Nghiên cứu tính chất nghiệm của một số dạng phương trình và hệ phương trình sai phân phi tuyến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Mai Nam Phong NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Mai Nam Phong NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 62.46.01.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Vũ Văn Khương PGS.TS Đặng Đình Châu Hà Nội - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hướng dẫn PGS TS Vũ Văn Khương PGS TS Đặng Đình Châu Các kết cơng bố 05 báo, có 04 báo viết chung đồng tác giả cho phép sử dụng luận án Các kết phát biểu luận án mới, trung thực chưa cơng bố cơng trình tác giả khác Tác giả Mai Nam Phong LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn khoa học tận tâm quý báu PGS TS Vũ Văn Khương PGS TS Đặng Đình Châu Các Thầy dành nhiều công sức, dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học, động viên khích lệ tác giả vượt lên khó khăn học tập sống Tác giả xin bày tỏ kính trọng biết ơn sâu sắc Thầy Trong trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án, tác giả ln nhận quan tâm, động viên, giúp đỡ Thầy, Cơ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, Cô Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học Trường Đại học KHTN Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi q trình tác giả học tập hồn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Khoa học Cơ đồng nghiệp Bộ mơn Giải tích, Trường Đại học Giao thơng Vận tải quan tâm, động viên giúp đỡ, giúp cho tác giả có thời gian điều kiện để chuyên tâm nghiên cứu khoa học Luận án khơng thể hồn thành thiếu cảm thơng, động viên, giúp đỡ người thân gia đình Tác giả xin trân trọng kính tặng Gia đình thân u q tinh thần với lòng biết ơn chân thành sâu sắc MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Các ký hiệu Lời mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình sai phân cấp cao 1.1.1 Các định nghĩa ổn định 1.1.2 Ổn định tuyến tính hóa 1.1.3 Các khái niệm dao động 1.2 Hệ phương trình sai phân 1.2.1 Các định nghĩa ổn định 1.2.2 Một số kết ổn định hệ hai phương trình sai phân 18 Chương Ba dạng phương trình sai phân hữu tỷ 2.1 Dáng điệu tiệm cận nghiệm hai dạng phương trình sai phân hữu tỷ 2.2 12 12 12 14 15 16 16 2.1.1 Đặt vấn đề 2.1.2 Dạng tiệm cận nghiệm phương trình (2.4) 2.1.3 Dạng tiệm cận nghiệm phương trình (2.5) Tính ổn định dạng phương trình sai phân hữu tỷ 2.2.1 Đặt vấn đề 2.2.2 Tính ổn định tiệm cận toàn cục điểm cân 20 20 20 22 27 33 33 35 Chương Hai dạng hệ phương trình sai phân phi tuyến 3.1 3.2 50 Tính bị chặn ổn định dạng hệ phương trình sai phân phi tuyến 3.1.1 Đặt vấn đề 3.1.2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ (3.3) 3.1.3 Các ví dụ minh họa Tính bị chặn, tính ổn định tốc độ hội tụ nghiệm dạng hệ phương trình sai phân phi tuyến 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 Đặt vấn đề Dáng điệu toàn cục nghiệm hệ phương Các ví dụ minh họa Tốc độ hội tụ Các ví dụ minh họa trình sai phân 50 50 52 65 71 72 73 76 82 86 Danh mục cơng trình tác giả có liên quan tới luận án 94 Tài liệu tham khảo 95 CÁC KÝ HIỆU R tập số thực Rk không gian vectơ thực k−chiều N tập số tự nhiên x chuẩn vectơ x xT chuyển vị vectơ x ∈ Rk ∅ tập rỗng x∈A phần tử x thuộc tập A x∈ /A phần tử x không thuộc tập A A ⊂ B (B ⊃ A) tập A tập B A tập A không tập B B A∩B giao hai tập A B A∪B hợp hai tập A B A := B A định nghĩa B ∃x tồn x ∀x với x lim inf xn giới hạn dãy số {xn }n lim supxn giới hạn dãy số {xn }n n→∞ n→∞ tr trang ✷ kết thúc chứng minh LỜI MỞ ĐẦU Phương trình sai phân chiếm vị trí quan trọng hệ động lực rời rạc Các phương trình sai phân xuất cách tự nhiên mơ hình rời rạc hay nghiệm số phương trình vi phân-mơ hình nhiều tượng khác lĩnh vực: sinh học, vật lý, kỹ thuật, kinh tế, Việc nghiên cứu định tính phương trình hệ phương trình sai phân phi tuyến tiến hành từ lâu, song phát triển mạnh mẽ từ năm 90 kỷ XX thập kỷ đầu kỷ XXI Ở nước ngồi, đến nghiên cứu R.P Agarwal [1], G Ladas, A.M Amleh, E.A Grove, D.A Georgiou, R.C DeVault, S.W Schultz [3, 17, 18, 33, 40, 41], L Berg [6, 7, 8, 9, 12], E.M Elsayed [21, 22, 23], M R S Kulenovi´c, O Merino, M Nurkanovi´c, Z Nurkanovi´c [36, 37, 38, 39], G Papaschinopoluos, M.A Radin, C.J Schinas, G Stefanidou [50, 53], X Li, D Zhu [43, 44, 45, 46], S Stevi´c [54, 55, 56, 57, 58, 59, ˇ 60, 61], S Stevi´c, J Diblík, B Iriˇcanin, Z Smarda [62, 63], Ở nước, kết phương trình sai phân phi tuyến xem nghiên cứu Vũ Ngọc Phát, Nguyễn Sinh Bảy [4, 5, 51], Đặng Vũ Giang, Đinh Công Hướng [24, 25, 28], Vũ Văn Khương [30, 31, 32] Nghiên cứu định tính phương trình sai phân tức nghiên cứu tính chất dáng điệu nghiệm chúng mà không cần xác định công thức nghiệm tường minh Như biết, số lớp phương trình có dạng đặc biệt tìm cơng thức nghiệm tường minh Do đó, nói chung việc xác định cơng thức nghiệm dạng phương trình sai phân thường gặp khó khăn, xác định cơng thức thường dạng phức tạp, dẫn đến hạn chế định việc nghiên cứu tính chất chúng Một số vấn đề tiêu biểu mà lý thuyết định tính phương trình sai phân quan tâm là: tính dao động, tính ổn định nghiệm, dáng điệu tiệm cận nghiệm, tính bị chặn, khoảng bất biến nghiệm, Trong nghiên cứu phương trình sai phân phi tuyến nghiên cứu phương trình sai phân hữu tỷ cấp lớn ln đóng vai trò quan trọng, số nguồn gốc cho phát triển lý thuyết dáng điệu toàn cục phương trình sai phân phi tuyến bậc cao bắt nguồn từ kết phương trình sai phân hữu tỷ Một số quy luật phát triển vật, tượng thực tế rời rạc hóa dạng phương trình hệ phương sai phân hữu tỷ, kể đến số mơ hình sau đây: • Mơ hình sinh trưởng loại hàng năm, xem [33]: xn+1 = λxn , n = 0, 1, 2, , (1 + axn )p + bλxn (1) tham số a, b, p ∈ (0, ∞), λ ∈ [1, +∞) giá trị ban đầu x0 số thực dương • Mơ hình sản xuất tế bào máu Mackey-Glass, xem [33]: xn+1 = αxn + β , xpn−k n = 0, 1, 2, , (2) α ∈ [0, 1), p, β ∈ (0, ∞), k ∈ Z+ giá trị ban đầu x−k , , x0 ∈ [0, ∞) • Mơ hình mơ tả mối quan hệ vật chủ ký sinh R.M May đề xuất, xem [36]: αxn , + βyn n = 0, 1, 2, , βxn yn = , + βyn xn+1 = yn+1 (3) α, β ∈ (0, ∞) giá trị ban đầu x0 , y0 số thực dương Năm 2001, chuyên khảo [35], M R S Kulenovi´c G Ladas tổng hợp kết nghiên cứu tính bị chặn, tính ổn định tồn cục tính tuần hồn lớp phương trình sai phân hữu tỷ cấp hai có dạng xn+1 = α + βxn + γxn−1 , n = 0, 1, 2, , A + Bxn + Cxn−1 (4) tham số α, β, γ, A, B, C giá trị ban đầu x−1 , x0 số thực không âm cho mẫu số dương Trong số trường hợp đặc biệt, phương trình (4) trở dạng phương trình nhận quan tâm nhiều nhà nghiên cứu: • Khi γ = C = 0, phương trình (4) trở thành xn+1 = α + βxn , n = 0, 1, 2, , A + Bxn (5) với tên gọi Phương trình sai phân Riccati, phương trình nghiên cứu [1, 19, 33] • Khi α = γ = B = 0, phương trình (4) trở thành xn+1 = βxn , n = 0, 1, 2, , A + Cxn−1 (6) có tên Phương trình sai phân Pielou, tính chất nghiệm trình bày [33] ... tục hướng nghiên cứu dạng phương trình hệ phương trình sai phân phi tuyến thời gian gần đây, luận án này, đề xuất nghiên cứu dạng phương trình có tính chất tổng qt hơn, dạng tương tự, dạng nhằm... cân dạng phương trình sai phân hữu tỷ Tính bị chặn, khoảng bất biến nghiệm tính ổn định nghiệm cân dương hai dạng hệ hai phương trình sai phân phi tuyến 10 Tốc độ hội tụ nghiệm dạng hệ hai phương. .. HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Mai Nam Phong NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 62.46.01.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN