Mặt khác không thầy cô dạy phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sử dụng phương pháp truyền thống mà quan tâm đến việc ứng dụng MTCT để phát giải toán Đa số học sinh có sử dụng máy tính Casio fx - 570VN plus cách thành thạo Đây điểm mạnh học sinh mà thầy cô chưa khai thác mức Trong trình giảng dạy, qua tiết dự giờ, qua trao đổi chuyên môn thấy thầy cô ứng dụng MTCT để hướng dẫn học sinh giải phương trình cách đầy đủ, hệ thống Chưa có tài liệu thống, để thầy cô em học sinh tham khảo thực hành Giải pháp tổ chức thực 3.1 Một số kiến thức 10) Nếu phương trình f(x) = có nghiệm đơn x = x0 ta phân tích f(x) dạng: f(x) = (x - x0)g(x) g ( x0 ) ≠ ; Từ suy ra: Nếu phương trình f(x) = có nghiệm đơn x = x0 f ( x0 ) = f ' ( x0 ) ≠ 20) Nếu phương trình f(x) = có nghiệm x = x0 bội bậc n ta phân tích f(x) dạng f(x) = (x - x0)ng(x), (n∈ N,n ≥ 2) g ( x0 ) ≠ Từ suy ra: a) Nếu phương trình f(x) = nghiệm x = x0 bội bậc f ( x0 ) = , f ' ( x0 ) = f '' ( x0 ) ≠ ; b) Nếu phương trình f(x) = nghiệm x = x0 bội bậc f ( x0 ) = , f ' ( x0 ) = , f '' ( x0 ) = f ( 3) ( x0 ) ≠ 30) Trên máy tính cầm tay Casio fx - 570VN PLUS ta vận dụng số chức sau: a) Tổ hợp phím: SHIFT CALC (chức SOLVE) - để dò tìm nghiệm phương trình W b) Tổ hợp phím: SHIF ∫ X (chức tính đạo hàm điểm W d X) dx c) Tổ hợp phím: SHIF RCL (chức STO) - gán giá trị vào Lưu ý: Trong khuôn khổ SKKN không tập trung nhiều đến quy trình bấm phím mà thực quan tâm đến thuật giải toán 3.2 Phương trình vô tỷ có nghiệm đơn Phương pháp chung: - Dùng chức SOLVE để tìm nghiệm x0 phương trình f ( x ) = ; - Dùng chức d X tính đạo hàm x0 để khẳng định nghiệm đơn; dx - Tách để nhân liên hợp a) Đối với nghiệm hữu tỷ đơn x = x0 ta phân tích để sau nhân liên hợp xuất nhân tử ( x − x0 ) Mức độ ưu tiên biểu thức bậc (thường thêm, bớt số); đến biểu thức lại biểu thức bậc cao đa thức b) Đối với nghiệm vô tỷ nghiệm phương trình bậc hai, nghiệm phương trình bậc hai nghiệm phương trình vô tỷ dạng ax + b = c px + q (*) Khi thay nghiệm x0 vào (*) từ ta suy a, b c Để làm quen với phương pháp ta xét ví dụ Ví dụ Giải phương trình x + − 13 − x + x + = (*) Phân tích: - Nhập phương trình vào máy tính, dùng chức SOLVE với x = -1, x =0 cho ta nghiệm x = -1 ( ) d x + − 13 − x + x + ≠ nên x = -1 nghiệm đơn x =−1 dx phương trình - Vì biểu thức bậc nên ta ưu tiên tách, nhóm liên quan đến hai trước (thêm, bớt số) phần lại đa thức - Cụ thể thay x = -1 vào hai ta được: x + = 13 − x = sở để ta tách phân tích toán  13  Giải: - ĐK: x ∈  − ;   3 - Ta có - Ta có (*) ⇔ ( ) ( ) x + − + − 13 − x + x + = ( x + 1) ( x + 1) + ( x + 1) = x + + + 13 − x   ⇔ ( x + 1)  + + ÷= +4 134− x4 43  1 42 x4+43 + 4144 ⇔ +  13  > 0,∀x∈ − ;   3 ⇔ x = −1 - Kết luận: Phương trình có nghiệm x = -1 Nhận xét: - Ở ví dụ có nhiều cách giải rõ ràng cách giải thật đơn giản, dễ hiểu, dễ vận dụng tạo cảm giác hứng thú, tò mò để em bước vào ví dụ - Ở ví dụ ta thấy việc nhẩm tìm nghiệm x = -1 việc khẳng định phương trình có nghiệm đơn x = -1 hoàn toàn thao tác máy tính cầm tay vừa nhanh, đơn giản, dễ hiểu từ định hướng giải toán MTCT đóng vai trò quan trọng toán phức tạp đặc biệt nghiệm không "đẹp" - Từ ta phát triển toán theo hai hướng thứ tăng bậc phức tạp phương trình; hướng thứ hai phương trình có nghiệm nghiệm vô tỷ Ví dụ Giải phương trình x3 + x + x + + x = x + 16 (*) Phân tích: - Nhập phương trình vào máy tính, dùng chức SOLVE với x = 0, x =1 cho ta nghiệm x = d x + x + x + + x − x − 16 ≠ nên x = nghiệm - Ta có x =2 dx đơn phương trình - Thay x = vào hai ta có: +) x + = ( ) +) x + x = = x = x + Trong ta lựa chọn phép phân tích x + x = x + "tốt" Trên sở ta giải toán sau Giải: - ĐK: x ≥ 3 - Khi (*) ⇔  x + x − ( x + )  + x + − + x + x − = 3( x3 − x − ) x−2 ⇔ + + ( x − 2) ( x + 4) = x3 + x + ( x + ) x + + ( )  3( x + x + )  ⇔ ( x − 2)  +3 + ( x + 4)  = x+6 +2  x + x + ( x + )  4 4 4 44 4 4 4 43 > 0,∀x ≥ ⇔x=2 - Kết luận: Phương trình có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình x = x + + − x + x (*) Phân tích: - Nhập phương trình vào máy tính, dùng chức SOLVE với x =2, x = cho ta nghiệm x ≈ 2,618033989 gán vào A (SHIF RCL (-) tức 2,618033989 → A ) d x − x − 2− 3− x − x ≠ nên x ≈ 2,618033989 - Ta có x= A dx nghiệm đơn phương trình - Thay x ≈ 2,618033989 vào ta được: +) − x ≈ 0,6180339887 ≈ x − +) x ≈ 1,618033989 ≈ x − Trên sở ta giải toán sau 3 − x ≥  ⇔ x ∈ [ 2;3] Giải: - ĐK:  x ≥  x2 − x − ≥  ( ) ( ) ( ) - Ta có (*) ⇔ x − − − x + x − − x + x − 3x + = ( x − 2) ⇔ − ( − x) ( x − 1) + −x + x − 3x + = x − 2+ 3− x x −1+ x 2 x − 3x + x − 3x + ⇔ + + x − 3x + = x − + − x x −1+ x 1   ⇔ ( x − 3x + 1)  + + 1÷ = +4 43 −44x2 4x − 1x4− 414+ x4 43 > 0,∀x∈[ 2;3] ⇔ x − 3x + = ⇔ x = 3± - Kết luận: Phương trình có nghiệm x = 3+ Ví dụ Giải phương trình x + x − x + = x + + x + (*) Phân tích: - Nhập phương trình vào máy tính, dùng chức SOLVE với x = 3, x = 4, x = cho ta nghiệm x ≈ 4,236067977 gán vào A (SHIF RCL (-) tức 4,236067977 → A ) d x + x − x + − 3x − − x + ≈ 5,244678844 ≠ -Ta có: dx x= A nên x ≈ 4,236067977 nghiệm đơn phương trình - Thay x ≈ 4,236067977 vào ta được: +) x − x + = ) ( +) x + ≈ 5,236067977 ≈ x + Trên sở ta giải toán sau 6 x + ≥ ⇔ x ≥1+ Giải: - ĐK:  x − x + ≥  - Ta có (*) ⇔ ( x − − 2x + ⇔ ⇔ ) x − 2x + + ( ( ) x − 2x + − + x + − 6x + + x2 − 4x − = ( x − 1) ( x + 1) + − 6x − x + + 6x + − 2x − + ( x − x − 1) = x2 − 4x − + + ( x − x − 1) = x + + 6x + x − 2x + + x − + 2x + )( )   1   ⇔ ( x − x − 1)  + + 1 = x + + 6x +   x − 2x + + x − + 2x + 1 4 4 4 4 44 4 4 4 4 4 43 ( )( ) > 0,∀x ≥1+ ⇔ x2 − 4x − = ⇔ x=2± - Kết luận: Phương trình có nghiệm x = + Nhận xét: Rõ ràng qua ba ví dụ 2, khẳng định vai trò quan trọng MTCT việc giải phương trình vô tỷ Giúp học sinh tìm nghiệm, khẳng định nghiệm đơn cách nhanh chóng, đơn giản, dễ hiểu giúp cho việc tính toán định hình nhân tử Đối với phương trình nghiệm xấu MTCT thực khó khăn trình định hình lời giải Để tiếp tục khai tác mạnh MTCT việc giải số phương trình vô tỷ, ta đến lớp phương trình thứ hai phương trình vô tỷ có nghiệm bội 3.3 Phương trình vô tỷ có nghiệm bội Phương pháp chung: - Dùng chức SOLVE để tìm nghiệm x0 phương trình f ( x ) = ; - Dùng chức d X tính đạo hàm x0 để khẳng định nghiệm bội; dx - Tách để nhân liên hợp(đối với trường hợp kép hữu tỷ ) a) Trường hợp nghiệm bội (hay gọi nghiệm kép) +) Nếu phương trình f(x) = có nghiệm x = x0 bội bậc ta phân tích f(x) dạng f(x) = (x - x0)2g(x), g ( x0 ) ≠ +) Nếu phương trình f(x) = nghiệm x = x0 bội bậc f ( x0 ) = , d d f ' ( x0 ) = f '' ( x0 ) ≠ hay:  f ( x )  =  f ' ( x )  ≠0 x= x x= x dx dx  +) Để tìm liên hợp nghiệm kép cho Đặt: n n f ( x ) ta làm sau: d n   a = dx  f ( x )  x = x f ( x ) = ax + b đó:  b = n f ( x ) − ax 0  b) Trường hợp nghiệm bội +) Nếu phương trình f(x) = có nghiệm x = x0 bội bậc ta phân tích f(x) dạng f(x) = (x - x0)3g(x), g ( x0 ) ≠ +) Nếu phương trình f(x) = nghiệm x = x0 bội bậc f ( x0 ) = , f ' ( x0 ) = , f '' ( x0 ) = f ( 3) ( x0 ) ≠ hay: 10 f ( x0 ) = , d d d  f ( x )  =0,  f ' ( x )  =  f '' ( x )  ≠0 x= x x=x x= x dx dx dx +) Để tìm liên hợp nghiệm bội cho n f ( x ) ta làm sau:    f ' ( x) a = d   n −  dx  2n n  f ( x )       x = x   d  f ( x ) = ax + bx + c đó: b =  n f ( x )  x= x dx  c = n f ( x ) − ax − bx 0     Đặt: n - Đối với nghiệm kép vô tỷ ta làm tương tự trường hợp nghiệm đơn nhân liên hợp hai lần Để làm quen với phương pháp ta xét ví dụ sau Ví dụ Giải phương trình x + x + + − x = 11 (*) Phân tích: - Nhập phương trình vào máy tính, dùng chức SOLVE với x = - 3, x = -2, x = -1 cho ta nghiệm x = - Kiểm tra tính chất nghiệm bội x = d x + x + + − x − 11 =0 +) Ta có: x =1 dx d  2  + − +) Mặt khác: ÷ = −2.125 ≠ dx  x+3 − x  x =1 Do đó: x = nghiệm kép phương trình - Tìm liên hợp nghiệm kép d  a =  x +  x =1 = dx +) Giả sử x + = ax + b đó:  b = + − =  ( ) ⇒4 x+3 = x+7 +) Tương tự: − x = −2 x + Giải:  3 - ĐK: x ∈  −3;   2 11 ( ) - Ta có (*) ⇔ x + − x + + ( − x ) − − x  = 2 x + ) − 16 ( x + 3) − x) − ( − 2x) ( ( ⇔ +2 =0 x+7+4 x+3 ( − x ) + − 2x ⇔ x2 − 2x + x2 − 2x + +2 =0 x+7+4 x+3 − x + − x ( ) 2  ⇔ ( x − 1)  + ÷ +444 x4+43 −4x4+ 34− x3  1x4+  3 > 0,∀x∈ −3;   2 ⇔ x =1 - Kết luận: Phương trình có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình x − ( x + ) x + 10 = 2 x + 17 x + 35 − 14 x − 38 (*) Phân tích: - Nhập phương trình vào máy tính, dùng chức SOLVE với x = -3, x = -2, x = -1 cho ta nghiệm x = -2 - Kiểm tra tính chất nghiệm bội x = -2 +) Ta có: d x − ( x + ) 3x + 10 − 2 x + 17 x + 35 + 14 x + 38 =0 x =−2 dx +) Mặt khác: 3( x + )  d  x + 17 x + 14 − x + 10 − −  ÷ ≠0 dx  x + 10 x + 17 x + 35  x =−2 ( ) Do đó: x = - nghiệm kép phương trình - Tìm liên hợp nghiệm kép +) Giả sử : 2 x + 17 x + 35 = ax + b đó: d  a = 2 x + 17 x + 35 =3  x =−2 dx  b = 2.( −2 ) + 17.( −2 ) + 35 − 3.( −2 ) = 12  ⇒ 2 x + 17 x + 35 = 3x + 12 +) Tương tự: x + 10 = x + - Đó sở cho cách giải sau ( ) Giải: 12 - ĐK: x ≥ −10 - Ta có (*) ⇔ ( x + 12 ) − 2 x + 17 x + 35  + ( x + ) ( x + 14 ) − x + 10    − ( x2 + 4x + 4) = ⇔ 2( x + 2) ( 3x + 12 ) + 2 x + 17 x + 35  ⇔ ( x + 2)   ( 3x + 12 ) +  ⇔ ( x + 2)   ( 3x + 12 ) + + 9( x + 4) ( x + 2) ( 3x + 14 ) + x + 10 − ( x + 2) =  x + 36 − =0 x + 17 x + 35 ( x + 14 ) + x + 10  x + 22 − x + 10  + =0 x + 17 x + 35 ( x + 14 ) + x + 10  + ( )   x + 10 − 2 =0 ⇔ ( x + 2)  +  ( 3x + 12 ) + 2 x + 17 x + 35 ( x + 14 ) + x + 10    4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 > 0,∀x ≥ −10 ⇔ x = −2 - Kết luận: Phương trình có nghiệm x = - Ví dụ Giải phương trình x + x + + x + = x + (*) (Dựa theo đề thi HSG lớp 12 Tỉnh Thanh Hóa 2015 - 2016) Phân tích: - Nhập phương trình vào máy tính, dùng chức SOLVE với x = -1, x = 0, x = cho ta nghiệm x = - Kiểm tra tính chất nghiệm bội x = +) Ta có: d x + x + + x2 + − 3x − =0 x =1 dx +) Mặt khác: (  d  i)  dx   ) 6x + 3 ( 9x + 9x + 9) 8x + ( 6x + 2)  − 3÷ = ÷ ÷  x =1 13  d  ii)  dx   ( 9x2 + x + 9) 2 ( x + 3) − ( x2 + x + ) + ( 6x  ÷ ≠0 − ( x + ) ÷÷ x=1 64 x + 2) Do đó: x = nghiệm bội ba phương trình (*) - Tìm biểu thức liên hợp bội +) Đặt: x + x + = ax + bx + c đó:    18 x + a = d   =0    dx 2.3 ( x + x + )    x =1  d  b =  x + x +  = ⇒ 9x2 + 9x + = x + x =1 dx  c = + + − =    +) Tương tự: x + = x + - Trên sở ta có lời giải sau Giải: - ĐK: x ∈ ¡ - Ta có: 2 3 (*) ⇔ ( x + ) − x + x +  + ( x + 1) − x +  = 3 ( x + 2) − ( 9x2 + 9x + 9) x + 1) − x − ( ⇔ +2 =0 2 ( x + ) + ( x + ) M + M ( x + 1) + ( x + 1) N + N 2 ( x − 1) ( x − 1) ⇔ + =0 2 2 x + + x + M + M x + + x + N + N ( ) ( ) ( ) ( ) 3   ⇔ ( x − 1)  + =0 2 2 x + + x + M + M x + + x + N + N ) ( ) ( ) ( )  (  4 4 4 4 4 4 4 4 4 43 >0,∀x ⇔ x = (Trong đó: N = x + M = x + x + ) - Kết luận: Phương trình có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình x + − = x − x + 14 − x (*) Phân tích: 14 - Nhập phương trình vào máy tính, dùng chức SOLVE với x = -2, x = -1, x = cho ta nghiệm x ≈ 4,791287886 gán vào A (SHIF RCL (-) tức 4,791287886 → A ) - Kiểm tra tính chất nghiệm bội x ≈ 4,791287886 d x + − − x − x + 14 + x =0 +) Ta có: x= A dx  d  2x − − + +) Mặt khác:  ÷ ≠0 dx  x + 2 x − x + 14  x= A Do đó: x ≈ 4,791287886 nghiệm kép phương trình - Tìm liên hợp: Thay x ≈ 4,791287886 vào hai ta được: +) x + ≈ x − ( x − x + 14 ≈ ( x − ) +) Giải: ) - ĐK: x ≥ −3 - Ta có (*) ⇔ ( x − ) − x +  +  x − x + 14 − ( x − )  = ( x − 2) − x − + ⇒ ( x − 2) + x + 2 x − x + 14 − ( x − ) 2 x − x + 14 + ( x − ) =0 ( x − x + 1) x2 − 5x + ⇔ − =0 ( x − ) + x + x − x + 14 + ( x − )   ⇔ ( x − x + 1)  − =0  ( x − ) + x + x − x + 14 + ( x − )  ⇔ ( x − x + 1) ( ⇔ ( x − x + 1) ) x − x + 14 − x + = x − x + 14 − ( x + 3) ⇔ ( x − x + 1) 2 x − x + 14 + x + =0 x − x + 14 + x + =0 ⇔ x − 5x + = ⇔x= ± 21 - Thay lại ta có phương trình có nghiệm x = + 21 Nhận xét: 15 Qua ví dụ ta thấy việc tìm nghiệm phương trình, khẳng định tính chất nghiệm khâu quan trọng sở để định hướng cách giải mà MTCT giúp làm tốt điều Đặc biệt chức đạo hàm điểm MTCT cho phép ta tính đạo hàm giá trị x giúp ta tìm biểu thức liên hợp cách hiệu Một vấn đề đặt phương trình có nhiều nghiệm làm nào? Ta nghiên cứu tiếp mục sau 3.4 Phương trình vô tỷ có nhiều nghiệm Phương pháp chung: - Dùng chức SOLVE để tìm nghiệm x0 phương trình f ( x) = ; d X tính đạo hàm x0 để khẳng định tính chất - Dùng chức dx nghiệm; - Căn vào tính chất nghiệm để ta tách nhân liên hợp; - Có ba loại chính: Các nghiệm số hữu tỷ, nghiệm số vô tỷ nghiệm có hữu tỷ lẫn vô tỷ +) Để tìm liên hợp cho n f ( x ) trường hợp có hai nghiệm đơn x0 ax1 + b = n f ( x1 )  ⇒ a, b x1 làm sau: Đặt: n f ( x ) = ax + b đó:  n ax2 + b = f ( x2 ) +) Trường hợp nghiệm hữu tỷ nghiệm vô tỷ ta áp dụng cách làm cho nghiệm hữu tỷ đơn vô tỷ đơn Áp dụng phương pháp ta xét qua ví dụ sau Ví dụ Giải phương trình x − + 19 x − 30 = x − x + 11 (*) Phân tích: - Nhập phương trình vào máy tính, dùng chức SOLVE với x = 2, x = 3, x = cho ta hai nghiệm x = 2, x = Dự đoán phương trình có hai nghiệm - Kiểm tra tính chất nghiệm x = 2, x = d 3x − + 19 x − 30 − x + x − 11 ≠0 Ta có: x=2 dx d 3x − + 19 x − 30 − x + x − 11 ≠0 x =3 dx Do hai nghiệm hai nghiệm đơn - Tìm biểu thức liên hợp cho +) Giải sử: 19 x − 30 = ax + b Thay vào ta có ( ( ) ) 16  2a + b =  a = ⇔ ⇒ 19 x − 30 = x  3a + b = b = +) Tương tự: 3x − = x − Giải: - ĐK: x ≥ - Ta có: (*) ⇔ ( x − 1) − 3x −  +  x − 19 x − 30  + x − 10 x + 12 = 2 ( x − 19 x + 30 ) x − 1) − x + ( ⇔ + + x − 10 x + 12 = ( x − 1) + 3x − x + x 19 x − 30 + ( 19 x − 30 ) ⇔ ( x − ) ( x − 3) ( x + ) ( x − ) ( x − 3) + ( x − 1) + 3x − x + x 19 x − 30 + ( 19 x − 30 ) + ( x − ) ( x − 3) =   ( x + 5)  ⇔ ( x − ) ( x − 3) + + 2 =  ( x − 1) + x − x + x 19 x − 30 + ( 19 x − 30 )  1 4 4 4 4 44 4 4 4 4 4 43 > 0,∀x ≥ ⇔ ( x − ) ( x − 3) = ⇔ x = 2∨ x = - Kết luận: Phương trình có hai nghiệm x = 2, x = Ví dụ 10 Giải phương trình x + + − x = x − (*) Phân tích: - Nhập phương trình vào máy tính, dùng chức SOLVE với x = -3, x = -2, x = -1 cho ta hai nghiệm +) x ≈ −2,854101966 gán vào A (SHIF RCL (-) tức −2,854101966 → A ) +) x ≈ 3,854101966 gán vào B (SHIF RCL tức 3,854101966 → B ) Dự đoán phương trình có hai nghiệm - Kiểm tra tính chất nghiệm x = A, x = B d x + + − x − x2 + ≠0 Ta có: x= A dx d x + + − x − x2 + ≠0 x= B dx Do hai nghiệm hai nghiệm đơn - Tìm biểu thức liên hợp cho ,,, ( ) ( ) 17 x + = ax + b Thay A B vào ta có   Aa + b = A + a = x ⇔ ⇒ x+3 = +  3  Ba + b = B + b =  x +) Tương tự: − x = − + 3 Giải: - ĐK: x ∈ [ −3; −2] ∪ [ 2;4] - Khi đó: (*) ⇔ 12 x + + − x = x − 12 ⇔ ( x + ) − x +  + ( − x ) − − x  + x − x − 33 = +) Giải sử: ( x + ) − ( x + )  ( − x ) − ( − x ) + ⇔  + ( x − x − 11) = ( x + 4) + x + ( − x) + − x   ⇔ ( x − x − 11)  + + 3 =  ( x + ) + x + ( − x ) + − x  4 4 4 44 4 4 4 43 >0,∀x∈[ −3;−2] ∪[ 2;4] ⇔ x − x − 11 = ⇔x= 1± - Kết luận: Phương trình có hai nghiệm x = 1± Nhận xét: Như vậy, nhờ công cụ hỗ trợ đắc lực MTCT hình thành cách giải ngắn gọn cho nhiều toán Qua ví dụ phần giúp học sinh có thêm kiến thức, kĩ năng, tự tin việc vận dụng MTCT để giải toán phương trình vô tỷ kỳ thi THPT Quốc Gia, thi HSG cấp Ví dụ sau lấy đề thi THPT Quốc Gia năm 2015 mà vận dụng MTCT ta có cách nhìn hình thành cách giải tự nhiên đẹp x2 + 2x − Ví dụ 11 Giải phương trình = ( x + 1) x − 2x + ( x+2 −2 ) (*) (Đề thi THPT Quốc Gia 2015) Phân tích: - Nhập phương trình vào máy tính, dùng chức SOLVE với x = -1, x = 0, x = cho ta hai nghiệm 18 +) x ≈ 3,302775638 gán vào A (SHIF RCL (-) tức 3,302775638 → A ) +) x = Dự đoán phương trình có hai nghiệm - Kiểm tra tính chất nghiệm x = A, x = d  x2 + 2x − − ( x + 1) Ta có: dx  x − x + (  x+2 −2 ÷ ≠0  x= A d  x2 + 2x − − ( x + 1) dx  x − x + ( ) )  x+2 −2 ÷ ≠0  x =2 Do hai nghiệm hai nghiệm đơn - Tìm biểu thức liên hợp cho x + +) Thay x = vào x + được: x + = +) Thay x ≈ 3,302775638 vào x + ≈ 2,302775638 ≈ x − - Đó sở cho cách giải sau Giải: - ĐK: x ≥ −2 - Ta có: ( x + 4) ( x − 2) = x + x − ( ) (*) ⇔ x − 2x + x+2+2 x = ⇔ ( x + ) x + + − ( x + 1) ( x − x + 3) = (2) ( ) - Giải (2): ( x − x + 3) ( x + 1) − ( ) x + + ( x + 4) = ⇔ x3 − x − x − − ( x + ) x + = ( ) ⇔ ( x + 1) ( x − 3x − 1) − ( x + ) x − − x + = ( )( ) ( x + )  ( x + 1) ( x − + x + ) − ( x + )  =   x + )  x + x + + ( x + 1) x +  = x + )  x + x + + ( x + 1) x +  = x + )  ( x + + x + ) + x − x + 3 =   ) ⇔ ( x + 1) x − − x + x − + x + − ( x + ) x − − x + = ( ⇔ ( x −1− ⇔ ( x −1− ⇔ ( x −1− ⇔ x − 1− 2 2 4 4 44 4 4 43 > 0,∀ x ≥− 19 ⇔ x −1− x + = ⇔x= + 13 - Kết luận: Phương trình có hai nghiệm x = 2, x = + 13 Nhận xét: Đây toán hay, sâu sắc đòi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp Vận dụng MTCT cho ta cách giải đơn giản hơn, hướng mạch lạc tư toán nhẹ nhàng 3.5 Một số toán chọn lọc Giải phương trình sau + 13 −1 + x + x + x − x = ĐS: x = 1) x − x + = ( x − 1) x + + x + x − x + 2) x − x + x − − ( x − 1) 3) 3x + =4+ x x +1 ĐS: x = ĐS: x = x2 − x + 4) x + = 3x + 3x + + x + 12 x + ( x − 6) x − + − 2x = 2x − − 5) x − + x −1 6) x + x + = ( x + 1) x + + x + ĐS: x = ĐS: x = ĐS: x = ± 7) 50 x + 124 + ( 59 x + 18 ) x − − ( 66 x + 48 ) x + = ĐS: x = 2, x = 8) x + 14 x + 45 − ( x + ) x + + x − 2x + 146 25 =0 ĐS: x = 1, x = − ( 9) x x − + x − )( ) x − + = x − x − 25 x + 25 ĐS: x = 1, x = 57 − 32 10) x + 16 x + 18 + x − = x + ĐS: x = ±1, x = Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường - Qua thực tế giảng dạy học sinh lớp 11 12 trường THPT Triệu Sơn 1, thân áp dụng trực tiếp đề tài cho lớp 12A2 có 20 giảng dạy cho lớp 11C2 đạt hiệu khả quan: Các em vận dụng MTCT để tư tìm cách giải; vận dụng kĩ tìm nghiệm, xét tính chất nghiệm tìm biểu thức liên hợp tương ứng từ giải nhiều toán giải phương trình bất phương trình vô tỷ kỳ thi thử THPT Quốc Gia, thi HSG cấp tỉnh từ em tự tin tiếp cận với toán dạng Đặc biệt năm học trước 2014 - 2015 lần đầu áp dụng đề tài giảng dạy cho 48 em học sinh lớp 12 lớp chọn nhà trường đa số em giải câu phương trình vô tỷ đề thi THPT Quốc Gia 2015 kết có tới em đạt từ điểm Toán trở lên điểm trung bình môn Toán lớp lớp 7,8 Đó kết bước đầu khả quan SKKN - Đặc biệt năm học 2015 - 2016 qua kỳ thi Học sinh giỏi cấp tỉnh Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa tổ chức học sinh vận dụng giải câu hệ đề thi (liên qua đến ví dụ đề tài) Đây toán khó, đa số học sinh tham gia kỳ thi không làm thêm bớt số dẫn đến không xử lý phần lại học sinh tham gia học sinh giỏi trường THPT tỉnh - Đề tài báo cáo dạng chuyên đề sinh hoạt chuyên môn tổ Toán trường THPT Triệu Sơn thầy cô góp ý đánh giá cao Dùng làm tài liệu chuyên môn tổ áp dụng vào giảng dạy ôn thi THPT Quốc Gia giảng dạy cho em học sinh cuối lớp 11 trường - So sánh lớp, học sinh có áp dụng không áp dụng đề tài để đánh giá tác dụng SKKN Tôi chọn hai lớp 12 12A2 lớp thực nghiệm lớp 12 A1 làm lớp đối chứng giảng dạy phương trình vô tỷ lớp 12A2 áp dụng đề tài lớp 12A1 dạy thông thường Sau thời gian ba buổi dạy bồi dưỡng, tổ chức kiểm tra đánh hai lớp với thời lượng 45 phút với nội dung sau Câu Giải phương trình x − + x2 + 3x = x − + Câu Giải phương trình x − x + = 3x + + x + Câu Giải phương trình x3 − 18 x + 36 x − x = x + Kết thu sau kiểm tra Lớp 12A1 12A2 Số học sinh làm kiểm tra 42 42 Khá giỏi SL TL% 16 38,09 27 64,28 Trung bình SL TL% 20 47,63 13 30,95 Yếu SL TL% 14,28 4,77 +) Qua bảng kết ta thấy việc áp dụng đề tài SKKN đem lại kết rõ rệt 21 +) Qua theo dõi tinh thần học tập lớp thấy không khí học tập lớp 12A2 sôi nổi, tích cực hơn, em phấn khởi hứng thú học Học sinh dễ tiếp thu dễ vận dụng từ tự tin hơn, qua chấm thấy việc trình bày học sinh lớp 12A2 mạch lạc hơn, rõ ràng III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận - Qua trình áp dụng vào thực tế giảng dạy trường THPT Triệu Sơn từ năm học 2014 - 2015, thân nhận thấy bước đầu có kết khả quan thể hiệu giúp học sinh giải đa số toán giải phương trình vô tỷ Giúp em nắm vững phương pháp vận dụng thành thạo đơn giản cách trình bày Tạo tự tin cho em học giải toán - Đề tài tổ chuyên môn đánh giá cao định hướng áp dụng giải dạy cho học sinh khối 11, khối 12 đặc biệt ôn tập lại cho em học sinh chuẩn bị tham dự kỳ thi THPT Quốc Gia 2016 năm - Trong phạm vi SKKN nên quan tâm đến lớp phương trình vô tỷ Đề tài phát triển để áp dụng vào giải bất phương trình hệ phương trình Đó hướng phát triển đề tài mà dự định hoàn thiện tiếp thời gian tới - Trên kinh nghiệm thực tế qua trình giảng dạy nhiều năm rút cho thân bước đầu áp dụng có kết khả quan Do kinh nghiệm chưa nhiều nên đề tài không tránh hạn chế, tiếp tục bổ sung hoàn thiện dần năm học tới, mong nhận đóng góp ý kiến quý vị bạn đồng nghiệp để đề tài vào thực tiễn áp dụng nhiều đạt hiệu cao giảng dạy Kiến nghị - Kiến nghị với sở GD - ĐT Thanh Hóa phổ biến đề tài nghiên cứu có chất lượng áp dụng rộng rãi trường Nhà trường tổ môn nên có kế hoạch tổ chức buổi hội thảo trao đổi chuyên môn nâng cao chất lượng giảng dạy, phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm, báo cáo khoa học - Tăng cường bồi dưỡng cho giáo viên kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề bồi dưỡng cho học sinh, quan tâm tạo điều kiện cho hệ trẻ phát huy tốt lực mình, nâng cao chất lượng giảng dạy Đảm bảo đội ngũ giáo viên kế cận XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết không chép nội dung người khác 22 Trần Văn Long TÀI LIỆU THAM KHẢO [ 1] Sách giáo khoa Đại số Giải tích lớp 10 nâng cao BGD-ĐT [ 2] Đề thi đại học, cao đẳng THPT Quốc Gia môn Toán Bộ giáo dục đào tạo [ 3] Đề thi thử đại học số trường THPT toàn quốc năm 2014 - 2015 2015 - 2016 [ 4] Đề thi HSG năm tỉnh Thanh Hoá [ 5] Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi số trường tỉnh, tỉnh năm 2014 - 2015 năm học 2015 - 2016 [ 6] Tạp chí toán học tuổi trẻ [ 7] Bài tập chuyên đề trang web: www.vnmath.vn [ 8] Bài tập chuyên đề trang web: www.violet.vn [ 9] Nguyễn Thái Sơn (2014), Hướng dẫn giải toán máy tính CASIO fx - 570VN PLUS 23 24 ... với phương trình nghiệm xấu MTCT thực khó khăn trình định hình lời giải Để tiếp tục khai tác mạnh MTCT việc giải số phương trình vô tỷ, ta đến lớp phương trình thứ hai phương trình vô tỷ có nghiệm. .. phương trình vô tỷ Mặt khác phương trình lúc có nghiệm, MTCT công cụ hữu ích để tìm nghiệm phương trình Vì vậy, MTCT có vai trò quan trọng việc tìm nghiệm, định hướng giải phương trình, bất phương. .. với nghiệm vô tỷ nghiệm phương trình bậc hai, nghiệm phương trình bậc hai nghiệm phương trình vô tỷ dạng ax + b = c px + q (*) Khi thay nghiệm x0 vào (*) từ ta suy a, b c Để làm quen với phương