Dáng điệu nghiệm của các phương trình vi phân hàm bị nhiễu

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN BÙI TRONG QUY DÁNG ĐI›U NGHI›M CÚA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM B± NHI€U LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC Chun ngành: Tốn giãi tích Mã so: 60 46 01 02 HÀ N®I - 2015 BÙI TRONG QUY DÁNG ĐI›U NGHI›M CÚA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM B± NHI€U LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC Chun ngành: Tốn giãi tích Mã so: 60 46 01 02 Giáng viên hưáng dan: PGS.TS Đ¾ng Đình Châu Lài cám ơn Lu¾n văn đưac hồn thành dưái sn hưáng dan trnc tiep chi bão t¾n tình cua thay PGS.TS Đ¾ng Đình Châu Trưác tiên, tơi xin đưac bày tõ lịng biet ơn tái thay, ngưài t¾n tình chi bão, giúp tao đieu ki¾n ve nhieu m¾t đe tơi có the hồn thành lu¾n văn Nhân d%p này, tơi xin bày tõ lịng biet ơn tái tồn the thay giáo, giáo cơng tác tai khoa Tốn - Cơ - Tin HQC, trưàng Đai HQC Khoa HQC Tn nhiên Hà N®i, nhung ngưài giãng day cung cap nhung kien thúc khoa HQC quý báu suot nhung năm HQC VÙA qua đe tơi có nen tãng kien thúc thnc hi¾n lu¾n văn Cuoi cùng, tơi xin cãm ơn gia đình ban bè ln ã bên canh, đng viờn, nhiắt tỡnh giỳp ó v chia se nhung khó khăn qng thài gian tơi làm lu¾n văn suot năm HQC t¾p tai trưàng Hà N®i, ngày 16 tháng 11 năm 2015 HQC VIÊN Bùi TRQNG Quy Lài nói đau Phương trình vi phân hàm lan đau tiên đưac A.D Mushkic (nhà toán HQC Nga) nghiên cúu tù năm 1950, cho đen ó ac phỏt trien mđt cỏch khỏ hon thiắn Phương trình vi phân hàm có the đưac xem phương trình vi phân khơng gian Banach vái không gian pha nhung không gian hàm liên tnc m®t mien J cua trnc thnc R Các ket quã ve lý thuyet đ%nh tính cua phương trình vi phân hàm có rat nhieu úng dnng thnc tien (xem ti liắu [3], [7], [9], [12]) Nđi dung lu¾n văn chu yeu t¾p trung nghiên cúu tính chat nghi¾m cua phương trình vi phân có ch¾m Phương pháp đưac su dnng chu yeu phương pháp thơng dnng lý thuyet đ%nh tính cua phương trình vi phân tuyen tính Trong phan cuoi có áp dnng thêm phương pháp nua nhóm phương pháp HQ tốn tu tien hóa khơng gian Banach Bo cnc cua luắn bao gom chng: ã Chng 1: Kien thúc chuan b% • Chương 2: Phương trình vi phân tuyen tớnh cú chắm ã Chng 3: Dỏng iắu tiắm c¾n nghi¾m cua phương trình vi phân hàm b% nhieu M¾c dù có nhieu co gang bãn lu¾n văn khó tránh khõi nhung han che thieu sót Chúng tơi rat mong nh¾n đưac sn góp ý nhung ý kien phãn bi¾n cua q thay ban Tơi xin chân thành cãm ơn! Hà N®i, ngày 16 tháng 11 năm 2015 HQC VIÊN: Bùi TRQNG Quy Mnc lnc Kien thúc chuan b% 1.1 Mđt so khỏi niắm c bón ve nua nhúm liờn tnc manh khơng gian Banach tốn tu sinh cua 1.2 Úng dnng cua phương pháp tốn tu Laplace đoi vái phương trình vi phân có ch¾m 1.3 Khái ni¾m ve HQ tốn tu tien hóa liên tnc manh khơng gian Banach10 1.4 Tính chat nghi¾m cua phương trình vi phân so sánh tích phân đưac khơng gian Banach 13 1.4.1 Tính őn đ%nh phãi tính őn đ%nh trái theo Lyapunov .13 1.4.2 Các phương trình so sánh tích phân đưac 15 1.4.3 Sn tương đương ti¾m c¾n cua phương trình so sánh tích phân đưac 15 Phương trình vi phân tuyen tính có ch¾m 2.1 Khái ni¾m ve phương trình vi phân hàm phương pháp tìm nghi¾m cua 17 2.1.1 Sn ton tai nhat nghi¾m 17 2.1.2 Phương pháp giãi phương trình vi phân hàm 19 17 Mnc 2.2 Phương trình vi phân tuyen tính có ch¾m .21 lnc 2.3 Phương pháp nua nhóm cho phương trình vi phân có ch¾m .24 Dáng đi¾u ti¾m c¾n nghi¾m cúa phương trình vi phân hàm b% nhieu 26 MUC LUC 3.1 HQ toán tu tien hóa phi tuyen U (t, s) sn ton tai nhat 26 nghi¾m cua phương trình tích phân Volterra có ch¾m 3.2 Các tính chat cua HQ tốn tu tien hóa U (t, s) 28 3.3 Sn tương đương ti¾m c¾n cua phương trình vi phân hàm b% nhieu 31 Ket lu¾n 42 Tài li¾u tham kháo 42 Tài li¾u tham kháo 43 Danh mnc kí hi¾u chu viet tat X - Khơng gian Banach L((X )) -Y gian Banach cã tốn tính b% ch¾n X X, )Khơng - Khơng hàm tnc ω tùtuXtuyen đen Y C ω -Không giangian các hàmcua liêntatliên tnc D(A) - Mien xác đ%nh cua A C hàmtham khã vi k tính J (RT(k(A (λ, tJ))))A Nua nhóm so liên tnc tốncap tu tuyen t0 Tắp gióigian cua A mđt )Khụng Giãi cua A U (t, s) - HQ hai tham so cua tốn tu tuyen tính Mn(R) - Khơng gian ma tr¾n (thnc) vng cap n: A = (aij )n.n l2 - Không gian dãy so (ξ n ) đưac xác đ%nh bãi: n= vái chuan : l2 = {ξ ∈ l2, ξ = ( ξn )∞ ∞ ||ξ|| = ∑ n= ∞ ∑ |ξn |2 < +∞ } n= | | ξn Chương Kien thúc chuan b% Trong chương chúng tơi se trình bày m®t so ket quã bãn đưac su dnng chương sau Các ket q chương khơng có chúng minh đưac trích dan tài li¾u [2],[4],[8], [10] 1.1 Mđt so khỏi niắm c bỏn ve núa nhóm liên tnc manh khơng gian Banach tốn tú sinh cúa Đ%nh nghĩa 1.1 HQ tốn tu tuyen tính b% ch¾n ( T (t))t≥0 khơng gian Banach X đưac GQI nua nhóm liên tnc manh neu thõa mãn: T (t + s) = T (t) T (s) vái MQI t, s T(0) = ≥ liên tnc manh Tnc ánh xa quy đao ξx : t ›→ ξx(t) = T(t)x liên tnc tn R+vào X vái MQI x ∈ X Cáctrên tínhX.chat thõa mãn R thay R + ta GQI ( T (t))t∈R nhóm liên tnc manh M¾nh đe 1.1 Cho nua nhóm(T(t))t≥0 khơng gian Banach X, khang đ%nh sau tương đương: (a) (T(t))t≥0 liên tnc manh (b) lim T(t)x = x vái MQI x∈ X t→0(c) tai t T t M vái MQI Ton δ> > lim T (t) x = x vái MQI x∈ D 0, M ⊂ t→0 t¾p trù m¾t D X cho: ǁ ( )ǁ ≤ ∈[ Chương Kien thúc chuan b% wt nhóm liên tnc manh( T ( t)) t≥0 , ton tai hang so w ∈ R M ≥ M¾nh nua cho đe ǁ T (1.2 t)ǁ Cho ≤ Me vái MQI t ≥ Đ%nh nghĩa 1.2 Cho nua nhóm liên tnc manh( T (t))t≥0 , GQI w0(T) = in f {w ∈ R : ∃Mw ≥ 1, ǁT(t)ǁ ≤ Mwewt ∀t ≥ 0} c¾n tăng trưãng ho¾c kieu tăng trưãng cua nua nhóm Trong nua GQI làđang b% ch¾n neut có the và(1.2), M = 1, nhóm nua nhóm cn neu ǁwT (= t) x0,ǁ nua = ǁnhóm x ǁ váico MQI ≥ vàlay x đ%nh ∈wX.=nghĩa Đ%nh nghĩa 1.3 Toán tu A :tuD(A) ⊆ X →1X cua nua nhóm liên tnc manh (T(t))t≥0 khơng gian Banach X sinh toán Ax := ξx xác đ%nh vái MQI x mien (0) = lim −(T(h)x h→0 h x) D(A) := {x ∈ X : ξx khã vi} M¾nh 1.3 Vái tốn tu sinh A : D(A) ⊆ X → X cua nua nhóm (T(t))t≥0 ta có tính chat sauđeđây: ∫ +∞ − (a) Neu λ ∈ C cho R(λ)x = e λs T(s)xds ton tai vái MQI x ∈ X λ ∈ ρ(A) R(λ, A) = R(λ) (b) Neu Reλ > w λ ∈ ρ(A ) giãi thnc R(λ, A) xác đ%nh phan (a) (c) ǁR(λ, A)ǁ ≤ Re M w ∀λ : Reλ > w λ ∫ − Khi R(λ, A) x = +∞ e−λs T (s) xds GQI bieu dien tích phân cua giãi thnc Đ%nh lý 1.1 (Xem tài li¾u [10])( Đ%nh lý Hille- Yosida ve tốn tu sinh) Đoi vái tốn tu (A, D (A )) khơng gian Banach X tính chat sau tương đương: (a) (A,D(A)) sinh nua nhóm co liên tnc manh (b) (A,D(A)) đóng, xác đ%nh trù m¾t vái mői λ > ta có λ ∈ ρ(A) ǁλR(λ, A)ǁ ≤ 10 T(t) = U(t) + V(t) V(t − s) = T(t − t0)V(t0 − s) Đ¾t = (nghi¾m I + F)x,cua x∈ X Khi tốn tu Q X→ y (t) Qx m®t (3.10) Váiđó, mői t0 ∈ R+: y(tX00)khã ∈ ngh%ch X, ta có: Giã đ%nh rang ) + t0+∞ V(t t Tù đó: x( t ) = Qy(t0 ∫ )= − )B(s)y(s θ)ds y(t0 + x (t) = T (t − t ) x ( t ) Do đó: ∫ − ) + t0+∞ V(t + s)B(s)y (s = T (t − ) θ)ds y ( t0 t0 ||y(t) − x(t)||t = || ∫ t U(t − θ )ds − t∫ ∞ V( t − θ)ds|| s ) B( s) y ( s + Vì v¾y: s)B (s) y(s + ∫ ∞ t ||y(t) − x(t)|| ≤ M.K|| y0|| ∫ t e−ω(t−s)||B(s)||ds t + m.K||y || ||B(s)|| ds t − ω ( t − s ) || B (s )|| ds + M t∫ ∞ || B(s)|| ds, t ≥ s ≤ M ∫te vái M1 = M.K||y0||, M2 = mK||y0|| Vái mői so dương ε > 0, ton tai m®t so t đu lán t, t > 2t0 cho bat thúc sau đúng: t e−ω(t−s)||B(s)||ds ≤ t ∫ ||B(s)||ds 3M1 t ωt ∫ ∞ ε , ∫ t ||B(s)||ds ε , ∫ ∞ ||B(s)||ds < 3M1 t Do đó: < ∫ t ε 3M2 t ∫ t e−ω(t−s)||B(s)||ds t e−ω(t−s)||B(s)|| s ε ε ε ds + M ∫ ∞ ||B(s)||ds < + + = ε t 3 ||y(t) − x(t)|| ≤ Đieu nghĩa là: t→ lim ||y(t) − x(t)|| = ∞ Σ Chương Dáng đi¾u ti¾m c¾n nghi¾m cua phương trình vi phân hàm b% nhieu nh¾n đưac ket quã x(chúng tton ) =taiTminh (t tính − t0duy )x(tnhat y(t) = cua N(t, t0)yvà (t0(3.10), ), tai yta (t0cng )= 0) vnghiắm Mđt cỏch tnlớcho bói sn v (3.9) Q−1 x (t0).tương Đ%nh đưac H¾ 3.1 Neu || T (t)|| ≤ M vái MQI t ∈ R phương trình (3.9) (3.10) tương đương ti¾m c¾n Ví dn 3.1 Trong khơng gian Rn, xét phương trình vi phân: dx = Ax(t) + B(t)x(t + θ) (3.15) vái −h ≤ t ≤ 0, −h ≤ θ ≤ 0, ( R ), dt A(t) = (aij)n.n túc A ∈ Mn + B(t) ki¾n: = (bij(t))n.n (túc B(.) ∈ Mn(R)) hàm liên tnc theo t ∈ R thõa mãn đieu Dna vào lý()tthuyet dang tr¾n Joocdan chúng ta+có suysinh m¾nh đây: At ∫ +∞ ||B (t)|| dt < ∞the (3.16) Kíj = hi¾u )là= ,tr% t ma ≥ nua nhóm ma tr¾n mũ đưac bãi Ađe∈sauMn (R ), λ λ j (T A cácegiá riêng cua A M¾nh đe phan 3.1 Nua magiá tr¾n t) = cua eAt,ma t≥ b% ch¾nmãn đeucác trênđieu R+ki¾n vàsau: chi tat cã thncnhóm cua tr%T(riêng tr¾n A thõa i) Reλj ≤ vái MQI j = 1, 2, , n ii)Tat cã λj mà Reλj = đeu nghi¾m bãn đơn cua phương trình đ¾c trưng | A − λE| = Tiep theo vái phương trình (3.15) có the xét phương trình tích phân Volterra dang: x(t) = Tlý(t3.2 )x + ∫ the t T (suy t −raτket ) B(quã τ ) xsau ( τ đây: +θ ) dτ,vái đieu ki¾n t≥ Tù (3.17) banM¾nh đau x(đe t)3.1 = ϕ(Đ%nh t), −h ≤ t ta≤có0 M¾nh đe 3.2 Neu tat cã giá tr% riêng λj = λj(A) cua ma tr¾n A thõa mãn đieu ki¾n i) ii) cua M¾nh đe 3.1 tat cã nghi¾m cua phương trình (3.17) giái n®i 46 Chnng minh Xét phương trình (3.17) x(t) = T(t)x + ∫ t T(t − τ ) B ( τ ) x( τ + θ) dτ, t≥0 vái đieu ki¾n ban đau x(t) = ϕ(t), −h ≤ t ≤ Do ϕ(t) liên tnc nên Vái t ≥ ta có supt∈[−h,0]||x(t)|| = supt∈[−h,0]||ϕ(t)|| < +∞ || x(t)|| = || T(t)||.||x|| + ∫ t 0||T(t − τ)||.||B(τ)||.||x(τ + θ)|| dτ Tù giã thiet giá tr% riêng λj cua ma tr¾n A thõa mãn đieu ki¾n i) ii) cua M¾nh đe 3.1 nên theo m¾nh đe 3.1 ta có ||T(t)|| ≤ M1, ∀t ≥ vái M1 hang so dương Do ta có 1 || x(t)|| = M ||x|| + M ∫ 0t ||B(τ)||.||x(τ + θ)|| dτ Chú ý rang ||x(t)|| ≤ supθ∈[−h,0]||x(t + θ)|| nên θ∈ 1[−h,0] ||x(t)|| ≤ sup ||x(t + θ)|| ≤ M ||x|| + M ∫ t ||B(τ)||.sup θ ∈[−h,0] Áp dnng Bő đe Gronwal-Belman ta có ||x(τ + θ)||dτ ||x(t)|| ≤ supθ∈[−h,0]||x(t + θ)|| ≤ M1||x||e Su dnng giã thiet (3.16) ta suy ||x(t)|| ≤ M1.||x||.M M1 ∫ t ||B(τ)||dτ M¾nh đe đưac chúng minh M=e M1 ∫ t ||B(τ)|| dτ Chương Dáng đi¾u ti¾m c¾n nghi¾m cua phương trình vi phân hàm b% nhieu Ví dn 3.2 Trong khơng gian l2, xét phương trình vi phân tuyen tính: dx phương trình phi tuyen: = Ax (3.18) = Ay(t) + B(t)y(t + θ) (3.19) dt dy dt vái −h ≤ θ ≤ 0, t ≥ t0 ≥ 0, x(t), y(t) ∈ l2 Trong sã trnc chuan, ta đ%nh nghĩa A = diag(A1, A2, , An, )  vái  −1  n n −1 An : =   giã su B(.) : R+ → L(l2) thõa mãn đieu ki¾n: ∫ +∞ ||B(t)||dt < +∞ Khi đó, tốn tu Cauchy T(t) cua (3.18) có dang: T(t) = diag(A1, A2, , An, ) vái:  e −t t  t t Tn = 0cossin −cos sin   t n n n n Chú ý rang : e đây: T(t) = diag(U1(t), U2(t), , Un(t), ) + diag(V1(t), V2(t), , Vn(t), ), −t Σ e 0 0 00 Un = 49  0t t sint cos Vn = 0 cos n n t −sin n  t Tù đó, ta cóvàtthe ||nên U (t)|| e−ti¾m đoi vái MQI t ∈cua R+Đ%nh ||V )|| ≤ m < +kéo ∞ đoi vái MQI ∈ suy R Cho T (t≤ ) thõa mãn đieu ki¾n lý(t3.3 Đieu theo (3.18) (3.19) làratương đương c¾n Ví dn 3.3 Mơ hình quan the tăng trưãng logistic đơn lồi Chúng ta xét mơ hình ve sn tăng trưãng cua cá the đơn loài quan the sinh HQC, mơ hình đưac mơ tã bãi phương trình vi phân có ch¾m: dx(t) =),Volterra rx (ht)(≤ tương p[0, x(ttrong + θ)]), t∈≥R,0 ϕ ∈ C([−h, (3.20) Xét trình tíchxliên vái),đieu ki¾n ban (phân t) tnc =dang ϕ − t−là≤ 0], R pphương :R →R đau hàm và(tb% ch¾n túc |púng (x )| ≤đóMr0 < +∞ ∀x ∈ R dt x(t)x(=t)rT (tϕ)(ϕt()0 − r ∫ tt T≤(t0, −trong τ ) x (đó τ )T p([tx)( t=+ert τ,)]tdτ (3.21) vái đieu ki¾n ban đau = , )−quan h≤ ∈R tài li¾u [12],[6]), x ( t ) m¾t đ® the tai thài điem t Áp dnng Bő đe 3.1 tađơn có the Phương trình dang Volterra (3.21) mơ tã sn tăng trưãng cua m®t quan the lồi(xem phương trình minh dang Volterra (3.21) có nghi¾m nhat Neu r < suy taracó the chúng đưac0 rang |x(t)| < +∞ ∀t ≥ t0 Th¾t v¾y rõ ràng | x (t)| = | ϕ(t)| ≤ M < +∞ vái MQI t ∈ [−h, 0] Vái t ≥ ta xét x(t) = rT( t) ϕ(0 ) − r ∫ t 0T(t − τ ) x ( τ ) p [ x ( t + τ)]dτ Do |p(x)| ≤ M0 nên ta có |x(t)| ≤ r[e ϕ(0) + ∫ t e rt x(τ)M r(t−τ) dτ] nên ∫ |x(t)|e −rt ≤ r[ϕ(0)] + t e−rτx(τ)dτ] M0 Áp dnng Bő đe Gronwal-Belman ta có | x(t)|e−rt ≤ r[ϕ(0)]eM0 hay |x(t)| ≤ r[ϕ(0)]e(r+M0)t Neu MNh¾n r thìNeu e( r+ nên )| ≤ M2 < +∞ ta có đieu phãi chúng minh rM +0)tM≤ thì|xta(tcó ≤ −xét: < lim |x(t) = t→∞| Neu ton tai x = x0 ∈ R cho p(x) = ta cịn có nghi¾m x(t) = x0 Khi ta có the xét tính őn đ%nh cua nghi¾m x(t) = x0 giái hant→ lim ∞ |x(t)| Ví dn 3.4 Mơ hình thú - moi Lotka-Volterra đơn giãn Trong the giái tn nhiên, sn tương tác giua loài khác se làm bien đői so lưang quan the cua mői loài Khi nghiên cúu sn tương tác giua hai loài quan the ngưài ta thưàng dna vào cách phân loai cua Kot (2001), xem tài li¾u [6] Theo Kot, neu ti l¾ tăng trưãng cua lồi giãm mà lồi tăng GQI mơ hình thú - moi Đe nghiên cúu mơ hình thú - moi xét h¾ phương trình vi phân có ch¾m: ban đau t≥ x (t) = x (t)[ a − y (t) = y(t)[p[x (t + θ)] − (3.22) q] thõa mãn đieu ki¾n x(t ) = ϕ1(t ) −h≤t≤0 y (t ) = ϕ2 (t) vái ptai:b, R q→ làt,phương hàm tnc thừa ieu kiắn [t.x ]|ny, đ x(3.22) loi R làRh¾ hang dương cho trưác mơ|phình xphương (0t)