NGHIÊN cứu TÍNH CHẤT NGHIỆM của một số DẠNG PHƯƠNG TRÌNH và hệ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Mai Nam Phong NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 62.46.01.01 DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 Công trình hoàn thành tại: Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Vũ Văn Khương Đại học GTVT PGS.TS Đặng Đình Châu ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội Phản biện : Phản biện : Phản biện : Luận án bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án tiến sĩ họp vào hồi ngày tháng năm 20 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội LỜI MỞ ĐẦU Phương trình sai phân chiếm vị trí quan trọng hệ động lực rời rạc Các phương trình sai phân xuất cách tự nhiên mô hình rời rạc hay nghiệm số phương trình vi phân-mô hình nhiều tượng khác lĩnh vực: sinh vật học, sinh thái học, sinh lý học, vật lý, kỹ thuật kinh tế Việc nghiên cứu định tính phương trình hệ phương trình sai phân phi tuyến tiến hành từ lâu, xong phát triển mạnh mẽ từ năm 90 kỷ XX thập kỷ đầu kỷ XXI, đến nghiên cứu R.P Agarwal, G Ladas, Kocic, L Berg, S Stevi´c, M R S Kulenovi´c, G Papaschinopoluos, X Li, Nghiên cứu định tính phương trình sai phân tức nghiên cứu tính chất dáng điệu nghiệm chúng mà không cần xác định công thức nghiệm tường minh Như biết, số lớp phương trình có dạng đặc biệt tìm công thức nghiệm tường minh Do đó, nói chung việc xác định công thức nghiệm dạng phương trình sai phân thường gặp khó khăn, xác định công thức thường có dạng phức tạp dẫn đến hạn chế định việc nghiên cứu tính chất chúng Một số vấn đề tiêu biểu mà lý thuyết định tính phương trình sai phân quan tâm là: tính dao động, tính ổn định nghiệm, dáng điệu tiệm cận nghiệm, tính giới nội, khoảng bất biến nghiệm, Trong nghiên cứu phương trình sai phân phi tuyến nghiên cứu phương trình sai phân hữu tỷ cấp lớn đóng vai trò quan trọng, số nguồn gốc cho phát triển lý thuyết dáng điệu toàn cục phương trình sai phân phi tuyến bậc cao bắt nguồn từ kết phương trình sai phân hữu tỷ Một số quy luật phát triển vật, tượng thực tế rời rạc hóa dạng phương trình hệ phương sai phân hữu tỷ, kể đến số mô hình như: • Mô hình sinh trưởng loại hàng năm: xn+1 = λxn , n = 0, 1, 2, , (1 + axn )p + bλxn (1) tham số a, b, p ∈ (0, ∞), λ ∈ [1, +∞) giá trị ban đầu x0 số thực dương • Mô hình sản xuất tế bào máu Mackey-Glass: xn+1 = αxn + β xpn−k , n = 0, 1, 2, , (2) α ∈ [0, 1), p, β ∈ (0, ∞), k ∈ Z+ giá trị ban đầu x−k , , x0 ∈ [0, ∞) • Mô hình mô tả mối quan hệ vật chủ ký sinh R.M May đề xuất: αxn xn+1 = , + βyn n = 0, 1, 2, , (3) βxn yn , yn+1 = + βyn α, β ∈ (0, ∞) giá trị ban đầu x0 , y0 số thực dương Năm 2001, chuyên khảo "Dynamics of Second Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures", M R S Kulenovi´c G.Ladas tổng hợp kết nghiên cứu tính giới nội, tính ổn định toàn cục tính tuần hoàn lớp phương trình sai phân hữu tỷ cấp hai có dạng: α + βxn + γxn−1 xn+1 = , n = 0, 1, 2, , (4) A + Bxn + Cxn−1 tham số α, β, γ, A, B, C giá trị ban đầu x−1 , x0 số thực không âm cho mẫu số dương Trong số trường hợp đặc biệt, phương trình (4) trở dạng phương trình nhận quan tâm nhiều nhà nghiên cứu: • Khi γ = C = 0, phương trình (4) trở thành xn+1 = α + βxn , n = 0, 1, 2, , A + Bxn (5) với tên gọi Phương trình sai phân Riccati • Khi α = γ = B = 0, phương trình (4) trở thành xn+1 = βxn , n = 0, 1, 2, , A + Cxn−1 (6) có tên Phương trình sai phân Pielou • Khi γ = A = B = 0, phương trình (4) trở thành xn+1 = α + βxn , n = 0, 1, 2, , Cxn−1 với tên gọi Phương trình sai phân Lyness (7) Năm 2008, chuyên khảo Dynamics of Third Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures, E Camouzis G Ladas trình bày kết tính giới nội nghiệm, tính ổn định điểm cân tính tuần hoàn nghiệm lớp phương trình sai phân hữu tỷ cấp ba có dạng: xn+1 = α + βxn + γxn−1 + δxn−2 , n = 0, 1, 2, , A + Bxn + Cxn−1 + Dxn−2 (8) tham số α, β, γ, δ, A, B, C, D giá trị ban đầu x−1 , x0 số thực không âm cho mẫu số dương Trong thời gian gần đây, nghiên cứu dạng phương trình thuộc lớp phương trình sai phân hữu tỷ (4) (8) có nhiều nghiên cứu dạng khác phương trình sai phân hữu tỷ, kể đến nghiên cứu L Berg, S Stevic, K Berenhaut, V.V Khương, X Li, Một dạng phương trình sai phân phi tuyến thu hút quan tâm lớn nhà Toán học phương trình sai phân có chứa biểu thức dạng mũ, dạng phương trình thường mô tả mô hình dân số loài, số mô hình tiêu biểu như: • Mô hình dân số loài bọ cánh cứng: xn+1 = axn + bxn−2 e−c1 xn −c2 xn−2 , n = 0, 1, 2, , (9) a ∈ (0, 1), b ∈ (0, ∞), c1 , c2 ∈ [0, ∞), c1 + c2 > giá trị ban đầu x−2 , x−1 , x0 số thực dương • Mô hình dân số loài muỗi: xn+1 = (axn + bxn−1 e−xn−1 )e−xn , n = 0, 1, 2, , (10) a ∈ (0, 1), b ∈ [0, ∞), giá trị ban đầu x−1 , x0 số thực dương • Mô hình loài ruồi xanh Nicholson: xn+1 = (1 − α)xn + βxn−k e−γxn−k , n = 0, 1, 2, , (11) α ∈ (0, 1), β ∈ (α, ∞), γ ∈ (0, ∞), k số nguyên dương, giá trị ban đầu x−k , , x−1 ∈ [0, ∞), x0 ∈ (0, ∞) Tiếp tục hướng nghiên cứu dạng phương trình hệ phương trình sai phân phi tuyến thời gian gần đây, luận án này, đề xuất nghiên cứu dạng phương trình có tính chất tổng quát hơn, dạng tương tự, dạng nhằm góp phần làm phong phú thêm kết lý thuyết định tính phương trình sai phân Cụ thể tập trung nghiên cứu số vấn đề sau: Xây dựng dạng tiệm cận nghiệm dương không dao động hai dạng phương trình sai phân hữu tỷ Tính ổn định tiệm cận toàn cục điểm cân dạng phương trình sai phân hữu tỷ Tính giới nội, khoảng bất biến, tính ổn định nghiệm cân ba dạng hệ hai phương trình sai phân Tốc độ hội tụ nghiệm hai dạng hệ hai phương trình sai phân Cấu trúc luận án: phần Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Lời mở đầu, Kết luận, Kiến nghị số hướng nghiên cứu tiếp theo, Danh mục công trình Tài liệu tham khảo, luận án bố cục gồm 03 chương: Chương Trình bày khái niệm kết dùng trong chương luận án Chương Dựa phương pháp xây dựng dạng tiệm cận nghiệm L Berg S Stevi´c, tác giả xây dựng dạng tiệm cận nghiệm cho hai dạng phương trình sai phân hữu tỷ Bằng việc phân tích nửa chu kỳ dương nửa chu kỳ âm nghiệm tính chất dãy nghiệm phụ thuộc vào giá trị ban đầu, tác giả chứng minh tính ổn định tiệm cận toàn cục dạng phương trình sai phân hữu tỷ Chương Tác giả nghiên cứu tính giới nội, khoảng bất biến nghiệm, tính ổn định điểm cân tốc độ hội tụ nghiệm tới điểm cân ba hệ hai phương trình sai phân Nội dung luận án công bố công trình [1-5] tác giả công trình [6] gửi đăng Hà Nội, ngày 14 tháng năm 2015 Người thực Mai Nam Phong Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương nhắc lại số khái niệm kết chứng minh để thuận tiện cho việc theo dõi nội dung luận án 1.1 Phương trình sai phân cấp cao 1.1.1 Các định nghĩa ổn định Phương trình sai phân cấp (k + 1) phương trình có dạng: xn+1 = F (xn , xn−1 , , xn−k ), n = 0, 1, 2, , (1.1) F hàm số từ I k+1 vào I Tập I thường khoảng tập số thực hợp khoảng tập rời rạc tập số nguyên Một nghiệm phương trình (1.1) dãy {xn }∞ n=−k thỏa mãn phương trình (1.1) với n ≥ Một nghiệm phương trình (1.1) số với n ≥ −k gọi nghiệm cân Nếu xn = x¯ với n ≥ −k nghiệm cân phương trình (1.1) x¯ gọi điểm cân phương trình (1.1) Định nghĩa 1.1 i) Điểm cân x¯ phương trình (1.1) gọi ổn định địa phương với > 0, tồn δ > cho {xn }∞ n=−k nghiệm phương trình (1.1) với |x−k − x¯| + |x−k+1 − x¯| + + |x0 − x¯| < δ, |xn − x¯| < , với n ≥ ii) Điểm cân x¯ phương trình (1.1) gọi ổn định tiệm cận địa phương x¯ ổn định địa phương, nữa, tồn γ > cho {xn }∞ n=−k nghiệm phương trình (1.1) với điều kiện |x−k − x¯| + |x−k+1 − x¯| + + |x0 − x¯| < γ, lim xn = x¯ n→∞ iii) Điểm cân x¯ phương trình (1.1) gọi hút toàn cục nghiệm {xn }∞ n=−k phương trình (1.1) ta có lim xn = x¯ n→∞ iv) Điểm cân x¯ phương trình (1.1) gọi ổn định tiệm cận toàn cục x¯ ổn định địa phương hút toàn cục v) Điểm cân x¯ phương trình (1.1) gọi không ổn định x¯ không ổn định địa phương 1.1.2 Ổn định theo tuyến tính hóa Giả sử hàm số F khả vi liên tục lân cận mở điểm cân x¯ Đặt ∂F (¯ x, x¯, , x¯), với i = 0, 1, , k qi = ∂ui đạo hàm riêng hàm F (u0 , u1 , , uk ) tương ứng theo ui lấy giá trị điểm cân x¯ phương trình (1.1) Khi phương trình: yn+1 = q0 yn + q1 yn−1 + + qk yn−k , n = 0, 1, 2, , (1.2) gọi phương trình tuyến tính hóa phương trình (1.1) xung quanh điểm cân x¯, phương trình λk+1 − q0 λk − q1 λk−1 − − qk−1 λ − qk = 0, (1.3) gọi phương trình đặc trưng phương trình (1.2) xung quanh x¯ Kết sau biết đến với tên gọi "Định lý ổn định tuyến tính hóa" đóng vai trò quan trọng việc xác định tính ổn định địa phương điểm cân x¯ phương trình (1.1) Định lý 1.1 Giả sử hàm số F khả vi liên tục xác định lân cận mở x¯ Khi phát biểu sau đúng: i) Nếu tất nghiệm phương trình (1.3) có mô đun bé điểm cân x¯ phương trình (1.1) ổn định tiệm cận địa phương ii) Nếu có nghiệm phương trình (1.3) có mô đun lớn điểm cân x¯ phương trình (1.1) không ổn định Kết sau cho ta điều kiện đủ để tất nghiệm phương trình với bậc tùy ý nằm đĩa đơn vị Định lý 1.2 Giả sử q0 , q1 , q2 , , qk số thực cho: |q0 | + |q1 | + + |qk | < 1, nghiệm phương trình (1.3) nằm đĩa đơn vị 1.1.3 Các khái niệm dao động Định nghĩa 1.2 Giả sử x¯ điểm cân {xn }∞ n=−k nghiệm phương trình (1.1) i) Nửa vòng dương {xn }∞ n=−k "xâu" số hạng {xl , xl+1 , , xm }, tất lớn x với l ≥ −k m ≤ ∞ cho l = −k, hay l > −k xl−1 < x m = ∞, hay m < ∞ xm+1 < x ii) Nửa vòng âm {xn }∞ n=−k "xâu" số hạng {xl , xl+1 , , xm }, tất bé x, với l ≥ −k m ≤ ∞ cho l = −k, hay l > −k xl−1 ≥ x m = ∞, hay m < ∞ xm+1 ≥ x iii) Nghiệm {xn }∞ n=−k phương trình (1.1) gọi không dao động xung quanh x, hay gọi đơn giản không dao động tồn N ≥ −k cho xn ≥ x¯ với n ≥ N xn < x¯ với n ≥ N Ngược lại, nghiệm {xn }∞ n=−k gọi dao động xung quanh x, hay gọi đơn giản dao động iv) Nghiệm {xn }∞ n=−k gọi dao động ngặt xung quanh x với n0 ≥ 0, tồn n1 , n2 ≥ n0 cho (xn1 − x¯)(xn2 − x¯) < Nửa vòng nghiệm phương trình (1.1) bắt đầu với số hạng x−k , nửa vòng dương x−k ≥ x¯, nửa vòng âm x−k < x¯ 1.2 1.2.1 Hệ phương trình sai phân Ổn định tuyến tính hóa Gọi I khoảng tập số thực, hàm số f, g : I × I −→ I (1.4) hàm số khả vi liên tục Khi đó, với giá trị ban đầu (x0 , y0 ) ∈ I, hệ phương trình sai phân xn+1 = f (xn , yn ), yn+1 = g(xn , yn ), n = 0, 1, 2, , (1.5) có nghiệm {(xn , yn )}∞ n=0 Định nghĩa 1.3 Điểm (¯ x, y¯) gọi điểm cân hệ (1.5) x¯ = f (¯ x, y¯), y¯ = g(¯ y , x¯) (1.6) Định nghĩa 1.4 Gọi (¯ x, y¯) điểm cân hệ (1.5) i) Điểm cân (¯ x, y¯) gọi ổn định với > tồn δ > cho với giá trị ban đầu (x0 , y0 ) thỏa mãn (x0 , y0 ) − (¯ x, y¯) < δ suy (xn , yn ) − (¯ x, y¯) < với n > Ngược lại, điểm cân (¯ x, y¯) gọi không ổn định ii) Điểm cân (¯ x, y¯) gọi ổn định tiệm cận tồn η > cho (x0 , y0 ) − (¯ x, y¯) < η suy (xn , yn ) → (¯ x, y¯) n → ∞ iii) Điểm cân (¯ x, y¯) gọi hút toàn cục (xn , yn ) → (¯ x, y¯) n → ∞ iv) Điểm cân (¯ x, y¯) gọi ổn định tiệm cận toàn cục ổn định hút toàn cục Định nghĩa 1.5 Gọi (¯ x, y¯) điểm cân ánh xạ F (x, y) = (f (x, y), g(x, y)), f g hàm khả vi liên tục (¯ x, y¯) Hệ tuyến tính hóa hệ (1.5) xung quanh điểm cân (¯ x, y¯) xác định Xn+1 = F (Xn ) = FJ Xn , xn FJ ma trận Jacobian hệ (1.5) xung quanh yn điểm cân (¯ x, y¯) Xn = Chương Về ba dạng phương trình sai phân hữu tỷ 2.1 2.1.1 Dạng tiệm cận nghiệm hai dạng phương trình sai phân hữu tỷ Đặt vấn đề Năm 1998, R Devault, G Ladas S.W Schultz điều kiện cần đủ tính giới nội phương trình dạng xn+1 = A B , n = 0, 1, , p + q xn xn−1 (2.1) A, B, p, q ∈ (0, ∞) giá trị ban đầu x−1 , x0 ∈ (0, ∞) Đồng thời, tác giả nghiên cứu tính ổn định tính tuần hoàn phương trình dạng A xn+1 = + , n = 0, 1, , (2.2) xn xn−2 A, x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞) Mở rộng kết R Devault, G Ladas S.W Schultz phương trình (2.1), nghiên cứu S Stevi´c năm 2002, tác giả điều kiện cần đủ tính giới nội nghiệm phương trình sai phân: k xn+1 = i=0 αi , n = 0, 1, 2, , i xpn−i (2.3) k số nguyên dương, αi , pi ∈ (0, ∞), i = 1, 2, , k giá trị ban đầu x−k , x−k+1 , , x−3 , x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞) Trong năm 2002, 2004, 2005, 2007 có nhiều nghiên cứu dạng tiệm cận nghiệm phương trình sai phân hữu tỷ công trình L Berg, S Stevi´c K Berenhaut Trong tác giả xây dựng dạng tiệm cận nghiệm dựa việc xây dựng hai dãy chặn trên, chặn nghiệm Trong chương này, dựa phương pháp xây dựng dạng tiệm cận nghiệm 10 nghiên cứu kể trên, nghiên cứu dạng tiệm cận nghiệm dương không dao động phương trình sau đây: xn = A1 A2 Ak−1 + + + − , n = 0, 1, 2, , xn−1 xn−2 xn−k+1 xn−k (2.4) k−1 với A1 , A2 , , Ak−1 ∈ [0, ∞), Ai > giá trị ban đầu x−k , x−k+1 , , i=1 x−3 , x−2 , x−1 số thực dương tùy ý, phương trình: A1 A2 A3 + + − , n = 0, 1, 2, , xn xn−1 xn−2 xn−1 xn−2 xn−3 xn−2 xn−3 xn−4 xn−5 (2.5) A1 , A2 , A3 ∈ [0, ∞) A = A1 +A2 +A3 −1 > 0, x−5 , x−4 , x−3 , x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞) Nội dung chương lấy từ phần báo [2] phần báo [3] tác giả xn+1 = 2.1.2 Dạng tiệm cận nghiệm phương trình (2.4) Nội dung phần giải toán, có tồn nghiệm dương không dao động phương trình (2.4) hay không? Chú ý phương trình tuyến tính hóa phương trình (2.4) xung quanh k−1 Ai − viết dạng tương đương: điểm cân x = i=1 yn + A1 A2 Ak−1 y + y + + y − yn−k = n−1 n−2 n−k+1 x2 x2 x2 x2 (2.6) Đa thức đặc trưng tương ứng với phương trình (2.6) có dạng p(t) = x2 tk + A1 tk−1 + + Ak−1 t − = (2.7) Với p > 0, α > có nghiệm dương t0 đa thức đặc trưng thuộc khoảng (0, 1) Dựa ý tưởng nghiên cứu L Berg phát triển S Stevi´c, ta tin tưởng nghiệm phương trình (2.4) có dạng tiệm cận sau xn = x + atn0 + o(tn0 ), 11 (2.8) với a ∈ R t0 nghiệm phương trình (2.7) Bài toán giải việc xây dựng hai dãy phù hợp yn zn với yn ≤ xn ≤ zn (2.9) với n đủ lớn Từ (2.8) kết L Berg ta dự đoán ba số hạng dạng tiệm cận nghiệm có dạng ϕn = x + atn + bt2n (2.10) Sau kết phần k−1 Định lý 2.1 Với Ai > 0, i = 1, 2, 3, , k − 1, Ai > 1, phương i=1 trình (2.4) có nghiệm không dao động hội tụ đến điểm cân dương k−1 Ai − với dạng tiệm cận (2.8) x= i=1 2.1.3 Dạng tiệm cận nghiệm phương trình (2.5) Tương tự phương trình (2.4), phần ta thu kết sau Định lý 2.2 Giả sử A1 , A2 , A3 ∈ [0, ∞) A = A1 + A2 + A3 − > 0, phương trình (2.5) có nghiệm dương không dao động hội tụ đến điểm √ cân dương x = A n → ∞ 2.2 2.2.1 Tính ổn định dạng phương trình sai phân hữu tỷ Đặt vấn đề Năm 1998, G Ladas đề xuất nghiên cứu tính ổn định tiệm cận toàn cục phương trình sai phân hữu tỷ xn+1 = xn + xn−1 xn−2 , n = 0, 1, 2, , xn xn−1 + xn−2 (2.11) với giá trị ban đầu x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞) Năm 2002, X Li, D Zhu chứng minh nghiệm cân phương 12 trình (2.11) ổn định tiệm cận toàn cục Năm 2004, T Nesemann nghiên cứu phương trình xn+1 = xn−1 + xn xn−2 , n = 0, 1, 2, , xn xn−1 + xn−2 (2.12) với giá trị ban đầu x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞), tác giả chứng minh nghiệm cân dương phương trình (2.12) ổn định tiệm cận toàn cục Dựa dạng phương trình tác giả nghiên cứu thời gian gần sử dụng phương pháp phân tích nửa vòng dương, nửa vòng âm nghiệm công trình X Li D Zhu để nghiên cứu tính ổn định nghiệm cân dương phương trình hữu tỷ, phần nghiên cứu phương trình sai phân hữu tỷ cấp bốn sau đây: xn+1 xn−1 xn−3 + x2n−1 + a = , n = 0, 1, 2, , xn−1 xn−3 + xn−1 + a (2.13) a ∈ [0, ∞) giá trị ban đầu x−3 , x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞) Nội dung phần lấy báo [1] tác giả 2.2.2 Tính ổn định tiệm cận toàn cục phương trình (2.13) Ở phần này, ta độ dài liên tiếp nửa chu kỳ dương nửa chu kỳ âm nghiệm không tầm thường phương trình (2.13) xuất tuần hoàn Ta chứng minh điểm cân dương phương trình (2.13) ổn định tiệm cận toàn cục Định lý 2.3 Giả sử {xn }∞ n=−3 nghiệm dao động ngặt phương trình (2.13) Khi quy luật xuất độ dài nửa chu kỳ dương nửa chu kỳ âm là: hoặc, , 1− , 2+ , 1− , 2+ , 1− , 2+ , 1− , 2+ , , hoặc, , 1+ , 1− , 1+ , 3− , 1+ , 1− , 1+ , 3− , , hoặc, , 4+ , 2− , 4+ , 2− , 4+ , 2− , 4+ , 2− , Sau ta phát biểu định lý ổn định điểm cân Định lý 2.4 Giả sử a ∈ [0, ∞) Khi điểm cân dương phương trình (2.13) ổn định tiệm cận toàn cục 13 Chương Ba dạng hệ phương trình sai phân phi tuyến 3.1 Tính giới nội ổn định dạng hệ phương trình sai phân phi tuyến Nội dung phần nghiên cứu tính bị chặn, tính bền vững tính ổn định tiệm cận nghiệm dương hệ phương trình sai phân dạng mũ: xn+1 = a+bxn−1 +cxn−1 e−yn , yn+1 = α+βyn−1 +γyn−1 e−xn , n = 0, 1, 2, , a, b, c, α, β, γ ∈ (0, ∞), giá trị ban đầu x−1 , x0 , y−1 , y0 số thực dương 3.1.1 Đặt vấn đề Phương trình hệ phương trình sai phân phi tuyến có chứa dạng mũ gần nhận quan tâm lớn nhà Toán học, tham khảo công trình nghiên cứu H El-Metwally, E.A Grove, G Ladas, R Levins, M Radin năm 2001, D.C Zhang, B Shi năm 2003, S Stevi´c năm 2007 G Stefannidou, G Papaschinopoluos, C.J Schinas, M Radin năm 2010, 2011 Năm 2001, H El-Metwally, E.A Grove, G Ladas, R Levins, M Radin nghiên cứu tính giới nội tính ổn định điểm cân dương phương trình sai phân: xn+1 = a + bxn−1 e−xn , (*) a, b số dương, giá trị ban đầu x−1 , x0 số dương Thực tế, mô hình đề xuất nhóm nghiên cứu trường Y tế công cộng thuộc Đại học Harvard nghiên cứu biến động dân số loài xn , a tỷ lệ di cư b tỷ lệ tăng trưởng dân số Năm 2011, G Papaschinopoluos, M Radin, C.J Schinas nghiên cứu tính giới nội, tính bền vững dáng điệu tiệm cận nghiệm dương hệ hai phương trình sai phân dạng mũ: xn+1 = a + bxn−1 e−yn , yn+1 = c + dyn−1 e−xn , n = 0, 1, 2, , 14 (**) Dựa báo ta mở rộng việc nghiên cứu phương trình (∗) hệ phương trình (∗∗) việc nghiên cứu hệ phương trình dạng mũ sau: xn+1 = a+bxn−1 +cxn−1 e−yn , yn+1 = α+βyn−1 +γyn−1 e−xn , n = 0, 1, 2, , (3.1) a, b, c, α, β, γ số dương giá trị ban đầu x−1 , x0 , y−1 , y0 số thực dương Ta nghiên cứu tính giới nội, tính bền vững tính ổn định tiệm cận nghiệm dương hệ phương trình (3.1) Ta xét số trường hợp đặc biệt, b = β = hệ phương trình (3.1) trở thành hệ phương trình (∗), xn = yn , a = α, b = β = 0, c = γ ta có phương trình (∗) Nội dung phần lấy từ báo [5] tác giả 3.1.2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ (3.1) Trước hết ta điều kiện để nghiệm hệ (3.1) giới nội bền vững Định lý 3.1 Xét hệ (3.1) với điều kiện: b + ce−α < 1, β + γe−a < (3.2) Khi nghiệm (3.1) giới nội bền vững Trong nội dung ta khoảng bất biến hệ (3.1) Định lý 3.2 Xét hệ (3.1) với điều kiện (3.2) thỏa mãn Khi ta có phát biểu sau: (i) Tập a, α a × α, − b − ce−α − β − γe−a tập bất biến hệ (3.1) (ii) Gọi số dương tùy ý (xn , yn ) nghiệm hệ (3.1) Ta xét tập I1 = a, a+ α+ , I = α, − b − ce−α − β − γe−a (3.3) Khi tồn n0 cho với n ≥ n0 xn ∈ I1 , yn ∈ I2 15 (3.4) Sau ta phát biểu kết tính tính hút điểm cân Định lý 3.3 Xét hệ (3.1) với điều kiện sau thỏa mãn: Nếu α(1 − b) ≥ a(1 − β) a2 (1 − 2β)2 + 4(1 − b)2 , c b1 + a−1 , điểm cân P3 ( a−1 < c , 0) c a1 − c1 ổn định tiệm cận địa phương ii) Nếu a > 1, a1 < c1 Sau ta trình bày tính ổn định điểm cân dương hệ (3.14) Định lý 3.10 Giả sử (1 − a1 )d1 , b1 + c c1 − a1 c1 − a1 c < < , , d+b d1 b1 + 1−a a < 1, a1 < 1, a1 < c1 , b + d < điểm cân dương P4 (1 − a1 )d1 − (d + b)(b1 + 1) c(b1 + 1) − (a − 1)(a1 − c1 ) , (c1 − a1 )(d + b) − cd1 (c1 − a1 )(d + b) − cd1 20 (3.15) ổn định tiệm cận địa phương và α = 3.3.3 (a − bβ)(1 + dβ) (a1 α − b1 )(1 + c1 α) + (1 + cα + dβ)2 (1 + c1 α + d1 β)2 (a − bβ)(1 + dβ) (a1 α − b1 )(1 + c1 α) [...]... định của điểm cân bằng Định lý 2.4 Giả sử a ∈ [0, ∞) Khi đó điểm cân bằng dương của phương trình (2.13) là ổn định tiệm cận toàn cục 13 Chương 3 Ba dạng hệ phương trình sai phân phi tuyến 3.1 Tính giới nội và ổn định của một dạng hệ phương trình sai phân phi tuyến Nội dung của phần này là nghiên cứu tính bị chặn, tính bền vững và tính ổn định tiệm cận của nghiệm dương hệ phương trình sai phân dạng. .. duy nhất và các nghiệm hội tụ về điểm cân bằng dương, chỉ ra các khoảng bất biến của nghiệm 4 Nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm của hai dạng hệ phương trình sai phân phi tuyến KIẾN NGHỊ MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Tiếp theo các kết quả của luận án, tác giả thấy có một số vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu là 1 Nghiên cứu các dạng phương trình sai phân hữu tỷ với tham số là các dãy có tính tuần... −α 3.2 −a −α −a Tính giới nội, tính ổn định và tốc độ hội tụ nghiệm của một dạng hệ phương trình sai phân phi tuyến Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu tính giới nội, tính bền vững và dạng tiệm cận nghiệm của nghiệm dương hệ phương trình sai phân dạng mũ: xn+1 a + be−xn a + be−yn = , yn+1 = c + yn c + xn trong đó a, b, c là các hằng số dương và các giá trị ban đầu x0 , y0 là các số thực dương Ta... môđun của một trong các giá trị riêng của ma trận Jacobian lấy giá trị tại (α, β) 22 KẾT LUẬN Luận án đã đạt được các kết quả sau: 1 Xây dựng được tiệm cận nghiệm dạng đa thức của hai dạng phương trình sai phân hữu tỷ 2 Chứng minh được nghiệm cân bằng của một dạng phương trình sai phân hữu tỷ là ổn định tiệm cận toàn cục 3 Đưa ra một số điều kiện đủ để ba dạng hệ phương trình sai phân phi tuyến có nghiệm. .. trưởng dân số Năm 2011, G Papaschinopoluos, M Radin, C.J Schinas đã nghiên cứu tính giới nội, tính bền vững và dáng điệu tiệm cận của nghiệm dương hệ hai phương trình sai phân dạng mũ: xn+1 = a + bxn−1 e−yn , yn+1 = c + dyn−1 e−xn , n = 0, 1, 2, , 14 (**) Dựa trên những bài báo trên ta sẽ mở rộng việc nghiên cứu phương trình (∗) và hệ phương trình (∗∗) bằng việc nghiên cứu hệ phương trình dạng mũ sau:... nghiệm cân bằng dương của phương trình (2.12) là ổn định tiệm cận toàn cục Dựa trên các dạng phương trình đã được các tác giả nghiên cứu trong thời gian gần đây và sử dụng phương pháp phân tích các nửa vòng dương, nửa vòng âm của nghiệm trong các công trình của X Li và D Zhu để nghiên cứu về tính ổn định của nghiệm cân bằng dương các phương trình hữu tỷ, trong phần này chúng tôi nghiên cứu phương trình. .. β, γ là các hằng số dương và các giá trị ban đầu x−1 , x0 , y−1 , y0 là các số thực dương Ta sẽ nghiên cứu tính giới nội, tính bền vững và tính ổn định tiệm cận của nghiệm dương hệ phương trình (3.1) Ta xét trong một số trường hợp đặc biệt, khi b = β = 0 hệ phương trình (3.1) trở thành hệ phương trình (∗), và khi xn = yn , a = α, b = β = 0, c = γ ta có phương trình (∗) Nội dung chính của phần này được... y¯) của hệ 3.2.1 Đặt vấn đề Năm 2006, I Ozturk, F Bozkurt, S Ozen nghiên cứu tính ổn định, tính giới nội và tính tuần hoàn của nghiệm dương phương trình sai phân: yn+1 α + βe−yn = γ + yn−1 trong đó α, β, γ là các hằng số dương, các giá trị ban đầu y−1 , y0 là các số dương Dựa trên gợi ý từ dạng phương trình trên, trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu tính giới nội, tính bền vững và tốc độ hội tụ của nghiệm. .. rất nhiều nghiên cứu về dạng tiệm cận nghiệm của các phương trình sai phân hữu tỷ trong các công trình của L Berg, S Stevi´c và K Berenhaut Trong đó các tác giả xây dựng dạng tiệm cận nghiệm dựa trên việc xây dựng hai dãy chặn trên, chặn dưới của nghiệm Trong chương này, dựa trên phương pháp xây dựng dạng tiệm cận nghiệm 10 trong các nghiên cứu kể trên, chúng tôi nghiên cứu dạng tiệm cận nghiệm dương... dương hệ phương trình có dạng mũ sau: xn+1 a + be−xn a + be−yn , yn+1 = = c + yn c + xn (3.10) trong đó a, b, c là các hằng số dương và các giá trị ban đầu x0 , y0 là các số thực dương Nội dung chính của phần này được lấy từ bài báo [4] của tác giả 17 3.2.2 Dáng điệu toàn cục nghiệm của hệ phương trình sai phân Trong bổ đề đầu tiên ta sẽ nghiên cứu tính giới nội, tính bền vững của nghiệm dương hệ phương ... phương trình (2.13) ổn định tiệm cận toàn cục 13 Chương Ba dạng hệ phương trình sai phân phi tuyến 3.1 Tính giới nội ổn định dạng hệ phương trình sai phân phi tuyến Nội dung phần nghiên cứu tính. .. định tốc độ hội tụ nghiệm dạng hệ phương trình sai phân phi tuyến Trong phần nghiên cứu tính giới nội, tính bền vững dạng tiệm cận nghiệm nghiệm dương hệ phương trình sai phân dạng mũ: xn+1 a +... sai phân phi tuyến có nghiệm cân dương nghiệm hội tụ điểm cân dương, khoảng bất biến nghiệm Nghiên cứu tốc độ hội tụ nghiệm hai dạng hệ phương trình sai phân phi tuyến KIẾN NGHỊ MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN