Rèn luyện kỹ năng sử dụng lượng liên hợp để giải phương trình, bất phương trình vô tỷ 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NHƯ THANH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG SỬ DỤNG LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán THANH HOÁ NĂM 2017 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong năm qua trường THPT Như Thanh coi trọng việc bồi dưỡng, nâng cao lực nghiên cứu khoa học cho giáo viên thông qua nhiều hình thức như: đổi sinh hoạt tổ nhóm chuyên môn theo hướng nghiên cứu học, ứng dụng công nghệ thông tin tiết dạy, phát động phong trào viết chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy, nghiên cứu đề tài khoa học sư phạm ứng dụng, tổ chức hoạt động ngoại khoá Đối với môn Toán có nhiều đơn vị kiến thức giáo viên phải tích cực trau dồi, bồi dưỡng đổi phương pháp đạt hiệu truyền tải kiến thức cho học sinh Hiện cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia có câu hỏi phân loại khó, giáo viên phải tìm tòi, tìm phương pháp để học sinh giải toán khó cách hiệu đề thi học sinh giỏi, thi THPT Quốc Gia Trong nội dung thi Đại học – Cao đẳng phần phương trình, bất phương trình vô tỷ đóng vai trò quan trọng Phần phương trình, bất phương trình vô tỷ có nhiều tập phong phú, điển hình mà thông qua việc tìm tòi cách giải tập phương trình, bất phương trình vô tỷ giúp hình thành rèn luyện tốt tư Toán học cho học sinh Mặt khác, phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỷ phương pháp sử dụng lượng liên hợp để giải phương pháp tương đối hữu hiệu, phương pháp giải hầu hết bập dạng Toán từ mức độ dễ đến khó Từ lý từ thực tiễn giảng dạy, bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học với kinh nghiệm trình giảng dạy Tôi tổng hợp, đúc rút thành chuyên đề: ‘‘Rèn luyện cho học sinh kỹ sử dụng lượng liên hợp để giải phương trình, bất phương trình vô tỷ’’ 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp cho học sinh rèn luyện, nâng cao kỹ giải phương trình, bất phương trình vô tỷ Cung cấp cho giáo viên thêm tư liệu cách hệ thống phần giải phương trình, bất phương trình vô tỷ 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu dạng tập phương trình, bất phương trình vô tỷ phương pháp nhân liên hợp để giải phương trình, bất phương trình vô tỷ 1.4 Phương pháp nghiên cứu Tự đọc tài liệu nghiên cứu Tổng hợp, thống kê, phân loại NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận Có nhiều cách định nghĩa khác kỹ Tuy nhiên hầu hết thừa nhận kỹ hình thành áp dụng kiến thức vào thực tiễn, kỹ học trình lặp lặp lại một nhóm hành động định Trong hoạt động dạy học môn toán nói riêng kỹ thể qua phương pháp dạy - học, kỹ trình bày, kỹ thuyết trình Trong môn toán kỹ chung dạy học thể qua yếu tố đặc thù môn chẳng hạn: kỹ giải toán, kỹ tính toán, kỹ giải phương trình, bất phương trình … 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu Giải phương trình, bất phương trình vô tỷ cách nhân liên hợp tương đối lạ đa số học sinh lớp 10 Khi gặp toán vấn đề trên, học sinh nhiều thời gian để biến đổi toán Một số học sinh lực tư hạn chế chưa biết cách tìm, tách, thêm bớt nhân lượng liên hợp phù hợp Chính người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc toán 2.3 Các giải pháp thực để giải vấn đề Khi tiếp cận toán, giáo viên phải giúp học sinh phải sử dụng lượng liên hợp phù hợp Sau giúp học sinh xây dựng phương pháp giải phù hợp Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với toán phương trình, bất phương trình vô tỷ, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập kiến thức đẳng thức từ tự suy biểu thức liên hợp tương ứng thường gặp Sau giáo viên chọn số toán điển hình để học sinh vận dụng Trong đề tài này, xin đưa số tập tương đối đầy đủ phương trình, bất phương trình vô tỷ giải phương pháp nhân liên hợp 2.3.1 Kiến thức toán kỹ có liên quan - Các biểu thức liên hợp thường sử dụng - Các phép biến đổi tương đương phương trình - Kỹ nhẩm nghiệm phương trình - Kỹ sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm phương trình - Kỹ đánh giá để chứng minh phương trình vô nghiệm 2.3.2 Một số toán thường gặp phương pháp giải 2.3.2.1 Sử dụng liên hợp để giải phương trình vô tỷ Dạng 1: Biểu thức liên hợp xuất phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình: x − − x − = x − Phân tích Sử dụng máy tính ta tìm nghiệm phương trình x = Và phương trình ta thấy: ( x − ) − ( x − 1) = x − x − = 2( x − 4) Giải Phương trình: x − − x − = x − x−4 ⇔ = 2( x − 4) 2x − + x − 1 ⇔ ( x − 4)( − 2) = 2x − + x − x = ⇔ (1)  =2  x − + x − ⇒ 2x − + x − Điều kiện: x ≥ Nên phương trình (1) vô nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình S = { 4} Ví dụ 2: Giải phương trình: 10 x + + 3x − = x + + x − Phân tích Sử dụng máy tính ta có phương trình có nghiệm x = Từ biểu thức có phương trình ta thấy: (10 x + 1) − (9 x + 4) = x − (3x − 5) − (2 x − 2) = x − Như ta phải chuyển vế sau nhân lượng liên hợp tương ứng Giải Điều kiện x ≥ 10 x +1 + x − = x + + x − ⇔ 10 x +1 − x + + x − − x − = x −3 x −3 + =0 10 x +1 + x + 3x − + x − 1 ⇔ ( x − 3)( + )=0 10 x +1 + x + 3x − + x − x = ⇔ 1  + = (1) 3x − + x −  10 x +1 + x + ⇔ Dễ có phương trình (1 ) vô nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình S = { 3} Nhận xét Nếu quan sát phương trình ta có (10 x + 1) − (3 x − 5) = x + (9 x + 4) − (2 x − 2) = x + Nên ta không chuyển vế mà nhân liên hợp xuất nhân tử chung x + , đưa phương trình phương trình tích Nhưng ta chưa giải xong toán nghiệm phương trình nằm phương trình lại Như việc sử dụng máy tính tìm nghiệm góp phần xác định hướng giải ngắn gọn Ví dụ 3: Giải phương trình: x = (2 x + 8)(1 − + x ) Phân tích Ta có (1 − + x ) (1 + + x ) = x Giải −1 Điều kiện ∀x ≥ Ta có phương trình cho: x = (2 x + 8)(1 − + x ) ⇔ x (1 + + x ) = (2 x + 8)4 x x = ⇔ (1) (1 + + x ) = x + Giải (1): (1 + + x ) = x + ⇔ + 2x = ⇔x=4 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = { 0;4} Bài tập tương tự Giải phương trình sau: 2x − − x = 2x − 1) x + 2x − = + x + 2) 3(2 + x − 2) = x + x + 3) 4) 1+ x −1 = 4x + x + 5) 2x + − 2 − x = 6) 6x − x2 + x = ( x + 9)(3 − + x ) 3x − − x + = x − x − 7) 8) x + + x + = x2 + 2x2 + Dạng 2: Tìm nghiệm đẹp thêm bớt để làm xuất biểu thức liên hợp Ví dụ 4: Giải phương trình: 3x + − − x + 3x − 14 x − = Phân tích 4x − biểu thức 3x + + − x lại phân tích xuất nhân tử x − Sử dụng máy tính cầm tay ta có nghiệm x = ( Nếu không sử dụng máy Nếu ta nhân liên hợp ta có 3x + − − x = tính cầm tay ta nhẩm nghiệm số cho biểu thức số phương) Phương trình (1) có nghiệm x = phân tích phương trình dạng ( x − 5).g( x) = Như cần làm xuất nhân tử chung x − Tại x = ta có: 3x + = 4; − x = , từ ta xác định lượng thêm, bớt 3x + − − x − Giải Điều kiện: x ∈ [- ;6] Ta có phương trình cho: 3x + − − x + x − 14 x − = ⇔ ( x + − 4) − ( − x − 1) + (3 x − 14 x − 5) = x − 15 x −5 ⇔ + + ( x − 5)(3x + 1) = 3x + + + − x ⇔ ( x − 5)[ + +3x + 1]=0 3x + + + − x ⇔ x=5 Vì biểu thức lại dương với điều kiện xác định Vậy tập nghiệm phương trình S= { 5} Ví dụ 5: Giải phương trình: x − + x − = Phân tích + Ta nhẩm nghiệm phương trình x = + Với x = ta có: x − = 1; x − = Giải Điều kiện: ∀x ≥ Ta có phương trình cho: x − + x2 − = ⇔ ( x − − 1) + (3 x − − 2) = x−4 ( x − 4)( x + 4) ⇔ + =0 x − + ( x − 8) + 23 x − + x = x+4 ⇔ + = 0(1) 2  ( x − 8) + 23 x − +  x − + Vì vế trái (1) dương với ∀x ≥ Vậy tập nghiệm phương trình S = { 1} Ví dụ 6: Giải phương trình x + 91 = x − + x Phân tích + Nhẩm nghiệm x = + Ta có với x = x + 91 = 10; x − = Giải ∀x ≥ Điều kiện: Ta có phương trình cho: x + 91 = x − + x ⇔ ( x + 91 − 10) − ( x − − 1) − ( x − 9) = ( x − 3)( x + 3) ( x − 3) ⇔( − − ( x − 3( x + 3) = x − +1 x + + 10 x = ⇔ (1) x+3  − − ( x + 3) =  x + 91 + 10 x − +1 Ta có ∀x ≥ ⇒ x+3 x + 91 + 10 < 1, x − +1 > 0, x + > nên phương trình (1) vô nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình S = { 3} Nhận xét: Trong toán công đoạn khó chứng minh phương trình (1) vô nghiệm Để chứng minh (1) vô nghiệm mà cần dựa vào điêu kiện xác định ( điều kiện cần để phương trình có nghiệm ), dựa vào điều kiện xác định ∀x ≥ Ví dụ 7: Giải phương trình: x − + x = x − (1) Phân tích Sử dụng máy tính ta có phương trình có nghiệm x = Giải Điều kiện: x ≥ (1) ⇔ x − − + x − = x − − ⇔ x2 − ( x − 1)2 + x − + ⇔ ( x − 3) ( + x−3= x+3 ( x − 1) + x − + x − 27 x3 − + +1− x + 3x + x3 − + )=0 x =  x+3 x + 3x + ⇔ +1− = (2)  ( x − 1) + x − + x − +  Giải (2) Ta có với x ≥ > 3 ( x − 1) > x − Thật ( x − 1)2 > x − ⇔ x − x + > x3 − 3x + 3x − ⇔ x − x3 + x − 3x + > ⇔ x ( x − 1) + ( x − 1)( x − 2) > ⇔ ( x − 1)( x3 + x − 2) > ∀x > x+3 x+3 < = (3) Suy 2 ( x − 1) + x − + x − + Mặt khác x + 3x + x3 − + > ≥ x + 3x + x3 − + = x + 3x + ( x − 1)( x + x + 1) + x + 3x + x + x + 18 2( x + x + 10) + 2( x − 1) = = > ∀x > (4) x2 + x x + x + 10 x + x + 10 +5 Từ (3) (4) ta có phương trình (2) vô nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình S = {3} Nhận xét Ta thấy với số liệu phương trình ta sử dụng biến đổi tương đương để giải Khi sử dụng phương pháp nhân liên hợp ta dễ dàng tìm nghiệm x = Nhưng khâu khó toán chứng minh phương trình (2) vô nghiệm Ví dụ 8: Giải phương trình − x + 32 x − x = 38 − x (1) Phân tích + Nhẩm nghiệm x = + Ta có với x = − x = 1, 32 x − x = 16 Giải Điều kiện: ∀ : −4 ≤ x ≤ (*) (1) ⇔ ( − x − 1) + ( 32 x − x − 16) = ⇔ ( x − 4)[ ( x − 4)( x + 4) 32 x − x + 16 + 4− x 1 − ]=0 − x +1 x =  ⇔  ( x − 4)( x + 4) 1 + − = 0(2)  32 x − x + 16 5− x ( x + 4) (2) ⇔ ( x − 4)[ + ]=0 32 x − x + 16 2( − x + 1) x =  ⇔  ( x + 4) + = 0(3)  32 − x + 16 2( − x + 1) Ta có ∀ : −4 ≤ x ≤ vế trái phương trình (3) dương nên phương trình (3) vô nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình S = { 4} Nhận xét: Trong toán này, vội vàng chứng minh phương trình (2) vô nghiệm ta bị “ vướng” x = nghiệm kép phương trình Bài tập tương tự Giải phương trình sau: 1) x − + − x = x − x − 2) x − + − x = x + 3x − 3) x + + x − = x − 4) x + 12 + = 3x + x + 5) x − + − x + x − = x − x 6) x − 11x + 21 − 3 4( x − 1) = 7) x + x + = − x − 8) x + = x − + x − 10 Dạng 3: Phương trình vô tỷ nhẩm hai nghiệm đẹp Ví dụ 9: Giải phương trình + x + 12 − x = x − x + Phân tích + Sử dụng máy tính cầm tay ta có nghiệm x = − ; x = Ta dự đoán sau phân tích có nhân tử (2 x + 1)(2 x − 3) Vậy ta phải thêm bớt đại lượng để sau nhân liên hợp ta có nhân tử chung x − x − Dựa vào biểu thức có phương trình ta có lượng thêm bớt số mà biểu thức dạng ax + b + Giả sử ta thêm bớt lượng sau: + x − (ax + b); 12 − x − (cx + d ) Các hệ số a, b, c, d xác định cách sau Ta thay giá trị x = −1 ;x = 2 vào phương trình + x − (ax + b) = 0; 12 − x − (cx + d ) = ta hai hệ 1  a − b = a = ⇒   − a − b = b =    + c − d = c = −2 ⇒  d = 3 c + d =  Giải Điều kiện: − ≤ x ≤ 2 (1) ⇔ + x − (2 x + 1) + 12 − x − (3 − x) = x − x − −4 x − x + −4 x − x + + = x2 − 4x − + 8x + 2x + 12 − x + − x 1 ⇔ ( x − x − 3) (1 + + )=0 + 8x + 2x +1 12 − x + − x ⇔ x2 − x − = ⇔  x = − ⇔ x =   3 Vậy tập nghiệm phương trình S = − ;   2 Bài tập tương tự 11 Giải phương trình sau: 3x + + x + = x − x + 1) x + + − x = x3 + x − 4x − 2) 3) x − x + − 21x − 17 + x − x = 3x + + x + = x + x + 13 4) x + + 5x + + 8x + = 4x2 5) 6) 9x − + 7x + 2x − = 2x + Dạng 4: Các nghiệm phương trình lẻ Ví dụ 10: Giải phương trình x + − x = x − x − Phân tích: + Dùng máy tính tìm nghiệm phương trình ta có nghiệm phương trình x ≈ 2, 618033989 Nếu nhẩm nhanh ta có x ≈ 2, 618033989 = + Mà x = + 2 nghiệm phương trình x − 3x + Như ta phải làm xuất nhân tử chung x − 3x + + Để xuất nhân tử chung x − 3x + lượng thêm bớt phải có dạng ax + b Giả sử ta biến đổi phương trình sau: x − (ax + b) + − x − (cx + d ) = x − x − − ( ax + b) − (cx + d ) Xét vế phải ta thấy bậc x2 nên suy x − x − − ( ax + b) − (cx + d ) = x − 3x + ⇒ (ax + b) + (cx + d ) = x − (1) 2 x − (ax + b) k ( x − 3x + 1) = x + (ax + b) x + (ax + b) Xét k = ±1; ± 2; để tìm a, b Trong ta thấy với k = −1 ta tìm a, b Thật x − (ax + b)2 = − x + 3x − ⇔ (ax + b) = ( x − 1)2 ⇒ ax + b = x − (2) Ta tìm c, d cách giống tìm a, b Nhưng suy từ (1) (2) cx + d = x − Ta có x − (ax + b) = Điều kiện: ≤ x ≤ Giải x ≥  x ≤ −1 Từ phương trình ta có x − x − ≥ ⇔  Suy ≤ x ≤ Phương trình cho tương đương với x − ( x − 1) + − x − ( x − 2) = x − x + ⇔ − x + 3x − − x + 3x − + = x − 3x + x + x −1 3− x + x − 12 ⇔ ( x − x + 1)(1 + 1 + )=0 x + x −1 3− x + x − ⇔ x − 3x + =  3+ x = ⇔    3− ( L) x =  Vậy tập nghiệm phương trình x = 3+ Bài tập tương tự: Giải phương trình sau: 1) x2 − 6x − = x + 2) x2 − x − = − x 3) x3 − 3x − = − 3x x + x + − ( x + 1) 14 x + 13 − 10 x + = 4) 2.3.2.2 Sử dụng liên hợp để giải bất phương trình Ví dụ 11: Giải bất phương trình x2 (1 − + x ) ≤ x+4 Phân tích Ta có (1 − + x ) (1 + + x ) = x Giải Điều kiện: ∀x ∈ [ − 1;+∞) \ { 0} Với điều kiện ta có bất phương trình cho tương đương với (1 + + x ) ≤ x + ⇔ 1+ 1+ x +1+ x ≤ x + ⇔ 1+ x = ⇔x≤4 Kết hợp điều kiện ta tập nghiệm bất phương trình S = [ − 1;4] \ { 0} Ví dụ 12: Giải bất phương trình 3x 3x + 10 ≥ − x + (1) Phân tích Ta có (1 − 3x + 1)(1 + 3x + 1) = −3x Giải Điều kiện: ∀x ≥ (1) ⇔ 3x 3x + 10 ≥ −1 − 3x 3x + + 13 ⇔ x( 3x + 10 ⇔ x≥0 + )≥0 3x + + Kết hợp điều kiện ta tập nghiệm bất phương trình S = [ 0;+∞) Ví dụ 13: Giải bất phương trình ( x + 1) x + + ( x + 6) x + ≥ x + x + 12 (Đề đại học khối D năm 2014) (1) Phân tích +) Thay dấu “ ≥ ” bất phương trình dấu “ = ” ta phương trình ( x + 1) x + + ( x + 6) x + = x + x + 12 , dùng máy tính tìm nghiệm phương trình ta nghiệm x = Như ta phải làm xuất nhân tử chung x − +) Cách xác định lượng thêm bớt hoàn toàn giống phương trình Với x = ta có x + = 2; x + = Ta biến đổi bất phương trình sau ( x + 1)( x + − 2) + ( x + 6)( x + − 3) ≥ x + x + 12 − 2( x + 1) − 3( x + 6) Giải Điều kiện: x ≥ −2 Với điều kiện trên, bất phương trình cho tương đương với ( x + 1)( x + − 2) + ( x + 6)( x + − 3) ≥ x + x + 12 − 2( x + 1) − 3( x + 6) x−2 x−2 ⇔ ( x + 1) + ( x + 6) ≥ x2 + x − x+2+2 x+7 +3 x−2 x−2 ⇔ ( x + 1) + ( x + 6) ≥ ( x − 2)( x + 4) x+2+2 x+7 +3 x+6  x +1  ⇔ ( x − 2)  + − ( x + 4)  ≥ (2) x+7 +3  x+2+2  Do x ≥ nên x + ≥ 0; x + > Suy x +1 x+6 x+2  x+6 x+6  x+2 + − ( x + 4) =  − + − − 2x +1 ( + 3x − 1) x + x + ≥ 3x + x+2 3x − x + + x − x + > x − + x − x − ( x + − x − 1)(1 + x + x − 3) ≥ x + x + + ≤ ( x + + x)( x − x + + x ) x + 35 < x − + x + 24 15 8) 9) x + + 2 x + ≤ ( x − 1)( x − 2) x2 + x + x2 + ≤ x+4 x2 + x + x + − ( x + 1) 14 x + 13 − 10 x + ≥ 10) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 2.4.1 Đối với học sinh ∗ Chọn lớp đối chứng gồm 15 học sinh lớp 10C1, chọn lớp thử nghiệm gồm 15 học sinh khác (lớp 10C1 lớp chọn khối A), chọn học sinh đội tuyển học sinh giỏi môn toán trường THPT Như Thanh ∗ Chọn tập xây dựng tập khác đề thi thử THPT Quốc Gia năm gần Tiến hành hướng dẫn học sinh giải tập chọn ∗ Tiến hành hướng dẫn học sinh nghiên cứu chủ đề “Kỹ sử dụng lượng liên hợp để giải phương trình, bất phương trình vô tỷ” Yêu cầu học sinh viết thành đề tài, nạp cho giáo viên (chỉ chọn học sinh đội tuyển học sinh giỏi) ∗ Tiến hành kiểm tra đánh giá 45 phút cho lớp nói ∗ Kết kiểm tra: Đối với nhóm học sinh giỏi kết kiểm tra tốt, điểm học sinh đạt từ loại trở lên, lớp 10C1 kết đạt từ loại trung bình trở lên ∗ Đối với chủ đề nghiên cứu lớp học sinh giỏi, em thực tốt Được rèn luyện kỹ giải toán phương trình, bất phương trình vô tỷ Đội tuyển học sinh giỏi nhà trường gồm em tham dự kì thi cấp tỉnh đạt giải Nhất, giải Ba, ba giải Khuyến khích ∗ Dạng tập phương pháp có hiệu cao với học sinh khá, giỏi 2.4.2 Đối với thân đồng nghiệp ∗ Đề tài dùng làm tài liệu cho học sinh giáo viên trình dạy học môn toán, ôn thi THPT Quốc Gia thi học sinh giỏi ∗ Từ đề tài mở rộng ứng dụng việc giải toán khó phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỷ, hệ bất phương trình có chứa tham số 2.4.3 Đối với nhà trường ∗ Đề tài áp dụng hoạt động giảng dạy góp phần nâng cao chất lượng giáo dục môn Toán, nâng cao kết thi học sinh giỏi, kết thi THPT Quốc gia học sinh trường THPT Như Thanh 16 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Quá trình nghiên cứu đề tài thu số kết sau: ∗ Trong đề tài nghiên cứu kỹ sử dụng lượng liên hợp để giải phương trình, bất phương trình vô tỷ ∗ Xây dựng hệ thống tập phương trình, bất phương trình vô tỷ cách giải sử dụng lượng liên hợp để giải Nghiên cứu sở lý luận kỹ dạy học nói chung kỹ dạy học môn toán nói riêng 3.2 Kiến nghị Sau tổng kết thực nghiệm sư phạm, có số đề xuất sau: ∗ Giáo viên nên thay đổi phương pháp dạy học để phù hợp với đối tượng, nội dung học Giáo viên hướng dẫn học sinh tự học, tự nghiên cứu, để tạo sản phẩm hữu ích giúp em có lượng kiến thức kỹ tốt để chuẩn bị cho kỳ thi ∗ Nhà trường, tổ chuyên môn cần khuyến khích hình thức, tự học tự nghiên cứu, hợp tác nhóm học sinh theo hướng dẫn giáo viên, từ tạo điều kiện cho giáo viên học sinh hợp tác làm việc nhằm cải thiện chất lượng học tập giúp em có tảng kiến thức thật vững XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng 04 năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Nguyễn Thị Kim 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO [ 1] Sách giáo khoa đại số 10; NXB Giáo dục 2008 [ 2] Tạp chí Toán học tuổi trẻ NXB Giáo dục [ 3] Các đề thi đại học môn toán từ năm 2002-2014 [ 4] Nguồn internet: http://diendantoanhoc.net http://k2pi.net.vn 18 ... đề: ‘ Rèn luyện cho học sinh kỹ sử dụng lượng liên hợp để giải phương trình, bất phương trình vô tỷ ’ 1 .2 Mục đích nghiên cứu Giúp cho học sinh rèn luyện, nâng cao kỹ giải phương trình, bất phương. .. trình, bất phương trình vô tỷ giúp hình thành rèn luyện tốt tư Toán học cho học sinh Mặt khác, phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỷ phương pháp sử dụng lượng liên hợp để giải phương. .. tính cầm tay để tìm nghiệm phương trình - Kỹ đánh giá để chứng minh phương trình vô nghiệm 2. 3 .2 Một số toán thường gặp phương pháp giải 2. 3 .2. 1 Sử dụng liên hợp để giải phương trình vô tỷ Dạng 1: