Nghiệm của một lớp các phương trình tích phân trong miền bị chặn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐINH THỊ THÚY NGÂN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG MIỀN BỊ CHẶN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐINH THỊ THÚY NGÂN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG MIỀN BỊ CHẶN Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGƠ QUỐC ANH Hà Nội – 2018 Mưc lửc Lới cÊm ỡn M u Giợi thiằu vĐn ã 0.1 B i toĂn Fosdick Serrin v lỵ chồn ã 0.2 Mt s k hiằu v quy ữợc hay dịng 0.3 i•u ki»n cƒn v• t‰nh ch‰nh quy cıa n 0.4 K‚t qu£ ch‰nh Mºt sŁ k‚t quÊ chu'n b 1.1 Mt s ữợc lữổng cỡ bÊn 1.2 Mºt sŁ khỉng gian h m cì b£n v ành 1.3 Mºt sŁ b§t flng thøc cì b£n Nghiằm ca mt lợp phữỡng trnh tch phƠn miãn bà ch°n 2.1 Mºt sŁ k‚t qu£ v• t‰nh ch‰nh quy 2.2 Ph÷ìng ph¡p di chuy”n m°t phflng tł ph 2.3 Ph÷ìng ph¡p di chuy”n m°t phflng tł trĂi 2.4 Chứng minh nh lỵ chnh L˝IC MÌN Lu“n vôn n y ữổc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn v ch bÊo nhiằt tnh ca TS Ngổ Quc Anh Thy  d nh nhiãu thới gian hữợng dÔn cụng nhữ giÊi Ăp cĂc thc mc ca tổi suŁt qu¡ tr…nh l m lu“n v«n Qu¡ tr…nh l m vi»c v trao Œi vỵi thƒy tỉi håc họi ữổc rĐt nhiãu iãu v trững th nh hỡn V… v“y, tæi muŁn b y tä sü k‰nh trång v lặng bit ỡn sƠu sc n thy Qua Ơy, tổi xin gòi lới cÊm ỡn sƠu sc tợi quỵ thƒy cỉ Khoa To¡n - Cì -Tin håc, Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc Tü nhi¶n, ⁄i håc QuŁc gia H Nºi, °c bi»t l c¡c thƒy cỉ ¢ trüc ti‚p gi£ng d⁄y suŁt qu¡ tr…nh tæi håc t“p t⁄i Nh trữớng Tổi cụng xin gòi lới cÊm ỡn n Ban GiĂm Hiằu, Phặng Sau i Hồc  to iãu ki»n cho tæi håc t“p v b£o v» khâa lu“n n y Tỉi xin c£m ìn gia …nh, b⁄n b–, c¡c anh chà v b⁄n håc vi¶n cao håc khâa 20162018  quan tƠm, to iãu kiằn v c vụ, ºng vi¶n tỉi ” tỉi ho n th nh tŁt nhi»m vö cıa m…nh H Nºi, ng y 28 th¡ng 11 nôm 2018 Hồc viản: inh Th Thúy NgƠn Lợp: CH 2016 - 2018 M— U Trong to¡n håc, cì håc, v“t l‰ v c¡c ng nh k¾ thut khĂc cõ nhiãu vĐn ã liản quan n phữỡng trnh vi phƠn vợi iãu kiằn biản hay iãu kiằn ban u, phữỡng trnh o h m riảng, dÔn n nhœng ph÷ìng tr…nh â c¡c h m ch÷a bi‚t chứa dữợi dĐu t ch phƠn Nhng loi phữỡng trnh õ ữổc gồi l phữỡng trnh tch phƠn Phữỡng trnh t‰ch ph¥n l cỉng cư to¡n håc hœu ‰ch nhiãu lắnh vỹc nản luổn l ã t i nghiản cứu m, thu hút rĐt nhiãu cĂc nh khoa hồc quan tƠm nghiản cứu theo nhiãu kha cnh khĂc nhữ sỹ tỗn ti nghiằm, cĂc vĐn ã vã xĐp x¿ nghi»m, t‰nh ch¿nh hay khæng ch¿nh, nghi»m ch¿nh hâa, Trong Lun vôn n y, ta xt lợp phữỡng trnh tch phƠn trản miãn b chn sau upxq A ằ vợi iãu kiằn biản n õ n nguyản dữỡng, R l mt miãn trản B B thuºc lỵp C v p, , , A, B l cĂc hng s thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau p; A ¡ 0; ; B ¥ 0; 1n: Łi vợi viằc tm nghiằm tng quĂt ca lợp phữỡng trnh trản l mt b i toĂn rĐt khõ hiằn vÔn chữa tm ữổc lới giÊi V vy, tổi ch trung nghiản cứu vã tnh chĐt nghiằm dữỡng v tnh chĐt miãn ca lợp phữỡng trnh tch phƠn trản Ni dung Lun vôn ữổc lĐy t t i li»u [2] cıa c¡c t¡c gi£ D Li, G Strohmer v L Wang C¡c k‚t qu£ ch‰nh cıa Lu“n vôn bao gỗm: Ch ữổc rng nu nghiằm ca lợp phữỡng trnh trản l miãn b chn th l hnh cu Nu nghiằm ca lợp phữỡng trnh trản l nghiằm dữỡng miãn b chn th nghiằm n y cõ tnh chĐt i xứng qua tƠm hnh cu c ng xa tƠm hnh cu Vã b cửc, Lun vôn ữổc chia l m chữỡng ÷ỉc ¡nh sŁ tł ‚n Trong Ch÷ìng 0, tỉi giỵi thi»u B i to¡n Fosdick Serrin tł â ữa lỵ chồn ã t i nghiản cứu, mt s kỵ hiằu, quy ữợc hay dũng v giợi thi»u k‚t qu£ ch‰nh Ch÷ìng d nh ” tr…nh b y mºt sŁ k‚t qu£ chu'n bà s‡ ÷ỉc dịng ch÷ìng ti‚p theo Trong Ch÷ìng 2, tỉi trung chứng minh nh lỵ chnh bng phữỡng phĂp di chuy”n m°t phflng M°c dị ¢ h‚t søc cŁ gng thới gian thỹc hiằn Lun vôn khổng nhiãu v kin thức cặn hn ch nản l m Lun vôn khõ trĂnh ữổc cĂc thiu sõt Tổi rĐt mong mun nhn ữổc sỹ gõp ỵ ca cĂc thy cổ v bn ồc Lun vôn ữổc ho n thi»n hìn Tỉi xin ch¥n th nh c£m ìn! Chữỡng Giợi thiằu vĐn Lun vôn ã cp ã n nghiằm dữỡng ca phữỡng trnh tch phƠn upxq A ằ vợi iãu kiằn biản u n õ R l mt miãn m b chn vợi trản B A, B l c¡c h‹ng sŁ thäa m¢n c¡c iãu kiằn sau p; A Ă 0; ; B Ơ 0; 1n: Mửc tiảu ca chúng tổi l mun phƠn loi tĐt cÊ cĂc nghiằm dữỡng ca (0.1) cụng nhữ phƠn loi tĐt cÊ cĂc miãn m (0.1) cõ nghiằm Trong mửc tip theo, s tm hiu lỵ nghi¶n cøu b i to¡n tr¶n 0.1 B i toĂn Fosdick Serrin v lỵ chồn ãti hiu ữổc lỵ ca viằc nghiản cứu (0.1) trản, trữợc ti¶n ta x†t b i to¡n chuy”n ºng cıa mºt dặng chĐt lọng nhợt khổng nn mt ng thflng câ thi‚t di»n Ta chån h» tröc to⁄ Oxyz cho trửc Oz cõ hữợng vợi ữớng ng cặn mt phflng Oxy vuổng gõc vợi ữớng ng Khi õ tc u ca dặng chĐt lọng l mºt h m theo x v y, l nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh Poisson u A thi‚t di»n vỵi A l mºt h‹ng sŁ phư thuºc v o cĂc yu t vã nhợt, mt ca chĐt lọng, Ăp suĐt, v.v Ti biản ca ng th chĐt lọng khổng chuyn ng nản ta cn b sung thảm iãu kiằn biản u trản B Cui ta nhn thĐy rng lỹc nn lản trản mt ìn di»n t‰ch cıa th nh Łng ÷ỉc °c trững bi B u B õ l nhợt v l phĂp tuyn vợi th nh ng hữợng ph‰a ngo i Khi â ta k‚t lu“n ÷ỉc n‚u lüc n†n B u l h‹ng sŁ t⁄i måi i”m tr¶n th nh Łng th… thi‚t di»n cıa Łng câ dng hnh trặn, tức l l hnh trặn LĐy cÊm hứng t b i toĂn chuyn ng ca dặng chĐt lọng trản, R.L Fosdick t cƠu họi liằu nu phữỡng trnh vợi hai iãu kiằn biản u 0; n , ⠀ R l mi•n mð bà chn vợi biản B trản B l mt hnh cu Trong cổng trnh nguỗn cho mt phữỡng phĂp m sau n y thữớng xuyản ữổc sò dửng cĂc b i toĂn phƠn loi nghiằm ca cĂc phữỡng trnh o h m riảng, J Serrin [4] ã xuĐt phữỡng phĂp di chuyn mt phflng v cung cĐp mt cƠu trÊ lới cho cƠu họi ca Fosdick trữớng hổp biản B thuc lợp C Hỡn na, bng cĂch sò dửng phữỡng phĂp mợi n y, Serrin cặn ch¿ nghi»m u cıa b i to¡n câ d⁄ng upxq â R l b¡n k‰nh cıa h…nh trỈn Rª r ng k‚t qu£ cıa Fosdick Serrin cho phữỡng trnh (0.4) khổng cặn úng nu ta bọ i mt hai iãu kiằn biản (Dirichlet/Neumann) (0.5) v b‹ng kÿ thu“t bi‚n ph¥n ìn gi£n ta chøng minh ữổc sỹ tỗn ti nghiằm (mnh) ca (0.4) ứng vợi mt cĂc iãu kiằn biản (0.5) Mửc tiảu cıa chóng tỉi l muŁn nh“n ÷ỉc k‚t qu£ t÷ìng tỹ nhữ ca Serrin  bọ i mt iãu kiằn biản (0.5), chflng hn iãu kiằn biản Neumann ” câ cì sð khỉi phưc l⁄i k‚t qu£ t÷ìng tü Serrin, chóng ta nghi¶n cøu b i to¡n b i to¡n khỉng àa ph÷ìng cıa (0.4) b‹ng c¡ch x†t phữỡng trnh tch phƠn tữỡng ứng Bng cĂch n y, rê r ng nghiằm ca phữỡng trnh (0.1) cho tữỡng ứng vợi nghiằm ca phữỡng trnh {2 p q u A|u| p trản miãn Tuy nhiản ngữổc li nghiằm u cıa ph÷ìng tr…nh (0.6) cho t÷ìng øng nghi»m cıa phữỡng trnh tch phƠn upxq A ằ õ B khỉng nh§t thi‚t l mºt h‹ng sŁ V… v“y ” (0.1) v (0.6) l tữỡng ữỡng th i vợi phữỡng trnh vi phƠn (0.6) ta cn thảm iãu kiằn, chflng hn iãu kiằn biản Neumann nhữ cƠu họi ca Fosdick 0.2 Mt s k hiằu v quy ữợc hay dũng Trong sut lun vôn n y, ta sò dửng c¡c k‰ hi»u sau: n Th” t‰ch h…nh cƒu ‰nh n thỉng qua cỉng thøc ìn R Ta câ th” t n n{2 n pn â k‰ hi»u ” ch¿ h m Gamma Rª r ng n ta gåi q l gi¡ trà ƒu ti¶n cıa pcq : q (sau thíi i”m q 0) r l ti‚p xóc cıa B t⁄i i”m z pdq : T vng gâc vỵi B t⁄i i”m zp n o â: m T RT; ‚n mºt c¡c tr‰: 45 q x x q y y q T q T H…nh Ph÷ìng ph¡p di chuyn mt phflng T vã phÊi Phữỡng phĂp di chuyn mt phflng vã phÊi ữổc tin h nh tł tr‰ q b‹ng c¡ch dàch chuy”n T vã phÊi chng n o q upxq Ô upx : ô th… mi•n ph£i Łi xøng qua T Trữợc tiản vợi mồi x; y Nu viằc di chuyn kt thúc ti n ta thĐy rng, vợi mồi q q Ô P v |x y | | x y|; q , |x y | | x y|: Do â tł ph÷ìng tr…nh (0.1) v u t⁄i x v t⁄i x nh÷ sau '$ upxq A » q & ' % upx q A » â q zp q Y q1 q: Łi vỵi vi»c di chuy”n m°t phflng sang b¶n ph£i ta cơng câ c¡c kt quÊ tữỡng tỹ nhữ cĂc B ã 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10, 2.11 Do chøng minh cıa cĂc b ã trữớng hổp di chuyn mt phflng sang phÊi ho n to n tữỡng tỹ chứng minh ca cĂc b ã trản nản ta ch phĂc ho⁄ v›n t›t c¡c chøng minh m khæng i v o chi ti‚t nh÷ chøng minh cıa c¡c bŒ • nh›c ‚n ð tr¶n 46 BŒ • ƒu ti¶n ta ch¿ r‹ng ta câ th” b›t q B ã 2.12 GiÊ sò vợi mồi x P q Chøng minh x P q v y q q 1, n‚u q ƒu di chuy”n m°t phflng T t v tr nhọ th upxq Ô upx q Ta chøng minh t÷ìng tü nh÷ chøng minh ca B ã 2.5 Do vợi th |y x| Ă |y q x | nản bng cĂch sò dửng phƠn tch (2.13) ta thu P ữổc upxq upx q °t q p qq p Rª r ng u pxq Ô u px q trản z nản bng cĂch phƠn tch q thu ữổc upxq upx BƠy giớ ta s‡ chøng minh n‚u suy q q ı nhọ th | q q| 0v ? hay upxq Ô upx q vợi mồi x P q Trữớng hổp 1: p Ô Trong trữớng hổp n y ta ¡nh gi¡ t÷ìng tü nh÷ chøng minh cıa BŒ • 2.5 ” thu ÷ỉc }upq up q} L Theo B§t flng thøc Holder th… }rupq up qsp} Theo BŒ • 1.2 th… q » |x y |n ¤ q n V… v“y ta thu ÷ỉc }upq up q} L T Ơy ta thĐy nu q Tr÷íng hỉp 2: p ¡ Trong tr÷íng hỉp n y ta vÔn Ănh giĂ tữỡng tỹ nhữ chứng minh ca B ã 2.5 thu ữổc }upq up q} Lrp q q Ô Cn; ;rpAu n õ n }upq up n Ơy ta li thĐy nu ãu câ | q ı nhä th… | q | q | B ã tip theo, tữỡng tỹ B ã 2.6 cho ph†p chóng ta di chuy”n m°t phflng BŒ ã 2.13 GiÊ sò vợi mồi x P vợi mồi x P q q q th… upxq upx q Chứng minh B ã n y ữổc chứng minh tữỡng tỹ nhữ chứng minh ca B ã 2.6 Th“t v“y ta s‡ câ p1pqr upq up qs L1p q upx v v… q q upxq ¥ A » p up yq q ? vỵi måi qq Pp 0; 1q nản ta cõ iãu phÊi chứng minh B • ti‚p theo, t÷ìng tü BŒ • 2.7 khflng ành r‹ng ta thüc sü câ th” di chuy”n m°t phflng vã phÊi 48 B ã 2.14 GiÊ sò vỵi måi x P vỵi måi x P q q r q q v q upxq upx Khi õ tỗn ti " Ă cho upxq ¤ upx â " q r q 1: Chøng minh Ta l‰ lu“n t÷ìng tü nh÷ chøng minh cıa BŒ • 2.7 Trong hai bŒ • ti‚p theo ta x†t tr÷íng hỉp q Do c¡c chøng minh cĂc b ã n y tữỡng tỹ nhữ chứng minh cĂc B ã 2.9 v 2.10 nản ta khổng trnh b y li B ã 2.15 GiÊ sò xóc vỵi B t⁄i i”m z r q q v tr÷íng hỉp (c) cıa (2.12) x£y ra, câ ngh¾a l q ti‚p R T Khi â, n‚u q q vỵi måi x P q q upxq ¤ upx q th… q BŒ • 2.16 Gi£ sß q XT q q Yp 1qY q q : v tr÷íng hỉp (d) cıa (2.12) x£y ra, tøc l vỵi B t⁄i i”m z p T vuæng gâc q n o â Khi â q vỵi måi x P q q upxq ¤ upx q th… q q Yp XT q 1qY q q : CuŁi còng ta ph¡t bi”u k‚t qu£ t÷ìng tü nh÷ k‚t qu£ cıa Bỗ ã 2.11 TĐt nhiản chứng minh kt quÊ n y ta cn lp li ỵ chứng minh ca c¡c BŒ • 2.8 v 2.11 49 BŒ • 2.17 Ta cõ q sup : upxq Ô upx q vỵi måi x P q q v K‚t hỉp cĂc B ã 2.14 v 2.17 ta thĐy mt phflng T ữổc di chuyn liản tửc t trĂi sang cho n tn 2.4 q Chứng minh nh lỵ chnh Trữợc tiản ta s chứng minh kt quÊ vã t‰nh Łi xøng cıa mi•n v cıa nghi»m u qua siảu phflng T vợi n o õ Ơy siảu phflng ữổc chồn vuổng gõc vợi trửc x cõ hữợng ỵ Mằnh (i) ã 2.18 Tỗn ti mt sŁ thüc cho c¡c khflng ành sau l Yp XT qY (ii) upx q upxq vỵi måi x P úng: ; chứng minh mằnh ã trản, trữợc ht ta c nh mt hữợng n o õ cho x v thüc hi»n vi»c di chuy”n m°t phflng tł ph£i sang tr¡i Nh›c l⁄i r‹ng m°t phflng T b›t ƒu ÷ỉc di chuy”n tł thíi i”m v k‚t thóc ð thíi i”m Ta s‡ chøng minh 1: Th“t v“y, tł BŒ • 2.11 v t‰nh liản tửc ca u ta thĐy upxq Ô upx vợi mồi 1Ô 0v mồi x P q Do â theo BŒ • 2.6 ta câ upxq upx q vỵi måi v måi x P Tł c¡c BŒ • 2.9 v 2.10 ta câ khflng ành (i) Nâi c¡ch kh¡c ta vła chøng minh ÷ỉc t‰nh Łi xøng cıa mi•n qua T 50 Ti‚p theo ta s‡ chøng minh t‰nh Łi xøng cıa nghi»m qua T , ngh¾a l khflng ành (ii), tøc l upx q upxq vỵi måi x P Tht vy ta  thĐy upx q Ơ upxq vợi mồi x P BƠy gií ta thüc hi»n vi»c di chuy”n m°t phflng T tł tr¡i sang ph£i b›t ƒu tł q tr‰ n o â v bði BŒ • 2.17 ta bi‚t r‹ng vi»c di chuy”n n y k‚t thóc ð thíi i”m n o â Hìn th‚ nœa, q bi B ã 2.17 v tnh liản tửc ca u nản upx bi cĂc B ã 2.15 v Rê r ng t‰nh Łi xøng cıa v â Nh÷ v“y ta va chứng minh ữổc upx q Ơ upxq v upx q Ơ upxq vợi mồi x P T Ơy d kim tra q : ữổc rng u Łi xøng qua T Ti‚p theo ta nhn thĐy Mằnh ã 2.18 úng hữợng bĐt k ca siảu phflng T Ta s chứng minh trữớng hæp n y l h…nh cƒu v nghi»m u cıa (0.1) l i xứng vợi tƠm i xứng l tƠm ca hnh cu Trữợc tiản ta chứng minh l hnh cu thu ữổc iãu n y ta cn chøng minh câ t¥m Łi xøng m ta gi£ thi‚t l i”m x P 51 n o â Lƒn lữổt sò dửng N siảu phflng T thu ữổc t Mằnh ã 2.18 bng cĂch chồn N hữợng ổi mt vuổng gõc vợi v lĐy giao ta suy tỗn ti nhĐt im x thuc N siảu phflng n y Ln lữổt lĐy i xứng qua N siảu phflng n y ta suy miãn cõ t¥m Łi xøng l i”m x0 Ti‚p theo ta chøng minh mồi siảu phflng T thu ữổc t Mằnh ã 2.18 vợi hữợng tuý ỵ cho trửc x ãu i qua x0 Bng phÊn chứng nu tỗn ti mt si¶u phflng T khỉng i qua x0, â b‹ng cĂch ln lữổt lĐy i xứng qua T v x ta xƠy dỹng ữổc mt dÂy im tin vỉ cịng (kho£ng c¡ch ‚n x vỉ cịng) v Ơy l iãu vổ lỵ v b chn BƠy gií ta s‡ chøng minh l h…nh cƒu Th“t v“y trữợc tiản ta t R suptdpx; x0q : x P u v ta s‡ ch¿ r‹ng Bpx0; Rq: l Do miãn b chn nản R LĐy x P bĐt ký Rê r ng dpx; x0q m nản R suptdpx; x0q : x P u tøc l x P Bpx0; Rq Tł â suy € Bpx0; Rq Ngữổc li, lĐy x P Bpx0; Rq bĐt ký v õ ta luổn cõ Ô dpx; x0q R: Do h m kho£ng c¡ch li¶n tưc n¶n nâ nh“n måi gi¡ trà trung gian giœa v R i•u n y cõ nghắa l tỗn ti x1 P cho dpx1; x0q dpx; x0q L§y T l x1 P si¶u phflng nh“n x~x l m v†c tì ph¡p tuy‚n Do nản x P T Ơy ta suy Bpx0; Rq € V“y Łi xøng qua T v Bpx0; Rq CuŁi còng ta chøng minh t‰nh ìn i»u gi£m cıa nghi»m i xa khäi t¥m cıa h… nh cƒu 52 B x0 x y x x1 T H…nh T‰nh ìn i»u gi£m cıa nghi»m Th“t v“y l§y x; y P b§t k… v khổng mĐt tnh tng quĂt ta giÊ sò tức l |y x0| |x x0| i”m y n‹m gƒn t¥m x0 hỡn so vợi im x Khi cho hữợng ca x1 trũng vợi hữợng ca trung trỹc ca R; ữớng thflng nŁi x v y Gåi T l q o⁄n thflng nŁi x v y Rª r ng T chia mt phn chứa ỗng thới hai õ ta chồn hằ tröc to⁄ q i”m y v x0 Theo c¡ch chån m°t phflng th nh hai phƒn q º â câ th… q x y: Do x0 R T n¶n ta câ q q¡ q upx upxq; hay upy1q ¡ upxq V“y ta vła chøng minh ÷ỉc u l h m Łi xøng gi£m c ng xa tƠm ca nh lỵ ữổc chứng minh ho n to n 53 KTLUN Mưc ti¶u ch‰nh cıa Lu“n vôn nhữ  ã cp phn u l viằc phƠn loi tĐt cÊ cĂc nghiằm dữỡng ca (0.1) cụng nhữ phƠn loi tĐt cÊ cĂc miãn m (0.1) cõ nghiằm Bng cĂch sò dửng phữỡng phĂp di chuyn mt phflng ta  chứng minh ữổc lợp phữỡng trnh (0.1) thọa mÂn iãu kiằn (0.3) v (0.8) cõ sỹ i xứng trản cÊ hai phữỡng diằn miãn v nghiằm ca nõ Nhng kt quÊ chnh t ữổc Lun vôn bao gỗm: Ch ữổc mt s kt quÊ vã tnh chnh quy ca nghiằm dữỡng ca lợp phữỡng trnh tch phƠn (0.1); xem cĂc b ã 2.1 v 2.2 Dịng ph÷ìng ph¡p di chuy”n m°t phflng tł tr¡i qua ph£i v tł ph£i qua tr¡i chøng minh ữổc nu nghiằm ca lợp phữỡng trnh trản l nghiằm dữỡng miãn b chn th l hnh cu Nghiằm dữỡng trản cõ tnh chĐt i xứng qua tƠm hnh cƒu v ìn i»u gi£m c ng xa t¥m hnh cu Mc dũ  c gng, nhiản lun vôn khổng trĂnh khọi nhng sai sõt rĐt mong ữổc sỹ gõp ỵ ca cĂc thy cổ v bn åc T i li»u tham kh£o [1] L.C Evans, Partial differential equations, Second edition, Graduate Studies in Mathematics, 19, American Mathematical Society, Providence, RI, 2010 [2] D Li, G Strohmer, L Wang, Symmetry of integral equations on bounded domains, Proc Amer Math Soc 137 (2009) 3695 3702 [3] E.H Lieb, M Loss, Analysis, Second edition, Graduate Studies in Mathematics, 14, American Mathematical Society, Providence, RI, 2001 [4] J Serrin, A symmetry problem in potential theory, Arch Rational Mech Anal 43 (1971) 304 318 54 Phi¶n b£n: Ng y 18 th¡ng n«m 2019 lóc 06:02:49 ... HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐINH THỊ THÚY NGÂN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG MIỀN BỊ CHẶN Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI... cıa m…nh H Nºi, ng y 28 th¡ng 11 nôm 2018 Hồc viản: inh Th Thúy NgƠn Lợp: CH 2016 - 2018 3 M— U Trong to¡n håc, cì håc, v“t l‰ v c¡c ng nh k¾ thu“t kh¡c cõ nhiãu vĐn ã liản quan n phữỡng trnh... nhữ sỹ tỗn ti nghiằm, cĂc vĐn ã vã xĐp x nghiằm, t‰nh ch¿nh hay khæng ch¿nh, nghi»m ch¿nh hâa, Trong Lun vôn n y, ta xt lợp phữỡng trnh tch phƠn trản miãn b chn sau upxq A ằ vợi iãu kiằn biản