Truy ngược dấu biểu thức liên hợp để giải phương trình vô tỉ - Hương Nguyễn - TOANMATH.com

Truy ngược dấu biểu thức liên hợp để giải phương trình vô tỉ - Hương Nguyễn - TOANMATH.com tài liệu, giáo án, bài giảng...

PHƯƠNG PHÁP DÙNG LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ **** I. Một số kiến thức cần nhớ: I.1. Một số hằng đẳng thức hay sử dụng: + ( ) ( ) 2 2 x y x y x y − = − + + ( ) ( ) 3 3 2 2 x y x y x xy y − = − + + + ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 x y x y x y x y − = − + + … + ( ) ( ) 1 2 2 1 n n n n n n x y x y x x y xy y − − − − − = − + + + + Sử dụng những hằng đẳng thức này, ta có thể quy phương trình vô tỉ ban đầu về dạng phương trình tích bằng việc làm xuất hiện các nhân tử chung. Từ đó ta có thể dễ dàng giải quyết tiếp! Thường thì ở các bài toán sử dụng phương pháp này thì ý tưởng tổng quát của ta như sau: - Giả sử nếu ta có phương trình dạng ( ) 0F x = với ( ) F x xác định trên một miền D nào đó và ta nhẩm được một nghiệm x = a của phương trình thì ta có thể biến đổi phương trình đã cho lại thành ( ) ( ) 0x a G x− = . Đến đây ta chỉ việc xử lí phương trình G(x) = 0 nữa là ổn! (Việc xử lí phương trình G(x)= 0 có thể sử dụng công cụ đạo hàm hoặc bằng bất đẳng thức). II. Các ví dụ minh họa: Sau đây, để làm rõ thêm nội dụng và ý tưởng của phương pháp, mời các bạn cùng thử sức với các ví dụ sau: II.1. Các bài toán mở đầu Các bạn hãy thử sức mình với các bài toán này trước nhé! Bài toán 1: Giải phương trình sau: 1 4 9 16 100x x x x x+ + + + + + + = + Bài toán 2: Giải các phương trình sau: a) 3 3 3x x + + = b) 3 3 2 1 1x x + + = c) 2 2 1 3 1 0x x x − + − + = d) ( ) 9 4 1 3 2 3x x x + − − = + II. 2. Bài tập minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình 3 2 2 2 3 8 2 15x x x + + − = + (1) Giải: Ta dự đoán được nghiệm 1x = ± , và ta viết lại phương trình như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 1 3 1 8 3 15 4x x x ⇔ − + + − = + − ( ) 2 2 2 3 34 2 2 2 3 1 1 1 1 8 3 15 4 x x x x x x x − − − ⇔ + = + + + + + + 2 3 3 4 2 2 2 1 1 1 1 1 8 3 15 4 x x x x x  =  ⇔  + =  + + + + + +  Mặt khác, ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 15 8 15 4 8 3 15 4 8 3 x x x x x x + > + ⇒ + + > + + ⇒ < + + + + Nên phương trình thức hai vô nghiệm. Vậy (1) có 2 nghiệm 1, 1x x = = − . Ví dụ 2: Giải phương trình sau ( ) 2 2 2 2 3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x − + − − = − − − − + (2) Giải: Ý tưởng: Trước hết, kiểm tra ta thấy được rằng phương trình đã cho có một nghiệm 2x = nên ta sẽ cố gắng đưa phương trình trên về phương trình tích xuất hiện nhân tử ( ) 2x − . Ta có nhận xét rằng: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 5 1 3 3 3 2 2x x x x x − + − − − = − − và ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 4 3 2x x x x − − − + = − Ta đi đến lời giải như sau: (2) ( ) 2 2 2 2 3 5 1 3 1 2 3 4x x x x x x x ⇔ − + − − − = − − − + ( ) 2 2 2 2 2 4 3 6 2 3 4 3 5 1 3 1 x x x x x x x x x − + − ⇔ = − + − + − + + − + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 0 2 3 4 3 5 1 3 1 x x x x x x x x     ⇔ − + =   − + − + − + + − −   Mặt khác, ta có: ( ) 2 2 2 2 2 3 2 3 4 3 5 1 3 1 x x x x x x x + − + − + − + + − − > 0 với mọi x Vậy phương trình (2) có một nghiệm duy nhất x = 2. Ví dụ 3: Giải phương trình 2 2 2 7 10 12 20x x x x x − + = + − + (3) Giải: Cũng bằng cách kiểm tra, ta thấy pt (3) nhận x = 1 làm một nghiệm nên ta có thể đưa phương trình (3) về dạng phương trình tích xuất hiện nhân tử ( ) 1x − . Ta viết lại như sau: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 7 10 1 12 20 2x x x x x x     ⇔ − + − + = − + − +     (4) Để ý rằng Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com “Truy ng c dâu cac biêu th c liên h p đê giai ph ơng trinh vô ty” :  ax  bx  c  A  x   Vi du : G x 1  x  D A(x)0 x  D x3  3x  17 x  26  x  x  1  x    x  3x  18 x  27   x 1    x  3     x  3  x  x     x 1     x 1   x  3   x  x     x 1   Do x 1  x2  x   x 1  x 1   x  3 x  3  0, x  1 x 1  Nhân xet : -   x3  3x2  17 x  30  2  x       x  3  x  x  10  0 x 1    x  x  10  x 1  Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com - Khi ta t x 1  x 1  2  x 1    x 1  x  x     x 1    x  3  x 1  x2  x  x 1  A(x)= x  1 x2  x   x  1) 2) x3  x  x   x  3) x3  x    x  Vi du Phân tich x2  5x   x    x (TH&TT) x   2;4 - f(x)>0 , x   2;4 1  x  - 1 x   x2  x3 1  x   x  3 1  0x   2;4 1 x  1 x   x  1   x  3  0x   2;4 1  x x2 x  1 x2  0, x   2;4 x  1 L i giai Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1    2 x4 4 x  x2   x    x2  x   x  3 x   x x   x3    1  x x  1    x  3   1  x  x3  1  x  x2  x   x  1  x2  x  0x   2;4 x  1 -Nhân xet ô  1    x  1   x  1 1  x  1   2x  x  1 1  x  x  3   : x    x  3x  1) 2) 3) x  x  3x   x  x Vi du  1  x  1   x  x   x 1 x   x   x2  ng Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x   x   4x2   x 1   x 1 1  x  x2  x6 x 1 1  x 1  x 1   x  2    x 1 1  x2 x 1  x 1 1 3  x  6 x   x  14   x  6  16   x   x   x  14   x  6    x2  5x    x   x  14    x   x  3   x    16   x   3   16   x  6  x   0x  -Nhân xet x 1  x6   x 1 1  x  6 4 2     4x  3    1  x  6 x 1  10 x   x   3x  1) 2) 3) x  3x   x   x  x  x   3x   3x  x  14 x   x   x    x 15 x   x   x   11x   x  1 x    x    x  6   x    x  x   TH & TT  T / 419  x    3x  x  x   x 11  x  x  x 1  x   Vi du  x  1  x  3x  5  x   x    x  1 x   x  3x  Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  x  1 x2      x    x   3x   x     x  1 x  x2  x2    x3  3x   x  1   x  1 x   3  3x  5   x  1    x2  x    x  1    x  1    1  2  x    x  1   x  1 3 x    x       x 1 Do  x  1 x2    x2  x   x  1   x  1 x   3  3x  5   0x  -Nhân xet : x 2  x  1 x   x  1 - x3  x  x   x x  x   x  1) 2) 3x   x   1  x  x  x  3) x3  x  13x    x   x  3x   3x    x  1 Vi du x    x   x   x  x  12  Phân tich  -  , x  2 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  x  2  x  1  x  1  x  2 x2 mx  n  x    m  m  n   :   m  n  2  n   - 3x  21x  36   x  1 x    x   x    x  1 x  3 x  6 x   x  1  x    x    x  6 x    x    x  3x  10  L i giai x  2  x  1  x   x     x  6 x   x   3  x2  3x  10   x  1  x    x  x   x    x  x         x43 x2 x7 3   x  1  x  6 x   x      x  2     x7 3  x   x   x2 Do  x  1 x43 x2   x  6 x7 x7 3   x    0x  2 x=2 1) 2) 3) 3x  14 x  13   x  1 x    x   x  x   3x  1  x  17 x  28   x  13 x  8x2  x  1   x  1 x    3x  1 x  Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vi du 6:  x  2 x    x  5 x   6 x  23 x   t t  0 x  1 t  6t  t  17   4t  1 2t    4t  1   4t  1   2t   t    t    3t  4t    t  2t 2t   t    t    3t  4t      4t  t  t  2   3t  4t     2t   t   t2 Do 4t  t 2t   t   3t  4t   0, t   Nhân xet : 1) 2) 3) x    x  1 x    x  1 x   8 x  13 x   12 x  35   x   x  x  12   x   x    x  13 x  Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ** Binh luân :  BAI TÂP REN LUYÊN x   22  x  x  TH & TT  T 11 / 396  x    x  x   x  x TH & TT  T / 388  x  14 x   x   x    x 15 x   x   x   11x   x  1 x    x2  2   x    x  x2   TH & TT  T / 419   x  6 x    3x  Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x  x   x 11  3x  x  ( TH&TT) x 1  x    x  1  x  3x  5  x Trích từ tài liệu Truy ngược dấu tác giả Hương Nguyễn (C1K36) www.k2pi.net 1 SỬ DỤNG KỸ NĂNG NHÂN LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ Nguyễn Văn Cƣờng Gv THPT Mỹ Đức A-HN:0433741526- 0127.23.34.598 Cuongvan12@gmail.com Trong đề thi đại học khối B năm 2010 có câu giải phương trình vô tỷ,câu này gây nhiều khó khăn cho học sinh khi làm bài thi.Để giúp học sinh nắm vững cách làm dạng phương trình trên,bài viết này tôi xin trình bày kỹ năng biến đổi sử dụng biểu thức liên hợp trong giải phương trình vô tỷ . Hy vọng rằng sẽ giúp ích cho các em làm tốt các dạng bài trên . Cơ sở lý thuyết :  Xét phương trình f(x) = 0 ( f(x) là đa thức).Nếu phương trình có một nghiệm x = x 0 khi đó ta có thể viết phương trình trên dạng : (x-x 0 )g(x) = 0 (Định lý Bơzu) ab ab ab   (a,b>0 a  b); 33 33 22 3 ab ab a ab b    Ví Dụ 1 Giải phương trình 2 3 1 6 3 14 8 0x x x x       (1) ( ĐHKB-2010) Phân tích: Ta tìm một số x ( 1 6 3 x   ) sao cho 3x+1 và 6-x là một số chính phương thỏa mãn phương trình trên .Rễ thấy x=5 thỏa (*).Vì vậy ta đưa phương trình trên về dạng (x-5)f(x)=0,nhưng định lý Bơzu chỉ đúng đối với f(x) là đa thức ,vì vậy ta cần làm xuất nhân tử chung x-5 từ vế trái của phương trình bằng phương pháp liên hợp. Muốn vậy tìm hai số a , b > 0 sao cho hệ phương trình sau có nghiệm x=5. 3 1 0 4 6 0 1 x a a b x b               Lg: TXĐ 1 6 3 x   (1)  2 3 5 5 ( 3 1 4) (1 6 ) 3 14 5 0 ( 5)(3 1) 0 3 1 4 1 6 xx x x x x x x xx                      5 0 5 11 (3 1) 0(*) 3 1 4 1 6 xx x xx                  Ta thấy phương trình (*) vô nghiệm với 1 6 3 x   .Vậy x=5 là nghiệm duy nhất . Ví du 2:Giải phương trình : 2 2 1 3 1 0x x x     ( ĐHKD-06) (2) Phân tích: Tương tự như trên ,ta thấy x=1 là một nghiệm của phương trình . Lg: Đk 1 2 x  .Viết lại phương trình như sau :   2 2( 1) 2 ( 2 1 1) 3 2 0 ( 1)( 2) 0 1 2 0 2 1 1 2 1 1 1 2 2 0(*) 2 1 1 x x x x x x x x xx x x x                                    Đặt t= 2 1 0x , (*) 2 2 1 0 2 1 2 2t t t x           . Vậy nghiệm của phương trình là x=1, 22x  Cách 2:Biến đổi 2 2 1 (2 1) 0x x x x      ,Đặt t = 2 1 0x ta có x 2 - t 2 = x-t Cách 3: biến đổi tương đương Ví Dụ 3 Giải phương trình :   3 2 2 2 6x x x     (3) (HVKTQS 2000) www.k2pi.net 2 Phân tích : Nhận thấy x=3 là một nghiệm của nghiệm của phương trình .Ta sẽ đưa (2) về dạng (x-3)f(x)=0 như sau Lg: Viết lại phương trình (2): 2(x-3) + 8( 3) ( 6 3 2) 0 2( 3) 0 6 3 2 x x x x xx             3 30 3 8 11 3 5 20 6 3 2 4 6 3 2 2 x x x xx x xx                              Ví Dụ 4 :Giải phưng trình 2 2 12 1 x x x xx    (4) Phân tích: Ta thấy phương trình có nghiệm x= 1 2 ,ta phân tích như sau Lg: Đk 01x ,(3)         2 2 2 1 1 2 1 1 2 0x x x x x x x x x x x                2 3 2 2 12 1 4 2 1 0 1 2 0 1 1 2 1 1 2 xx x x x x x x x x x x x x x x x x                        22 21 0(*) 1 1 2 1 2 x x x x x x x x x               Nhận thấy (*) vô nghiệm với 01x .Vậy 1 2 x  là nghiệm duy nhất . Ví Dụ 5:Giải phương trình :   9 4 1 3 2 3x x x     (5) (HSG k12 Hà Nội -2010) Lg: Đk 2 3 x  ,Nhận thấy x=6 là một nghiệm của phương trình ,ta phân tích như sau (5)     36( 6) 27( 6) 9 4 1 5 4 3 2 6 6 4 1 5 4 3 2 xx x x x x xx                       6 36 27 ( 6) 1 0 36 MATHVN.COM | www.mathvn.com www.MATHVN.com & Nguyn Vn Cng 1 S DNG K NNG NHN LIấN HP GII PHNG TRèNH Vễ T Nguyn Vn Cng GV THPT M c A - H Ni Email : cuongvan12@gmail.com Trong thi i hc khi B nm 2010 cú cõu gii phng trỡnh vụ t,cõu ny gõy nhiu khú khn cho hc sinh khi lm bi thi. giỳp hc sinh nm vng cỏch lm dng phng trỡnh trờn,bi vit ny tụi xin trỡnh by k nng bin i s dng biu thc liờn hp trong gii phng trỡnh vụ t . Hy vng rng s giỳp ớch cho cỏc em lm tt cỏc dng bi trờn . a b a b a b - = m (a,b>0, a ạ b); 3 3 3 3 2 2 3 a b a b a ab b = + m Vớ d 1 Gii phng trỡnh 2 3 1 6 3 14 8 0 x x x x + - - + - - = (1) ( Khi B-2010) Phõn tớch: Ta tỡm mt s x ( 1 6 3 x - Ê Ê ) sao cho 3x+1 v 6-x l mt s chớnh phng tha món phng trỡnh trờn .D thy x=5 tha (*).Vỡ vy ta a phng trỡnh trờn v dng (x-5)f(x)=0,nhng nh lý Bzu ch ỳng i vi f(x) l a thc ,vỡ vy ta cn lm xut nhõn t chung x-5 t v trỏi ca phng trỡnh bng phng phỏp liờn hp. Mun vy tỡm hai s a , b > 0 sao cho h phng trỡnh sau cú nghim x=5. 3 1 0 4 6 0 1 x a a b x b ỡ ỡ + - = = ù ù ị ớ ớ - - = = ù ù ợ ợ Li gii: TX 1 6 3 x - Ê Ê (1) 2 3 5 5 ( 3 1 4) (1 6 ) 3 14 5 0 ( 5)(3 1) 0 3 1 4 1 6 x x x x x x x x x x - - + - + - - + - - = + + - + = + + + - 5 0 5 1 1 (3 1) 0(*) 3 1 4 1 6 x x x x x - = = ộ ờ ờ + + + = ờ + + + - ở Ta thy phng trỡnh (*) vụ nghim vi 1 6 3 x - Ê Ê .Vy x=5 l nghim dy nht . Vớ d 2:Gii phng trỡnh : 2 2 1 3 1 0 x x x - + - + = ( HKD-06) (2) Phõn tớch: Tng t nh trờn ,ta thy x=1 l mt nghim ca phng trỡnh . Li gii: k 1 2 x .Vit li phng trỡnh nh sau : ( ) 2 2( 1) 2 ( 2 1 1) 3 2 0 ( 1)( 2) 0 1 2 0 2 1 1 2 1 1 1 2 2 0(*) 2 1 1 x x x x x x x x x x x x x - ổ ử - - + - + = + - - = - + - = ỗ ữ - + - + ố ứ = ộ ờ ờ + - = ờ - + ở t t= 2 1 0 x - , (*) 2 2 1 0 2 1 2 2 t t t x + - = = - ị = - - . Vy nghim ca phng trỡnh l x=1, 2 2 x = - MATHVN.COM | www.mathvn.com www.MATHVN.com & Nguyễn Văn Cường 2 Cách 2:Biến đổi 2 2 1 (2 1) 0 x x x x - + - - - = ,Đặt t = 2 1 0 x - ³ ta có x 2 - t 2 = x-t Cách 3: biến đổi tương đương Ví dụ 3 Giải phương trình : ( ) 3 2 2 2 6 x x x + - = + + (3) (HVKTQS 2000) Phân tích : Nhận thấy x=3 là một nghiệm của nghiệm của phương trình .Ta sẽ đưa (2) về dạng (x-3)f(x)=0 như sau Lời giải: Viết lại phương trình (2): 2(x-3) + 8( 3) ( 6 3 2) 0 2( 3) 0 6 3 2 x x x x x x - + - - = Û - - = + + - 3 3 0 3 8 11 3 5 2 0 6 3 2 4 6 3 2 2 x x x x x x x x = - = é é = é ê ê Û Û Û ê - ê ê - = + + - = = ë ê ê + + - ë ë Ví dụ 4 :Giải phưng trình 2 2 1 2 1 x x x x x - + = + (4) Phân tích: Ta thấy phương trình có nghiệm x= 1 2 ,ta phân tích như sau Lời giải: Đk 0 1 x < £ ,(3) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 1 1 2 0 x x x x x x x x x x x Û + - = + Û - - + - - = ( ) ( ) 2 3 2 2 1 2 1 4 2 1 0 1 2 0 1 1 2 1 1 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x - æ ö - - + + Û + = Û - + = ç ÷ - + - + - + - + è ø 2 2 2 1 0(*) 1 1 2 1 2 x x x x x x x x x é + + + = ê - + - + ê Û ê = ê ë Nhận thấy (*) vô nghiệm với 0 1 x < £ .Vậy 1 2 x = là nghiệm dụy nhất . Ví dụ 5:Giải phương trình : ( ) 9 4 1 3 2 3 x x x + - - = + (5) (HSG k12 Hà Nội -2010) Lời giải: Đk 2 3 x ³ ,Nhận thấy x=6 là một nghiệm của phương trình ,ta phân tích như sau (5) ( ) ( ) 36( 6) 27( 6) 9 4 1 5 4 3 2 6 6 4 1 5 4 3 2 x x x x x x x x - - é ù é ù Û + - + - - = - Û - = - ê ú ë û + + + - ë û 6 36 27 ( 6) 1 0 36 27 1 0(*) 4 1 5 4 3 2 4 1 5 4 3 2 x x x x x x = é é ù ê Û - - - = Û ê ú ê - - = + + + - ë û ê + + + - ë Rễ thấy phương trình (*) vô nghiệm. Cách khác : 3 (5) 9 3 9 4 1 3 2 4 1 3 2 x x x x x x + æ ö Û = + Û = + + - ç ÷ + + - è ø Bình phương hai vế ta cũng thu được x=6 Ví dụ 6 Giải phương trình : 2 2 12 5 3 5 x x x + + = + + (6) MATHVN.COM | www.mathvn.com www.MATHVN.com & Nguyn Vn Cng 3 Phan tớch: phng trỡnh cú nghim thỡ : 2 2 5 12 5 3 5 0 3 x x x x + - + = - > > Ta nhn thy : x=2 l nghim ca phng trỡnh . Li gii: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 (6) 12 4 3 6 5 3 3 2 12 4 5 3 2 2 2 3 0 2 12 4 5 3 x x x x “Truy ng u th c liên h i ph ” : A(x)0 x  D ơ 1:G x  1 x 1  x3  3x2  17 x  26  x  ơ  x    x3  3x  18 x  27   x 1    x  3     x  3  x  x     x 1     x 1   x  3   x  x     x 1   x 1 x 1  x  x     x  3 x  3  0, x  1 Do x 1  x 1  t: - Page giọt nước!   x3  3x  17 x  30  2  x       x  3  x  x  10  0 x 1    x  x  10  x 1  - Khi ta t  x 1  x  3  x 1  x 1     x 1  x  x     x 1   A(x)= x 1  x2  x  x 1  x  1 1) x2  x   x  2) x3  x  x   x  3) x3  x    x  2 x2  5x   x    x (TH&TT) ch - ơ x   2;4 ơ x   2;4 1  x  1 x   x2    x  3   0x   2;4 1  x 1  0x   2;4 1 x  1 x  x  1  x3 1  x -  x  3 Page giọt nước! x2 x  1 x2  0, x   2;4 x  1 L 2 x4 1    4 x  x2  ơ  x    2x2  6x   x  3 x   x x   x3    1  x x  1    x  3   1  x  x3 i  1  x  x2  x   x  1  x2  x  0x   2;4 x  1 t - ô  1    x  1   x  1 1  x  1   2x  x  1 1  x  x  3  ơ : 1) x    x  3x  2) x  x  3x   x  3) x 3 x 1 Page giọt nước!  1  x  1   x  x   x   x   x2  ơ  x   x   x2   x 1   x 1 1  x  x2  x 1 x 1 1  x6  x 1   x  2    x 1 1  x2 x 1  x 1 1 3   x  6 x   x  14   x  6  16   x   x   x  14   x  6    x2  5x    x   x  14    x   x  3  3  x    16   x   3  16   x  6 2   4x  3     x   0x  t - 1  2  x6  x 1 x6    x  6  4 1) 10 x   x   3x  2) x  3x   x   x  3) x  x   3x   3x   Page giọt nước!  x    x  1 x   x  3x  ơ x 1   x 1 1  x  1 x2      x    x   3x   x   x2    x  1 x   x2   x3  3x   x  1   x  1 3x   3  3x  5   x  1    x2  x    x  1    x  1    1  2  x    x  1   x  1 3x    x       x 1  x  1 Do x2    x2  x   x  1   x  1 3x   3  3x  5   0x  - t: x 2  x  1 x   x  1 - 1) x3  x  x   x x  x   x  2) 3x   x   1  x  x  x  3) x3  5x  13x    x   x  3x   3x   x  1     x    x   x   x  x  12 ch ơ ơ Page giọt nước! - , x  2  x  2  x  1 x2  x  1  x  2  m  m  n      2m  n   n   - mx  n  x   3x2  21x  36  3 x  1 x   3 x   x   3 x  1 x   x  1  x    x    x  6 x  L  i  x    x  6 x   x  1  x   x43 x2  x    x  3x  10  x  2  x  1  x    3 x   x    x  6 x    x    x  3x  10   x  2 x7 3   x   x     x  1   x  6 x   x      x  2     x7 3  x   x   x2 Do  x  1 x43 x2   x  6 x7 x7 3   x    0x  2 x=2 ơ 1) 3x2  14 x  13   x  1 x    x  5 x  2) 5x2   3x  1  x  17 x  28  3 x  13 x  3) 8x2  x  1   x  1 x    3x  1 x  Page giọt nước! 6:  x  2 x    x  5 x   6 x  23 x   t t  0 x  1 t  6t  t  17   4t  1 2t    4t  1     4t  1 2t   t    t    3t  4t    t  2t 2t   t    t    3t  4t      4t  t  t  2   3t  4t     2t   t   t2 4t  t Do 2t   t   3t  4t   0, t   t t ơ 1) : Page giọt nước! x    x  1 x    x  1 x   2) 8x  13 3) x  12   3x  8 x    x  13 x  x   12 x  35   x   x  n: ** ơ  ơ - ơ N ơ x   22  3x  x2  TH & TT  T11 / 396  x    x  x   x  5x TH & TT  T / 388 x2  14 x   x   x    x 15x   x   x   11x  Page giọt nước! “  x  1 x    x    x  6  x    3x  x2  x   x 11  3x  x  ( x 1  x   u tim ng  x  1  x2  3x  5  x n nh “ e ỉ Page giọt nước!  x    x  x   TH & TT  T / 419  D ! ! 1 MỞ ĐẦU Trong chương trình Toán trường THPT nội dung “phương trình vô tỉ” chiếm vị trí vô quan trọng Kiến thức thức Học sinh làm quen lớp chưa nhiều thật sâu sắc Kiến thức thức học sinh trừu tượng khó hiểu bước lớp 10 học sinh lại phải tiếp cận với kiến thức Phương trình vô tỉ Trong chương trình Toán lớp 10 học sinh cung cấp kiến thức để giải loại phương trình vô tỉ đơn giản Trong toàn chương trình Toán lại bậc THPT Học sinh không cung cấp thêm kiến thức để giải phương trình vô tỉ nửa, việc giải phương trình vô tỉ Học sinh thường xuyên gặp nội dung khác chương trình Toán Mặt khác giải phương trình vô tỉ nội dung lớn thường xuyên có đề thi THPT quốc gia Do việc rèn luyện cho học sinh kỷ giải phương trình vô tỉ việc làm cấp thiết Người giáo viên không cung cấp kiến thức Sách giáo khoa mà quan trọng phải biết tìm tòi, vận dụng kiến thức có nghĩ cách giải hiệu Phương trình vô tỉ để cung cấp cho Học sinh giúp học sinh không nắm vững kiến thức mà giải tốt phương trình vô tỉ gặp Để giúp học sinh giải tốt phương trình vô tỉ thân đưa đề tài “Hướng dẫn Học sinh lớp 10 sử dụng nhân liên hợp để giải phương trình vô tỉ ” Sáng kiến kinh nghiệm hướng tới giải số vấn đề sau học sinh: - Bổ sung, hoàn thiện cách giải phương trình vô tỉ việc phát sử dụng biểu thức liên hợp - Phân loại dạng tập thường gặp để sử dụng phương pháp - Rèn luyện kỹ phát nghiệm phương trình liên hệ nghiệm phát với cách giải - Rèn luyện kỹ vận dụng phương pháp giải thông qua hệ thống tập có hướng dẫn lớp tập tự rèn luyện nhà Sáng kiến kinh nghiệm nhằm trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp tài liệu tham khảo học sinh để góp phần nâng cao hiệu dạy học toán trường THPT Như Xuân nói riêng trường THPT nói chung Để thực Sáng kiến kinh nghiệm sử dụng hai lớp 10 trường THPT Như Xuân Đây hai lớp tương đương học lực môn toán tất học sinh có học lực khá, giỏi môn toán lớp 10C3 lớp 10C4 Lớp 10C3 thực dạy thực nghiệm, lớp 10C4 lớp đối chứng sau kiểm tra, đánh giá so sánh kết Thời gian thực sáng kiến kinh nghiệm từ tháng 12/2015 đến tháng 03/2016 Sau nội dung cụ thể Sáng kiến kinh nghiệm NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Phương trình ẩn x mệnh đề chứa biến có dạng f ( x) = g ( x) (1) f ( x) g ( x) biểu thức x Ta gọi f ( x ) vế trái, g ( x) vế phải phương trình (1) Nếu có số thực x0 cho f ( x0 ) = g ( x0 ) mệnh đề x0 gọi nghiệm phương trình (1) Giải phương trình (1) tìm tất nghiệm (nghĩa tìm tập nghiệm) Nếu phương trình nghiệm ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm rỗng) Kiến thức đẳng thức học sinh biết từ sớm, từ năm học cấp Học sinh cung cấp đẳng thức đáng nhớ: 1) ( a + b ) = a + 2ab + b 2) ( a − b ) = a − 2ab + b 3) ( a − b )( a + b ) = a − b 4) ( a + b ) = a + 3a b + 3ab + b 5) ( a − b ) = a − 3a b + 3ab − b 6) a − b = ( a − b ) ( a + ab + b ) 7) a + b = ... tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www .toanmath.com x  x   x 11  3x  x  ( TH&TT) x 1  x    x  1  x  3x  5  x Trích từ tài liệu Truy ngược dấu tác giả Hương Nguyễn (C1K36) ... Phân tich  -  , x  2 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www .toanmath.com  x  2  x  1  x  1  x  2 x2 mx  n  x    m  m  n   :   m  n  2  n   - 3x  21x ...Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www .toanmath.com - Khi ta t x 1  x 1  2  x 1    x 1  x  x     x 1    x  3  x 1