Trong bài viết này, trên cơ sở cải tiến một số phương pháp tiếp cận đã có, chúng tôi trình bày một phương pháp tiếp cận mới cho bài toán co của một lớp hệ phương trình sai phân phi tuyến có chậm phụ thuộc thời gian với biến liên tục. Chúng tôi mở rộng khái niệm co thành khái niệm tổng quát hơn là ε-co.
Tạp chí Phát triển Khoa học Cơng nghệ – Khoa học Tự nhiên, 3(3):213-224 Bài nghiên cứu Open Access Full Text Article Điều kiện đủ cho tính chất epsilon-co lớp hệ phương trình sai phân phi tuyến với biến liên tục Đặng Lệ Thúy1 , Cao Thanh Tình1,* , Lê Trung Hiếu2 , Lê Huỳnh Mỹ Vân1 TÓM TẮT Use your smartphone to scan this QR code and download this article Tính chất co hệ động lực nói chung hệ phương trình sai phân nói riêng tính chất định tính quan tâm khai thác nhà nghiên cứu suốt thập niên gần Tính chất co hệ động lực có nhiều ứng dụng mơ hình thực tế, tính chất mà hai quỹ đạo hệ động lực hội tụ biến thời gian dần dương vô hạn.Trong báo này, sở cải tiến số phương pháp tiếp cận có, chúng tơi trình bày phương pháp tiếp cận cho tốn co lớp hệ phương trình sai phân phi tuyến có chậm phụ thuộc thời gian với biến liên tục Chúng mở rộng khái niệm co thành khái niệm tổng quát ε -co Từ đó, chúng tơi đưa số điều kiện tường minh cho tính chất ε -co ổn định mũ lớp hệ Ngồi ra, chúng tơi nghiên cứu điều kiện ε -co lớp hệ phương trình sai phân phi tuyến có chậm với biến liên tục chịu nhiễu phi tuyến, với hàm nhiễu hàm phụ thuộc thời gian tổng qt Từ đó, chúng tơi đưa biên cho tính ε -co lớp hệ chịu nhiễu phi tuyến Các kết đạt mở rộng tổng quát số kết có trước nhiều tác giả khác Một ví dụ đưa nhằm minh họa cho kết đạt Từ khoá: Biên co, co, hệ chịu nhiễu, ổn định mũ, phương trình sai phân với biến liên tục MỞ ĐẦU Giới thiệu Trường Đại học Công nghệ Thông tin, ĐHQG-HCM Trường Đại học Đồng Tháp Liên hệ Cao Thanh Tình, Trường Đại học Cơng nghệ Thơng tin, ĐHQG-HCM Email: tinhct@uit.edu.vn Lịch sử • Ngày nhận: 20-12-2018 • Ngày chấp nhận: 29-7-2019 • Ngày đăng: 31-9-2019 DOI : 10.32508/stdjns.v3i3.649 Bản quyền © ĐHQG Tp.HCM Đây báo công bố mở phát hành theo điều khoản the Creative Commons Attribution 4.0 International license Phương trình sai phân nói chung phương trình sai phân với biến liên tục nói riêng có nhiều ứng dụng mơ hình thực tế Các tốn tính chất định tính nghiệm hệ phương trình sai phân tính chất ổn định, hút, điều khiển được, bị chặn,… thu hút nhà nghiên cứu suốt thập niên vừa qua 2–7 Năm 1998, Lohmiller Slotine đưa số mơ hình thực tế học chất lỏng dẫn đến việc nghiên cứu tốn tính chất co hệ động lực Trong đó, tác giả đưa nhiều điều kiện cho tính co hệ phương trình sai phân thường hệ phương trình vi phân thường Các kết sau ứng dụng vào số mơ hình tốn điều khiển thiết kế quan sát số hệ động lực Các tốn tính chất co hệ động lực sau tiếp tục nghiên cứu, phát triển nhiều nhóm tác giả 7,9,10 Gần đây, tốn tính chất co cho hệ phương trình sai phân phi tuyến có chậm với biến rời rạc hệ phương trình vi phân phiếm hàm 10 nghiên cứu Trong đó, nhóm tác giả đưa nhiều điều kiện đủ, tường minh cho tính chất co hệ phương trình sai phân phi tuyến hệ phương trình vi phân phiếm hàm Tuy nhiên, tính chất co số lớp hệ phương trình sai phân vi phân thường gặp chẳng hạn hệ phương trình sai phân với biến liên tục, hệ phương trình vi phân trung hịa, hệ phương trình sai phân vi phân kết hợp, hệ phương trình có yếu tố ngẫu nhiên chưa nghiên cứu cách đầy đủ Nhằm đóng góp phần lý thuyết vào vấn đề mở nêu trên, báo này, mở rộng khái niệm co thành khái niệm tổng quát ε -co, đưa nhiều điều kiện cho tính ε -co nghiệm lớp hệ phương trình sai phân phi tuyến với biến liên tục Các kết đạt mở rộng tổng quát thật số kết có trước tác giả khác Một số quy ước kí hiệu Gọi Z tập hợp tất số nguyên kí hiệu Z+ := {k ∈ Z : k ≥ 0} Với m ∈ Z+ , kí hiệu m := {1, 2, , m} Gọi R, C trường số thực trường số phức Với hai số nguyên dương l, Trích dẫn báo này: Thúy D L, Tình C T, Hiếu L T, Mỹ Vân L H Điều kiện đủ cho tính chất epsilon-co lớp hệ phương trình sai phân phi tuyến với biến liên tục Sci Tech Dev J - Nat Sci.; 3(3):213-224 213 Tạp chí Phát triển Khoa học Công nghệ – Khoa học Tự nhiên, 3(3):213-224 l×q q, kí hiệu Rl×q , R+ , tập hợp ma trận thực tập hợp ma trận thực khơng âm cỡ l × q ( ) ( ) ( ) ( ) Với hai ma trận thực A = aij , B = bij ∈ Rl×q ta quy ước bất đẳng thức A = aij , B = bij sau: A ≥ (≤, ≫, ≪)B tương đương với j ≥ (≤, >, 0, i ∈ m Đặt τ := max {h, h1 , h2 , , hm } C := C ([−τ , 0], Rn ).Ta cố định t0 ∈ R+ , φ ∈ C xét cho hệ phương trình (1) điều kiện đầu có dạng sau x (s + t0 ) = φ (s), voi s ∈ [−τ , 0] (2) Nếu toán giá trị đầu (1)-(2) có nghiệm, kí hiệu x (·,t0 , φ ), hàm điều kiện đầu φ (·) phải thỏa mãn điều kiện φ (0) = m ∑ fi (t0 , φ (−hi )) + i=1 ∫ −h g(t, s, φ (s))ds Do đó, việc nghiên cứu nghiệm liên tục (1)-(2) dẫn đến lớp hàm điều kiện đầu sau Ct0 := {φ ∈ C : φ (0) = m ∑ fi (t0 , φ (−hi )) i=1 ∫ + −h } g(t, s, φ (s))ds Cho trước t0 ∈ R+ cố định φ ∈ Ct0 Trong suốt báo giả sử tốn giá trị đầu (1)-(2) có nghiệm x (·,t0 , φ ) Nghiệm hàm nhận giá trị véctơ Rn , liên tục [−τ + t0 , ∞) thỏa mãn (1), (2) với t ≥ t0 Cho điểm xe ∈ Rn , xe gọi điểm cân (equilibrium point) hệ (1) m ∑ fi (t; xe ) + i=1 ∫ −h g (t, s, xe ) ds = xe với t ∈ R,t ≥ −τ + t0 Ta thấy fi (t; 0) = 0, với t ∈ R, i ∈ m g(t, s, 0) = với t ∈ R, s ∈ [−h, 0] xe = điểm cân (1) Khi hệ (1) có điểm cân với hàm điều kiện đầu φ (s) = 0, với s ∈ [−τ , 0], hệ (1) có nghiệm x (t,t0 , 0) = với t ≥ t0 Ta có định nghĩa sau ε -co co hệ (1) Định nghĩa 2.1 Hệ (1) gọi ε -co (ε -contractive) tồn M > 0, ε > 0, λ ∈ (0, 1) cho ∥x (t,t0 , φ ) − x (t,t0 , ψ )∥ ≤ M λ t−t0 ∥φ − ψ ∥ + ε (3) với t ∈ R,t ≥ t0 , φ , ψ ∈ Ct0 Trong đó, ∥φ − ψ ∥ = max{∥φ (s) − ψ (s)∥, s ∈ [−τ , 0]} Trường hợp bất đẳng thức (3) với ε = hệ (1) gọi ngắn gọn co (contractive) ([ , Definition 2.1]) Ta thấy rằng, tính chất ε -co mở rộng tính chất co Sau định nghĩa ổn định mũ nghiệm không hệ (1) Định nghĩa 2.2 ([ , Definition 1]) Nghiệm không (1) gọi ổn định mũ toàn cục (globally exponentially stable) tồn M > 0, λ ∈ (0, 1), cho ∥x (t,t0 , φ )∥ ≤ M λ t−t0 ∥φ ∥, 214 Tạp chí Phát triển Khoa học Công nghệ – Khoa học Tự nhiên, 3(3):213-224 với t ∈ R,t ≥ t0 , φ ∈ Ct0 Trong đó, ∥φ ∥ = max{∥φ (s)∥, s ∈ [−τ , 0]} Khi nghiệm không (1) ổn định mũ tồn cục, ta nói hệ (1) ổn định mũ toàn cục Trong suốt mục này, chúng tơi giả thiết n×n (H) Tồn Ai (·) : R → Rn×n + , i ∈ m, B(·, ·) : R × [−h, 0] → R+ , i ∈ m,và hàm bị chặn n n n n n ui (·, ·, ·) : R × R × R → R+ , i ∈ m, v(·, ·, ·) : R × R × R → Rn+ , cho { | fi (t,x)− fi (t,y)|≤Ai (t)|x−y|+ui (t,x,y), ∀i∈m,t∈R,x,y∈Rn (4) |g(t,s,x)−g(t,s,y)|≤B(t,s)|x−y|+v(t,x,y),s∈[−h,0],t∈R,x,y∈Rn Sau đây, đưa số điều kiện tường minh cho tính ε -co hệ (1) Định lí 2.3 Giả sử (H) điều kiện sau thỏa mãn (i) Tồn λ ∈ (0, 1), p ∈ Rn , p ≫ cho ( ) ∫ m ∑ Ai (t)λ −h + i −h i=1 B(t, s)λ s ds p ≪ p, ∀t ∈ R (5) B(t, s)ds ≤ D, ∀t ∈ R (6) nxn (ii) Tồn cho D ∈ R n , ρ (D) < + m ∑ Ai (t) + ∫ i=1 −h ( n×n (iii) Tồn Ai ∈ Rn×n + , i ∈ m hàm liên tục G(·) : [−h, 0] → R+ , ρ m ∑ Ai + i=1 ) ∫ −h Ai (t)≤Ai ,∀t∈R,i∈m,B(t,s)≤G(s),∀t∈R,s∈[−h,0] G(s)ds < cho (7) (iv) Tồn γ ∈ (0, 1) cho m ∑ ∥Ai (t)∥ γ −h + ∫ i i=1 −h ∥B(t, s)∥γ s ds < 1, ∀t ∈ R (8) Khi đó, hệ (1) ε -co Ngoài ra, ui (t, x, y) = v(t, x, y) = với t ∈ R, x, y ∈ Rn , i ∈ m hệ (1) co Bổ đề sau sử dụng chứng minh Định lý 2.3 Bổ đề 2.4 ([ , Lemma 1.1]) Cho ma trận A ∈ Rn×n + Các khẳng định sau tương đương (i) ρ (A) < 1; (ii) ∃p ∈ Rn , p ≫ : Ap ≪ p; (iii) (In − A)−1 ≥ Chứng minh Định lí 2.3 (i) Giả sử (i) thỏa mãn với p = (p1 , p2 , , pn )T ≫ Ta cần chứng minh tồn M > 0, ε > 0, λ ∈ (0, 1) cho ∥x (t,t0 , φ ) − x (t,t0 , ψ )∥ ≤ M λ t−t0 ∥φ − ψ ∥ + ε , với t ∈ R,t ≥ t0 , φ , ψ ∈ Ct0 Lấy φ , ψ ∈ Ct0 (φ ̸= ψ ) hai hàm điều kiện đầu cố định đó, sau để phép chứng minh ngắn gọn, ta đặt x(·) := x (·,t0 , φ ) , y(·) := x (·,t0 , ψ ) Khi đó, |x (s + t0 ) − y (s + t0 )| = |φ (s) − ψ (s)| ≤ ∥φ − ψ ∥ p , {pi , i ∈ n} s ∈ [−τ , 0] Do λ ∈ (0, 1), p ≫ nên từ (5) ta có ( m ∑ Ai (t) + i=1 ( ≤ m ) ∫ −h B(t, s)ds p ∑ Ai (t)λ −hi + i=1 (9) ∫ −h ) B(t, s)λ s ds p ≪ p, ∀t ∈ R 215 Tạp chí Phát triển Khoa học Cơng nghệ – Khoa học Tự nhiên, 3(3):213-224 Khi đó, tồn δ ∈ (0, 1) đủ gần cho ( ∫ m i=1 −h ∑ Ai (t) + ) B(t, s)ds p ≪ δ p, ∀t ∈ R Đặt w(t) := λ t−t0 −1 ∥φ − ψ ∥ min{pp ,i∈n} + K min{pp ,i∈n} ,t ∈ [t0 − τ , ∞], i i { K= max − δ 1≤i≤n sup t≥t0 ,x,y∈Rn {u1i (t, x, y) + +umi (t, x, y) + hvi (t, x, y)}} , (10) với ui (t, x, y) = (ui1 (t, x, y), ui2 (t, x, y), , uin (t, x, y)) v(t, x, y) = (v1 (t, x, y), v2 (t, x, y), , un (t, x, y)) Từ (9) cách đặt w(t) trên, ta có p {pi , i ∈ n} p ≪ λ −1 ∥φ − ψ ∥ {pi , i ∈ n} |x (s + t0 ) − y (s + t0 )| ≤ ∥φ − ψ ∥ ≤ w (s + t0 ) , ∀s ∈ [−τ , 0] Hay |x(s) − y(s)| ≪ w(s), ∀s ∈ [−τ + t0 ,t0 ] Ta cần chứng minh |x(t) − y(t)| ≤ u(t), với t ≥ −τ + t0 Đặc biệt, t = t0 ta có |φ (0) − ψ (0)| = |x (t0 ) − y (t0 )| ≪ w (t0 ) Do tính liên tục hàm x(t), y(t), w(t) nên tồn σ > cho w(t) ≥ |x(t) − y(t)|, ∀t ∈ [t0 ,t0 + σ ) Tiếp theo, ta chứng minh |x(t) − y(t)| ≤ w(t), ∀t ≥ t0 (11) Dùng phương pháp phản chứng, giả sử ngược lại tồn số thực t1 > t0 cho w(t1 ) không lớn |x (t1 ) − y (t1 )| Đặt t∗ := inf {t1 > t0 : w (t1 ) không lớn |x (t1 ) − y (t1 )|} < ∞ Khi đó, t∗ > t0 tồn số i0 ∈ n cho |x(t) − y(t)| ≤ w(t), ∀t ∈ [t0 ,t∗ ) (12) |xi0 (t∗ ) − yi0 (t∗ )| = wi0 (t∗ ) |x (t) − y (t)| > w (t), ∀t ∈ (t ,t + θ ) ∗ ∗ i0 i0 i0 với θ > đủ nhỏ Từ (1), (2), (4), (5), (9) (12) ta có 216 Tạp chí Phát triển Khoa học Công nghệ – Khoa học Tự nhiên, 3(3):213-224 Điều mâu thuẫn với (12) Do đó, (11) thỏa mãn Do tính đơn điệu chuẩn véctơ, ∥p∥ ∥p∥ M = λ min{p ,i∈n} , ε = K min{p ,i∈n} Vậy hệ (1) ε -co i i Khi ui (t, x, y) = v(t, x, y) = , với t ∈ R, x, y ∈ Rn , i ∈ m K = hay ε = Khi đó, hệ (1) co (ii) Ta chứng minh (ii) kéo theo (i) Thật vậy, D ∈ Rn×n + ρ (D) < nên theo Bổ đề 2.4 (i) (ii), tồn p ∈ Rn , p ≫ cho Dp ≪ p Với τ := max {h, h1 , , hm }, ta có tồn λ0 ∈ (0, 1) đủ gần cho λ0−τ Dp ≪ λ0 p Từ đó, ta có ( ∫0 −hi ∫ −τ m s ∑m i=1 Ai (t)λ0 + −h B(t,s)λ0 ds) p≤λ0 (∑i=1 Ai (t)+ −h B(t,s)ds) p ≤λ0−τ Dp≪λ0 p≪p,∀t∈R Do (i) thỏa mãn Vậy (1) ε -co ui (t, x, y) = v(t, x, y) = 0, với t ∈ R, x, y ∈ Rn , i ∈ m hệ (1) co ∫0 (iii) Ta thấy, (iii) trường hợp đặc biệt (ii) với D = ∑m i=1 Ai + −h G(s)ds (iv) Giả sử (iv) thỏa mãn Lấy φ , ψ ∈ Ct0 (φ ̸= ψ ) hai hàm điều kiện đầu cố định đó, ta đặt: x(·) := x (·,t0 , φ ) , y(·) := x (·,t0 , ψ ) Từ cách xác định ∥φ − ψ ∥, ta có: ∥x(s+t0 )−y(s+t0 )∥=∥φ (s)−ψ (s)∥≤∥φ −ψ ∥,s∈[−τ ,0] (13) 217 Tạp chí Phát triển Khoa học Công nghệ – Khoa học Tự nhiên, 3(3):213-224 Do γ ∈ (0, 1) nên từ (8) ta có: m ∑ ∥Ai (t)∥ + i=1 ∫ −h ∫ + −h ∥B(t, s)∥ds ≤ m ∑ ∥Ai (t)∥ γ −h i i=1 ∥B(t, s)∥γ ds < 1, ∀t ∈ R s ∫ Khi đó, tồn η ∈ (0, 1) đủ gần cho ∑m i=1 ∥Ai (t)∥ + −h ∥B(t, s)∥ds < η , t−t −1 ∥φ − ψ ∥ + ε ,t ∈ [t0 − τ , ∞], đó: w(t) := γ { ε= max sup {∥u1i (t, x, y)∥ + − η 1≤i≤n t≥t0 ,x,y∈Rn + ∥umi (t, x, y)∥ + h ∥vi (t, x, y)∥}} t ∈ R Đặt (14) Từ (13) cách đặt w(t) trên, ta có ∥x (s + t0 ) − y (s + t0 )∥ ≤ ∥φ − ψ ∥ < γ −1 ∥φ − ψ ∥ ≤ w (s + t0 ), với s ∈ [−τ , 0] Hay ∥x(s) − y(s)∥ < w(s) với s ∈ [−τ + t0 ,t0 ] Ta cần chứng minh ∥x(t) − y(t)∥ ≤ w(t) với t ≥ −τ + t0 Đặc biệt, t − t0 ta có ∥φ (0) − ψ (0)∥ = ∥x (t0 ) − y (t0 )∥ < w (t0 ) Do tính liên tục hàm x(t) , y(t)và w(t) nên tồn σ > đủ bé cho w(t) ≥ ∥x(t) − y(t)∥ , với t ∈ [t0 ,t0 + σ ) Tiếp theo, ta chứng minh bất đẳng thức vừa nêu với t > t0 , ∥x(t) − y(t)∥ ≤ w(t), ∀t ≥ t0 (15) Dùng phương pháp phản chứng, giả sử ngược lại tồn số thực t1 > t0 cho ∥x (t1 ) − y (t1 )∥ > w (t1 ) Đặt t∗ := inf {t1 > t0 :< ∥x (t1 ) − y (t1 )∥ > w (t1 )} < ∞ Khi đó, t∗ > t0 ∥x(t) − y(t)∥ ≥ w(t), ∀t ∈ (t∗ ,t∗ + θ ) (16) với θ > đủ nhỏ Kết hợp với điều kiện (4), (8), ta chứng minh ∥x (t∗ ) − y (t∗ )∥ < w (t∗ ) Điều mâu thuẫn với (16) Do đó, (15) thỏa mãn Vậy hệ (1) ε -co Khi ui (t, x, y) = v(t, x, y) = , với t ∈ R, x, y ∈ Rn , i ∈ m ta có ε = Khi hệ (1) co Định lí chứng minh n×n Định lí 2.5 Giả sử tồn Ai ∈ Rn×n + , i ∈ m, G(·) : R → R+ , hàm bị chặn ui (·, ·, ·) : R × Rn × Rn → Rn+ , i ∈ m, v(·, ·, ·) : R × Rn × Rn → Rn+ , cho { | fi (t,x)− fi (t,y)|≤Ai |x−y|+ui (t,x,y), ∀i∈m, t∈R,x,y∈Rn |g(t,s,x)−g(t,s,y)|≤G(s)|x−y|+v(t,x,y), t∈R,s∈[−h,0],x,y∈Rn ( ) ∫0 Khi đó, ρ ∑m i=1 Ai + −h G(s)ds < hệ (1) ε -co Ngoài ra, ui (t, x, y) = v(t, x, y) = với t ∈ R, x, y ∈ Rn , i ∈ m hệ (1) co Định lí 2.5 áp dụng trực tiếp vào nghiên cứu tính chất ε -co, co hệ phương trình sai phân chịu nhiễu mục Nhận xét 2.6 (i) Trường hợp đặc biệt dấu “=” (4) xảy hệ (1) trở thành hệ phương trình sai phân nửa tuyến tính dương, phụ thuộc thời gian có dạng m x(t) = ∑ Ai (t)x (t − hi ) + i=1 ∫ −h G(t, s)x(t + s)ds ( ∫ + H t, x (t − h1 ) , , x (t − hm ) , ) −h x(t + s)ds (17) đó, H ( , , ) hàm bị chặn Khi đó, suy trực tiếp từ Định lí 2.3, (17) ε -co điều kiện (i), (ii) (iii) Định lí 2.3 thỏa mãn Ngoài ra, dấu “=” (4) xảy ui (t, x, y) = v(t, x, y) = , với t ∈ R, x, y ∈ Rn , i ∈ m ta có H ( , , ) kéo theo ε = hệ (17) co (ii) Trường hợp đặc biệt fi (t, x) ≡ Ai x + ui (t),t ∈ R, x ∈ Rn , i ∈ m g(t, s, x) ≡ G(s)x, t ∈ R, s ∈ [−h, 0], x ∈ Rn , (1) trở thành phương trình sai phân tuyến tính khơng m x(t) = ∑ Ai x (t − hi ) + i=1 218 ∫ −h G(s)x(t + s)ds + u(t) (18) Tạp chí Phát triển Khoa học Công nghệ – Khoa học Tự nhiên, 3(3):213-224 với u(t) = u1 (t) + + um (t) Ta biết u(t) = với t ∈ R (18) trở thành hệ phương trình sai phân tuyến tính ) ∫ x(t) = m i=1 −h ∑ Ai x (t − hi ) + (19) G(s)x(t + s) ds Hệ (19) tuyến tính ln có nghiệm khơng, tính chất co ổn định mũ trùng Tác giả (19) ổn định mũ ([4, Lemma 1]): m ∑ ∥Ai ∥ + h i=1 m Từ (20) suy tồn cho ∑ ∥Ai ∥ λ −h + h i i=1 m ∑ ∥Ai ∥ λ −hi + i=1 sup ∥G(s)∥ < (20) s∈[−h,0] sup ∥G(s)∥λ −h < Khi đó, s∈[−h,0] ∫ −h ∥G(s)∥λ s ds ≤ + h sup ∥G(s)∥λ m ∑ ∥Ai ∥ λ −h i i=1 −h < 1, ∀t ∈ R s∈[−h,0] Do (20) kéo theo (iv) Định lí 2.3 Vậy (iv) Định lí 2.3 mở rộng (20) cho phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian (1) Nhận xét 2.7 Khi dấu “=” (4) xảy ui (t, x, y) = v(t, x, y) = , với t ∈ R, x, y ∈ Rn , i ∈ m ta có kết Định lí 2.3 đặc biệt hóa trở kết ([ , Theorem 3]) cho tính ổn định mũ hệ phương trình sai phân tuyến tính phụ thuộc thời gian m x(t) = ∑ Ai (t)x (t − hi ) + ∫ −h i=1 B(t, s)x(t + s)ds Sau ví dụ đơn giản nhằm minh họa cho Định lí 2.3 Ví dụ 2.8 Xét phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian R2 ∫0 x(t)= f1 (t,x(t−h))+ f2 (t,x(t−h))+ (21) −1 g(t,s,x(t+s))ds,t≥0, đó, h số thực dương cho trước x = (x1 , x2 )T ∈ R2 , hàm f1 (.; ), f2 (.; ) : R+ × R2 → R2 , g(·, ·, ·) : R+ × [−1, 0] × R2 → R2 xác định √ +1 x 128 , f1 (t, x) := x1 e−t + x 16 t −2t +6 ( ) x1 + a sin (tx2 ) 64 f2 (t, x) := , 16 x2 + 2t (s+2) x1 + sin(4t) 32 , g(t, s, x) := e−x2 x1 sin (3 − x2 ) + 16(t +1) x2 với a số, t ∈ R, s ∈ [−1, 0] Ta thấy hàm f1 (·; ·), f2 (·; ·) g(·, ·, ·) liên tục miền xác định chúng Hệ (21) hệ phi tuyến điểm cân nên hồn tồn khơng thể áp dụng kết ([ , Theorem 3]) Bằng số biến đổi sơ cấp, ta có | f1 (t,x)− f1 (t,y)|≤A1 (t)|x−y|,∀t∈R,x,y∈R2 | f2 (t,x)− f2 (t,y)|≤A2 (t)|x−y|+u(t,x,y),∀t∈R,x,y∈R2 |g(t,s,x)−g(t,s,y)|≤B(t,s)|x−y|,∀t∈R,s∈[−1,0],x,y∈R2 ( A1 (t) := ( u(t, x, y) := 128 ) ( 64 ) ( s+2 32 ) , A2 (t) := , B(t, s) := , 1 0 16(t +1) 16 ) a sin (tx2 ) − a sin (ty2 ) , x = (x1 , x2 )T , y = (y1 , y2 )T , hàm bị chặn t −2t +6 219 Tạp chí Phát triển Khoa học Công nghệ – Khoa học Tự nhiên, 3(3):213-224 Do đó, (4) thỏa mãn Mặt khác, ta có ∫ A1 (t) + A2 (t) + −1 ( := |B(t, s)|ds ≤ M ) 16 128 16 ρ (M) = < Áp dụng Định lí 2.3 (ii), ta suy (21) ε -co a ̸= Ngoài ra, a = (21) co TÍNH CHẤT ε -CO CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CHỊU NHIỄU Giả sử tất giả thiết Định lí 2.5 thỏa mãn, (1) ε -co Cho hàm fi (·, ·), g(·, ·, ·) hệ phương trình (1) nhiễu phi tuyến sau: fi (t, x) → fi (t, x) + fi∗ (t, x),t ∈ R, x ∈ Rn g(t,s,x)→g(t,s,x)+g∗ (t,s,x),t∈R,s∈[−h,0],x∈Rn đó, fi∗ (; ·) ∈ C (R × Rn , Rn ) (i ∈ m), g∗ (∵; ; ; ) ∈ C (R × [−h, 0] × Rn , Rn ) hàm thay đổi có chứa tham số Khi đó, (1) trở thành hệ phương trình sai phân phi tuyến chịu nhiễu có dạng sau m x(t) = ∑ [ fi (t, x (t − hi )) + fi∗ (t, x (t − hi ))] + i=1 ∫ −h [g(t, s, x(t + s)) + g∗ (t, s, x(t + s))] ds q ×n l ×qi i i i Trong mục này, ta giả sử tồn Di ∈ ( Rn×l + , Ei ∈ R+) , ∆i ∈ R+ Dm+1 ∈ Rn×l + , Em+1 q×n ∈ R+ , ∆m+1 (·) ∈ C l×q [−h, 0], R+ (22) , i ∈ m, cho (H1 ) | fi∗ (t, x) − fi∗ (t, y)| ≤ Di ∆i Ei |x − y|, ∀t ∈ R, x, y ∈ Rn , i ∈ m (H2 ) |g∗ (t, s, x) − g∗ (t, s, y)| ≤ Dm+1 ∆m+1 (s)Em+1 |x − y|, ∀t ∈ R, s ∈ [−h, 0], x, y ∈ Rn Bài tốn.Tìm số dương γ cho hệ chịu nhiễu (22) trì tính ε -co độ lớn nhiễu nhỏ γ Số γ gọi biên co hệ (22) Sau kết biên cho tính ε -co hệ phương trình sai phân chịu nhiễu (22) Định lí 3.1.Giả sử (H1 ), (H2 ) giả thiết Định lí 2.5 thỏa mãn Khi hệ chịu nhiễu (22) trì tính ε -co ∫0 ∑m i=1 ∥∆i ∥+ < −h ∥∆m+1 (s)∥ds ∫0 maxi, j∈(1,2,··· ,m+1) ∥Ei (In −∑m i=1 Ai − −h G(s)ds −1 ) Dj∥ n×n đó, Ai ∈ R+ , i ∈ m G(·) : [−h, 0] → Rn×n + xác định Định lí 2.5 Để chứng minh Định lí 3.1 ta có sử dụng tính chất sau ma trận khơng âm Bổ đề 3.2 ([6, Theorem 1.1]) Cho ma trận A ∈ Rn×n + Khi đó, (i) σ (A) giá trị riêng A tồn x ∈ Rn+ , x ̸= cho Ax = ρ (A)x (ii) (tIn − A)−1 tồn không âm t > σ (A) Chứng minh Định lí 3.1 Với i ∈ m, ta có | fi (t, x) − fi (t, y)| ≤ Ai |x − y|, |g(t, s, x) − g(t, s, y)| ≤ G(s)|x − y|, ∀t ∈ R, x, y ∈ Rn , s ∈ [−h, 0] 220 (23) Tạp chí Phát triển Khoa học Công nghệ – Khoa học Tự nhiên, 3(3):213-224 ( ) ∫0 m ρ ∑i=1 Ai + i G(s)ds < Do đó, ( ) ( ) fi (t, x) + fi∗ (t, x) − fi (t, y) + fi∗ (t, y) ≤ (Ai + Di ∆i Ei ) |x − y|, ∀t ∈ R, x, y ∈ Rn , |(g(t, s, x) + g∗ (t, s, x)) − (g(t, s, y) + g∗ (t, s, y)| ≤ (G(s) + Dm+1 ∆m+1 (s)Em+1 ) |x − y|, với t ∈ R, x, y ∈ Rn , s ∈ [−h, 0] ∫0 (G(s)+Dm+1 ∆m+1 (s)Em+1 )ds)