Một số kỹ năng sử dụng lượng liên hợp để giải phương trình - bất phương trình vô tỷ

Một số kỹ năng sử dụng lượng liên hợp để giải phương trình - bất phương trình vô tỷ tài liệu, giáo án, bài giảng , luận...

www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam MỘT SỐ KỸ NĂNG SỬ DỤNG LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PT-BPT VÔ TỶ

Nguyễn Văn Cường Gv THPT Mỹ Đức A-Hà Nôi Cuongvan12@gmail.com Đt 01272334598

( Gửi tặng các em học sinh 12A4-THPT Mỹ Đức A –HN năm 2014- 2015)

NỘI DUNG BÀI VIẾT ĐƯỢC ĐĂNG TRÊN ĐẶC SAN THTT THÁNG 10 2014

Khi giải các bài toán về phương trình,bất phương trình vô tỷ trong các kỳ thi đại học hay học sinh giỏi các tỉnh ,thành phố ,một trong các phương pháp hay được sử dụng là đưa phương trình về phương trình,bất phương trình tích Để giúp học sinh vận dụng tốt phương pháp này ,tôi xin giới thiệu một số

kỹ năng thường dùng khi vận dụng lượng liên hợp vào giải phương trình ,bất phương trình vô tỷ

Dạng 1: Biểu thức liên hợp xuất hịên ngay trong phương trình ,bất phương trình

Lưu ý: a b a b

−

± =

∓

(a,b>0 a≠b); 3 3

3 2 3 3 2

a b

a b

±

+

∓

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 10x 1+ + 3x 5− ≥ 9x 4+ + 2x 2− (Đề dự bị khôi B năm 2008)

Phân tích: 10x 1 (9x− − + =4) 3x 5 (2x 2)− − − nên ta có lời giải sau:

Lời giải : Điều kiện: x≥5 / 3 Bpt

( )

So với điều kiện,bất phương trình có nghiệm x≥3

Ví dụ 2: Giải phương trình :9( 4x+ −1 3x−2)= +x 3 (HSG K12 Hà Nội -2010)

Lời giải: Đk x ≥ 2 / 3

3

+

+ + −

x

Ví dụ 3 Giải phương

2

6x 4

x 4

−

+

Phân tích: Quan sát phương trình ta thấy 2x +4 –4(2-x)=6x-4.Đây là cơ sở tốt để ta nhóm

Lời giải:Đk

2 x 2,Bpt 2x 4 2 2 x

2x 4 2 2 x

+ + −

2

x 3 / 2

2x 4 2 2 x x 4(*)

 =



+ + − = +

 Bình phương hai vế phương trình (*) và chuyển vế ta có

4 2x 4 2 x+ − =x +2x 8− Do x2+2x 8 0− ≥ ⇔ ≤ −x 4;x 2≥ Kết hợp điều kiện ta có x=2

− − + = − −

www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam

2x − − =x 3 2x−3 x+1 xuất hiện nhân tử chung

Lời giải : Đk x≥2 / 3 Pt 2 3 ( )( ) ( ) 1 ( )

x

3 / 2

x

1

3x 2 x 1 = +x

− + + (Vô nghiệm vì VT<1,VP>1)

Dạng 2: Tìm được 1 nghiệm ,thêm ,bớt để làm xuất hiện biểu thức liên hợp

Ví dụ 5 Giải phương trình 3x+ −1 6− +x 3x2 −14x− =8 0 (1) ( ĐHKB-2010)

Phân tích:

Dùng chức năng CALC của máy tính bỏ túi ta tìm được nghiệm x=5 hoặc

Ta tìm một số x ( 1 6

3 x

− ≤ ≤ ) sao cho 3x+1 và 6-x là một số chính phương thỏa mãn phương trình trên

Dễ thấy x=5 thỏa (1).Vì vậy ta đưa phương trình trên về dạng (x-5)f(x)=0, ,vì vậy ta cần làm xuất nhân tử chung x-5 từ vế trái của phương trình bằng phương pháp liên hợp Muốn vậy tìm hai số a , b > 0 sao cho

hệ phương trình sau có nghiệm x=5

⇒

Lời giải : Txđ 1 6

3 x

− ≤ ≤

+ + + −

⇔

(3 1) 0(*)

x

− = ⇔ =







Ta thấy phương trình (*) vô nghiệm với 1 6

3 x

− ≤ ≤ Vậy x=5 là nghiệm duy nhất

Ví dụ 6: Giải phương trình 5x 1− +39 x 2x− = 2+3x 1− (HSG K12 Hà Nội -2012)

Phân tích :Tương tự ta thấy x=1 là nghiệm ,ngoài cách làm như trên chúng ta có thể làm nhanh

như sau:Thay x =1 vào 5x−1 ta được 2, vào 39−x ta được 2 vì thế ta tách như sau

Lời giải :Đk x≥1/ 5 Biến đổi phương trình

3

5x 1 2 (9 x) 2 9 x 4

2 3 3

1

(2 5)(*)

x

x

=







Pt (*) vô nghiệm vì VP ≥ 5,VT < 5/2

Ví dụ 7: Giải bất phương trinh 4 x 1 2 2x 3+ + + ≤( )x 1 (x− 2 −2)

Lời giải :Đk x≥ −1.x=-1 là một nghiệm xét x khác 1.Bất phương trình tương đương

www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam

( )

2

4(x 3) 4(x 3)

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm là x= −1;x 3≥

Ví du 8: Giải phương trình (x 2+ ) ( x2+4x 7 1 x x+ + +) ( 2+ + =3 1) 0

Phân tích :Từ phương trình ta thấy phương trình có nghiệm khi x x 2( + ≤ ⇔ − ≤ ≤) 0 2 x 0,x=-1 thoả

Lời giải :Phương trình ⇔(x 2 ( x+ ) 2+4x 7 2) 3+ − + + x ( x 2+ − +3 2) 3=0

( )

(x 2) x 3 x x 1

x 5x 8 x 4x 7 x x 2 x 3

 + + + + + − + + + 

Cách khác:

( )

pt x 1 1 x 4x 7 1 x 1 1 x 3 1 0

4

x 4x 7 x 3

⇔ + +  + + + + + −  + + =

⇔ +  + + + + + + + + + − + =

Bình Luận:Ta có thể giải bài toán này bằng phương pháp hàm số sau khi đã đưa về dạng

x 2+  x 2+ + + = −3 1 ( x) ( x) 3 1− + +

Dạng 3: Tìm được nhiều hơn một nghiệm

Ví dụ 9: Giải phương trinh 2x2− + −x 3 21x−17+ − =x2 x 0

Phân tích :Dùng máy tính ta thấy phương trình có nghiệm x=1,x=2 suy ra phương trình sẽ có nhân

tử là x2− +3x 2 Ta thấy ngay là không thể nhân và chia lượng liên hợp với hai căn đó ngay.Vậy thì làm thế nào để tách nhóm để tạo ra x2 − +3x 2?.Ta thực hiện nhóm giả định như sau

2

2x − + −x 3 mx+n ; px+ −q 21x−17 sau đó thay x=1,x=2 vào hệ phương trình

2

 − + − + =





 ta được (m n, ) ( ) ( ) (= 1;1 ; p q; = 3; 1− ) từ đó ta có lời giải sau

Lời giải: Đk x≥17 / 21 Pt ⇔( 2x2− + − − +x 3 x 1) (3x− −1 21x−17 )+ − + =x2 3x 2 0

www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam

2

− + + +

Ví dụ 10: Giải phương trinh 2x2−4x 9− + 5x 6+ + 7x 11 0+ =

Phân tích: Phương trình có nghiệm x=-1,x=2 nên ta làm xuất hiện biểu thức x2 − −x 2 làm nhân tử chung

Lời giải :Đk x≥ −6 / 5 Phương trình

2

2

2

2 x x 2 x 2 5x 6 x 3 7x 11 0

x 2 5x 6 x 3 7x 11

x x 2 0 x 1,x 2

2(*)

x 2 5x 6 x 3 7x 11

⇔ − − = + − + + + − + =

 − − = ⇔ = − =



+



4 9

x 2+ + 5x 6 x 3+ + + + 7x 11+ < + < suy ra pt (*) vô nghiệm

Ví dụ 11: Giải phương trinh x2+ − =x 1 (x 2 x+ ) 2 −2x 2+

Phân tích :Bài toán này ta không nhẩm được nghiệm của phương trình ngay.Tuy nhiên nếu dùng

máy tính bỏ túi ta dễ tìm được 2 nghiệm là x =3,828427125 ,x=-1,828427125 ta thấy

các nghiệm không đẹp nhưng quan sát kỹ ta lại thấy hai nghiệm tổng là 2,tích là -7 từ đó

ta làm xuất hiện nhân tử chung là x2 −2x 7− trong phương trình

Lời giải :Phương trình tương đương :

2 2

2

x 2x 7 3(x 2) (x 2) x 2x 2 0 x 2x 7 (x 2)(3 x 2x 2) 0

x 1 8 (x 1) 1 (x 1)

x 1 8

3 x 2x 2

− − + + − + − + = ⇔ − − + + − − + =

 − + − −   = +

Bình luận:Ngoài cách làm trên ta cũng biến đổi bất phương trình như sau Do x=-2 không là nghiệm của

phương trình

2

x x 1 x 2x 2 x x 1 3 x 2x 2 3 x 2x 7 x 2x 7

− + = − + ⇔ − + − = − + − ⇔ − − = − −

2 2

x 2x 7 0

x 2 x 2x 2 3 x 2x 2 x 1(VN)

 − − =

⇔ − −  − = ⇔

Tại sao thêm số -3 vào hai vế của phương trình ? ,dạng 4 sẽ giúp ta tìm ra điều đó

Ví dụ 12 Giải bất phương trình

2

x 4+ + + ≤2 x 1

Phân tích: Dùng chức năng SOLVE của máy tính ta có 2nghiệm của phương trình là

x 1,732050808;x≈ ≈ −1,732050808.mới quan sát ta thấy chúng không đẹp,nhưng ta thấy tổng của chúng là

www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam

0,tích của chúng là -3,vì vậy hai số đó là nghiệm của phương trình x2− =3 0.Từ đó ta làm xuất hiện x2−3

trong phương trình Với x=1,732050808 Biểu thức

2

x x 1

x 4

+ + + có giá trị 1,Biểu thức 2

1

x 1+ có giá trị

1

2

Vì vậy ta cần thêm vào hai biểu thức này lần lượt hai số 1, 1/ 2

Lời giải :Đk x>-4 Phương trình tương đương

2

x 1 1 x 4

x 4

2 2 x 1 x 1 2

x x 1 1 x 4

x 4

Ví dụ 13: Giải phương trinh x2−6x− =2 x+8

Phân tích :Phương trình trên có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ hoặc đưa về dạng a2 =b2

Tôi xin trình bày một cách khác là sử dụng lượng liên hợp

Dùng máy tính ta thấy phương trình có 1 nghiệm là 7 3 5

2

+

thay vào 8 46 6 5 1 3 5(1)

Do đây là phương trình vô tỷ với hệ số nguyên,nên các nhân tử thông thường cũng có hệ số nguyên

ta giả định x+8=mx+n.Quan sát (1) ta thấy 7 3 5 3 1 3 5

+ − = +

nên x+ = −8 x 3vì lẽ đó

trong phương trình sẽ có nhân tử là x− −3 x+8

Lời giải :Pt ⇔ − −(x 3 x+ +8) (x2−7x+ = ⇔ − −1) 0 (x 3 x+ + − −8) (x 3 x+8)(x− +3 x+ =8) 0

7 3 5

2

x

x

 = +



 − − + = 





Ví dụ 14: Giải phương trình x4− + +x2 4 x4+20x2 + =4 7x ( Hsg Tỉnh Thái Bình k12/ 2010)

Lời giải: Từ phương trình suy ra x>0

Phương trình

x x 4 2x x 20x 4 5x

www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam

x − +x x + x + −bx= có nghiệm x=1 ta tìm được a=2,b=5

Dạng 4: Xây dựng biểu thức liên hợp trong phương trình ,bất phương trình

Ý tưởng xuất phát từ việc nhiều phương trình ,bất phương trình nghiệm quá xấu,không phù

hợp để sử dụng dạng 2,3 để tạo được nhân tử chung trong phương trình.Khi đó ta sẽ thêm

một đại lượng giả định vào hai vế của pt,bpt,tìm đại lượng giả định đó bằng phương pháp

cân bằng hệ số của các tử số

Ví du 15: Giải phương trình: 2 ( ) 2

x + x+ = x+ x + x+ ( HSG Long An K12 2013) Phân tích:Sử dụng máy tính bỏ túi ta thấy phương trình có nghiệm không đẹp.Do x=-1/2

không là nghiệm nên ta biến đổi phương trình về dạng

2

x

+ + + + =

+ .Ta sẽ đi tìm một số

a nào đó đặt vào hai vế để khi nhân liên hợp và quy đồng thì sẽ tạo được nhân tử chung

2

2

2

+ − + −

Lúc đó ta cần xác định a để 2 2 2 ( )

x + x+ −a =x + − a x+ −a.Ta tìm được a=2

Lời giải: D=R x=-1/2 không thỏa Pt

2

x

 + − =

+

3

x x

 = − ±



=



Bình luận:Tổng quát hơn ta có thể thêm vào hai vế của phương trình với đại lượng ax+b rồi

tìm a,b bằng phương pháp cân bằng hệ số như trên Xét ví dụ sau

Ví du 16 Giải phương trình:2x (x 1) x2 − + =( )x 1 2x x− ( 2− +x 2)+6

Lời giải: Đk x≥0.Nhận thấy x = 1 không là nghiệm của phương trình

Pt

3 2

3 2

⇔ − − ⇔ =

Ví du 17: Giải phương trình x x 62( + =) (5x 1 x− ) 3+ +3 2x 3−

Lời giải: Đk x≥ −3 3 biến đổi phương trình tương đương ( x=1/5 không là nghiệm cua pt)

x 6x 2x 3 x 3 x 6x 2x 3 2x x 3 2x x 4x 3 x 3 2x

+ − + = + ⇔ + − + − = + − ⇔ − + = + −

www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam

2

x 4x 3 0



− + =



Nếu x3+ +3 2x 0≠ (*) tương đương

3 3

x 4x 3 0

x 4x 3 x 4x 3 5x 1 x 3 2x x 3 2x 5x 1

 − + =

Giải hai phương trình ta được nghiệm x=1,x 3 21,x 4 3 2

2

+

Ví du 18: Giải phương trình ( 2 ) 2 3 2

x + x − + = +x x x − x+

Lời giải: D= R Viết lại phương trình như sau

( )

( )

3 2

2

8 / 7

8 / 7

2

x

x x

x

+ + + − − + − +

− +

= −



+  − + + + − + = ⇔  − + = − + − ⇔ = ± +

x − + + +x x =0 vô nghiệm)

Ví du 19: Giải phương trình 2 ( 2 )

x − − =x x− x − x−

Lời giải:Đk x≥1 ,Pt

2 2

1

x

− −

2

x − x− =0 không là nghiệm pt)

( )

( )

1 1

1 2

1 2

x

x x

x x

=

= + =



Bài tập Vận dụng:

1.Gpt : 2x− + −1 x2 3x+ =1 0 2.Gpt : 3 2( + x−2)=2x+ x+6

3.Gpt : x2+ 12 + = 5 3 x + x2+ 5 4 Gpt x− +2 4− =x 2x2−5x−1

5 Gpt x x 62( + =) (5x 1 x− ) 3+ +3 2x 3− 6.Gpt 2x2−3x− −7 4x+ =5 0