Kĩ năng tìm biểu thức Liên Hợp hoặc Nhân tử khi giải Phương trình vô tỷ

Kĩ năng tìm biểu thức Liên Hợp hoặc Nhân tử khi giải Phương trình vô tỷ tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án...

MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Nguyễn Đức Tuấn Ở đây tôi xin trình bày một phương pháp mà theo tôi nó cũng là một trong những phương pháp mới, sáng tạo và là một công cụ hữu hiệu để giải đa số những phương trình chứa căn thức mà chúng ta thường bắt gặp trong những đề thi tuyển sinh, thi học sinh giỏi. Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến một hằng đẳng thức cơ bản nhưng có nhiều ứng dụng trong giải toán sau: (a −b)(a +b) = a 2 −b 2 . Bài 1. Giải phương trình: (x +3)  2x 2 +1 =x 2 +x +3 (1) Lời giải: Điều kiện x ≥−3. Nhận thấy x =−3 không là nghiệm của phương trình, viết lại phương trình dạng:  2x 2 +1 = x 2 +x +3 x +3 ⇔  2x 2 +1 −1 = x 2 x +3 (1  ) Vì  2x 2 +1 +1 >0. Nhân  2x 2 +1 +1 vào hai vế của phương trình (1  ) ta được:   2x 2 +1 −1   2x 2 +1 +1  = x 2 x +3   2x 2 +1 +1  ⇔2x 2 = x 2 x +3 (  2x 2 +1 +1) Nhận thấy x =0 là một nghiệm của phương trình (1), xét x =0, chia cả hai vế của phương trình cho x 2 ta được: 2(x +3) =  2x 2 +1 +1 ⇔2x +5 =  2x 2 +1 Giải phương trình này ta tìm được hai nghiệm x =−5 +  13 và x =−5 −  13 (loại) Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x =0 và x =−5 +  13. Bài 2. Giải phương trình:  x 2 +3 = 3x 2 +2x +3 3x +1 (2) Lời giải: Điều kiện x >− 1 3 . Phương trình (2) tương đương với:  x 2 +3 −2x = 3x 2 +2x +3 3x +1 −2x ⇔  x 2 +3 −2x = −3x 2 +3 3x +1 (2  ) Vì x >− 1 3 ⇒  x 2 +3 +2x >0 Nhân  x 2 +3 +2x vào hai vế của phương trình (2  ) ta thu được: −3x 2 +3 = −3x 2 +3 3x +1   x 2 +3 +2x  Nếu −3x 2 +3 =0 ⇔ x =1 hoặc x =−1(loại) Nếu −3x 2 +3 =0, chia cả hai vế của phương trình cho −3x 2 +3 ta được: 3x +1 =  x 2 +3 +2x Giải phương trình này ta được x =1. Vậy phương trình (2) có nghiệm duy nhất x =1. Bài 3. Giải phương trình:  x +3 = 1 2 x − 7 2x +5 (3) Lời giải: Điều kiện x ≥−3và x =0. editor latex ChauNgocHung 1 Phương trình (3) tương đương với:  x +3 −2 = 1 2 (x −1)  1 + 7 x  (3  ) Vì  x +3 +2 >0, nhân  x +3 +2 vào hai vế của phương trình (3  ) ta thu được: x −1 = 1 2 (x −1)  1 + 7 x    x +3 +2  + Nếu x −1 =0 ⇔ x =1 + Nếu x −1 =0, chia cả hai vế của phương trình cho x −1 ta được: 2 =  1 + 7 x    x +3 +2  ⇔−14 =(x +7)  x +3 >0 (vì x ≥−3) Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất x =1. Bài 4. Giải phương trình: (x +3)  x 2 +x +2 =x 2 +3x +4 (4) Lời giải: Điều kiện x ≥−3. Nhận thấy x =−3 không phải là nghiệm của phương trình (4), viết lại phương trình dạng:  x 2 +x +2 = x 2 +3x +4 x +3 ⇔  x 2 +x +2 −2 = x 2 +x −2 x +3 (4  ) Vì  x 2 +x +2 +2 >0, nhân  x 2 +x +2 +2 vào hai vế của phương trình (4  ) ta thu được: x 2 +x −2 = x 2 +x −2 x +3   x 2 +x +2 +2  +Nếu x 2 +x −2 =0 ⇔ x =1 hoặc x =−2. +Nếu x 2 +x −2 =0, chia cả hai vế của phương trình cho x 2 +x −2 ta được: x +3 =  x 2 +x +2 +2 Giải phương trình này ta được x =1. Vậy phương trình có hai nghiệm x =1 và x =−2. Sau đây là một số bài toán dành cho bạn đọc: Giải các phương trình sau: ) 1  x 2 −x +1 +  x +x 2 = x + 1 x +1. ) 3  x 2 −1 +  x −3 +  x +1 +x = x +3 x 2 −6 +5. )  x +9 x 2 +x +2 + 2  x 2 −3 = x 2 +1 4 . )  x 2 +x +1 = 5x 2 +x −1 x +1 . Tiếp theo, tôi xin giới thiệu với các bạn ứng dụng của phương pháp này để giải một số bài toán phương trình có phần "nhỉnh" hơn một chút Ở đây vẫn trình bày dưới dạng các ví dụ minh họa cho từng dạng Bài 5. (Phương trình chứa căn ở mẫu) Giải phương trình: 1  x −1 + 2 x 2 + 1 2x = 7 4 (5) Lời giải: Điều kiện: x >1 Phương trình (5) tương đương với: editor latex ChauNgocHung 2 1  x −1 −1 + 2 x 2 + 1 2x − 3 4 =0 (5  ) Vì 1  x −1 +1 >0. Ta có: (5  ) ⇔  1  x −1 −1  1  x −1 +1  1  x −1 +1 + 2 x 2 + 1 2x − 3 4 =0 ⇔ 1 x −1 −1 1  x −1 +1 +  2 x −1  1 x + 3 4  =0 ⇔ 2 −x (x −1)  1  x −1 +1  + (2 −x)  1 x + 3 4  x =0 Nhận thấy x =2 là một nghiệm của phương trình, xét x =2, chia cả Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh ( 1-5-2016) KĨ NĂNG TÌM BIỂU THỨC LIÊN HỢP HOẶC NHÂN TỬ CỦA PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ (dành cho bạn đọc muốn thử sức với số PT vô tỉ phức tạp thử sức giải phƣơng trình bậc 3) Lƣu ý +Bài viết gồm chuyên đề: Chuyên đề phƣơng trình không dùng Casio Chuyên đề thí dụ dùng máy tính Casio có hƣớng dẫn sơ lƣợc, chuyên đề lí thuyết hƣớng dẫn chi tiết cách dùng máy tính Caiso tìm biểu thức liên hợp tìm nhân tử cần xuất phƣơng trình chuyên đề +Do có nhiều phƣơng trình lạ phức tạp nên viết không tài liệu để ôn tập cho kì thi +Các PT viết dùng Casio hỗ trợ nên phức tạp dạng PT khác Chuyên đề PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ KHÔNG DÙNG CASIO HỖ TRỢ Chuyên đề gồm PT có nghiệm đẹp ta hoàn toàn nhẩm Dù vất vả việc nhẩm tính toán giúp tiến học môn Toán A.Các Phƣơng trình tìm biểu thức liên hợp không dùng Casio Thí dụ Giải phƣơng trình 6x2  2x   2x2  x   2x2  2x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm ax  bx  c  x  x  c  a    Do 0;1;3 nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm x  x   2 x  x  PT  x  x   x  x   x  x   2 x  x   PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh ( 1-5-2016) Thí dụ Giải phƣơng trình 5x  8x   x  12 x   x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm ax  bx  c  5x  8x  c  a     b  2 Do 0;1;2 nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm x  x   5x  8x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm x  x   x  12 x  PT  x  x   5x  8x   x  x   x  12 x   PTcó nghiệm x  0; x  1; x  Thí dụ Giải phƣơng trình 14 x  x   18x  10 x   x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT  1;2;4 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm ax  bx  c  14 x  x  a  b  c  a    Do  1;2 nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  1 c  4 a  a  c    Biểu thức liên hợp cần tìm x  x   14 x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm x  x   18x  10 x  PT  x  x   14 x  x   x  x   18x  10 x   Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh ( 1-5-2016) PTcó nghiệm x  1; x  2; x  Thí dụ Giải phƣơng trình 11x  28x  21  13x  32 x  28  x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT 1;2;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm ax  bx  c  11x  28x  21 a  b  c  a    Do 1;2 nghiệm PT nên ta có hệ 4a  2b  c   b  2 4a  2a  c  11 c    Biểu thức liên hợp cần tìm x  x   11x  28x  21 Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm x  x   13x  32 x  28 PT  x  x   11x  28x  21  x  x   13x  32 x  28  PTcó nghiệm x  1; x  2; x  Thí dụ Giải phƣơng trình 2 x  3x   10 x  14 x  13  x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT  1;2 Biểu thức liên hợp cần tìm x  x   2 x  3x  x  x   10 x  14 x  13 PTcó nghiệm x  1; x  2 Thí dụ Giải phƣơng trình 5x  x  x  x   x  8x   x 2 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh ( 1-5-2016) Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT  1; Biểu thức liên hợp cần tìm x  x   x x  x  3x  x   x x  8x  PTcó nghiệm x  1; x  Thí dụ Giải phƣơng trình x  x   x  8x   5x  2 x Hƣớng dẫn PT  x  x   x  x   5x  x  x Do 5x  x   nên x  PT  x  x3  x  x  8x3  8x  5x  x  Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp (kể nghiệm âm) PT  1; Biểu thức cần tìm x  x   x  x  x 3x  x   x  8x3  8x PTcó nghiệm x  1; x  Thí dụ Giải phƣơng trình 3x  x  4 x  x  10  x  3x   x 2 Hƣớng dẫn Do 3x  x   nên x  PT  x  5x3  10 x  x  3x3  x  3x  x  4 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh ( 1-5-2016) Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp (kể nghiệm âm) PT 1;2 Biểu thức cần tìm x  x   x  5x3  10 x x  x   x  3x  x PTcó nghiệm x  ; x  Thí dụ Giải phƣơng trình x  x3   x  x3  10 x   x  3x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT  2;0; 1 Biểu thức liên hợp cần tìm x  x   x  x  x  x   x  x  10 x  PTcó nghiệm x  2; x  0; x  1 Thí dụ 10 Giải phƣơng trình x  x  x  16 x  49 x  16 x  5x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT  1;2 Biểu thức liên hợp cần tìm x  x   x  x  x x  x   16 x  49 x  16 x PTcó nghiệm x  1; x  Thí dụ 11 Giải phƣơng trình x  21x  24 x  x  16 x  32 x  x  5x  12 Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT  2;1 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh ( 1-5-2016) Biểu thức liên hợp cần tìm x  x   x  21x  24 x x  x   x  16 x  32 x PTcó nghiệm x  2; x  Thí dụ 12 Giải phƣơng trình x(4 x  13x  8)  x( x  5x  2)  x  3x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT  2;1 Biểu thức liên hợp cần tìm x  x   x(4 x  13x  8) x  x   x( x  5x  2) PTcó nghiệm x  2; x  1 Thí dụ 13 Giải phƣơng trình x  x   x  5x  x   x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT 0;1;4 Biểu thức liên hợp cần tìm x  x   x  x3   x3  5x  x  PTcó nghiệm x  0; x  1; x  Thí ...Giải PT Vô tỉ bằng phương pháp liên hợp Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng liên hợp Có rất nhiều phương cách giải PT Vô tỉ nhưng bản thân tôi thích nhất là PP lượng liên hợp vì tính tự nhiên của nó. Trong bài viết này tôi giới thiệu với các bạn một số suy nghĩ về phương pháp này. Cho hàm số , xác định trên . Ta biết là nghiệm phương trình 0 0 ( ) 0 ( ) 0 D f x f x f x ∈  = ⇔  =  . Mà theo định lí Bơzu nếu là nghiệm của đa thức thì . Từ đây ta có nhận xét: Nếu là một nghiệm của phương trình thì ta có thể đưa phương trình về dạng và khi đó việc giải phương trình quy về giải phương trình . Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1: Giải phương trình: (HVKTQS 2000). Giải: Điều kiện : . Ta thấy là một nghiệm của phương trình ( ta nghĩ đến vì khi đó và là những số chính phương) do đó ta có thể đưa phương trình về dạng: nên ta biến đổi phương trình như sau: , vấn đề còn lại của chúng ta là phải phân tích ra thừa số (Chú ý khi thì ), vì định lí Bơzu chỉ áp dụng cho đa thức nên ta phải biến đổi biểu thức này về dạng có mặt đa thức, tức là ta đưa về dạng điều này giúp ta liên tưởng đến đẳng thức : nên ta biến đổi : . Suy ra phương trình đến đây ta chỉ cần giải phương trình: . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và . Nhận xét: 1) Qua ví dụ trên ta thấy để bỏ căn thức ta sử dụng hằng đẳng thức: 1 hai biểu thức và ta gọi là hai biểu thức liên hợp của nhau. Nên phương pháp trên ta gọi là phương pháp nhân lượng liên hợp. 2) Với phương pháp này điều quan trọng là ta phải biết được một nghiệm của phương trình, từ đó ta mới định hướng được cách biến đổi để là xuất hiện nhân tử chung. Để nhẩm nghiệm ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi 570MS hoặc 570ES . Ví dụ 2: Giải phương trình : (THTT). Giải: Điều kiện : . Nhận thấy phương trình trên vẫn có nghiệm nên ta nghĩ đến cách giải phương trình trên bằng phương pháp nhân lượng liên hợp. Ta có: . Mặt khác vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: . Nhận xét : * Ta có dạng tổng quát của phương trình trên là: 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 b a b a a b b a x a b x b a x x   − − + −   − + − = − − − − −  ÷  ÷     (Điều kiện : ). * Bằng máy tính ta có thể thấy được phương trình (*) vô nghiệm do đó ta nghĩ đến chứng minh phương trình (*) vô nghiệm. Thay vào phương trình (*) thì do đó ta tìm cách chứng minh VT(*) < VP(*). Ví dụ 3: Giải phương trình : (THTT). Giải: Điều kiện: . Ta thấy phương trình có một nghiệm nên ta phân tích ra thừa số . Ta có: (Do biểu thức trong dấu () >0). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất . Ví dụ 4: Giải phương trình: . 2 Giải: Điều kiện: . Nhận thấy phương trình có một nghiệm . Phương trình Kết hợp với phương trình ban đầu ta có : (*) thử lại ta thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn phương trình. Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: . Nhận xét: Để giải phương trình (*) ta phải kết hợp với phương trình ban đầu. Ta chú ý rằng phép biến đổi này là phép biến đổi hệ quả do đó sau khi giải xong ta phải thử lại các nghiệm để loại đi những nghiệm ngoại lai. Trong các ví dụ trên ta thấy mỗi phương trình đều có nghiệm hữu tỉ do đo việc dự đoán nghiệm tương đối dễ. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp việc đoán nghiệm không được dễ dàng, đặc biệt là khi tất cả các nghiệm của phương trình đều là nghiệm vô tỉ! Trong trường hợp này chúng ta phải xử lí thế nào? Ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 5: Giải phương trình : . Giải: Do nên . Bằng máy tính ta thấy được phương trình không có nghiệm hữu tỉ, mà chỉ có hai nghiệm vô tỉ. Ta thấy nếu (*) thì hai vế của phương trình bằng nhau nên ta phân tích ra thừa số . Ta có: ( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 2 2 2 1 2 2 2 2 1 0 2 2 1 2 2 1 0 ? ? x x x x x x x x + − + + − + = − − − − LÊ QUANG THIÊN TRƯỜNG TRUNG HỌC CỞ TRẦN NHÂN SỬ DỤNG KỸ NĂNG NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ A.Lý do chọn đề tài: Phương trình vô tỉ là một nội dung khó đối học sinh lớp 9 .Đứng trước một bài toán phương trình vô tỉ thường thì các em sẽ có nhiều phương pháp giải khác nhau khi biến đổi tương đương, dùng ẩn phụ, đánh giá, đưa về phương trình trị tuyệt đối . Song có một cách khác dùng giải quyết bài toán dạng này rất hữu dụng và phù hợp tư duy các em học sinh lớp 9 đó là nhân lượng liên hợp B. Cơ sở lý luận: Ta biết x=x 0 nghiệm của phương trình. f(x)=0 0 0 x D f (x ) 0 ∈  ⇔  =  Như vậy phương trình : 0 0 x x 0 f (x) 0 (x x )p(x) 0 p(x) 0 − =  = ⇔ − = ⇔  =  Công cụ giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp lượng liên hợp trên nhờ các hằng đẳng thức sau: A B A B (A;B 0,A B) A B − ± = > ≠ m ; 3 3 3 3 2 2 3 A B A B A A.B B ± ± = +m C.Bài tập: Dạng 1:Nhẩm nghiệm, lượng liên hợp có chứa một hằng số Thí dụ 1: giải phương trình: 2 3x 1 6 x 3x 14x 8 0(*)+ − − + − − = Ta tìm 1 x : 6 3 −   ∈     rồi thế vào biểu thức 3x+1 và 6-x chứa trong căn nếu giá trị các biểu thức trên có dạng bình phương của một số hửu tỉ thỏa mãn phương trình trên thì giá trị của x vừa tìm là nghiệm phương trình.Dễ thấy x=5 là nghiêm phương trình (*) vì vậy ta đưa phương trình (*) về dạng (x-5)f(x)=0 ,nhưng định lý Bezou chỉ đúng với f(x) là đa thức. Nhưng vế trái phương trình là biểu thức vô tỷ. Vậy cần cần xuất hiện nhân tử chung x-5 từ vế trái phương trình bằng lượng liên hợp. Muốn vậy ta cần tìm hai số a;b dương sao cho hệ phương trình sau có nghiêm x=5 3x 1 a 0 a 4 b 6 x 0 b 1   + − = =   ⇔   − − = =     Vậy: 1 2 (*) ( 3x 1 4) (1 6 x ) 3x 14x 5 0 3x 15 x 5 (x 5)(3x 1) 0 3x 1 4 6 x 1 x 5 0 3 1 3x 1 0(**) 3x 1 4 6 x 1 ⇔ + − + − − + − − = − − ⇔ + + − + = + + − + − =   ⇔  + + + =  + + − +  Với 1 x 6 0 3x 1 19 3 − ≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤ nên (**) vô nghiệm Nên (*) có nghiệm duy nhất là x=5 Thí dụ. 2 : Giải Phương trình: 2 3 2x 11x 21 3 4x 4− + = − (*)ĐK:x>0 Phân tích với x=3 là ngiệm phương trình mà giá trị của 3 4x 4− là 2. Do đó 2 3 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3( 4x 4 2)( (4x 4) 2 4x 4 4) (*) (x 3)(2x 5) (4x 4) 2 4x 4 4 12(x 3) (x 3)(2x 5) (4x 4) 2 4x 4 4 12 (x 3)(2x 5 ) 0 (4x 4) 2 4x 4 4 (x 3) 0 12 (2x 5 ) 0(**) (4x 4) 2 4x 4 4 − − − + − + ⇔ − − = − + − + − ⇔ − − = − + − + ⇔ − − − = − + − + − =   ⇔  − − =  − + − +  Đặt t= 3 4x 4− nên 2 3 3 (4x 4) 2 4x 4 4− + − + = t 2 +2t +4 =(t+1) 2 +3 Do đó x >3 suy ra 3 4x 4− > 2 ( ) ( ) 2 2 12 t 1 3 12 1 t 1 3 + + > ⇒ < + + ⇒ còn 2x-5>1 Với 0<x<3 thì ngược lại . Nên (**) có nghiệm x=3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x=3 Dạng 2:Nhẩm nghiệm, lượng liên hợp có chứa một biểu thức chứa biến Thí dụ: 3 Giải phương trình: 3 2 4x 5x 1 3x 1 3x+ + = + − (*) Nhập vào casio và solve ta thấy nghiệm : 1 x 0= ; nhập (solve) lần hai ta thấy nghiệm: 2 1 x 4 − = Từ đó ta gọi ax+b là hạng tử cần đem liên hợp với căn thức. giả sử 1; 2 x x là nghiệm phương trình ta giải hệ sau: 1 2 (x )a b 3x 1 0a b 1 a 2 0.25a b 0.5 b 1 (x )a b 3x 1  + = + + = =    ⇔ ⇔    − + = = + = +     Suy ra hạng tử cần liên hợp với 3x 1+ là 2x 1+ 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 (*) 4x 5x x 3x 1 (2x 1) (x ) 3 (2x 1) 3x 1 4x 5x x 0 4x x (x 1)(4x x) 0 (2x 1) 3x 1 1 (4x x) x 1 0 (2x 1) 3x 1 (4x x) 0 1 x 1) 0(**) (2x 1) 3x 1 x 0(t / h) 1 x (t / h) 4 x − ⇔ + + = + − + ≥ ⇔ + DeThiThu.Net - Thi Th i H c - THPT Qu c Gia - Ti Li u ễn Thi.C p nh t h ng ngy! DETHITHU.NET | www.dethithu.net S DNG K NNG NHN LIấN HP GII PHNG TRèNH Vễ T www.DeThiThu.Net Nguyn Vn Cng GV THPT M c A - H Ni Email : cuongvan12@gmail.com Trong thi i hc B nm 2010 cú cõu gii phng trỡnh vụ t,cõu ny gõy nhiu khú khn cho hc sinh lm bi thi. giỳp hc sinh nm vng cỏch lm dng phng trỡnh trờn,bi vit ny tụi xin trỡnh by k nng bin i s dng biu thc liờn hp gii phng trỡnh vụ t Hy vng rng s giỳp ớch cho cỏc em lm tt cỏc dng bi trờn ab a-b a b= (a,b>0, a b); a b = am b a m ab + b Vớ d Gii phng trỡnh x + - - x + x - 14 x - = (1) ( Khi B-2010) Phõn tớch: Ta tỡm mt s x ( - Ê x Ê ) cho 3x+1 v 6-x l mt s chớnh phng tha phng trỡnh trờn D thy x=5 tha (*).Vỡ vy ta a phng trỡnh trờn v dng (x-5)f(x)=0,nhng nh lý Bzu ch ỳng i vi f(x) l a thc ,vỡ vy ta cn lm xut nhõn t chung x-5 t v trỏi ca phng trỡnh bng phng phỏp liờn hp Mun vy tỡm hai s a , b > cho h phng trỡnh sau cú nghim x=5 ỡù 3x + - a = ỡù a = ịớ www.DeThiThu.Net ợù b - - x = ợù b = 1 Li gii: TX - Ê x Ê 3x - x-5 (1) ( 3x + - 4) + (1 - - x ) + 3x - 14 x - = + + ( x - 5)(3 x + 1) = 3x + + + - x ộx - = x = 1 + + (3x + 1) = 0(*) www.DeThiThu.Net ờở 3x + + + - x Ta thy phng trỡnh (*) vụ nghim vi - Ê x Ê Vy x=5 l nghim dy nht Vớ d 2:Gii phng trỡnh : x - + x - x + = ( HKD-06) (2) Phõn tớch: Tng t nh trờn ,ta thy x=1 l mt nghim ca phng trỡnh Li gii: k x Vit li phng trỡnh nh sau : 2( x - 1) ổ ( x - - 1) + x - x + = + ( x - 1)( x - 2) = ( x - 1) ỗ + x - 2ữ = 2x -1 +1 ố 2x -1 + ứ ộx =1 ờ www.DeThiThu.Net + x - = 0(*) ờở x - + t t= x - , (*) t + 2t - = t = - ị x = -2 - Vy nghim ca phng trỡnh l x=1, x = - www.DETHITHU.NET & Nguyn Vn Cng Tham gia ngay! Group: ễN THI H TON - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan DeThiThu.Net - Thi Th i H c - THPT Qu c Gia - Ti Li u ễn Thi.C p nh t h ng ngy! DETHITHU.NET | www.dethithu.net Cỏch 2:Bin i x - + x - (2 x - 1) - x = ,t t = Cỏch 3: bin i tng ng ( x - ta cú x2- t2 = x-t ) Vớ d Gii phng trỡnh : + x - = x + x + (3) (HVKTQS 2000) Phõn tớch : Nhn thy x=3 l mt nghim ca nghim ca phng trỡnh Ta s a (2) v dng (x-3)f(x)=0 nh sau Li gii: Vit li phng trỡnh (2): 8( x - 3) 2(x-3) + ( x + - x - 2) = 2( x - 3) =0 x+6 +3 x-2 ộx = ộx - = ộx = ờ x = 11 - ờ2 =0 x+6 +3 x-2 =4 ờở ờở x+6 +3 x-2 www.DeThiThu.Net - x 2x + x2 = (4) x + x2 Phõn tớch: Ta thy phng trỡnh cú nghim x= ,ta phõn tớch nh sau Li gii: k < x Ê ,(3) (1 + x ) - x = ( x + x ) x x - x - x + Vớ d :Gii phng trỡnh ( x (1 - x ) 1- x + x + ) ( ) 1- x - 2x x = ổ - x - x3 x2 2x2 + x + = (1 - x ) ỗ + ữ=0 1- x + 2x x 1- x + 2x x ứ ố 1- x + x ộ x2 x2 + x + + = 0(*) x + x x + x x ờở x = Nhn thy (*) vụ nghim vi < x Ê Vy x = Vớ d 5:Gii phng trỡnh : Li gii: k x ( www.DeThiThu.Net l nghim dy nht ) x + - 3x - = x + (5) (HSG k12 H Ni -2010) ,Nhn thy x=6 l mt nghim ca phng trỡnh ,ta phõn tớch nh sau 27( x - 6) ự ộ 36( x - 6) x + - + - 3x - ự = x - ỳ = x-6 ỷ x + + + 3x - ỷ ộx = 36 27 ộ ự ( x - 6) - 1ỳ = 36 27 - = 0(*) x + + + x ỷ ờở x + + + x - R thy phng trỡnh (*) vụ nghim x+3 ổ Cỏch khỏc : (5) ỗ ữ = x + = x + + 3x - ố x + + 3x - ứ Bỡnh phng hai v ta cng thu c x=6 (5) ộ ( ) ( Vớ d Gii phng trỡnh : ) x + 12 + = x + x + (6) www.DETHITHU.NET & Nguyn Vn Cng www.DeThiThu.Net Tham gia ngay! Group: ễN THI H TON - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan DeThiThu.Net - Thi Th i H c - THPT Qu c Gia - Ti Li u ễn Thi.C p nh t h ng ngy! DETHITHU.NET | www.dethithu.net x + 12 - x + = x - > x > Phan tớch: phng trỡnh cú nghim thỡ : Ta nhn thy : x=2 l nghim ca phng trỡnh Li gii: x2 - (6) x + 12 - = 3x - + x + - 2 x + 12 + x2 - = 3( x - 2) + x2 + + ổ x+2 x+2 ( x - 2) ỗ - 3ữ = x = 2 x2 + + ứ ố x + 12 + x+2 x+2 (D dng chng minh c : - < 0, "x > ) x + 12 + x2 + + Vớ d Gii phng trỡnh : x - + x = x3 - (7) Li gii : k x Nhn thy x=3 l nghim ca phng trỡnh , nờn ta bin i phng trỡnh ộ x - - + x - = x - - ( x - 3) ờ1 + ờở x+3 Ta chng minh : + (x - 1) + x - + ự ỳ ( x - 3) ( x + x + ) ỳ= 3 x2 -1 x3 - + ( ) + x - + ỳỷ x +3 [...]... của biểu thức cần tìm 12 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh ( 1-5-2016) Do ở thí dụ 1 ta thấy x=0 là nghiệm ngoại lai của biểu thức cần tìm thì sẽ có mối liên hệ đặc biệt!! Nhƣ vậy biểu thức cần tìm là x 2  x  1  2 x 2  2 x  1 Tƣơng tự ,biểu thức nữa cần tìm là 2 x 2  2 x  1  12 x 2  4 x  1 Cho 2 biểu thức bằng 0 suy ra 2 2 x 2  2 x  1  12 x 2  4 x  1  1  0 suy ra nhân tử. ..  0 Giải 2 trƣờng hợp suy PT đã cho có 4 nghiệm x  1; x  2; x  1  1 1 ; x  1 2 2 PHƢƠNG TRÌNH DÙNG CASIO HỖ TRỢ Chuyên đề 2 TÌM BIỂU THỨC LIÊN HỢP Chuyên đề này xin đƣợc giới thiệu các phƣơng trình dùng máy tính cầm tay tìm biểu thức liên hợp có dạng ax 2  bx  c  k P( x) ,với a,b,c là các số nguyên Khi a=0 là trƣờng hợp quen thuộc! Sau đây là các thí dụ đơn giản của dạng này Thí dụ 1 Giải. .. biểu thức liên hợp cần tìm là ax 2  bx  c   x 2  4 x  1 Lấy đạo hàm đƣợc 2ax  b  x2  x2  4x  1 Do x  0; x  1 là nghiệm PT nên cũng là nghiệm của biểu thức cần tìm c  1 a  b  c  2 ta có hệ  Do x=0 là nghiệm kép của biểu thức ax 2  bx  c   x 2  4 x  1 suy ra 2a.0  b  2 Từ đó ta có a  1; b  2; c  1 Biểu thức cần tìm là  x 2  2 x  1   x 2  4 x  1 Tƣơng tự ,biểu thức. .. 5 Giải phƣơng trình 7 x 2  12 x  9  3 5x 2  8x  4  2 x 2  4 x  3  0 Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT đã cho là x  0; x  1; x  3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax 2  bx  c  7 x 2  12 x  9 Do x  0; x  1; x  3 là nghiệm PT nên cũng là nghiệm của biểu thức cần tìm c  3  ta có hệ a  b  c  2 9a  3b  c  6  Từ đó ta có a  1; b  2; c  3 Biểu thức cần tìm. .. vẻ cần tìm thêm nghiệm ngoại lai Ta xét PT sau  6 2 x 2  2 x  1  12 x 2  4 x  1  4 x 2  4 x  5(*) Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp của PT(*) là x  0 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax 2  bx  c  2 x 2  2 x  1 Do x  1; x  3 là nghiệm PT nên cũng là nghiệm của biểu thức cần tìm a  b  c  1 9a  3b  c  5 ta có hệ  Do cách đổi dấu tìm nghiệm ngoại lai x=0 nên x=0 là nghiệm biểu thức ax... nghiệm PT của biểu thức cần tìm a  b  c  1 a  1   ta có hệ 4a  2b  c  2  b  2 a  b  c  5 c  2   Biểu thức cần tìm là x 2  2 x  2  5x 2  12 x  8 (1) Xét ax 2  bx  c  17  8x Do cách đổi dấu tìm nghiệm ngoại lai x=-1 nên x=-1 là 19 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh ( 1-5-2016) nghiệm biểu thức ax 2  bx  c  17  8x Từ đó ta có biểu thức nữa cần tìm là  2... Có vẻ cần tìm thêm nghiệm ngoại lai Ta xét PT sau 5x 2  12 x  8  5  x 2  2 x 2  4 x  1 Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp của PT(*) là x  1 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax 2  bx  c  5x 2  12 x  8 Vì cách đổi dấu trƣớc căn nên x  1; x  2; x  1 là nghiệm PT của biểu thức cần tìm a  b  c  1 a  1   ta có hệ 4a  2b  c  2  b  2 a  b  c  5 c  2   Biểu thức cần tìm là x... 3 *Giải phƣơng trình( nâng cấp thí dụ 1) 2 x 2  2 x  1  12 x 2  4 x  1  x 2  x  0 Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT đã cho là x  0; x  1; x  3 Nếu coi cả 3 nghiệm là nghiệm của biểu thức thì Biểu thức cần tìm là 1 2 1 x  x  1  2x2  2x  1 3 3 biểu thức nữa cần tìm là 4 2 2 x  x  1  12 x 2  4 x  1 3 3 Đến đây có lẽ ta không phát hiện đƣợc mối liên nào đặc biệt ngoài liên. .. 12 Giải phƣơng trình 2x2  1  2 x2  x  1  2x2  4x  5 Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x 2  2 x  2  2 x 2  1 và x 2  2 x  3  2 x 2  x  1 PTcó 2 nghiệm x  1; x  1 3 4 Thí dụ 13 Giải phƣơng trình 3x 2  9  5x 2  6 x  16  2 x 2  6 x  7 Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x 2  3x  3  3x 2  9 và 3x 2  3x  4  5x 2  3x  16 PTcó 2 nghiệm x  0; x  2  3 10 Thí dụ 14 Giải phƣơng trình. ..  b  1)(a  b  2)  0 Giải PT  2 x 2  6 x  3  2 x  2  1  0 bằng cách chuyển vế,bình phƣơng Hoặc tìm a,b theo x ta Suy ra PT có 1 nghiệm x  1 3 2 Thí dụ 3 Giải phƣơng trình 3x 2  6 x  2 x 2  5  x 2  3x  1  0 Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x 2  3x  2  3x 2  6 x và x 2  3x  1  x 2  5 Cho 2 biểu thức bằng 0 suy ra 3x 2  6 x  x 2  5  1  0 suy ra nhân tử cần xuất hiện là: Đặt